高中数学圆锥曲线方程试卷2（考点详解版）

高中数学组卷圆锥曲线方程2

一．解答题（共30小题） 1．已知椭圆C：

+

=1，（a＞b＞0）的离心率为

，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，

过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4

（1）求椭圆C的标准方程

（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤

≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．

2．如图，在平面直角坐标系中，己知椭圆=1和圆x+y=4，过椭圆左顶点A的两条

22

直线分别交椭圆与圆于点B，E和点C，F，若AC⊥AF，直线BE和CF在x轴上的截距分

别为s，t，求证：s+t为定值．3．设椭圆

2

+y=1的右顶点为A，过椭圆长轴所在直线上的一个定点M（m，0）（不同于

A）任作一条直线与椭圆相交于P、Q两点，直线AP、AQ的斜率分别记为k1，、k2． （1）当PQ⊥x轴时，求（2）求证：k1?k2等于定值．

；

第1页（共55页）

4．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），且圆x+y=a被直线x﹣y﹣

222

=0

截得的弦长为2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知k≠0，动直线y=k（x﹣1）与椭圆C的两个交点分别为A，B，问：在x轴上是否存在定点M，使得理由．

5．已知椭圆C：

（a＞b＞0）过点（1，

），它的两个短轴端点与右焦点构成等边

为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明

三角形，点A在椭圆C上运动，点B在直线l：y=m（m＞0）上，且∠AOB=90°（其中O

为原点）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）若点O到直线AB的距离为定值，求m的值及|AB|的最小值． 6．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，离心率为

，过点F

的直线l交椭圆C于M、N两点，当l垂直于x轴时，△AMN的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线x=﹣2上存在点P，使得△PMN为等边三角形，求直线l的方程． 7．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭

圆于A、B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点M，求△ABM面积的取值范围． 8．已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的焦距为2

，其上下顶点分别为C1，C2，点A（1，

0），B（3，2），AC1⊥AC2． （1）求椭圆E的方程及离心率； （2）点P的坐标为（m，n）（m≠3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为

+

=1，直线l：y=x与椭圆E

相交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N，求证：直线MN的斜率为定值．

第2页（共55页）

10．已知过点（

，

）的椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角

三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若对椭圆C右焦点的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得（O为坐标原点），求四边形ODGE的面积． 11．（2005?福建）已知方向向量为v=（1，

）的直线l过点（0，﹣2

）和椭圆C：

+

=1=

（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（﹣2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足

?

=

．cot∠MON≠0

（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

12．（2005?黑龙江）P，Q，M，N四点都在椭圆

上，F为椭圆在y轴正半轴上的

焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值

和最大值．

22

13．（2005?湖北）设A、B是椭圆3x+y=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点． （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．

第3页（共55页）

14．（2004?天津）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若

，求直线PQ的方程．

=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和

15．（2004?贵州）双曲线

（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和曲线的离心率e的取值范围．

．求双

16．（2003?天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由． 17．（2002?北京）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点． （Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线； （Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．

18．（2000?天津）如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当范围．

所成的比为λ，

时，求双曲线离心率c的取值

19．（1999?广东）如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x=﹣1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

第4页（共55页）

20．如图，已知椭圆C：

+

=1，（a＞b＞0），点B是其下顶点，直线x+3y+6=0与椭圆

C交于A，B两点（点A在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：

?

为定值．

21．（2006?山东）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

22．（2006?北京）已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭

．

圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=

（1）求椭圆的方程；

22

（2）若直线l过圆x+y+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程． 23．（2006?重庆）已知一列椭圆

．n=1，2…．若椭圆Cn上有

一点Pn，使Pn到右准线ln的距离dn是{pnFn}与{PnGn}的等差中项，其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点． （I）试证：（II）取

（n≥1）；

，并用Sn表示△PnFnGn的面积，试证：S1＜S2且Sn＞Sn+1（n≥3）．

第5页（共55页）

24．（2006?四川）已知两定点

，

，满足条件

=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．如果且曲线E上存在点C，使

求m的值和△ABC的面积S．

25．（2006?安徽）如图，F为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线

C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．

26．（2006?天津）如图，双曲线

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

、F2分别．

为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且（I）求双曲线的方程； （II）设A（m，0）和

（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的

直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心．

第6页（共55页）

27．（2006?北京）已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件动点P的轨迹为W． （Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求

的最小值．

）的椭圆的标准方

．记

28．（2005?上海）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（﹣2，﹣程．

（2）已知椭圆C的方程是

+

=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两

点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．

（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

29．（2005?湖南）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e．直

线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设（Ⅰ）证明：λ=1﹣e；

（Ⅱ）若λ=，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程； （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形． 30．（2005?辽宁）已知椭圆0），Q是椭圆外的动点，满足|上，并且满足

2

=λ．

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q|≠0．

第7页（共55页）

?=0，|

（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明||=a+x；

（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

2

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b．若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．

第8页（共55页）

高中数学组卷圆锥曲线方程2

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题） 1．已知椭圆C：

+

=1，（a＞b＞0）的离心率为

，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，

过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4

（1）求椭圆C的标准方程

（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤

≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．

2

2

2

【分析】（1）由题意可得：，4a=4，a=b+c，解出即可得出．

=

，

1．﹣x1=λx2．由

（2）F2（0，﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2）.于四边形PAQB是平行四边形，可得

=

=（x1+x2，y1+y2+4）．

2

2

设直线AB的方程为：y=kx﹣1，与椭圆方程联立化为：（k+2）x﹣2kx﹣1=0，利用根与系数的关系可得：k=

2

，可得：k∈

2

．由于

==

=

，再利用导数研究函数的单调性即可得出．

，4a=4

，令k=t∈

2

，f（t）

【解答】解：（1）由题意可得：，a=b+c，解得a=

222

，b=c=1．

∴椭圆C的标准方程为：（2）F2（0，﹣1）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）.﹣x1=λx2．

