新高中数学导数及其应用

欢迎阅读

高中数学导数及其应用

一、知识网络 二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可

负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比

，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果

欢迎阅读

时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处

的导数（或变化率），记作，即。

（Ⅱ）如果函数导，此时，对于开区间（在开区间（在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可，这样）内的导）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做函数（简称导数），记作或，即。 认知： （Ⅰ）函数是一个数值； 的导数在点是以x为自变量的函数，而函数是的导函数当在点处的导数时的函数值。 处的导数 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量 ； ②求平均变化率；

③求极限

欢迎阅读

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义：

函数

在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。

（3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数 在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时，

记

,则有即在点处连续。

欢迎阅读

（Ⅱ）若函数

在点

处连续，但

在点

处不一定可导（连续不一定可导）。

反例：在点处连续，但在点处无导数。

事实上，在点处的增量

当时， ， ； 当时， ， 由此可知， 不存在，故在点处不可导。 2、求导公式与求导运算法则 （1）基本函数的导数（求导公式） 公式1 常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于0。 公式2 幂函数的导数：

。 公式3 正弦函数的导数：

。

公式4 余弦函数的导数：

欢迎阅读

公式5 对数函数的导数：

（Ⅰ）；

（Ⅱ） 公式6 指数函数的导数： （Ⅰ） ； （Ⅱ） 。 （2）可导函数四则运算的求导法则 设为可导函数，则有 法则1 ； 法则2

；

法则3

。

欢迎阅读

3、复合函数的导数 （1）复合函数的求导法则

设

自变量x的导数的导数

，

，复合成以x为自变量的函数

，等于已知函数对中间变量

的导数

，则复合函数对

，乘以中间变量u对自变量x

即 。 引申：设 （2）认知 ，复合成函数，则有 （Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出二层中间变量，由第一层中间变量的函数结构设出的函数结构设出，由第，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数函数的链条： 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单 ； （Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路

①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；

②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；

欢迎阅读

③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。

二、导数的应用 1、函数的单调性

（1）导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若，则在这一区间上为常函数。 为减函数；若在某个区间内恒有 （2）利用导数求函数单调性的步骤 （Ⅰ）确定函数 的定义域； （Ⅱ）求导数 ； （Ⅲ）令，解出相应的x的范围 当 时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。 （3）强调与认知 （Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式取值范围为B，则应用

；

确定的x的取值集合为A，由

确定的x的

欢迎阅读

（Ⅱ）在某一区间内

（或

）是函数

在这一区间上为增（或减）函

数的充分（不必要）条件。因此方程数划分单调区间时，除去确定它们也可能是增、减区间的分界点。

举例： 的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函

的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，

（1） 是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，。 （2）+∞）内递增。 2、函数的极值 在点x=0处连续，点x=0处不可导，但在（-∞，0）内递减，在（0， （1）函数的极值的定义 设函数是函数 在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有； ，则说的一个极大值，记作 如果对附近的所有点，都有。

，则说是函数的一个极小值，记作

极大值与极小值统称极值 认知：由函数的极值定义可知：

欢迎阅读

（Ⅰ）函数的极值点得；

（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；

是区间

内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取

（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现。 （2）函数的极值的判定 设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是 （Ⅰ）如果在点 附近的左侧，右侧，则为极大值； （Ⅱ）如果在点 附近的左侧，右侧，则为极小值； 注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数 （3）探求函数极值的步骤： 的导数研究中悟出这一点。 （Ⅰ）求导数

；

（Ⅱ）求方程

的实根及不存在的点；

欢迎阅读

考察

在上述方程的根以及

不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则在这一点取得极小值。

在

这一点取得极大值，若左负右正，则

3、函数的最大值与最小值 （1）定理

若函数连续的函数 认知： 在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内不一定有最大值与最小值。 （Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。 （Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。 （Ⅲ）若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。 （2）探求步骤：

设函数在上连续，在内可导，则探求函数在上的最大值与最小

值的步骤如下：

（I）求

在内的极值；

欢迎阅读

（II）求

在定义区间端点处的函数值

，

；

（III）将小值。

的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最

引申：若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化： （I）求出 的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）； （II）计算并比较大值与最小值。 （3）最值理论的应用 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最 解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为： （I）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系； （II）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

