2022全国卷1理科数学全解析-word版

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理科数学试题 第1页（共22页） 绝密 ★ 启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学I 卷全解析

注意事项：

1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2． 作答时，将答案写 在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N =I

A ．{|43}x x -<<

B ．{|42}x x -<<-

C ．{|22}x x -<<

D ．{|23}x x <<

解析： C

集合的常规题。

{|23}N x x =-<<， {|42}M x x =-<<，所以 M N =I {|22}x x -<< 点评：

先求出各个集合的最简表示，然后，求交集。

2．设复数z 满足|i |1z -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则

A ．22(1)1x y ++=

B ．22(1)1x y -+=

C ．22(1)1x y +-=

D ．22(1)1x y ++= 解析： C

由两个复数差的几何意义知，复数z 与复数（0,1）的差的模长为1，表示复数z 的轨迹是以（0,1）为圆心的圆。

点评：

准确理解复数差的几何意义，可以快速得解。

或者直接用坐标表示z ，再根据复数模的意义得解。

热爱数学，就能学好数学 理科数学试题 第2页（共22页） 3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则

A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．b c a <<

解析： B

由对数的图象可知，2log 0.2a =＜0；由底数大于1的指数函数图象可知，0.22b =＞1；由底数小于1大于0的指数函数图象可知，0.30.2c =＜1。

因此，答案是a c b <<。

点评：

数值的比较通常通过中间值0、1进行比较，或者通过函数的单调性进行比较。

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足

底的长度之比是51-（510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的

长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，

则其身高可能是

A ．165 cm

B ．175 cm

C ．185 cm

D ．190 cm 解析： B

这是一道估算题，难度稍大。

必须计算出身高所在的范围，然后确定身高的可能值。

一方面，腿长小于肚脐至足底的长度，以腿长为依据推算身高，则身高缩小了。 另一方面，头顶至脖子长度大于头顶至咽喉的长度，以头顶至脖子长度推算身高，则身高放大了。

（1）以105cm(腿长)作为肚脐至足底的长度，设头顶至肚脐的长度为x cm ，则有： 0.618105

x =，解得 x=64，此时身高h=105+x=169 cm ，最低身高。 （2）以26 cm （头顶至脖子长度）作为头顶至咽喉的长度，设咽喉至肚脐的长度为y cm ，肚脐至足底的长度为y cm ，则有：

260.618y

=，解得y=42。此时头顶至肚脐的长度为26+42=68cm ，肚脐至足底的长度

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第3页（共22页） z cm 满足680.618z

= ，z=110，最长身高h=68+110=178cm 。 综上可知， 身高h 位于 169一178cm 之间。从选项中可知，175cm 符合要求。 点评：

（1）这道题是一种新题型，对数值进行估算。用0.618取代51-计算难度降低。 （2）如果不进行正反两面的估算，B 、C 答案换成B171cm 、C179cm ，就会错选为C179cm ，因为179与178最接近。

5．函数2

sin ()cos x x f x x x +=+在[π,π]-的图象大致为 解析： D

易知f(－x)=－f(x)，函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以A 错。 由f(π)＞0可知 B 、C 错，因此答案为D 。

点评：

图象的判断，通常根据单调性、奇偶性、特殊点的值来判断。

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由

从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“，

右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A ．516

B ．1132

C ．2132

D ．1116

解析： A

每一重卦有6行，每一行都可以是阳爻“”或阴爻“，且相互独立，所以

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页） 共有62种情况。重卦中含有3个阳爻的情况数是36C 。所以重卦恰有3个阳爻的概率

是 P=3665216

C =。 点评：

总情况数易错。要能准确理解相互独立的意思。 7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为

A ．π6

B ．π3

C ．2π3

D ．5π6 解析： B

本题可以计算，也可以画图解决。

设a 与b 的夹角为θ。

解法一：计算

由()-⊥a b b 得()-?a b b =0，所以2-ab b =0，||||θb -|a ||b |cos b =0 所以||1||2θa =b cos =，3