∵四边形PAQB是平行四边形， =

=1．

=，1．

=（x1+x2，y1+y2+4）．

设直线AB的方程为：y=kx﹣1，

第9页（共55页）

联立，化为：（k+2）x﹣2kx﹣1=0，

22

∴x1+x2=，x1x2=，﹣x1=λx2．

可得：k=

2

=．

λ=1时，k=0．

时，k∈

综上可得：k∈

2

2

．

．

∴y1+y2=kx1﹣1+kx2﹣1=k（x1+x2）﹣2， ∴=

=

=

=令k=t∈

2

=，f（t）=

，

，

f′（t）==＜0，

∴函数f（t）在t∈∴

∈

上单调递减，∴f（t）∈．

．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量坐标运算性

质、平行四边形法则、利用导数研究函数的大小极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

第10页（共55页）

2．如图，在平面直角坐标系中，己知椭圆=1和圆x+y=4，过椭圆左顶点A的两条

22

直线分别交椭圆与圆于点B，E和点C，F，若AC⊥AF，直线BE和CF在x轴上的截距分

别为s，t，求证：s+t为定值．

【分析】设直线AB的方程为：y=k（x+2），由于AB⊥AE，可得直线AE的方程为：y=﹣（x+2）．分别与椭圆方程联立可得点B，E的坐标，可得直线BE的方程，即可解得．由于AC⊥AF，可得CF必然经过原点，可得t=0． 【解答】证明：设直线AB的方程为：y=k（x+2），∵AB⊥AE，∴直线AE的方程为：y=﹣（x+2）．

联立

，解得xB=，yB=

．

同理可得：xE=，yE=

．

∴直线BE的方程为：y+=，

令y=0，解得s=﹣．

∵AC⊥AF，∴CF必然经过原点，∴t=0． ∴s+t=﹣为定值．

【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 3．设椭圆

+y=1的右顶点为A，过椭圆长轴所在直线上的一个定点M（m，0）（不同于

2

A）任作一条直线与椭圆相交于P、Q两点，直线AP、AQ的斜率分别记为k1，、k2． （1）当PQ⊥x轴时，求

；

第11页（共55页）

（2）求证：k1?k2等于定值．

【分析】（1）解：当PQ⊥x轴时，﹣2＜m＜2，把x=m代入椭圆方程可得：

+y=1，解

2

得y．再利用数量积运算性质即可得出． （2）设直线PQ的方程为：ty=x﹣m，（﹣2≤m＜2）．P（x1，y1），Q（x2，y2）．与椭圆方程

222

联立可得：（t+4）y+2tmy+m﹣4=0，利用斜率计算公式及其根与系数的关系代入k1?k2=

，即可证明．

【解答】（1）解：当PQ⊥x轴时，﹣2＜m＜2，把x=m代入椭圆方程可得：+y=1，解

2

得y=±．

不妨设P，Q．A（2，0）．

则=?=（m﹣2）﹣

2

=．

（2）证明：设直线PQ的方程为：ty=x﹣m，（﹣2≤m＜2）．P（x1，y1），Q（x2，y2）． 联立

，化为：（t+4）y+2tmy+m﹣4=0，

2

2

2

y1+y2=﹣，y1y2=

．

第12页（共55页）

k1?k2=

==

=．

由于上式与斜率无关系，因此是定值．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

4．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），且圆x+y=a被直线x﹣y﹣

2

2

2

=0

截得的弦长为2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知k≠0，动直线y=k（x﹣1）与椭圆C的两个交点分别为A，B，问：在x轴上是否存在定点M，使得理由．

【分析】（1）椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），代入解得b=1．由于圆x+y=a

2

2

2

2

为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明

被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2，可得2=2，解得a．即可得出．

2

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0，利用根与系数的关系代入+y1y2=m+

2

2

2

2

=（x1﹣m）（x2﹣m）

，令1﹣4m=﹣4，即可得出．

【解答】解：（1）∵椭圆C：

2

2

2

+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），∴=1，解得b=1．

2

∵圆x+y=a被直线x﹣y﹣∴椭圆C的标准方程为

=0截得的弦长为2，∴2=1．

=2，解得a=2．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）． 联立

，化为：（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0，

2

2

2

2

∴x1+x2=

，x1x2=

．

第13页（共55页）

∴

2

=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2

2

2

2

=（k+1）x1x2﹣（m+k）（x1+x2）+m+k =

﹣

2

+m+k=m+

222

，

令1﹣4m=﹣4，即m=时，点M

．

=m﹣2=﹣为定值．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与

系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

5．已知椭圆C：

（a＞b＞0）过点（1，

），它的两个短轴端点与右焦点构成等边

三角形，点A在椭圆C上运动，点B在直线l：y=m（m＞0）上，且∠AOB=90°（其中O

为原点）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）若点O到直线AB的距离为定值，求m的值及|AB|的最小值． 【分析】（I）由题意可得：

