轴对称图形与等腰三角形练习

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轴对称图形与等腰三角形练习

一、选择题

1．如图，△ABC与△A`B`C`关于直线l对称，且∠A=78°，∠C`=48°，则∠B的度数为（ ） A．48° B．54° C．74° D．78° 2．已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且AC?BC=2cm，则腰AC的长为（ ）

A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 3．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则△POP12是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．如图，将△ABC变换到△A′B′C′的位置，则你从图中观察y 发现下列说法正确的是（ ） A A′ A．△ABC与△A′B′C′是关于x轴对称的 B B′ B．△ABC与△A′B′C′是关于y轴对称的 C．△ABC与△A′B′C′是关于点O对称的 C C′ D．△ABC与△A′B′C′既关于x轴对称，又关于y轴对称 x O 5．有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如 图）．依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（ ） 1111 B． C． D． 241686．如图所示，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上；叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ） A．

7．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC = 5，AB的垂直平分线DE交AB于 点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 8．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

D A

E B C

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A． B． C． D．

9．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）

A． B． C． D． 10．下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） ．．

A． B． C． D．

11．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．等腰梯形 12．如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下 一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（ ） CBDA13．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A．7 B．9 C．12 D．9或12 14．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若?1?50°，A E D 则?AEF=（ ） A．110° B．115° C．120° D．130° 1 C B F 15．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ） C

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分

D．CD平分∠ACB

16．在下列几何图形中一定是轴对称图形的有（ ） 学科网学科网A学科网BD平行四边形 抛物线 圆 三角形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

学科网学科网17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则

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∠A等于（ ）

学科网A．30o B．40o C．45o D．36o

学科网18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 19．如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点，

DE?AB于E,且CD?2,DE?1,则BC的长为（ ）

43 C．23 D．43 A．2 B．3AE20．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C`=48°， 则∠B的度数为（ ） DA．48° B．54° C．74° D．78° 21．下列图形中，对称轴有且只有3条的是（ ） A．菱形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 C22．如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A?B?C?，则与点B?关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．?0，，?1? B．?11?1? D．?1，?1? ? C．?2，23．如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是( ) 图5By A． B． C. D. -5)关于x轴对称的点的坐标为（ ） 24．点p(3，A． (-3,-5) B． (5,3) C．(-3,5) D． (3,5) 25．如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点 ??B O（A） C x A 26．如图，在Rt△ABC中，?B?90 ，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知?BAE?10，则?C的度数为（ ） A．30 B．40 C．50 D．60 27．下列图形是轴对称图形是（ ）

A B

????C A

B D B E C

C

D

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28．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） ．．

A．

B．

C．

D．

29．在4?4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′， C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ） A．70° B．65° C．50° D．25° D′ E D 31．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线 A （直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形. B

将留下的纸片展开，得到的图形是（ ） C′ F C CDAB 32．如图，OP平分?AOB，PA?OA，PB?OB，垂足分别为A，B． A 下列结论中不一定成立的是（ ） P A．PA?PB B．PO平分?APB C．OA?OB D．AB垂直平分OP O B 33．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若 BC=6，则DF的长是（ ） A．2 B．3 C．

5 D．4 234．如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠ADC=30°，将△ADC沿AD折叠，使C点落在C’的位置，若BC=4，则BC′的长为（ ）

A．23 B．22 C．4 D．3

C'A

B D C

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?AB?AC，BD?BC，35．如图，若?A?40，则?ABD的度数是（ ） A．20

?B

? B．30 C．35

? D．40

?36．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，

在A点测得?BAD?30°，在C点测得?BCD?60°，又测得AC?50米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米． A．25 B．253 A

D

B C

A C D l C．1003 D．25?253 337．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP?1，D为AC上一点，若?APD?60°，则CD的长为（ ） A A．3 2 B．2 3 C．1 2 D．3 4B 60° P D C 38．请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化．

A．4个 B．3个 对称现象无处不在，其中可以看作是轴对称图形的有（ ） C．2个 D．1个 AB的垂直平分线DE交BC，BC?3，AC?4，39．如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°的延长线于点E，则CE的长为（ ） A A．3725 B． C． D．2 26640．跟我学剪五角星：如图4，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折， 得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC D B E C 剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图， ?正五角星的5个角都是36），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC的度数为（ ）

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A．126 B．108 C．90 D．72 41．在平面直角坐标系中，点A(2，5)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ） ?????2) A．(?5，B．(?2，?5) 5) C．(?2，?5) D．(2，42．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC = 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交A AC于点E，则△BEC的周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 43．如图，等腰△ABC中，底边BC?a，?A?36?，?ABC的平分线交AC 5?1，则DE?（ ） 2aaA．k2a B．k3a C．2 D．3 kkD E 于D，?BCD的平分线交BD于E，设k?B C A 44．如图，等腰梯形ABCD中，AD=5，AB=CD=7，BC=13，且CD之中 垂线L交BC于P点，连接PD。求四边形ABPD的周长为何？（ ） A．24 B．25 C．26 D．27 B A E D C D L 2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三 45．如图，点A的坐标是(2，角形，则点P的坐标不可能是（ ） A．(4，0) B．(1，0) C．(?22，0) D．(2，0) B 二、填空题 y 2 P A x 1 2 3 4 C 46．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边1 AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 。 -1 0 47．正方形有 条对称轴。 48．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D1、C1 的位置．若?EFB?65°，则?AED1等于_______度。

