常系数线性微分方程的解法

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常系数线性微分方程的解法

摘 要

本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法。由于在讨论常系数线性微分方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复值数函数问题，所以文章首先给予介绍。然后，本文又通过构造特征方程运用代数运算分情况给出常系数齐次线性微分方程的具体解法，并引出可以化为此方程形式的欧拉方程。有了前面讨论的结果，对于常系数非齐次线性微分方程可以采用常数变易法，这里没有具体介绍，而是介绍具有某些特殊形式的非齐次线性微分方程的解法，即比较系数法和拉普拉斯变换法。

关键词：复值函数与复指数函数，齐次线性微分方程，欧拉方程，非齐次线性微分方程，比较系数法，拉普拉斯变换法

The Methods of Solving Linear Differential Equation with Constant Coefficients

This paper describes the methods of solving linear differential equation with constant coefficients. First of all, the paper below will describe complex-valued function of the real variable and number of complex-valued function, because, in the discussion of Linear Differential Equation with Constant Coefficients, need to involve them. Secondly, this paper use constructing characteristic equation give homogeneous linear differential equation with constant coefficients specific solution, and leads of this equation in the form of Euler equations. Furthermore, based on results of discussion, we can use Constant variation to solve Constant coefficient non-homogeneous linear differential equation. However, this paper will not describe it. Instead, I will describe some special form of non-homogeneous Linear Differential Equation which is comparison coefficient method and Laplace transform method.

Keywords： Complex function of the complex exponential function，Homogeneous linear differential equation，Euler equations， Non-homogeneous linear differential equation， Coefficients Comparison,，Laplace transform method

目 录

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一 引 言 .............................................................................................................................................................. 1 二 复值函数与复值解 ...................................................................................................................................... 3 三 常系数齐次线性微分方程的解法 ................................................................................................................ 5 （一）常系数齐次线性微分方程 .................................................................................................................. 5 1.特征根是单根的情形 .............................................................................................................................. 6 2.特征根有重根的情形 .............................................................................................................................. 7 （二）例题解析 .............................................................................................................................................. 8 四 非齐次线性微分方程的解法 ........................................................................................................................ 9 （一）比较系数法 ........................................................................................................................................ 10 1.类型Ⅰ .................................................................................................................................................... 10 2.类型Ⅱ .................................................................................................................................................... 12 （二）拉普拉斯变换法 ................................................................................................................................ 12 五 总结 ..............................................................................................................................................................11 参考文献 ............................................................................................................................................................ 12

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一 引 言

常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的求解常系数线性微分方程。

二 复值函数与复值解

如果对于区间a t b中的每一个实数t,有复数z(t) (t) i (t)与它对应,其中 (t)和 (t)是在区间a t b上定义的实函数

,i是虚数单位,我们就说在区间a t b上给定了一个复值函数z(t).如果实函数 (t), (t)当t趋于t0时有极限,我们就称复值函数z(t)当t趋于t0时有极限,并且定义

limz(t) lim (t) lim (t).

t t0

t t0

t t0

t0),我们就称z(t)在t0连续.显然,z(t)在t0连续相当于 (t),如果limz(t) z(

t t0

(t)在t0连续.当z(t)在区间a t b上每点都连续时,就称z(t)在区间a t b上

连续.如果极限lim

t t0

z(t) z(t0)

存在,就称z(t)在t0有导数（可微）.且记此极限为

t t0

dz(t0)

或者z'(t0).显然z(t)在t0处有导数相当于 (t), (t)在t0处有导数,且 dt

dz(t0)d (t0)d (t0)

i. dtdtdt

如果z(t)在区间a t b上每点都有导数,就称z(t)在区间a t b上有导数.对于高阶导数可以类似地定义.

z1(t),z2(t)是定义在a t b上的可微函数,c是复值常数,容易验证下列等式成

立：

dz(t)dz(t)d

z1(t) z2(t) 1 2, dtdtdt

dz(t)d

cz1(t) c1, dtdt

dz(t)dz(t)d

z1(t) z2(t) 1 z2(t) z1(t)2. dtdtdt

在讨论常系数线性微分方程时,函数e将起着重要的作用,这里K是复值常数.我

Kt

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们现在给出它的定义,并且讨论它的简单性质.

设K i 是任一复数,这里 , 是实数,而t为变量,我们定义

eKt e( i )t e t(cos t isin t).

由上述定义立即推得

1i t

(e e i t), 21

sin t (ei t e i t).

2icos t

如果以 i 表示复数K i 的共轭复数.那么容易证明

e eKt.

此外,函数e还有下面重要性质： (1)e

(K1 K2)t

Kt

eK1t eK2t；

deKt

KeKt,其中t为实变量； (2)dtdnKtnKt(3)ne Ke.

dt

综上所述,可以得出一个简单的结论,就是实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似,而复指数函数具有与实指数函数完全类似的性质.这可以帮助我们记忆上面的结果.

首先写出后面将用到的两个线性微分方程

dnxdn 1x

n a1(t)n 1

dtdt

(1)

和

an 1(t)

dx

an(t)x f(t)dt

,

dnxdn 1x

n a1(t)n 1

dtdt

(2)

an 1(t)

dx

an(t)x 0dt

,

现在我们引进线性微分方程的复值解的定义.定义于区间a t b上的实变量复值函数x z(t)称为(1)的复值解,如果

dnz t dn 1z t dz t at at an t z t f t 1n 1nn 1

dtdtdt

对于a t b恒成立.