（III）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点

满足

，并且

在点

处有极大（小）值，而所给

实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。

四、经典例题

欢迎阅读

例1、设函数

在点

处可导，且

，试求

（1）；

（2）； （3） ； （4） （为常数）。 解：注意到 当） （1）

（2）

；

欢迎阅读

=A+A=2A

（3）令，则当时，

∴ （4）

欢迎阅读

点评：注意增量

的形式是多种多样的，但是，不论

的本质，在这一定义中，自变量x在选择哪一种形式，相应的

处的

也必须选择相应的形

式，这种步调的一致是求值成功的保障。

若自变量x在处的增量为，则相应的，

于是有； 若令 例2、 ，则又有 （1）已知，求； （2）已知 解： ，求 （1）令，则，且当时，。

注意到这里

∴

欢迎阅读

（2）∵

∴ ① 注意到， ∴由已知得 ② ∴由①、②得 例3、求下列函数的导数

（1）

； （2）；

（3）； （4）；

欢迎阅读

（5）

解：

； （6）

（1） （2）， ∴ （3）， ∴

（4），

∴

欢迎阅读

（5），

∴

（6） ∴当时，； ∴当时， ∴ 即 。 点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。 例4、在曲线C：C关于该点对称。

解：

上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线 （1）

∴当时，取得最小值-13

欢迎阅读

又当时，

∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；

（2）证明：设

为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为

且有 ① ∴将代入的解析式得 ， ∴点坐标为方程的解 ∴ 注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。

例5、已知曲线

求证：两曲线在公共点处相切。

，其中，且均为可导函数，

欢迎阅读

证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，

设上述两曲线的公共点为，则有

，，

∴ ，

∴， ∴， ∴ 于是，对于有； ① 对于，有 ∴由①得 ， 由②得

∴，即两曲线在公共点处的切线斜率相等， ∴两曲线在公共点处的切线重合 ∴两曲线在公共点处相切。

②

欢迎阅读

例6、

（1）是否存在这样的k值，使函数

递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；

在区间（1，2）上

（2）若 解： 恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。

（1） 由题意，当时，当x∈(2,+∞)时， ∴由函数的连续性可知， 即 整理得 解得 验证： 或 （Ⅰ）当时，

∴若

，则；若，则，符合题意；

欢迎阅读

（Ⅱ）当时，

显然不合题意。

，

于是综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。 （2） 若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾； 若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾； 若，则 并且当时，； 当时， ∴综合可知，当时，恰有三个单调区间：

减区间

；增区间

欢迎阅读

点评：对于（1），由已知条件得

，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条

件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

例7、已知函数且极大值比极小值大4.

（1）求常数的值； （2）求的极值。 解： （1）， 令得方程 ∵在处取得极值 ∴或为上述方程的根， 故有 ∴，即 ∴

，当且仅当时，取得极值，并

①

欢迎阅读

又∵仅当时取得极值，

∴方程的根只有或，

∴方程无实根，

∴即 而当时，恒成立， ∴的正负情况只取决于的取值情况 当x变化时，与的变化情况如下表： + 0 极大值 — 1 0 极小值 (1，+∞) + ∴在处取得极大值，在处取得极小值。 由题意得 整理得 ②

于是将①，②联立，解得

（2）由（1）知，

欢迎阅读

点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足研究的根的

情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数 例8、 ”与“

在

处取得极值”的必要关系。

（1）已知 的最大值为3，最小值为-29，求的值； （2）设求常数 解： 的值。 ，函数的最大值为1，最小值为， （1）这里，不然与题设矛盾 令，解得或x=4（舍去） （Ⅰ）若，则当时，，在内递增；

当时，，在内递减

又连续，故当时，取得最大值

欢迎阅读

∴由已知得

而

∴此时的最小值为

∴由得

（Ⅱ）若，则运用类似的方法可得当； 时有最小值，故有 又 ∴当时，有最大值， ∴由已知得 于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求或 （2）， 令得 解得

当在上变化时，与的变化情况如下表：

-1 (-1,0) + 0 0 极大值 — 0 极小值 + 1

欢迎阅读

∴当时，取得极大值；当时，取得极小值。

由上述表格中展示的的单调性知

∴最大值在与之中，的最小值在和之中， 考察差式， 即， 故的最大值为 由此得 考察差式 ，即， ∴的最小值为

由此得，解得

于是综合以上所述得到所求。

欢迎阅读

五、高考真题 （一）选择题

1、设

，，（ ）。

A、 B、 C、 分析：由题意得， ， ， ， ∴具有周期性，且周期为4， ∴，应选C。

2、函数有极值的充要条件为（ A、 B、 C、

，…，，，则

D、 ）

D、

欢迎阅读

分析：

∴当时，且；

当时，令得有解，

因此 才有极值，故应选C。

3、设，分别是定义在R上的奇导数和偶导数，当，且，则不等式时，的解集是（ ） A、（-3，0）∪（3，+∞） B、（-3，0）∪（0，3） C、（-∞，-3）∪（3，+∞） D、（-∞，-3）∪（0，3） 分析：为便于描述，设 ∴根据奇函数图象的对称性知， 二、填空题 ，则为奇导数，当时，，且的解集为（-∞，-3）∪（0，3），应选D。 1过原点作曲线