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A ?3)关于原点对称点P?的坐标是 。49．在平面直角坐标系中，点P(2， 50．如图，在△ABC中，∠A＝?．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得

∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； ……；∠A2008BC与B ∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009 ．则∠A2009＝ 。 51．请写出一个是轴对称图形的图形名称．答： ． 52．如图，某村有一块三角形的空地（即 △ABC），其中A点处靠近水源，现村长准 备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规 定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙 两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知乙农户有3人，请你把它分出来。（要求：尺规学科网E D1 A

C1

F D

C A1 A2

B

甲农户有1人，作图，保留作C D

图痕迹，不写作法，不要求证明）53．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数． 那么在下列四个函数①y?2x；②y??3x?1；③y?6；④y?x2?1中，偶函数是 （填出所有x偶函数的序号）． 54．如图AB//CD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30,则∠PFC=__________。 55．如图，点A关于y轴的对称点的坐标是 ． 56．将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则?ABC = 度． C 0A P 300 F A E B y D 0)，B(3，1)在△ABC 57．如图所示，已知：点A(0，0)，C(0，内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在y BC边上， 1 C 作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个3 -5 O x A1 A2 A3 B1 1 B2 B3 B 2 C x △B1A2B2，第3个△B2A3B3，?，则第n个等边三角形的边长等于 ． O (A) 58．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，

DE?AB于点E，DF?AC于点F．若BC?2，则 DE?DF?_____________．

59．如图所示，在梯形ABCD中， AD∥BC，?ABC?90°，AD?AB?6，BC?14，点M是 线段BC上一定点，且MC=8．动点P从C点出发沿

C?D?A?B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有 个．

34°

B

A

A

E B

D

F C

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60．如图，△ABC的周长为32，且AB?AC，AD?BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 ．

61．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图DA中

的等腰三角形是 .（写出一个即可） 62．如图，镜子中号码的实际号码是_______ ____ . E A B PMA CM B C D B 1D C P1的正三角形纸板，沿图63．如图，图①是一块边长为，周长记为 1①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更2小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1= . ? ① ② ③ ④ 64．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4cm，则其腰上的高为 cm. 65．请同学们写出两个具有轴对称性的汉字 ． 66．周长为13，边长为整数的等腰三角形共有______个． 67．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为______． 68．等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为______，底角的度数为______． 69．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为（?1 ，3），（?2，?4），（1，3），（2，?4），则线段AB与CD的位置关系是______． 70．在如图所示的4×4正方形网格中．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝______．

1）后，得图③，④，?，2

71．如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD＝158°，则?EDF等于______．

A F E

B

D

C

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72．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ． 73．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．己知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步．

74．一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3 cm，则腰长为 ． 75．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若 ∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A的大小是 ． 76．如图，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点， 将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A?处，且点A?在△ABC外部， 则阴影部分图形的周长为 cm． 77．如图，已知直角三角形ACB，AC?3，BC?4，过直角顶点C作 A E C A′ CA1?AB，垂足为A1，再过A1作AC11?BC，垂足为C1；过C1作 C1A2?AB，垂足为A2，再过A2作A2C2?BC，垂足为C2；??， B D A 这样一直做下去，得到了一组线段CA1，AC11，C1A2，??，则第10条线段A5C5? ． 三、解答题 A1 A5 A3 A4 A2 C B C5 C4 C3 C2 C1 78．如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD．

79．在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）．

C A B

（1）小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是 （填字母代号）；

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（2）请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，并画出草图（只须画出一种）； ．． 80．（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母:（直接在图１中画图） ．．①以已知线段AB（图1）为直径画半圆O；

②在半圆O上取不同于点A、B的一点C，连接AC、BC； ③过点O画OD∥BC交半圆O于点D． （2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明） ．．已知：?AOB（图2）． 求作：?AOB的平分线．

A 图1

A B O 图2 B ,BC?8．现将△ABC沿直线BC向右平移a个单位81．如图，已知?ABC的面积为16到△DEF的位置． （1）当a?4时，求△ABC所扫过的面积； （2）连结AE、AD，设AB?5，当?ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值．

D 82．漳浦县是“中国剪纸之乡”．漳浦剪纸以构图丰满匀称、细腻雅 A 致著称．下面两幅剪纸都是该县民间作品（注：中间网格部分未创 作完成）． 请从“吉祥如意”中选一字填在网格中，使整幅作品成为轴 B E F C ．．对称图形．