=1，c=

b，与a=b+c联立，解出即可得出；

2

2

2

（II）取A（2，0），则B（0，m），m＞0，此时原点到直线AB的距离d=．取A（，

），同理可得：此时原点到直线AB的距离d=．利用=，m＞0，

解得m=．可得直线l的方程．设B（t，），A（2cosθ，sinθ）．θ=0时，可得|AB|=

x，可得：B

．θ≠0，

时，设直线AO的方程为：y=xtanθ，则OB的方程为：y=﹣（

，

）．利用两点之间的距离公式可得|AB|，利用三角函数求值、基本不

等式的性质即可得出． 【解答】解：（I）由题意可得：c=

．

．

．

=1，c=

b，与a=b+c联立，解得a=2，b=1，

2

2

2

∴椭圆C的方程为：

（II）取A（2，0），则B（0，m），m＞0，此时原点到直线AB的距离d=

第14页（共55页）

取A（，），直线OB的方程为：y=﹣2x，则B（，m），此时原点到直线

AB的距离d==．

∴d==，m＞0，解得m=．

∴直线l的方程为：y=设B（t，θ=0时，|AB|=θ≠0，（∴|AB|=

．

），A（2cosθ，sinθ），

=

．

x，可得：B

时，设直线AO的方程为：y=xtanθ，则OB的方程为：y=﹣

，

）．

=

=

，

2

令cosθ=t∈（0，1），则|AB|=≥=2，当且仅当t=时取等号．

∴|AB|的最小值为2．

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点到直线的距离公式、三角函数求值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

6．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，离心率为

，过点F

的直线l交椭圆C于M、N两点，当l垂直于x轴时，△AMN的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线x=﹣2上存在点P，使得△PMN为等边三角形，求直线l的方程． 【分析】（1）把x=﹣c代入椭圆方程可得：

2

，解得y，可得|MN|=

2

2

，

2

利用△AMN的面积联立解出即可得出．

=，化为：2b（a+c）=（2+a），与，a=b+c

第15页（共55页）

（2）设P（﹣2，t），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点Q（x0，y0），F（﹣1，0）．直线MN的斜率为0时，不满足题意．设直线MN的方程为：my=x+1，m=0时，MN⊥x轴，

22

可得△PMN不是等边三角形，舍去．m≠0时．与椭圆方程联立化为：（m+2）y﹣2my﹣1=0．利

23

用根与系数的关系及其中点坐标公式，及其PQ⊥MN，可得：t（m+2）=3m+2m．再利用|PQ|=

|MN|化简即可得出．

【解答】解：（1）把x=﹣c代入椭圆方程可得：，解得y=，

∴|MN|==（2+

，∴△AMN的面积a），与

2

2

2

==

．

×（a+c），化为：2b（a+c）

2

，a=b+c联立解得：c=b=1，

=1．

∴椭圆的标准方程为：

（2）设P（﹣2，t），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点Q（x0，y0），F（﹣1，0）． 直线MN的斜率为0时，不满足题意． 设直线MN的方程为：my=x+1， m=0时，MN⊥x轴， |MN|=m≠0时．

2

2

=，点F到直线x=﹣2的距离d=1，△PMN不是等边三角形，舍去．

联立，化为：（m+2）y﹣2my﹣1=0．

∴y1+y2=，y1y2=

．

∴y0=

=

，x0=my0﹣1=

．

∵PQ⊥MN，∴×=﹣1，化为：t（m+2）=3m+2m．

23

|PQ|==．

|MN|==．

第16页（共55页）

又|PQ|=|MN|，∴

2

=×

2

，

化为：（tm+1）（2+m）=

2

3

（1+m）

2

．

．

与t（m+2）=3m+2m联立可得：m=，解得m=

∴直线MN的方程为：±y+=0．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次的根与系数的关系、斜率计算公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

7．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭

圆于A、B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点M，求△ABM面积的取值范围． 【分析】（I）把x=﹣c代入椭圆的方程可得：解得y=最小值

=3．根据△ABF2的周长为8，可得4a=8．又

．当AB⊥x轴时，弦长|AB|取得

，联立解出即可得出．

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），A′（x1，﹣y1）．直线AB的方程为my=x+1，与椭圆方

22

程联立化为：（3m+4）y﹣6my﹣9=0，利用根与系数的关系可得：|AB|=

，直线A′B的方程为：y+y1=

=（x

﹣x1），令y=0，可得：xM=

=﹣4．M（﹣4，0）．利用点到直线的距离公式可

得：点M到直线AB的距离d，利用S△ABM=与最值、不等式的性质即可得出．

【解答】解：（I）把x=﹣c代入椭圆的方程可得：y=

2

及其利用导数研究函数的单调性极值

，解得y=．

当AB⊥x轴时，弦长|AB|取得最小值∵△ABF2的周长为8，∴4a=8． 又

，联立解得a=2，b=

=3．

，c=1．

∴椭圆的方程为：=1．

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），A′（x1，﹣y1）．

第17页（共55页）

直线AB的方程为my=x+1，

2

2

联立，化为：（3m+4）y﹣6my﹣9=0，

∴y1+y2=，y1y2=

．

|AB|==

直线A′B的方程为：y+y1==（x﹣x1），

令y=0，可得：xM=∴M（﹣4，0）． 点M到直线AB的距离d=

==﹣1=﹣4．

=．

∴S△ABM=

=×=18×=．（m＞

2

0）． 令

＞1，g（t）=3t+，g′（t）=3﹣

=

＞0，因此函数g（t）在（1，+∞）

上单调递增，∴g（t）＞4． ∴S△ABM∈

．

．

∴△ABM面积的取值范围是

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、

点到直线的距离公式、不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

8．已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的焦距为2

，其上下顶点分别为C1，C2，点A（1，

0），B（3，2），AC1⊥AC2． （1）求椭圆E的方程及离心率；

第18页（共55页）

（2）点P的坐标为（m，n）（m≠3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由AC1⊥AC2，可得

?

=1﹣b=0，又2c=2

2

，a=b+c，即可得出．

222

（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明：①当取M，N时，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列即可证明．

②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x1，y1），N（x2，y2）．与

22

椭圆方程联立化为：（t+3）y+2ty﹣2=0，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列、根与系数的关系化简即可证明．

【解答】解：（1）∵AC1⊥AC2，C1（0，b），C2（0，﹣b），A（1，0）， ∴∵2c=2

?