πθ= 解法二：画图

由直角三角形的性质30°所对的直角边等于斜边的一半的逆定理可知， ,6πa b a r r r <->=，所以3

πθ=。 点评：

这类问题，可以用代数方法计算，也可以用几何方法作图。

8．右图是求

11

21

22++的程序框图，图中空白框中应填入 开始12A =1

k =2

k ≤1k k =+结束A

输出否

是

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理科数学试题 第5页（共22页） A ．12A A

=+ B ．12A A =+

C ．112A A

=+ D ．112A A =+

解析： A 简单的程序框图识别。第一次循环要算出1

1

22+，而A=12，所以12A A

=+。 易于看出B 、D 明显不符合

11

21

22++的计算，A 、C 中显然A 符合。

点评：本题常规题型。读懂程序流程，就能轻易看出循环节。

9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则

A ．25n a n =-

B ．310n a n =-

C ．228n S n n =-

D ．2122n S n n =- 解析： A

数列题。根据等差数列的前n 项和和等差数列的通项公式，可以得出选项a 正确。 但显然运算量不小。这里换一种方法。

速解一:

由40S =，55a =可得55S =，代入C 、D 都不符合。

由40S =，55a =得1450,210a a a +==。两式相减得5d=10，d=2。所以答案是A 。 速解二：

由40S =，55a =得1450,210a a a +==。两式相减得5d=10，d=2。

则5(5)5(5)225n a a n d n n =+-=+-=-，答案是A 。

速解三：

由40S =，55a =可得55S =，代入C 、D 都不符合。

由40S =得14140a a a a +=?=-。下面用A 、B 验证一下。用A 验证a1=－3，a4=3，

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理科数学试题 第6页（共22页） 而B 不符合，所以答案是A 。

点评：

数列常规题，做得巧可以节省一点时间。

10．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线交C 于A ，B 两点．若

22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为

A ．2

212

x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154

x y += 解析 ： B 设22||2||2AF F B x ==，则1||||AB BF == 3x 。由椭圆定义得，12||||2BF BF a +=，即

4x=2a ，x=12

a 。AF2=a ，即A 是椭圆的短轴端点。 其一，用坐标法。可以知道B 的端点坐标，然后代入椭圆方程中，然后联立方程组。

显然，由22||2||AF F B =，OF 2=1可得B （3,22

b -）。代入22221x y a b +=则有 22

22

3()()221b a b -+=，解得23a =。所以答案是B 。 其二，用余弦定理法。可以在三角形F1AB 中，利用余弦定理求出a 的值。F 1F 2=2

由cos ∠AF 2F 1+cos ∠BF 2F 1=0得222222

32()()22202*2*2*2*2a a a a a a +-+-+= 解得 解得23a =。所以答案是B 。

点评：

本题用坐标法来得快，用余弦定理稍慢，但易于想到。

11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间π(,π)2

单调递增 ③()f x 在[π,π]-有4个零点

④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是

A ．①②④

B ．②④

C ．①④

D ．①③

解析： C

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理科数学试题 第7页（共22页） 显然f(x)=f(－x)，f(x)是偶函数；f(x)的最大值为2。

所以答案只能是A 和C 。

又()2,()02πf f π==，显然f(x)在区间π(,π)2

不是单调递增，排除A 。 所以答案是C 。

点评：

此题也可以作出f(x)图象如下，但稍嫌费事。那样，就可以判断出③是错误的。

12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长

为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=?，则球O 的体积为

A ．86π

B ．46π

C ．26π

D 6π

解析： D F

E

A

C

在△CEF 中用勾股定理。设PA=PB=PC=x ，

则有 ,32

x EF FC =，接下来就是要搞清楚EC 的表达式。 在△EPC 中，用余弦定理可得EC 。此时cos ∠APC 应在△APC 中算出。

2222

222() 2...cos ,cos 22 2..x x x x EC x x APC APC x x +-=+-行=，可得2

224x EC =+。

热爱数学，就能学好数学 理科数学试题 第8页（共22页） 所以222344

x x ++=，解得 x=2。这样可得△APB 、△APC 、△BPC 为等腰直角三角形。即PA 、PB 、PC 两两垂直。

所以 P －ABC 的外接球的半径就是以PA 、PB 、PC 为棱长的正方体的体对角线的一半。R=3622a =，33446()633V R p p p ==鬃=，

答案：D 。 点评：

此题是几何体的外接球半径，难度中等。

还可以按如下思路解决，不过，不易想到。

由题设知，P －ABC 是正三棱锥，因此，易得对棱垂直，可得PB ⊥AC 。

又90CEF ∠=?，EF ∥PB ，所以PB ⊥EC 。而AC ∩EC=C ，所以PB ⊥平面PAC 。 故△PBC 是等腰直角三角形。由此可得PA 、PB 、PC 互相垂直，且都是2。后续解法同前。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．