83．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一

点，求证：

（1）△ACE≌△BCD；（2）AD?DB?DE．

84．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形， AB、

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BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论． 85．（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形）

1)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L如图，已知直线L过点A(0，于点Q，交x轴于点M． （1）直接写出直线L的解析式； （2）设OP?t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0?t?2时，S的最大值； （3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C， 使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．

y

L L1 A Q

x O M P B

C 186．如图 ，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画2弧，两弧相交于点C、Q，连结CQ与AB相交于点D，连结AC，BC．那么： B A D （1）∠ADC ?________度； （2）当线段AB?4，?ACB?60°时，?ACD? ______度，△ABC 的面积等于_________（面积单位）． Q

87．如图，在△ABC中，AB?AC，?A?36°，线段 AB 的垂直平 A 分线交 AB于 D，交 AC 于 E，连接BE． 求证：∠CBE=36°； D E

C B

88．如图8，在正方形网格上有一个△ABC．

（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；

（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．

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89．已知△ABC中，∠C=90°，沿过B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合，如图所示．

（1）要使D恰为AB的中点，还应添加一个什么条件？（请写出一个你认为正确的添加条件） （2）将（1）中的添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D为AB中点的理由． C 解：（1）添加条件： ； （2）说明： E

90．如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD 的中点． B A D （1）求证：AF⊥CD； ． （2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）A

E B

D C F

91．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草．现将这块空地按下列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形；⑵四块图形形状相同；⑶四块图形面积相等．现已有两种不同的分法： （1）分别作两条对角线（图1） （2）过一条边的三等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）

图1 图2

请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法（只要求正确画图，不写画法）．

方法二 方法三 方法一

92．用围棋棋子可以在棋盘中摆出许多有趣的图案．如图13，在棋盘上建立平面直角坐标

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系，以直线y＝x为对称轴，我们可以摆出一个轴对称图案（其中A与A?是对称点），你看它像不像一条美丽的鱼．

（1）请你在图14中，也用10枚以上的棋子摆出一个以直线y＝x为对称轴的轴对称图案，并在所作的图形中找出两组对称点，分别标为B－B?，C－C?（注意棋子要摆在格点上）． （2）在给定的平面直角坐标系中，你标出的B－B′，C， C?的坐标分别是：B（______），

，C（______），C?（______）；根据以上对称点坐标的规律，写出点P(a，b)关B?（______）

于对称轴y＝x的对称点P?的坐标是（______）．

93．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD． （1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）； A（2）求证：BM=EM． 94．如图，在△ABC中，∠ACB=2?B． （1）根据要求作图： ① 作?ACB的平分线交AB于D； ② 过D点作DE⊥BC，垂足为E． （2）在（1）的基础上写出一对全等三角形和一对相 ．．．似比不为的相似三角形： ．．．．1．△ ≌△ ． 并加以证明！

B C BC第14题图EDA 95．图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在 30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30，∠E= 45，∠EDF=∠ACB=90，DE交AC于点G，GM⊥AB于M． （1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN． （2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．

E F

C C 45°

E F 45° H G oo o

G A 30° M D N B

A 30° M D N B

①

②

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96．如图：BD是矩形ABCD的对角线．

（1）请用尺规作图：作△BC?D与△BCD关于矩形ABCD的对角线BD所在的直线对称（要求：在原图中作图，不写作法，不证明，保留作图痕迹）．

（2）若矩形ABCD的边AB=5，BC=12，（1）中BC?交AD于点E，求线段BE的长． A D B C

97．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点OA，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD． （1）求证：AD＝CE； （2）填空：四边形ADCE的形状是 ．

98．在图98-1至图98-3中，点B是线段AC的中点，点D是 （1）如图98-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合， 求证：FM = MH，FM⊥MH； （2）将图98-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图98-2， 求证：△FMH是等腰直角三角形； （3）将图98-2中的CE缩短到图98-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

99．图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．

F A B C(M) D E F G(N) H MDOENB C线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M． 图98-1 G N H A B M C D E 图98-2 F

G N C

A B M

D E H

图98-3

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100．如图1，在四边形ABCD中，AB?CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则?BME??CNE（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE?HF，从而?1??2，再利用平行线性质，可证得?BME??CNE．） 问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB?CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论． 问题二：如图3，在△ABC中，AC?AB，D点在AC上，AB?CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若?EFC?60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明． M

N A G A F C D A O F E D H 1 F M 2 N B B B C D E E C

图2 图3 图1

101．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB；图（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB． (1)求S1 、S2 ,并比较它们的大小．

B(2)请你说明S2=PA+PB的值为最小．

(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，

建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X A旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形

图11（1） PX

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的周长最小.并求出这个最小值．

102．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB中点，连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．

103．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． A E D B C 104．已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M． (1)求证：AB=CD； (2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

C

105．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别 EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形． （1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还

B

PAEDMF- 17 -

是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时， △ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．

图1 图2 图3

AE?AF．106．如图，P是∠BAC内的一点，PE?AB，PF?AC，垂足分别为点E，F，

求证：（1）PE?PF； （2）点P在∠BAC的角平分线上．

107．如图在梯形ABCD中，AD//BC,AB＝AD＝DC,AC⊥AB,延长CB至F，使BF＝CD． （1）求∠ABC的度数． A （2）求证：△CAF为等腰三角形． D C F B 108．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm. （1）求∠CBD的度数； （2）求下底AB的长.