=1﹣b=0，∴b=1． ，解得c=

，∴a=b+c=3． =1． ．

2

2

2

2

2

∴椭圆E的方程为离心率e==

=

（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明： ①当取M

，N

时，kMB=

=，kBP=

+

，kNB=

，

∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，∴2×，化为：m=n+1．

②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x1，y1），N（x2，y2）． 联立

，化为：（t+3）y+2ty﹣2=0，

2

2

∴y1+y2=，y1y2=

．

kMB=，kBP=，kNB=

，

∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列， ∴2×

=

+

，

第19页（共55页）

由于

+

=

=

=2，

∴=1，化为：m=n+1．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为

+

=1，直线l：y=x与椭圆E

相交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N，求证：直线MN的斜率为定值．

【分析】联立，解得A（2，1），B（﹣2，﹣1）．①当CA，CB，DA，DB斜

率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；可得：k1?kCB=﹣，kCB=﹣的方程为y+1=﹣

；同理kDB=﹣

，于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC

（x+2）；联立解得：点N的坐标为

；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标．可

得kMN=

=﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，

第20页（共55页）

有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣

；即可得出．

【解答】证明：联立，解得，或，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；

①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），

显然k1≠k2；

从而k1?kCB=∴kCB=﹣同理kDB=﹣

； ，

?===﹣，

于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣

（x+2）；

由，解得，从而点N的坐标为

；

用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为

．

∴kMN=

==﹣1；

即直线MN的斜率为定值﹣1；

②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，

故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）； 仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣此时CA：x=2，DB：y+1=﹣

；

）；

（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣

第21页（共55页）

BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣

，﹣1），

从而kMN=﹣1也成立．

综上可得：kMN=﹣1为定值．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

10．已知过点（

，

）的椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角

三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若对椭圆C右焦点的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得（O为坐标原点），求四边形ODGE的面积． 【分析】（1）根据条件建立方程关系，求出a，b的值即可求椭圆C的方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据求出D、E的坐标，根据

=

求出G的坐标，代入椭圆

=

即可求出直线斜率和方程，利用点到直线的距离以及弦长公式即可求四边形ODGE的面积． 【解答】解：（1）∵∴b=c，即a=即

+

b，

2

+=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角三角形，

=1，即b=+y，

2

∵点（，）在椭圆C：+=1上，

∴b=

2

2

+y=

2

2

+（）=

2

，

则a=2b=2， 即椭圆C的方程为

+y=1；

2

（2）∵b=c=1，∴椭圆C右焦点F（1，0），

的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得设x=ky+1，D（x1，y1），E（x2，y2） 代入椭圆方程

2

2

=（O为坐标原点），

+y=1得

2

+y=1

2

即（k+2）y+2ky﹣1=0，

第22页（共55页）

则y1=，y2=

，

则x1=ky1+1=

，

x2=ky2+1=

，

则x1+x2=设G（x，y）， 则由

=

得

，y1+y2=

，

=+

=（x1+x2，y1+y2）=（

，），

G在椭圆上，代入椭圆得则（）+（

2

）=1，

2

即

在直线方程为x=原点到直线x﹣

，即y+1，

=1，即k+2=4，即k=2，得k=

22

（舍掉﹣）．

y﹣1=0的距离d==，

而DE=，则四边形ODGE的面积S=2××=．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量的坐标运算性质，根据条件，利用待定系数法求出直线方程是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度比较大．

第23页（共55页）

11．（2005?福建）已知方向向量为v=（1，）的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1

（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（﹣2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足

?

=

．cot∠MON≠0

（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

【分析】（I）解法一：直线l：y=

x﹣2

，过原点垂直l的直线方程为y=﹣

x，这两

个方程联立可知x=．再由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，可知

=3．由此可以求出椭圆C的方程．

解法二：直线l：y=x﹣3．设原点关于直线l对称点为（p，q），则

解得p=3．由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，知=3．由此

能够推出椭圆C的方程． （II）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）．当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入

+

=1，整理得（3k+1）x+12kx+12k﹣6=0，再由根与系数的关系和点到直线 的

2

2

2

2

距离求解． 【解答】解：（I）解法一：直线l：y=过原点垂直l的直线方程为y=﹣解①②得x=．

x﹣2，①

x，②

∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴

2

2

=2×=3．

∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a=6，b=2．故椭圆C的方程为+

=1③

第24页（共55页）

解法二：直线l：y=x﹣3．

设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p=3．

∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴

2

2

=3．

∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a=6，b=2．故椭圆C的方程为+

（II）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）．

当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入③，

2222

整理得（3k+1）x+12kx+12k﹣6=0， ∴x1+x2=﹣

，x1?x2=

，

=1③

|MN|===

，

点O到直线MN的距离d=．

∵∴|即4

?|?||k|

=cot∠MON，即||sin∠MON=4

=

|?||cos∠MON=

．∴|MN|?d=

，

≠0，

，∴S△OMN=

2

（3k+1）， ．

． x﹣

，或x=﹣2．

整理得k=，∴k=±

2

当直线m垂直x轴时，也满足S△OMN=故直线m的方程为y=经检验上述直线均满足所以所求直线方程为y=

x+?x+

，或y=﹣≠0．

，或y=﹣

x﹣，或x=﹣2．

第25页（共55页）

【点评】本题综合考查直线的椭圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要注意培养运算能力．

12．（2005?黑龙江）P，Q，M，N四点都在椭圆

上，F为椭圆在y轴正半轴上的

焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值

和最大值．

【分析】由题设条件可知MN⊥PQ．设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，MN的方程为y=1，PQ的方程为x=0，由题设条件能够推出四边形PMQN的面积为，|MN|?|PQ|=×