解析： y=3x

2'3(31)e x y x x =++，所以x=0时，k=3，又切点为原点，所以切线方程为y=3x 。 点评：

导数的基本题。要求知道基本的导数运算规则。

14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若113

a =，246a a =，则5S =__________． 解析：

113

a =，246a a =得3251111(a ),3q a q q a ===，所以551112113q s a q -==-。 点评：考察等比数列的通项公式和前n 项和，基础题。

15．甲，乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，

决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设

热爱数学，就能学好数学 理科数学试题 第9页（共22页） 甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以:41获胜的概率是__________．

解析： 0.18

甲队以:41获胜时，只比赛了5场，而且前4场必有一场战败，否则第4场就结束战斗了。前4场中的主场输一次或者客场输一次，第5场取胜。共4种情况。 分别是 乙甲甲甲甲，甲乙甲甲甲，甲甲乙甲甲，甲甲甲乙甲。

由题意知，乙在客场取胜的概率为0.4，乙在主场取胜的概率为0.5。

概率分别为： 0.4*0.6*0.5*0.5*0.6，0.6*0.4*0.5*0.5*0.6，

0.6*0.6*0.5*0.5*0.6，0.6*0.6*0.5*0.5*0.6。

根据加法原理 甲队以4:1获胜的概率是 四者之和=0.18。

点评：

本题属难题。关键要准确理解甲队4:1获胜的准确意义，会运用排列组合（含概率）的加法原理和乘法原理。分类法用加法原理，分步法用乘法原理。

16．已知双曲线22

221(0,0)x y C a b a b

-=>>：的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ?=u u u r u u u u r ，则C 的离心率为

__________．

解析： 2

根据题意作出草图。

易知OA 是直角三角形F1BF2的中位线。

若想不到几何关系，又不知道如何提取信息，可能就

止步于此。

出题人的本意可能就是利用代数方法解答这道题，若是考察几何关系就不会放在压轴题位置。

解法一：点坐标法

易知F 1B=2F 1A ，yB=2yA 。

联立F 1B 和OA 方程()a y x c b b y x a ?=+????=-??得到2a x c ab

y c ?=-????=??

。

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理科数学试题 第10页（共22页） 联立F 1B 和OB 方程()a y x c b b y x a ?=+????=??得到22222a c x b a abc y b a ?=??-??=?-?

所以 有 222abc ab b a c

=?-，解得22222222222()2c b a c c a a c =-?=--= 所以

2=。 解法二：中线法

联立F 1B 和OB 方程()a y x c b b y x a ?=+????=??得到22222a c x b a abc y b a ?=??-??=?-?

显然|OB|=|OF 2|， 即22222222()()a c abc c b a b a

+=--，解得223b a =，所以e=2。 解法三：纯几法

由双曲线渐近线的对称性知，∠F 1OA=∠F 2OB 。

由OB 是直角三角形F 1BF 2的斜边上的中线知，∠F 1OA=∠AOB 。

又∠F 1OA+∠F 2OB+∠AOB=180°，所以 ∠F 2OB=60°。

这样b a

= e=2 。 点评：

本题是向量与渐近线、焦点的综合问题。有一定难度。

看似简单，做出来不易。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必

考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；

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理科数学试题 第11页（共22页） （2

2b c +=，求sin C ．

解析：

解三角形问题。

显然（1）由于已知条件是正弦且是齐次，容易想到弦化边。

（2）附加条件是3边关系，且是齐次，易于想到边化弦。

解：

（1）

由正弦定理和22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-知

22()b c a bc -=-，化简得到 222b c a bc +-=，

∴ 2221cos 22

b c a A bc +-==。 又A 是三角形的内角，∴3πA =

。 （2）

2b c +=

sin 2sin A B C += ∵3πA =，∴23

πB C =-

2sin(

)2sin 3πA C C +-=，整理得

1cos 02C C -=

，即sin()6πC -=。 ∴ 64ππC -

= 或364ππC -=，即512πC =或1112πC = ∵3πA =，∴512

πC =。 ∴

点评：

（1） 常规解三角形，用到余弦定理、正弦定理、辅助角公式、两角和公式，要求

有扎实功底。难度中等。要细心，防止在计算上出错。

（2） sinC 也可以化成sin()C αα+-简便求解，这里的α必须为特殊角。

热爱数学，就能学好数学 理科数学试题 第12页（共22页） 此时把312sin cos 0C C --=转化为 1322cos sin cos()23πC C C -=-?+=-