60° B A

109．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°.分别以BC、CD为边向外作△BCE和 △DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长AB交边EC于点H，点H在E、C两 点之间，连结AE、AF. （1）求证：△ABE≌△FDA. （2）当AE⊥AF时，求∠EBH的度数.

110．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转?角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度． （1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图②），求点D到AG的距离； （2）当??45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形． A D H G

D C B C 图①

E F

l

- 18 -

111．如图，AB?AC,AD?BC于点D，AD?AE，AB平分?DAE交DEE 写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． ．．

F

B 112．（1）观察与发现 A 于点F，请你郜D C 小明将三角形纸片ABC(AB?AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

A A

E F

B B D C D C

图① 图②

（2）实践与运用

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D?处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中??的大小．

E E E D A DA D A

D? ?

C C B C B B G F G F F C?

图③ 图④ 图⑤

- 19 -

113．如图，已知线段AB?2a?a?0?，M是AB的中点，直线l1?AB于点A，直线l2?AB于点M，点P是l1左侧一点，P到l1的距离为b?a?b?2a?． （1）作出点P关于l1的对称点P1上取一点1，并在PPP A B

l1 l2 M P2，使点P2、P1关于l2对称； AB有何位置关系和数量关系？请说明理（2）PP2与 由.

114．在△ABC中，AB?AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD?AE，?DAE??BAC，连接CE． ．．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果?BAC?90°，则?BCE? 度； （2）设?BAC??，?BCE??． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则?，?之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则?，?之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． A

A

E E

C B B C D D 图1 图2

A A

B C B C

备用图 备用图

115．已知：如图所示，直线MA∥NB，?MAB与?NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．

（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；

（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由； （3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成

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立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系． M N M N M N M N

E l C C C C D D E A A l A A B B B B

备用图 备用图 图2 图1

116．如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ A D Q

B C P 117．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） D A

G E C B F 图① D A G

E

F B 图②

C

- 21 -

D

A

F E

C B

图③

118．如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45方向上． （1）求出A，B两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

北

东 A D l C

B

119．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥ BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。 （1）求证：BE=AD； （2）求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

120．如图，A是?MON边OM上一点，AE∥ON． （1）在图中作?MON的角平分线OB，交AE于点B；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）在（1）中，过点A画OB的垂线，垂足为点D，交ON于点C，连接CB，将图形

M 补充完整，并证明四边形OABC是菱形．

E A

O N

?- 22 -

121．在3?3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF．

122．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF． （1）判断四边形AECD的形状（不证明）． （2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明． （3）若CD＝2，求四边形BCFE的面积．

123．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点CC′ 的对应点为C′，若?ADC′=20°，则?BDC的度数为多少度？ 20° D A

124．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，B C P 且点P在矩形上方，点Q在矩形内． 求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

125．（1）阅读理解： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，△ABC中，若AB=5，AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围。

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD,再连结BE（或将△ACD绕点D逆时针旋

A Q B

C D

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转180°得到△EBD），把AB、AC 、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。 （2）问题解决：

受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF。 ①求证：BE+CF＞EF ②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明。 （3）问题拓展： 如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连结EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明。

AFEBDEFBCAC

D

126．如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD?BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。 （1）求△ABC的面积S； （2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。

2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的127．如图，点A的坐标是(2，坐标可能是什么？

128．请同学们动手用圆规和直尺完成下面作图： （1）已知?AOB，求作?AOB的平分线OP； （2）已知线段CD，求作CD的垂直平分线EF． （不要求写作法，不要求证明，保留作图痕迹即可）

A

y 2 1 x -1 0 1 2 3 4 A O C

B

D

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129．作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论） 已知： A B

求作：

130．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC． D A B 图1 C 图2 E （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC?BE．

131．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且?BPF?60． A D P B

探究：如图，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF?说明理由．

132．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形. （1）当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；

F C B l l A P D C F 图3

E ?l A E E P D F C B 图2 1PE？请写出探究结果，并2

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（2）当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.

E

F

D

A

C B

133．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E． AB（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形． （2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长． EDC 图 5134．如图， E、F、G分别是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点. （1） 图中有多少个三角形？ （2） 指出图中一对全等三角形，并给出证明.

135．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上. （1）求证AE=BF； （2）若BC=2cm，求正方形DEFG的边长.

