高中数学必修2第四章知识点总结

高中数学必修２第四章知识点总结

4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2、点M(x20,y0)与圆(x?a)?(y?b)2?r2的关系的判断方法：

（1）(x0?a)2?(y0?b)2>r2，点在圆外 （2）(x20?a)?(y0?b)2=r2，点在圆上 （3）(x0?a)2?(y0?b)2

4.1.2 圆的一般方程

1、圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0

2、圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线l：ax?by?c?0，圆C：x2?y2?Dx?Ey?F?0，圆的半径为r，圆心(?D2,到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当d?r时，直线l与圆C相离；（2）当d?r时，直线l与圆C相切； （3）当d?r时，直线l与圆C相交；

4.2.2 圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2外切； （3）当|r1?r2|?l?r1?r2时，圆C1与圆C2相交；

（4）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2内含；

4.2.3 直线与圆的方程的应用

数学

?E2)

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

RMOPQM'y4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、

z轴上的坐标

2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点

x3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。

z4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式

P1P2P1P2?(x1?x2)?(y1?y2)?(z1?z2)

222N1xOM1MM2HN2yN同步检测

第四章 圆与方程

一、选择题，

1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5－7)，则圆C的半径为( )． A．5

B．5

C．25

D．10

2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )． A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4

B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )．

数学

A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9

B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19

4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )． A．0或2

B．2

C．2

D．无解

5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是( )． A．8

B．6

C．62

D．43

6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为( )． A．内切

B．相交

C．外切

D．相离

7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．

A．x＋y－1＝0

B．2x－y＋1＝0 D．x－y＋1＝0

C．x－2y＋1＝0

8．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有( )． A．4条

B．3条

C．2条

D．1条

9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述： 点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)； 点M关于yoz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)； 点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)； 点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)． 其中正确的叙述的个数是( )． A．3

B．2

C．1

D．0

10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )． A．243 二、填空题

11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ． 12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 ．

14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值 ． 15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为 ．

数学

B．221 C．9 D．86

16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是 ． 三、解答题

17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．

18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．

19．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．

数学

20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．

第四章 圆与方程

参考答案

一、选择题 1．B

(－3＋7)2＝5． 圆心C与点M的距离即为圆的半径，(2－5)2＋2．C

解析一：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A，C满足条件，再把A点坐标 (1，－1)代入圆方程．A不满足条件．

∴选C．

解析二：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a．由|CA|＝|CB|，得(a－1)2＋(b＋1)2＝(a＋1)2＋(b－1)2，解得a＝1，b＝1．

因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．

数学

3．B

解析：∵与x轴相切，∴r＝4．又圆心(－3，4)， ∴圆方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝16． 4．B

解析：∵x＋y＋m＝0与x2＋y2＝m相切， ∴(0，0)到直线距离等于m．

m2∴＝m，

∴m＝2． 5．A

解析：令y＝0， ∴(x－1)2＝16． ∴ x－1＝±4， ∴x1＝5，x2＝－3． ∴弦长＝|5－(－3)|＝8． 6．B

解析：由两个圆的方程C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4可求得圆心距d＝13∈(0，4)，r1＝r2＝2，且r 1－r 2＜d＜r 1＋r2故两圆相交，选B．

7．A

解析：对已知圆的方程x2＋y2－2x－5＝0，x2＋y2＋2x－4y－4＝0，经配方，得 (x－1)2＋y2＝6，(x＋1)2＋(y－2)2＝9．

圆心分别为 C1(1，0)，C2(－1，2)． 直线C1C2的方程为x＋y－1＝0． 8．C

解析：将两圆方程分别配方得(x－1)2＋y2＝1和x2＋(y＋2)2＝4，两圆圆心分别为O1(1，0)，O2(0，－2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝12＋22＝5，又1＝r2－r1＜5＜r1＋r2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C．

9．C

解：①②③错，④对．选C．

数学

10．D

解析：利用空间两点间的距离公式． 二、填空题 11．2．

解析：圆心到直线的距离d＝

3＋4＋85＝3，

∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2． 12．(x－1)2＋(y－1)2＝1．

解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1． 故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝1． 13．(x＋2)2＋(y－3)2＝4．

解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与y轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝4．

14．0或±25．

解析：当两圆相外切时，由|O1O2|＝r1＋r2知42＋a2＝6，即a＝±25． 当两圆相内切时，由|O1O2|＝r1－r2(r1＞r2)知

42＋a2＝4，即a＝0．

∴a的值为0或±25． 15．(x－3)2＋(y＋5)2＝32．

解析：圆的半径即为圆心到直线x－7y＋2＝0的距离； 16．x＋y－4＝0．

解析：圆x2＋y2－4x－5＝0的圆心为C(2，0)，P(3，1)为弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，即kAB·kCP＝－1，解得kAB＝－1，又直线AB过P(3，1)，则所求直线方程为x＋y－4＝0．

三、解答题 17．x2＋y2＝36．

解析：设直线与圆交于A，B两点，则∠AOB＝120°，设 r15所求圆方程为：x＋y＝r，则圆心到直线距离为?，所

252

2

2

y42-2-4A-5OrB5x以r＝6，所求圆方程为x＋y＝36．

数学

22

第17 题

(第17题)

18．x2＋y2－ax－by＝0．

解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0． ∵圆过(a，0)和(0，b)， ∴a2＋Da＝0，b2＋bE＝0． 又∵a≠0，b≠0， ∴D＝－a，E＝－b．

故所求圆方程为x2＋y2－ax－by＝0． 19．x2＋y2－2x－12＝0．

解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． ∵A，B两点在圆上，代入方程整理得： D－3E－F＝10 ① 4D＋2E＋F＝－20

②

设纵截距为b1，b2，横截距为a1，a2．在圆的方程中，令x＝0得y2＋Ey＋F＝0， ∴b1＋b2＝－E；令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴a1＋a2＝－D． 由已知有－D－E＝2．③

①②③联立方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12． 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．

20．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 根据题意：r＝

10?6＝2， 2圆心的横坐标a＝6＋2＝8，

所以圆的方程可化为：(x－8)2＋(y－b)2＝4．

又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b)2＝4，解得b＝5或b＝1， 所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4或(x－8)2＋(y－1)2＝4．

数学

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