18．（12分）

如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，

14AA =，2AB =，60BAD ∠=?，E ，M ，N 分别是BC ，

1BB ，1A D 的中点．

（1）证明：MN ∥平面1C DE ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值．

解析：

（1）常规的线面平行证明。在立体几何和平面几何中，一般是中点呼应中点。证明线面平行通常利用中位线或平行四边形。也有少数先证明面面平行，然后，得出面上的线平行于另一个面。

（2）上空间坐标系是常规做法。在上坐标系之前，必须证明选定的x 、y 、z 轴所在的直线两两垂直。

解：

（1） 连接ME 、B1C 。

∵A1B1=DC ，A1B1∥DC ，

∴A1B1CD 是平行四边形。

∴ A1D=B1C ，A1D ∥B1C 。

∵ME//B1C,ME=112B C ，ND=112

A D ， ∴ ME //ND

∴MEDN 是平行四边形

∴MN ∥ED 。

而MN ?平面C1DE ，ED ?平面C1DE ，

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理科数学试题 第13页（共22页） ∴ NM ∥平面C1DE 。

（2） 由已知可得DE ⊥DA 。

以DA 、DE 、DD1分别为x 、y 、z 正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。

则A1（2,0，4），A （2,0，0），M （1

2），N （1,0,2）。

设MA1N 的一个法向量n =（x ，y ，z ），

由1.0.0

A N n MN n u u u u r r u u u u r r ?=??=?? 即

(1,0,2)(,,)0(0,,,)0x y z x y z --=???=??，令z=1，则得n =（－2,0,1）。 同理可得AMA1的一个法向量m =

）。

设二面角1A MA N --所在的平面角为θ，则

|cos |θ==， ∴二面角1A MA N --

。 点评： （1）本小题作辅助线的方法，属于常规方法。但要注意论证的严密性。

（2）本小题所涉的AMA 1的法向量易错成x 轴正方向的单位向量（1,0,0）。

19．（12分）

已知抛物线23C y x =：的焦点为F ，斜率为32

的直线l 与C 的焦点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．

（1）若||||4AF BF +=，求l 的方程； （2）若3AP PB =u u u r u u u r ，求||AB ．

解析：

（1）

设出P 的坐标（m ，0），给出l 的方程，联立方程组，得出以x 为主元的一元二次方程，得到A 、B 两点横坐标间的关系。根据抛物线的性质，将||||AF BF +转化成为横坐标之间的关系，从而得出m 的值，进而得出l 的方程。

（2）从3AP PB =u u u r u u u r 中提取出y1=﹣3y2的关系，再联立方程组，得出以y 为主元的二次方程，得出A 、B 两点纵坐标间的关系，从而解出y1、y2，进而得出|AB|的长度。

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理科数学试题 第14页（共22页） 解：

设直线l ：32

y x m =+，A （x1，y1），B （x2，y2）。 （1） 由题设得F （3,04），∴123||||2

AF BF x x +=++。 由题设得1235422

x x +=-=。 由2323y x m y x ?=+???=?

可得 22912(1)40x m x m +-+=，则 1212(1)9m x x -+=- ∴ 12(1)592m --=，解得 m=78

-。 ∴ l 的方程为3728y x =

-。 （2） 由3AP PB =u u u r u u u r 可得 y1=﹣3y2。 由232

3y x m y x ?=+???=?