136．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标； （2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标； （3）观察△A1B1C和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴．

1 C

-3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 x

137．已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，且∠1=∠2，求证：OA平分∠BAC.

y A 2 B

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138．已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， （1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF 为等腰直角三角形．

（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，

其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

139．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝__________度， ∠XBC＋∠XCB＝__________度；

（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小，并证明你的结论。

140．如图，在Rt△ABC中，∠A=900，BD平分∠ABC交AC于D，S△BDC=4，BC=8，则AD为多少？

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ADB图（14） C

141．已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝

12 cm，CE＝5 cm．求□ABCD的周长和面积． E A D B C

轴对称图形与等腰三角形练习 一、选择题 1．如图，△ABC与△A`B`C`关于直线l对称，且∠A=78°，∠C`=48°，则∠B的度数为（ ） A．48° B．54° C．74° D．78° 2．已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且AC?BC=2cm，则腰AC的长为（ ） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 3．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则△POP12是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 y 4．如图，将△ABC变换到△A′B′C′的位置，则你从图中观察A 发现下列说法正确的是（ ） B A．△ABC与△A′B′C′是关于x轴对称的 B．△ABC与△A′B′C′是关于y轴对称的 C′ C．△ABC与△A′B′C′是关于点O对称的 O D．△ABC与△A′B′C′既关于x轴对称，又关于y轴对称 5．有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角 形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图）．依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（ ） A．

A′ B′ C x 1111 B． C． D． 241686．如图所示，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；

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然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上；叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）

7．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC = 5，AB的垂直平分线DE交AB于 点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 8．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D． D A E B C

9．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）

A． B． C． D．

10．下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） ．．

A． B． C． D．

11．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．等腰梯形

12．如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下

一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（ ）

ABCD- 29 -

13．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A．7 B．9 C．12 D．9或12 14．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若?1?50°，A E 则?AEF=（ ） A．110° B．115° C．120° D．130°

B 15．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 16．在下列几何图形中一定是轴对称图形的有（ ） 学科网学科网D

1 F

CC

A学科网BD平行四边形 抛物线 圆 三角形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个∠A等于（ ）学科网学科网17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则学科网A．30o B．40o C．45o D．36o 学科网18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 19．如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点， DE?AB于E,且CD?2,DE?1,则BC的长为（ ） 43 C．23 D．43 A．2 B．3AE20．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C`=48°， 则∠B的度数为（ ） DA．48° B．54° C．74° D．78° 21．下列图形中，对称轴有且只有3条的是（ ） A．菱形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 C22．如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A?B?C?，则与点B?关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．?0，，?1? B．?11?1? D．?1，?1? ? C．?2，23．如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是( )

图5By

A． B． C. D.

-5)关于x轴对称的点的坐标为（ ） 24．点p(3，B O（A） C

x

- 30 -

A． (-3,-5) B． (5,3) C．(-3,5) D． (3,5)

25．如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）

A A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点 26．如图，在Rt△ABC中，?B?90 ，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知?BAE?10，则?C的度数为（ ） A．30 B．40 C．50 D．60 27．下列图形是轴对称图形是（ ）

A B C

28．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） ．．

A． B． C． D． ??????A C B D B E C D 29．在4?4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′， C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ） A．70° B．65° C．50° D．25° D′ E D 31．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线 A （直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形. B

将留下的纸片展开，得到的图形是（ ）

C′ F C

ABCD

- 31 -

32．如图，OP平分?AOB，PA?OA，PB?OB，垂足分别为A，B． A 下列结论中不一定成立的是（ ）

P A．PA?PB B．PO平分?APB

O C．OA?OB D．AB垂直平分OP

B

33．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若

BC=6，则DF的长是（ ）

A．2 B．3 C．5 D．4 234．如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠ADC=30°，将△ADC沿AD折叠，使C点落在C’的位置，若BC=4，则BC′的长为（ ） A．23 B．22 C．4 D．3 ?35．如图，AB?AC，BD?BC，若?A?40，则?ABDAC'的度数是（ ） A．20 ? B．30 ? C．35 ? D．40 ?B B D C 36．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得?BAD?30°，在C点测得?BCD?60°，又测得AC?50米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米． A．25 B．253 A D B C A C D l C．1003 D．25?253 337．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP?1，D为AC上一点，若?APD?60°，则CD的长为（ ） A A．3 2 B．2 3 C．1 2 D．3 4B

60° P D C 38．请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化．

A．4个

对称现象无处不在，其中可以看作是轴对称图形的有（ ）

B．3个

C．2个

D．1个

- 32 -

AB的垂直平分线DE交BC，BC?3，AC?4，39．如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°的延长线于点E，则CE的长为（ ） A

A．

3725 B． C． D．2 26640．跟我学剪五角星：如图4，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折， 得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC

D B E C 剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图，

?正五角星的5个角都是36），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC的度数为（ ）

A．126 B．108 C．90 D．72 ????5)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ） 41．在平面直角坐标系中，点A(2，?2) A．(?5，B．(?2，?5) 5) C．(?2，?5) D．(2，42．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC = 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交A AC于点E，则△BEC的周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 43．如图，等腰△ABC中，底边BC?a，?A?36?，?ABC的平分线交AC 5?1，则DE?（ ） 2aaA．k2a B．k3a C．2 D．3 kkD E 于D，?BCD的平分线交BD于E，设k?B C A 44．如图，等腰梯形ABCD中，AD=5，AB=CD=7，BC=13，且CD之中 垂线L交BC于P点，连接PD。求四边形ABPD的周长为何？（ ） A．24 B．25 C．26 D．27

B A E D C D

L

2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三 45．如图，点A的坐标是(2，角形，则点P的坐标不可能是（ ）

A．(4，0) B．(1，0) C．(?22，0) D．(2，0) B

二、填空题

y 2 1 P A x C

-1 0 1 2 3 4 - 33 -

46．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 。 47．正方形有 条对称轴。

48．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D1、C1 的位置．若?EFB?65°，则?AED1等于_______度。

A ?3)关于原点对称点P?的坐标是 。49．在平面直角坐标系中，点P(2， 50．如图，在△ABC中，∠A＝?．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得 ∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； ……；∠A2008BC与B ∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009 ．则∠A2009＝ 。 51．请写出一个是轴对称图形的图形名称．答： ． 52．如图，某村有一块三角形的空地（即 △ABC），其中A点处靠近水源，现村长准 备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规 定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙 两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知乙农户有3人，请你把它分出来。（要求：尺规学科网E D1 A C1 F D C A1 A2

B 甲农户有1人，作图，保留作C D 图痕迹，不写作法，不要求证明）53．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数． 那么在下列四个函数①y?2x；②y??3x?1；③y?6；④y?x2?1中，偶函数是 （填出所有x偶函数的序号）． 54．如图AB//CD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30,则∠PFC=__________。 55．如图，点A关于y轴的对称点的坐标是 ． 56．将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则?ABC = 度． C 0A P 300 F A E B y D 0)，B(3，1)在△ABC 57．如图所示，已知：点A(0，0)，C(0，内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在y BC边上， 1 C 作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个3 -5 O x A1 A2 A3 B1 1 B2 B3 B 2 C x △B1A2B2，第3个△B2A3B3，?，则第n个等边三角形的边长等于 ． O (A) 58．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，

DE?AB于点E，DF?AC于点F．若BC?2，则

34°

B

A

- 34 -

DE?DF?_____________．

59．如图所示，在梯形ABCD中， AD∥BC，?ABC?90°，AD?AB?6，BC?14，点M是 线段BC上一定点，且MC=8．动点P从C点出发沿

C?D?A?B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有

个．

60．如图，△ABC的周长为32，且AB?AC，AD?BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 ． 61．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E ，M为BEE B AA

F D DPM A CC

的中点，连结DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中 的等腰三角形是 .（写出一个即可） 62．如图，镜子中号码的实际号码是_______ ____ . E A BM B C D B 1D C P1的正三角形纸板，沿图63．如图，图①是一块边长为，周长记为 1①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更2小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1= . ? ① ② ③ ④ 64．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4cm，则其腰上的高为 cm. 65．请同学们写出两个具有轴对称性的汉字 ． 66．周长为13，边长为整数的等腰三角形共有______个． 67．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为______． 68．等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为______，底角的度数为______．

69．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为（?1 ，3），（?2，?4），（1，3），（2，?4），则线段AB与CD的位置关系是______．

70．在如图所示的4×4正方形网格中．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝______．

1）后，得图③，④，?，2

- 35 -

71．如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD＝158°，则?EDF等于______．

A

F E

B C D

72．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ．

73．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．己知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步． 74．一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3 cm，则腰长为 ． 75．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若 ∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A的大小是 ． 76．如图，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点， 将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A?处，且点A?在△ABC外部， 则阴影部分图形的周长为 cm． 77．如图，已知直角三角形ACB，AC?3，BC?4，过直角顶点C作 A E C A′ CA1?AB，垂足为A1，再过A1作AC11?BC，垂足为C1；过C1作 C1A2?AB，垂足为A2，再过A2作A2C2?BC，垂足为C2；??， B D A 这样一直做下去，得到了一组线段CA1，AC11，C1A2，??，则第10条线段A5C5? ． 三、解答题 A1 A5 AA3 4 A2 C B C5 C4 C3 C2 78．如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD．

79．在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）．

C1

A

B

C

- 36 -

（1）小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是 （填字母代号）； （2）请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，并画出草图（只须画出一种）； ．． 80．（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母:（直接在图１中画图） ．．①以已知线段AB（图1）为直径画半圆O； ②在半圆O上取不同于点A、B的一点C，连接AC、BC； ③过点O画OD∥BC交半圆O于点D． （2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明） ．．已知：?AOB（图2）． 求作：?AOB的平分线．