×2

=2．当

MN，PQ都不与坐标轴垂直时，根据题设条件能够推导出，

|PQ|=，所以S四边形

PMQN=

|MN|?|PQ|=，由此入

手结合题设条件能够导出（S四边形PMQN）max=2，（S四边形PMQN）min=【解答】解：∵

．即MN⊥PQ．

．

当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴． 不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴， ∵F（0，1）

∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0

第26页（共55页）

分别代入椭圆中得：|MN|=

×2

=2

，|PQ|=2．

S四边形PMQN=|MN|?|PQ|=×

当MN，PQ都不与坐标轴垂直时， 设MN的方程为y=kx+1（k≠0）， 代入椭圆∴x1+x2=∴

中得：（k+2）x+2kx﹣1=0， ，x1?x2=

2

2

同理可得：|PQ|=S四边形

PMQN=

，

|MN|?|PQ|==

（当且仅当

即k=±1时，取等号）．

又S四边形PMQN=，∴此时S四边形PMQN＜2．

综上可知：（S四边形PMQN）max=2，（S四边形PMQN）min=

．

第27页（共55页）

【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题昌要认真审题，仔细解答，避免错误．

13．（2005?湖北）设A、B是椭圆3x+y=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点． （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由． 【分析】（Ⅰ）解法一：设直线AB的方程为y=k（x﹣1）+3，代入3x+y=λ，整理得：（k+3）22

x﹣2k（k﹣3）x+（k﹣3）﹣λ=0，然后结合题设条件由根与经数的关系和根的判别式能够求出直线AB的方程．

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则有

?3 （x1﹣x2） （x1+x2）+（y1

2

2

2

2

2

﹣y2）=0．∴kAB=﹣．∵N（1，3）是AB的中点∴kAB=﹣1．由此能够求出

直线AB的方程．

2

（Ⅱ）解法一：由题意知直线CD的方程为x﹣y+2=0代入椭圆方程，整理得4x+4x+4﹣λ=0．由弦长公式可得|CD|=

2

?|x3﹣x4|=

．将直线AB的方程x+y

﹣4=0代入椭圆方程得4x﹣8x+16﹣λ=0．同理可得|AB|=x2|=

?|x1﹣

．由此可以推出存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上．

解法二：由题高设条件可知λ＞12，直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，代入椭圆方程，整理得22

4x+4x+4﹣λ=0．将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程整理得4x﹣8x+16﹣λ=0，由此通过计算知

?

=0，∴A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，∴A、B、

C、D四点共圆． 【解答】解：（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x﹣1）+3，

22222

代入3x+y=λ，整理得：（k+3）x﹣2k（k﹣3）x+（k﹣3）﹣λ=0① 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个不同的根，

22

∴△=4[λ（k+3）﹣3（k﹣3）]＞0，② 且x1+x2=

2

．由N（1，3）是线段AB的中点，得x1+x2=2，

∴k（k﹣3）=k+3解得k=﹣1，代入②得λ＞12， 即λ的取值范围是（12，+∞）．

于是直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0． 解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则有﹣y2）=0．

第28页（共55页）

?3 （x1﹣x2） （x1+x2）+（y1

依题意，x1≠x2，∴kAB=﹣

．

∵N（1，3）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=6，从而kAB=﹣1．

22

又由N（1，3）在椭圆内，∴λ＞3×1+3=12， ∴λ的取值范围是（12，+∞）． 直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0． （Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，

2

∴直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，即x﹣y+2=0代入椭圆方程，整理得4x+4x+4﹣λ=0．③ 又设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0）， 则x3，x4是方程③的两根， ∴x3+x4=﹣1，且x0=于是由弦长公式可得|CD|=

=﹣，y0=x0+2=，即M（

?|x3﹣x4|=

2

，）

．④

将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程得4x﹣8x+16﹣λ=0．⑤ 同理可得|AB|=∵当λ＞12时，

?|x1﹣x2|=

＞

．⑥ ，

∴|AB|＜|CD|．

假设存在λ＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心． 点M到直线AB的距离为d=

2

=

2

2

==+

．⑦

=

=

．

于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|=|MB|=d+故当λ＞12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|

|为半径的圆上．

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

2

A、B、C、D共圆?ACD为直角三角形，A为直角?|AN|=|CN|?|DN|， 即

=（|

|+d）（|

|﹣d）．⑧ ，

+

）（

﹣

）=

﹣

由⑥式知，⑧式左边=由④⑦知，⑧式右边=（=

．

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）

解法二：由（Ⅱ）解法一知λ＞12， ∵CD垂直平分AB，

2

∴直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，代入椭圆方程，整理得4x+4x+4﹣λ=0．③

第29页（共55页）

将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程整理得4x﹣8x+16﹣λ=0．⑤ 解③和⑤式可得x1，2=不妨设A（1+C（∴

=（=（计算可得

?