可得 2220y y m -+=，则 122y y += ∴ －3y2+y2=2

y2=－1，y1=3

∴ x1=3，x2=13

故||AB

=

点评：

（1）解析几何大题不再是传统的双曲线或椭圆，改为抛物线。不仅要能驾驭双曲线、椭圆，还要求能够轻松处理抛物线问题。本小题以x 为主元。

（2）本小题以y 为主元。

20．（12分）

已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：

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理科数学试题 第15页（共22页）

（1）'()f x 在区间π(1,)2-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．

解析：

（1） 判断导函数的极值点，等同于判断原函数的极值点，都是通过判断各自的单调性，

进而判断极值点的情况。从题型上讲，不再是判读原函数的单调性，这是个变化。 难度显然增加。

（2） 函数零点的判断，要结合函数的单调性，零点存在性定理两方面知识进行判断。

通常需要分区间讨论。本题还利用了函数的值域来参与零点存在的判断。比2018年的单个零点研究（2卷）有所扩展，难度较大。

解：

（1） f （x ）的 定义域为(－1,+∞)。

令g(x)=1'()cos 1f x x x

=-+，则 21'()sin (1)g x x x =-++ 易知g ’(x)在π(1,)2

-上单调递减。 ∵ g’(0)=1＞0，2π1'()102(1)2

g π=-+<+ ∴ 存在 x0∈π(0,)2

使得 '(0)0g x =。 ∴当x ∈(－1,x0)时，g ’(x)＞0；当x ∈(x0，π2

)时，g ’(x)＜0。 ∴()g x 在区间π(1,)2-存在唯一极大值点，即'()f x 在区间π(1,)2

-存在唯一极大值点。 （2） f(x)的定义域为(－1,+∞)。

显然f(x)在 (π，+∞)上没有零点，重点讨论（-1，π）上的情况。

i) 当x ∈（－1,0）时，由（1）知，f ’(x)在（－1，0）上单调递增，而f ’(0)=0，

∴ f ’(x)＜0，即f(x)在（－1,0）上单调递减。而f(0)=0，

∴f （x ）在(－1,0)上无零点。

ii)当x=0时，f （0）=0，

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理科数学试题 第16页（共22页） ∴ 0是f(x)的1个零点。

iii)当x ∈（0，

π2]时，由（1）知，在（0，x0）上f ’(x)单调递增，在（x0，π2

]上f ’(x)单调递减。

f ’(0)=0，f ’(x0)＞0，f ’(π2)=π11cos 0ππ21122-=-<++， ∴ 存在x1∈（x0，π2

）使得f ’(x1)=0。 ∴ f(x)在（0，x1）上单调递增，在(x1,

π2]单调递减。 又f(0)=0，πππ1()sin ln(1)10π22212

f =-+=->+， ∴f(x)在（0，

π2]上无零点。 iv)当x ∈（

π2,π]时，f(x)’<0，∴ f(x)在（π2,π]上单调递减。 而f(π2

)＞0，f(π)＜0， ∴存在2(,)2x p p ? ，使得f(x 2)=0，即f(x)在（

π2

,π]存在1个零点x 2。 v)当x ∈(π，+∞)时，ln （1+x ）>1，

∴ f(x)＜0，即f(x)没有零点。

综上，f(x)有且仅有2个零点。

点评： （1）导函数的极值点的判断，方法同函数的极值点的讨论，通过对导数的研究得出单调性，再根据单调性得出极值点。不再是判断含参函数的单调性，难度显然提升。

（2）本小题讨论函数的零点问题，这并不新鲜。新鲜的是把三角函数和对数函数放在一起讨论，而且是两个零点的讨论。利用单调性和零点存在性定理进行讨论。本题单纯用单调性讨论，发现在（π，+∞）上无法讨论，反而根据值域很容易得到答案。本小题零点讨论，严密性很强。

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理科数学试题 第17页（共22页） 本题有较好的区分度。基础知识不扎实的考生，第一问都不能得全分。

21．（12分）

为治疗某种疾病，研制了甲，乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲，乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．

（1）求X 的分布列；

（2）若甲药，乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++

(1,2,,7)i =L ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．

（ⅰ）证明：1{}i i p p +-(1,2,,7)i =L 为等比数列；

（ⅱ）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．

解析：

本题是排列组合（概率）与数列的交叉综合题。所处的位置告诉我们，这题可能很难。 2018年的试卷是排列组合（概率）与函数的交叉综合题，今年又有新变化。 这样的题，其实难度不大，但要战胜一种心理障碍。

文字多，是它的特点之一。所处位置显眼，是它的特点之二。

（1） 求分布列，常规题型，常规方法。

（2） 易于得出递推公式。得出递推公式后，含有数列的3个梯次p i －1,p i ,p i+1，这一点很

容易把人弄晕。

解：

（1） X 的取值分别为－1,0,1三种情况。

P(X=－1) =（1－α）β

P(X=0)=αβ+（1－α）（1－β）

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理科数学试题 第18页（共22页） P(X=1)=α（1－β）