的切线，则切点坐标为 ，切线的斜率为 。 分析：设切点为M，则以M为切点的切线方程为

∴由曲线过原点得，∴，

欢迎阅读

∴切点为

，切线斜率为。

点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。

2曲线在点处的切线与x轴，直线所围成的三角形面积为，则

= 。 分析： ∴曲线在点处的切线方程为 即 切线与x轴交点， 又直线与切线交点纵坐标为， ∴上述三角形面积， 由此解得

即 3曲线与在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）

欢迎阅读

分析：设两切线的夹角为，将两曲线方程联立，解得交点坐标为

又，

即两曲线在点处的切线斜率分别为-2，3

∴， ∴ ，应填。 （三）解答题 1已知 ，讨论导数的极值点的个数。 解析：先将求导，即。 当时，有两根，于是有两极值点。 当时，，为增函数，没极值点。 ”等知识。 本题考查导数的应用以及二次方程根、“ 解答：

令，得

欢迎阅读

1、当

即或时，方程有两个不同的实根、，

不防设，

于是，从而有下表：

+ ↗ 0 为极大值 — ↘ 0 为极小值 + ↗ 即此时有两个极值点； 2、当即时，方程有两个相同的实根， 于是无极值； ，故当时，；当时，，因此 3、当即时，， 而， 故为增函数。此时无极值；

∴当

时，有两个极值点；当时，无极值点。

欢迎阅读

2已知函数的图象在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间。

解析： （1）由在切线上，求得，再由在函数图象上和得两个关于 的方程。 （2）令，求出极值点，求增区间，求减区间。 此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。 解答 （Ⅰ）由函数的图象在点处的切线方程为知： ，即，

∴

欢迎阅读

即

解得

所以所求函数解析式

（Ⅱ） 令解得 当或时， 当时， 所以是增函数。 在内是减函数，在内 3已知 （Ⅰ）求

是函数与的关系表达式；

的一个极值点，其中 （Ⅱ）求

的单调区间；

欢迎阅读

（Ⅲ）当范围。

解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第2小题要根据

的符号，分类讨论

的单调区间；第3小题是

时，函数

的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求

的取值

二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。 解答： （Ⅰ），是函数的一个极值点 ∴ ∴； （Ⅱ） 令，得 与的变化如下表：

— 单调递减 0 极小值 + 单调递增 1 0 极大值 — 单调递减 因此，的单调递减区间是和；的单调递增区间是；

欢迎阅读

（Ⅲ）由（Ⅱ）

即

令，

且，

即m的取值范围是。 4 已知函数。 （Ⅰ）求 的单调区间和值域； （Ⅱ）设，使得

，函数成立，求的取值范围。 ，若对于任意，总存在 解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，

（Ⅰ）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，

欢迎阅读

（Ⅱ）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若满足

解：

关系，从而达到求解目的。

成立，则二次函数值域必

（Ⅰ）由得或。 ∵ ∴（舍去） 则，，变化情况表为： 0 — ↘ 0 + ↗ 1 因而当时为减函数；当时为增函数； 当 时，的值域为； （Ⅱ） 因此，当时

因此当时为减函数，从而当时有

又，即当时有

欢迎阅读

任给，，存在使得

则

由（1）得或，由（2）得 又 故的取值范围为。 5已知，函数 （1）当为何值时， 取得最小值？证明你的结论； （2）设 在上是单调函数，求的取值范围。 解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（Ⅰ）常规题型，方法求由（Ⅰ）

在

，解

的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（Ⅱ）

，因此只要

上单调，而

即满足题设条件，从中解出的范围。

解答：（Ⅰ）

欢迎阅读

令则

从而

，其中

当变化时,，的变化情况如下表 ∴ 当 而当 ∴当 + ↗ 0 极大值 — ↘ 0 极小值 + ↗ 在时时处取得极大值，，处取得极小值 在，当为减函数，在时 为增函数 ，且时时在取最小值； 上为单调函数的充要条件是 （Ⅱ）当 ，解得 综上，在上为单调函数的充要条件为, 即的取值范围为）

6.已知 （Ⅰ）当

，函数时，求使

。

成立的成立的的集合；

欢迎阅读

（Ⅱ）求函数

答案： （Ⅰ）｛0，1，

｝ 在区间

上的最小值。

（Ⅱ） 解答： （Ⅰ）由题意， 当 当时时, ,解得，解得｝ 或 ， 综上，所求解集为｛0,1,1+ (Ⅱ)设此最小值为m ① 当时，在区间［1，2］上，， 因为 则 ② 由 ③ 当