=0， ，

，，，3﹣

），D（，x3，4=

），

，）， ），

）．

，

2

∴A在以CD为直径的圆上．

又B为A关于CD的对称点， ∴A、B、C、D四点共圆．

【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．

14．（2004?天津）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若

，求直线PQ的方程．

，由已知解得

，c=2，所以椭圆

【分析】（1）设椭圆的方程为

的方程为，离心率．

（2）由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），由方程组

得（3k+1）x﹣18kx+27k﹣6=0．依题意△=12（2﹣3k）＞0，得（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根与系数的位置关系可知直线PQ的方程为或． 【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为

22222

．设P

由已知得解得，c=2

第30页（共55页）

所以椭圆的方程为，离心率

（2）解：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），由方程组

2

2

2

2

得（3k+1）x﹣18kx+27k﹣6=0 依题意△=12（2﹣3k）＞0，得设P（x1，y1），Q（x2，y2） 则

①

②

2

由直线PQ的方程得y1=k（x1﹣3），y2=k（x2﹣3）

22

于是y1y2=k（x1﹣3）（x2﹣3）=k[x1x2﹣3（x1+x2）+9]③ ∵

∴x1x2+y1y2=0④

2

由①②③④得5k=1，从而

所以直线PQ的方程为或

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．

15．（2004?贵州）双曲线

=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和

（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和曲线的离心率e的取值范围．

【分析】直线l的方程是bx+ay﹣ab=0．点（1，0）到直线l的距离

．求双

，点（﹣

1，0）到直线l的距离

4

2

，．由知

．所以4e﹣25e+25≤0．由此可知e的取值范围．

【解答】解：直线l的方程为

，即bx+ay﹣ab=0．

由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，

第31页（共55页）

同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．

由于是得由于e＞1＞0， 所以e的取值范围是

，即

4

2

．

．

，即4e﹣25e+25≤0．解不等式，得

．

【点评】本题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力．

16．（2003?天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当为圆不符合题意；当

时和当

时，P的轨迹为椭圆符合两定点．

时，方程

【解答】解：∵=（0，a），=（1，0）， ∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．

因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．

22

消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2ax．

整理得．①

因为a＞0，所以得： （i）当（ii）当

时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

时，方程①表示椭圆，焦点

为合乎题意的两个定点；

和

第32页（共55页）

（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点

为合乎题意的两个定点．

和

【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力． 17．（2002?北京）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点． （Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线； （Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．

【分析】（Ⅰ）根据题意，由A、O、B三点的坐标，可得△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标；分

与

两种情况讨论，易得证明；

（Ⅱ）由（Ⅰ）中（c≠0，b≠），得

，进而化简可得；结合

椭圆的方程，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0）， 可求得重心

，

外心，

垂心当当

．

时，G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；

时，设G，H所在直线的斜率为kGH，F，G所在直线的斜率为kFG．

第33页（共55页）

因为，

，

所以kGH=kFG，G，F，H，三点共线． 综上可得，G，F，H三点共线． （Ⅱ）解：若FH∥OB，由

，

得

配方得，即．

即．

所以，顶点C的轨迹是中心在上的椭圆，

但除去（0，0），（1，0），

，长半轴长为，短半轴长为，且短轴在x轴

，四点．

【点评】本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力；解题时，首先注意轨迹的求法及轨迹与轨迹方程的区别，其次要结合重心、垂心、外心的性质来解题．

18．（2000?天津）如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当范围．

所成的比为λ，

时，求双曲线离心率c的取值

第34页（共55页）

【分析】首先以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，记

，其中

为双曲线的半焦距，h是

梯形的高，用定比分点坐标公式可求得x0和y0的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．

【解答】解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称， 依题意，记其中

为双曲线的半焦距，h是梯形的高，

，

由定比分点坐标公式得

．

，

设双曲线的方程为，则离心率，

由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①

．②

由①式得，③

将③式代入②式，整理得故由题设解得

得，，

，

，

所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．

第35页（共55页）

【点评】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力． 19．（1999?广东）如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x=﹣1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

【分析】欲求点C的轨迹方程，设点C（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知点C到OA、OB距离相等得到一个关系式，化简即得点C的轨迹方程，最后对参数a进行讨论来判断轨迹是什么图形即可． 【解答】解：依题意，记B（﹣1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=﹣bx．

设点C（x，y），

则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等． 根据点到直线的距离公式得

．①

依题设，点C在直线AB上，故有由x﹣a≠0，得

．②

．

将②式代入①式得

2

2

2

，

整理得y[（1﹣a）x﹣2ax+（1+a）y]=0．

22

若y≠0，则（1﹣a）x﹣2ax+（1+a）y=0（0＜x＜a）； 若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式．

22

综上得点C的轨迹方程为（1﹣a）x﹣2ax+（1+a）y=0（0≤x＜a）

第36页（共55页）

因为a≠0，所以．

由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段；

【点评】本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．

20．如图，已知椭圆C：

+

=1，（a＞b＞0），点B是其下顶点，直线x+3y+6=0与椭圆

C交于A，B两点（点A在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：

?

为定值．

【分析】（I）设A（x1，y1），B（0，﹣b），线段AB的中点E（x0，x0），x0≠0．直线方程

2222222

与椭圆方程联立化为：（a+9b）x+12ax+36a﹣9ab=0，

利用根与系数的关系、中点坐标公式，及其x0+3x0+6=0，联立解出即可得出．

2

（II）由（I）可得：A（﹣3，﹣1），B（0，﹣2）．设P（m，n），代入椭圆方程化为m=12﹣3n．直线AP，BP的方程分别为：y=

2

（x+3）﹣1，y=x﹣2，分别与直线方程y=x

联立解得M，N．利用数量积运算性质即可得出． 【解答】（I）解：设A（x1，y1），B（0，﹣b），线段AB的中点E（x0，x0），x0≠0． 联立

，化为：（a+9b）x+12ax+36a﹣9ab=0，

2

2

2

2

2

22

第37页（共55页）

∴x1+0=

2

2

=2x0，=0，x0+3x0+6=0，

解得b=4，a=12， ∴椭圆C的方程为：

=1．

（II）证明：由（I）可得：A（﹣3，﹣1），B（0，﹣2）． 设P（m，n），可得

=1，化为m=12﹣3n．

（x+3）﹣1，y=

x﹣2， ，N

．

2

2

则直线AP，BP的方程分别为：y=分别与直线方程y=x联立解得M

∴?====

=3为定值．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、数量积运算性质，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题． 21．（2006?山东）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程． 【分析】（Ⅰ）先设出椭圆标准方程，根据题意可知b=c，根据准线方程求得c和a的关系，进而求得a，b和c，则椭圆方程可得．