A 图1

A B O 图2 B ,BC?8．现将△ABC沿直线BC向右平移a个单位81．如图，已知?ABC的面积为16到△DEF的位置． （1）当a?4时，求△ABC所扫过的面积； （2）连结AE、AD，设AB?5，当?ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值．

D 82．漳浦县是“中国剪纸之乡”．漳浦剪纸以构图丰满匀称、细腻雅 A 致著称．下面两幅剪纸都是该县民间作品（注：中间网格部分未创 作完成）． 请从“吉祥如意”中选一字填在网格中，使整幅作品成为轴 B E F C ．．对称图形．

83．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一

点，求证：

- 37 -

（1）△ACE≌△BCD；（2）AD?DB?DE．

84．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形， AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论． 85．（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形） 2221)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L如图，已知直线L过点A(0，于点Q，交x轴于点M． （1）直接写出直线L的解析式； （2）设OP?t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0?t?2时，S的最大值； （3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C， 使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．

y

L L1 A Q

x O M P B

C 186．如图 ，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画2弧，两弧相交于点C、Q，连结CQ与AB相交于点D，连结AC，BC．那么： A D （1）∠ADC ?________度； （2）当线段AB?4，?ACB?60°时，?ACD? ______度，△ABC 的面积等于_________（面积单位）． Q

87．如图，在△ABC中，AB?AC，?A?36°，线段 AB 的垂直平

A 分线交 AB于 D，交 AC

于 E，连接BE． 求证：∠CBE=36°； D E

B

B C

- 38 -

88．如图8，在正方形网格上有一个△ABC．

（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；

（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．

89．已知△ABC中，∠C=90°，沿过B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合，如图所示． （1）要使D恰为AB的中点，还应添加一个什么条件？（请写出一个你认为正确的添加条件） （2）将（1）中的添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D为AB中点的理由． C 解：（1）添加条件： ； （2）说明： E

90．如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD 的中点． B A D （1）求证：AF⊥CD； ． （2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）A

E B

D C F

91．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草．现将这块空地按下列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形；⑵四块图形形状相同；⑶四块图形面积相等．现已有两种不同的分法： （1）分别作两条对角线（图1）

（2）过一条边的三等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）

图1 图2

请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法（只要求正确画图，不写画法）．

方法一 方法二 方法三

- 39 -

92．用围棋棋子可以在棋盘中摆出许多有趣的图案．如图13，在棋盘上建立平面直角坐标系，以直线y＝x为对称轴，我们可以摆出一个轴对称图案（其中A与A?是对称点），你看它像不像一条美丽的鱼．

（1）请你在图14中，也用10枚以上的棋子摆出一个以直线y＝x为对称轴的轴对称图案，并在所作的图形中找出两组对称点，分别标为B－B?，C－C?（注意棋子要摆在格点上）． （2）在给定的平面直角坐标系中，你标出的B－B′，C， C?的坐标分别是：B（______），

，C（______），C?（______）；根据以上对称点坐标的规律，写出点P(a，b)关B?（______）于对称轴y＝x的对称点P?的坐标是（______）． 93．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD． （1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）； A（2）求证：BM=EM． 94．如图，在△ABC中，∠ACB=2?B． （1）根据要求作图： ① 作?ACB的平分线交AB于D； ② 过D点作DE⊥BC，垂足为E． （2）在（1）的基础上写出一对全等三角形和一对相 ．．．似比不为的相似三角形： ．．．．1．△ ≌△ ． 并加以证明！

B C BC第14题图EDA 95．图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在 30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30，∠E= 45，∠EDF=∠ACB=90，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．

（1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN． （2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．

F E

C E

o

o

o

45° G C F H 45° G - 40 -

96．如图：BD是矩形ABCD的对角线．

（1）请用尺规作图：作△BC?D与△BCD关于矩形ABCD的对角线BD所在的直线对称（要求：在原图中作图，不写作法，不证明，保留作图痕迹）． （2）若矩形ABCD的边AB=5，BC=12，（1）中BC?交AD于点E，求线段BE的长． A D B C

97．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点OA，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD． （1）求证：AD＝CE； （2）填空：四边形ADCE的形状是 ．

线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M． （1）如图98-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合， 求证：FM = MH，FM⊥MH； （2）将图98-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图98-2， 求证：△FMH是等腰直角三角形； （3）将图98-2中的CE缩短到图98-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

A B M C D E H F A B C(M) D E F MDOEN98．在图98-1至图98-3中，点B是线段AC的中点，点D是 B CG(N) H 图98-1 G N 图98-2 F

G N C

A

B M

D E H

图98-3

- 41 -

99．图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．

100．如图1，在四边形ABCD中，AB?CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则?BME??CNE（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE?HF，从而?1??2，再利用平行线性质，可证得?BME??CNE．） 问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB?CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论． 问题二：如图3，在△ABC中，AC?AB，D点在AC上，AB?CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若?EFC?60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明． M