知

是区间［1，2］上的增函数，所以时，在区间［1，2］，；

）， 时，在区间［1，2］上，

如果 从而

在区间（1，2）内，

；

在区间［1，2］上为增函数，由此得

欢迎阅读

如果则。

当时，，从而为区间［1，］上的增函数；

当 因此，当时，

时，，从而

或为区间［，2］上的减函数

。 当时，故 当时. 综上所述,所求函数的最小值 7、 (Ⅰ)设函数 (Ⅱ)设正数满足 求的最小值; ，证明。 解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（Ⅰ）已知函数为超越函数，若求其最小值，则采用导数法，求出

，解

得，再判断与时的符号，确定

到

为极小值点，也是函数的最小值，过渡是难点。

对（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明，但由

欢迎阅读

解答：

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）

令

当时，f′(x)<0,∴f(x)在区间是减函数； 当时，f′(x)>0, ∴f(x)在区间是增函数。 ∴f（x）在 时取得最小值且最小值为 (Ⅱ)用数学归纳法证明 （i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立； (ii)假定当n=k时命题成立，即若正数 满足 当n=k+1时，若正数,则满足 令 则 由归纳假定知

,为正数，且 ①

同理，由

综合①、②两式

,可得

≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). ②

欢迎阅读

≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1).

即当n=k+1时命题也成立。

根据（i）、(ii)可知对一切正整数n命题成立。

8函数

， （Ⅰ）用 （Ⅱ）证明：当 时, 、、表示m； 在区间

是曲线内可导，导函数

在点是减函数，且

，设

处的切线方程，并设函数 （Ⅲ）若关于x的不等式求b的取值范围及a与b所满足的关系。 解答： （I） 即 因而 (Ⅱ)证明：令 因为 所以 因此

（Ⅲ） 解法一：

是

递减，所以，则递增,因此，当； 在点处的切线方程为 在上恒成立，其中a、b为实数， 时，；当的最小值为0

时，， 唯一的极值点，且是极小值点，可知0即

；

是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立。

欢迎阅读

，即对任意成立的充要条件是

，

另一方面，由于满足前述题设中关于的条件，

利用(Ⅱ)的结果可知，的斜率不大于， 该切线的方程为：的充要条件是：过点与曲线相切的直线

， 于是的充要条件是 综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在 ① 使①式成立的充要条件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ③ 因此，③式即为的取值范围，①式即为实数与所满足的关系。 （Ⅲ） 解法二： ，即是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。 对任意成立的充要条件是

令

。

，于是对任意成立的充要条件是

由 当

时，

得

；当

时，

，所以，当

时，

欢迎阅读

取最小值。因此成立的充要条件是，即

综上，不等式对任意成立的充要条件是

①

显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式②

有解，解不等式②得③

因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数a与b所满足的关系。 点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能力，抽象思维能力，以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对（Ⅰ），曲线， 即在 ∵ ∴ 由递减 ∴， 则 所以

是

的极值点，且为极小值点， 极小值为

，即

，则递增，则当，因而时恒成立，构造函数 ∴ 时，当时， 则；对（Ⅱ）即证明 在点处切线斜率为，切线方程为恒成立，

因而

；对（Ⅲ）有两种思考方法，是该题难点，其求解过程比较详细。

欢迎阅读

9．设点和抛物线其中

由以下方法得到：

上，点

到

的距离是

到

，点在抛物线

在抛物线

到

上点的最短距离。

上点的最短距离，…，点

到

的距离是

上，点

（Ⅰ）求 （Ⅱ）证明 解答： （Ⅰ）由题意得 设点 则 令 则 由题意得： 即 又 解得 故

（Ⅱ）设点 则 令

是

上任意一点。

方程为：

在上，∴

是上任一点 是等差数列。 及的方程；

欢迎阅读

由题意得 即 又∵点 ∴ ∴ 即 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，，等式成立。 在

上

②假设n=k时，等号成立，即 则当n=k+1时，由（*）知： 又 ∴ 即当n=k+1时，等式成立 由①②知，等式 ∴ 点评： （Ⅰ）设 ∵ 令 ∴

此为关键

为

是等差数列 成立 上任一点

处

取得最小值。

，换句话说：在点

欢迎阅读

（Ⅱ）方法同（Ⅰ）推导出：然后用数学归纳法证明。

10.已知函数

（Ⅰ）求函数的反函数

及

的导数

；

（Ⅱ）假设对任意， 不等式成立，求实数m的取值范围。 解答： （Ⅰ）解：由，得， 所以 （Ⅱ） 解法1由，得 即对于恒有 设，于是不等式①化为 ② 当

，、

时，

，①

欢迎阅读

所以

都是增函数。

，

因此当时，的最大值为的最小值为

而不等式②成立当且仅当，即， 于是得 解法2：由 设 于是原不等式对于③ ，得 ， ， 恒成立等价于 由 注意到 从而可知与均在，，故有，上单调递增， ， ， 因此不等式③成立当且仅当，即

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7yb8.html