所以X 的分布列如下：

(2) 由（1）知，(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==

假设0.5α=，0.8β=，则a=0.4，b=0.5，c=0.1

∴ 由11i i i i p ap bp cp -+=++可得110.40.50.1i i i i p p p p -+=++

（i ） 由110.40.50.1i i i i p p p p -+=++得114()i i i i p p p p +--=-（i=1,2,…,7），

又p1－p0=p1≠0，

∴1{}i i p p +-(1,2,,7)i =L 为首项为p1公比为4的等比数列。

（ii ）88776100()()()p p p p p p p p K =-+-++-+ ∴8811-4p 14p =?-。又p8=1，∴ 18341

p =- ∴ 4433221100()()()()p p p p p p p p p p =-+-+-+-+ 即44114114257

p p -=?=- P4表示i=4时甲药更有效的概率。由计算结果可知，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为

1257，因此得出错误结论的概率非常小。这说明这种试验方案合理。

点评：

（1） 分布列，常规题。

（2） 数列递推式含有三个层次的数列通式，不常见。

（i ） 由于不常见，又处于压轴题位置，在心理作用下，可能不能证明题设结论。 （ii ） 应用（i ）的结论裂项相消得出p8的表达式，再根据p8的值，得出p1的值。

随后根据p1的值进一步推出p4的值。

总的来看，这道题的（2）难度较大，具有较好的区分度。

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理科数学试题 第19页（共22页）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做

的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221,141t x t t y t ?-=??+??=?+?

（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．

（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．

解析：

（1） C 的直角坐标方程，需要消去t 。如果知道万能置换公式，可以很方便的消去t 。

如果不知道万能公式，含t 的一次和二次式，同时消去，考验考生的灵活性。

（2） 把C 上的点化成三角参数形式，代入点到直线的距离公式即可。

解：

（1）

求曲线C 的直角坐标方程：

解法一： 用完全平方式解

2

2

222222221,121()()()121141t x y t t t x t t t y t ?-=?-?+?+=+=?++?=?+?

， ∵ 2

21111t t

--<≤+ ，∴ x ≠－1。 ∴ 曲线C 的直角坐标方程为 2

214

y x += （x ≠－1）。 解法二：从x 中解出t 2，然后把y 式子平方，再将t 2代入。

2221111t x x t t x

--=?=++ （1）

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理科数学试题 第20页（共22页） 2

2224416112t t y y t t t =?=+++ （2）

将（1）代入（2）化简得：

2

216(1)

4x y -=

∵ 2

21111t t --<≤+ ，∴ x ≠－1。

∴ 曲线C 的直角坐标方程为 2

214y x += （x ≠－1）。

解法三：用万能公式解，设t=tan θ，则

2

2

222

1,

cos 2112sin 2441t x x θ

y t x y θ

t y t ?-=?=?

?+??+=??=??=?+?

∵ 2

21111t t --<≤+ ，∴ x ≠－1。

∴ 曲线C 的直角坐标方程为 2

214y x += （x ≠－1）。 求直线l 的直角坐标方程：

直线l

的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=

由 cos ,sin ρθx ρθy ==代入上式，

则得直线l 的直角坐标方程

2110x +=

（2） 曲线C ：2

21(1)4y x x +=≠-的参数方程设为cos 2sin x θ

y θ=??=? （θ为参数，－π<θ<π

) 则 C 上的点到直线l 的距离

|4sin()11|

πθ++=当34,623ππ

θπθ+==时，则

∴ C 上的点到l

点评：

（1）本小题中t 的处理，需要有点经验，比往年的题目稍难。

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理科数学试题 第21页（共22页） （2）本小题需要把l 的直角坐标方程化成三角坐标方程，便于计算。

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：

（1）222111a b c a b c ++++≤； （2）333()()()24a b b c c a ≥+++++．

解析：

（1）将abc=1代入，可知要证

222111a b c a b c ++++≤，只需证 222bc ac ab a b c ≤++++，后者是显然成立的。

（2）这道题根据 x 、y 、z 是正数时，恒有3333x y z xyz ++≥立马可证。但多数同学未必

知道。这时，我们可以根据均值不等式，即算术平均值≥几何平均值，同时结合基本不等式：x 、y 是实数，必有222x y xy +≥，来证明。

解：

（1）

解法一：分析法

因为1abc =，所以要证222111a b c a b c

++++≤，只需证222bc ac ab a b c ≤++++。 因为a 、b 、c 是正数，所以2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥，

所以2222()2()a b c ab bc ca ++≥++，即222bc ac ab a b c ≤++++成立，当且仅当a=b=c

时取等。

故原命题得证。

解法二：综合法

把分析法的过程倒过来写。

∵2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥，

∴222a b c ab bc ca ++≥++

∵abc=1 ∴222111a b c c a b

++≥++，即原命题得证。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7yal.html