N A G A F C D A O F E D H 1 F M N 2 B B D B C E E C

图2 图3 图1

101．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB；图（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB．

- 42 -

(1)求S1 、S2 ,并比较它们的大小． (2)请你说明S2=PA+PB的值为最小．

(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，

建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X 旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形 的周长最小.并求出这个最小值．

BA图11（1） PX

102．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB中点，连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．

103．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． A E D B C 104．已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，

PB分别与线段CF， AF相交于P，M． (1)求证：AB=CD； (2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

C

105．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别

P

AEDMF- 43 -

EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形． （1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还 是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时， △ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．

图1 图2 图3

AE?AF．106．如图，P是∠BAC内的一点，PE?AB，PF?AC，垂足分别为点E，F，

求证：（1）PE?PF； （2）点P在∠BAC的角平分线上．

107．如图在梯形ABCD中，AD//BC,AB＝AD＝DC,AC⊥AB,延长CB至F，使BF＝CD． （1）求∠ABC的度数． A （2）求证：△CAF为等腰三角形． D C F B 108．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm. （1）求∠CBD的度数； （2）求下底AB的长.

60° B A

109．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°.分别以BC、CD为边向外作△BCE和 △DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长AB交边EC于点H，点H在E、C两

点之间，连结AE、AF.

（1）求证：△ABE≌△FDA.

（2）当AE⊥AF时，求∠EBH的度数.

D C - 44 -

110．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转?角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度． （1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图②），求点D到AG的距离； （2）当??45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形． A D H G l

B C E F

图①

G A

D （H） B C 图② A G H M D C C A N E F l E F l

111．如图，AB?AC,AD?BC于点图③ F，请你D，AD?AE，AB平分?DAE交DE于点E 写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． ．．

F

B 112．（1）观察与发现 郜D C 小明将三角形纸片ABC(AB?AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

A A

E F

B B D C D C

图① 图②

（2）实践与运用

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D?处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中??的大小．

- 45 -

E

A

DA

D? E D A

E D

? F G 图⑤

C

B

F 图③

C B

C B F C?G 图④

113．如图，已知线段AB?2a?a?0?，M是AB的中点，直线l1?AB于点A，直线l2?AB于点M，点P是l1左侧一点，P到l1的距离为b?a?b?2a?． （1）作出点P关于l1的对称点P1上取一点1，并在PPP A l1 l2 M B

P2，使点P2、P1关于l2对称； AB有何位置关系和数量关系？请说明理（2）PP2与 由.

114．在△ABC中，AB?AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD?AE，?DAE??BAC，连接CE． ．．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果?BAC?90°，则?BCE? 度； （2）设?BAC??，?BCE??． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则?，?之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则?，?之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． A

A

E E

C B B C D D 图1 图2

A A

B C B C

备用图 备用图

115．已知：如图所示，直线MA∥NB，?MAB与?NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．

- 46 -

（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；

（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由； （3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系． M N M N M N M N

E l C C C C D D E A A l A A B B B B

备用图 备用图 图2 图1 116．如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ A D Q

B C P 117．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） D A

G E

B F 图①

C - 47 -

D A G

E F

C D B 图②

A

F E

C B

图③

118．如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45方向上． （1）求出A，B两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

北

东 A D l C

B

119．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥ BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。 （1）求证：BE=AD； （2）求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

120．如图，A是?MON边OM上一点，AE∥ON． （1）在图中作?MON的角平分线OB，交AE于点B；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）在（1）中，过点A画OB的垂线，垂足为点D，交ON于点C，连接CB，将图形

M 补充完整，并证明四边形OABC是菱形．

?A E O N - 48 -

121．在3?3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF．

122．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF． （1）判断四边形AECD的形状（不证明）． （2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明． （3）若CD＝2，求四边形BCFE的面积．

123．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点CC′ 的对应点为C′，若?ADC′=20°，则?BDC的度数为多少度？ 20° D A

124．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，B C P 且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

A D

Q

C B

125．（1）阅读理解： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

- 49 -

如图，△ABC中，若AB=5，AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围。

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD,再连结BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC 、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4. 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。 （2）问题解决： 受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF。 ①求证：BE+CF＞EF ②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明。 （3）问题拓展： 如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连结EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明。

AFEBDEFBCAC

D

126．如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD?BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。 （1）求△ABC的面积S； （2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。

2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的127．如图，点A的坐标是(2，坐标可能是什么？

y 2 1 x -1 0 1 2 3 4 A - 50 -

128．请同学们动手用圆规和直尺完成下面作图： （1）已知?AOB，求作?AOB的平分线OP； （2）已知线段CD，求作CD的垂直平分线EF． （不要求写作法，不要求证明，保留作图痕迹即可）

A

C D

O B

129．作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论） 已知： A B 求作：

130．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC． D A B 图1 C 图2 E （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC?BE．

131．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且?BPF?60． A D P B

F C B l l A P D C F 图3

E ?l A E E P D F C B 图2

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