（Ⅱ）设出直线l的方程和A，B的坐标，进而把直线方程与椭圆方程联立，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理求得x1+x2，x1x2的表达式，表示出|AB|，求得原点到直线的距离，进而表示出三角形的面积，两边平方根据一元二次方程，建立关于S的不等式，求得S的最大值，进而求得k，则直线方程可得． 【解答】解：设椭圆方程为

（Ⅰ）由已知得?，

∴所求椭圆方程为8x+16y=1．

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

第38页（共55页）

22

由，消去y得关于x的方程：（1+2k）x+8kx+6=0，

22

由直线l与椭圆相交于A、B两点， 22

∴△＞0?64k﹣24（1+2k）＞0 解得

又由韦达定理得

∴=

原点O到直线l的距离

∵．

对两边平方整理得：4Sk+4（S﹣4）k+S+24=0（*）

24222

∵S≠0，

整理得：又S＞0，∴

，

4

2

从而S△AOB的最大值为

此时代入方程（*）得4k﹣28k+49=0∴

所以，所求直线方程为：． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生分析问题和基本运算的能力．

第39页（共55页）

22．（2006?北京）已知椭圆+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭

．

圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=（1）求椭圆的方程；

2

2

（2）若直线l过圆x+y+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

【分析】解：（Ⅰ）由题意可知2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3，由此可求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x+2）

2222

+1，代入椭圆C的方程得（4+9k）x+（36k+18k）x+36k+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以

．解得

，由此可求出直线l的方程．

，

（Ⅱ）解法二：设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且

，

①，②

由①﹣②得．③因为A、B

关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得直线l的斜率为，由此可求出直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3． 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=

222

从而b=a﹣c=4， 所以椭圆C的方程为（Ⅱ）解法一：

设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．

22

已知圆的方程为（x+2）+（y﹣1）=5， 所以圆心M的坐标为（﹣2，1）． 从而可设直线l的方程为 y=k（x+2）+1， 代入椭圆C的方程得

2222

（4+9k）x+（36k+18k）x+36k+36k﹣27=0．

第40页（共55页）

，

，

=1．

因为A，B关于点M对称． 所以

．

解得，

，

所以直线l的方程为

即8x﹣9y+25=0．

（经检验，所求直线方程符合题意） （Ⅱ）解法二：

已知圆的方程为（x+2）+（y﹣1）=5， 所以圆心M的坐标为（﹣2，1）． 设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）． 由题意x1≠x2且

，①

，②

2

2

由①﹣②得

因为A、B关于点M对称， 所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2， 代入③得

=，

．③

即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），

即8x﹣9y+25=0．

（经检验，所求直线方程符合题意．）

【点评】本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题，避免错误．

23．（2006?重庆）已知一列椭圆

．n=1，2…．若椭圆Cn上有

一点Pn，使Pn到右准线ln的距离dn是{pnFn}与{PnGn}的等差中项，其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点． （I）试证：（II）取

（n≥1）；

，并用Sn表示△PnFnGn的面积，试证：S1＜S2且Sn＞Sn+1（n≥3）．

第41页（共55页）

【分析】（I）由题设及椭圆的几何性质有2dn={PnFn}+{PnGn}=2，故dn=4．设则右准线方程为出对任意

．由题设条件能推出

．即

，

．从而证

（II）设点P的坐标为（xn，yn），由题设条件能够推出{FnGn}=2Gn，△PnFnGn的面积为Sn=Gn{y4}，由此入手能够证出S1＜S2，且Sn＞Sn+1（n≥3）． 【解答】证明：（I）由题设及椭圆的几何性质有： 2dn={PnFn}+{PnGn}=2，故dn=1． 设

，则右准线方程为x=

．

．

因此，由题意dn应满足

即，解之得：．

即

．从而对任意．

（II）设点P的坐标为（xn，yn），则由dn=1及椭圆方程易知

=

．因{FnGn}=2Gn，

故△PnFnGn的面积为Sn=Gn{y4}， 从而

3

2

2

．

令f（c）=﹣2c+c+2c﹣1．由f′（c）=﹣6c+2c+2=0． 得两根而在

．从而易知函数f（c）在

内是减函数．

内是增函数．

第42页（共55页）

现在由题设取则又易知

，

是增数列． ．

故由前已证，知S1＜S2，且Sn＞Sn+1（n≥3）

【点评】本题综合考查椭圆、数列和不等式的知识，难度较大，解题时要综合考虑，恰当地选取公式．

24．（2006?四川）已知两定点

，

，满足条件

=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．如果且曲线E上存在点C，使

求m的值和△ABC的面积S．

【分析】先判断曲线E形状，求出曲线E的方程，直线AB方程代入，利用判别式及根与系数关系求出直线AB斜率范围，利用弦长公式求出斜率k的值，得到直线AB方程．设出点C的坐标，依据条件用m表示点C的坐标，再代入曲线E的方程求得m值，点C到直线AB的距离为高，计算三角形面积． 【解答】解：由双曲线的定义可知， 曲线E是以

且，易知b=1

22

故曲线E的方程为x﹣y=1（x＜0）

设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1﹣k）x+2kx﹣2=0

又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，

2

2

为焦点的双曲线的左支，

有

解得又∵=

第43页（共55页）

=

=

依题意得

整理后得28k﹣55k+25=0 ∴∴

或

但

4

2

故直线AB的方程为设C（xc，yc），由已知∴

，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mxc，myc）

，（m≠0）

又，

∴点C（，）

将点C的坐标代入曲线E的方程，得

得m=±4，但当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴m=4，C点的坐标为C到AB的距离为

∴△ABC的面积．

第44页（共55页）

【点评】本题主要考查双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力．

25．（2006?安徽）如图，F为双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线

C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．

【分析】（1）根据四边形OFPM是平行四边形，可知|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，根据双曲线定义可表示出|PM|，进而根据双曲线第二定义表示出离心率e，化简整理即可得到e和λ的关系式．

（2）当λ=1时，e=2，c=2a，b=3a，双曲线为

2

2

，根据四边形OFPM是菱形，

求的直线OP的斜率，进而可知直线AB的方程代入到双曲线方程，进而表示出|AB|求得a，则b可得，进而可求得双曲线方程． 【解答】解：（Ⅰ）∵四边形OFPM是平行四边形， ∴|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，则|PM|=|PH|+2×

，

又e=，e﹣λe﹣2=0．

2

（Ⅱ）当λ=1时，e=2，|PF|=|OF|． ∴c=2a，b=3a，双曲线为

2

2

=1且平行四边形OFPM是菱形，

第45页（共55页）

由图象，作PD⊥X轴于D，则直线OP的斜率为==，则直线AB的方程

为y=

2

（x﹣2a），代入到双曲线方程得：

2

4x+20ax﹣29a=0，又|AB|=12， 由|AB|=

，

得：12=解得a=1， 2

则b=3， 所以x﹣

2

，

=1为所求．

【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线性质的综合掌握．

26．（2006?天津）如图，双曲线

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

、F2分别．

为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且（I）求双曲线的方程； （II）设A（m，0）和

（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的

直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心．

第46页（共55页）

【分析】（I）设点M（x，y），根据题设条件联立方程求得M的坐标，根据

2

2

2

．求

得a，b和c的关系利用a+b=c求得c，b和a，答案可得 （II）设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则可表示出直线l的方程，直线与双曲线联立方程，可求得x1x2的表达式，求得x2的表达式，同理可求得x3的表达式，最后得出以x2=x3，判断出故直线DE垂直于x轴． 【解答】（I）解：根据题设条件，F1（﹣c，0），F2（c，0）．

设点M（x，y），则x、y满足

因，解得，

故

=

．

利用a2+b2=c2

，得

，于是

．

因此，所求双曲线方程为x2

﹣4y2

=1．

（II）解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则直线l的方程为

于是C（x1，y1）、D（x2，y2）两点坐标满足

将①代入②得（x12

﹣2x1m+m2

﹣4y12

）x2

+8my12

x﹣4y12

m2

﹣x12

+2mx1﹣m2

=0． 由已知，显然m2

﹣2x1m+1≠0．于是

．

因为x1≠0，得．

同理，C（x1，y1）、E（x3，y3）两点坐标满足

可解得．

所以x2=x3，故直线DE垂直于x轴．

第47页（共55页）

．

【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力．

27．（2006?北京）已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件动点P的轨迹为W． （Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求

的最小值．

．记

【分析】（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程． （Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，此时A（x0，B（x0，﹣

），

（2）），

=2，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，

代入双曲线方程中，得（1﹣k）x﹣2kbx﹣b﹣2=0．依题意可知方程有两个不

222

相等的正数根，由此入手能求出的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：

（x＞0）

（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0， 此时A（x0，B（x0，﹣

）， ），

=2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b， 代入双曲线方程

2

2

2

中，得：

（1﹣k）x﹣2kbx﹣b﹣2=01°

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

解得|k|＞1又

2

=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）

2

=（1+k）x1x2+kb（x1+x2）+b=

＞2

第48页（共55页）

综上可知的最小值为2．

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． 28．（2005?上海）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（﹣2，﹣）的椭圆的标准方程．

（2）已知椭圆C的方程是

+

=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两

点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．

（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

【分析】（1）先设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标可求得c，进而可得a和b的关系，把点（﹣2，﹣

）代入椭圆方程，求得b，进而根据a=

求得a，椭圆的方程可得．

（2）设直线l的方程为y=kx+m且椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），直线方程和椭圆方程联立进而可得x1+x2和y1+y2的表达式，进而可得AB中点M的坐标进而可判定AB

22

的中点M在过原点的直线bx+aky=0上．

（3）作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．

【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为

+

=1，a＞b＞0，

∴a=b+4，即椭圆的方程为∵点（﹣2，﹣∴

2

22

+=1．

）在椭圆上，

+=1．

2

解得b=4或b=﹣2（舍）． 由此得a=8，即椭圆的标准方程为

2

+=1．

（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m， 与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2）， y=kx+m，

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则有+

2

=1．

22

2

2

2

2

22

解得（b+ak）x+2akmx+am﹣ab=0．

2222

∵△＞0，∴m＜b+ak， 即﹣

＜m＜

．

则x1+x2=﹣，y1+y2=kx1+m+kx2+m=

，

∴AB中点M的坐标为（﹣，

2

2

）．

∴线段AB的中点M在过原点的直线bx+aky=0上．

（3）解：如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．

【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．综合考查了学生对椭圆性质和利用韦达定理来解决椭圆与直线问题的掌握．

29．（2005?湖南）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e．直

线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设（Ⅰ）证明：λ=1﹣e；

（Ⅱ）若λ=，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；

（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形． 【分析】（Ⅰ）先根据A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点表示出A、B的坐标，然后联立直线方程与椭圆方程可得到交点M的坐标，再根据

=λ

得（﹣c+，

）=λ

2

=λ．

（，a）根据对应坐标相等可得到，从而得到λ=1﹣e，等证．

2

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