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定理1 如果方程(2)中所有系数ai(t)(i 1,2,

,n)都是实值函数,而

x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t)的实部 (t)、虚部 (t)和共轭复值函

数(t)也都是方程(2)的解.

定理 2 若方程

dnxdn 1xdx

at at an t x u t iv t 1n 1

dtdtndtn 1

有复值解x U(t) iV(t),这里ai(t)(i 1,2,这个解的实部U(t)和虚部V(t)分别是方程

,n)及u(t),v(t)都是实函数,那么

dnxdn 1xdx a(t) at an t x an t x u t 1n 1

dtdtndtn 1

和

dnxdn 1xdx

at at an t x v t 1n 1nn 1

dtdtdt

的解.

三 常系数齐次线性微分方程的解法

（一）常系数齐次线性微分方程

设齐次线性微分方程中所有系数都是常数,即方程有如下形状

dnxdn 1xdx

at at an t x 0, L x 1n 1nn 1

dtdtdt

(3)

其中a1,a2,

,an为常数.我们称(3)为n阶常系数齐次线性微分方程.正如前面所指出的,它

的求解问题可以归结为代数方程求根问题,现在就来具体讨论方程(3)的通解,只需求出它的基本解组.下面介绍求(3)的基本解组的欧拉待定指数函数法（又称为特征根法）.

回顾一阶常系数齐次线性微分方程

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dx

at 0, dt

我们知道它有形如x e at的解,且它的通解就是x ce at.这启示我们对于方程(3)也去试求指数函数形式的解

x e t, (4) 其中 是待定系数,可以是实的,也可以是复的.

注意到

Le

t

dne tdn 1e tde t tnn t t

a a ae a a ae F e1n 1n1n 1n

dtdtndtn 1

其中F( ) n a1 n 1 要条件是 是代数方程

F( ) n a1 n 1

an 1 an是 的n次多项式.易知, (4)为方程(3)的解的充

an 1 an 0 (5)

的根.因此,方程(5)将起着预示方程(3)的解的特性的作用,我们称它为方程(3)的特征方程,它的根就称为特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论.

1.特征根是单根的情形 设 1, 2,

, n特征方程(5)的n个彼此不相等的根,则相应地方程(3)有如下n个解：

t

t

e1,e2,

,e nt. (6)

我们指出这n个解在区间a t b上线性无关,从而组成方程的基本解组.事实上,这时

e t1

W t

e 2t

2

e nt

1e t

1 2e t

1

ne t

n

1n 1e t

2n 1e 2t

1

n 1

ne nt1

1

e

1 2 n t

1

2

n

1n 1 2n 1 nn 1

而最后一个行列式是著名的范德蒙德行列式,它等于

1 j i n

( i j).由于假设 i j（当

i j）,故此行列式不等于零,从而W(t) 0,于是解组(6)线性无关,这就是所要证明的.

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如果 i(i 1,2,的通解可表示为

,n)均为实数,则(6)是方程(3)的n个线性无关的实值解,而方程(3)

x c1e 1t c2e 2t

其中c1,c2,

cne nt,

cn为任意常数.

如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭地出现.设

1 i 是一特征根,则 2 i 也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程(3)

有两个复值解

e( i )t e t(cos t isin t), e( i )t e t(cos t isin t).

根据定理8,它们的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根

i ,我们可求得方程(3)的两个实值解

e tcos t , e tsin t.

2.特征根有重根的情形 设特征方程有k重根 1.则

F( 1) F'( 1) Fk 1( 1) 0,F(k)( 1) 0.

，t，t2， ，tk-1. 如果 1 0,易得(3)的k个线性无关解1

如果 1 0,我们作变量变换x ye1,可将(3)化为

t

dnydn 1ydy b b bny 0, L1 y 1n 1nn 1

dtdtdt

(7)

其中b1,b2,

,bn仍为常数,而相应的特征方程为

bn 1 bn 0. (8)

G( ) n b1 n 1

从而求得对应于特征方程(5)的k1重根 1,方程(3)有k1个解 e1,te1,te1,

t

t

2 t

,tk1 1e 1t. (9)

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同样,假设特征方程(5)的其他根 2, 3,当于kj 1）,而且k1 k2

, m的重数依次为k2,k3,（单根 j相ki 1,km；

km n, j i（当i j）则方程(3)对应地有解

e 2t,te 2t,t2e 2t,,tk2 1e 2t,

(10)

e mt,te mt,t2e mt,,tkm 1e mt.

我们可以证明(9)和(10)全体n个解构成方程(3)的基本解组.

对于特征方程有复重根的情况,譬如假设 i 是k重特征根,则 i 也是

k重特征根,仿情况(1)一样处理,我们将得到方程(3)的2k个实值解

e tcos t,te tcos t,t2e tcos t,e tsin t,te tsin t,t2e tsin t,

,tk 1e tcos t,,tk 1e tsin t.

（二）例题解析

d4xd2x

例1 求解方程4 22 x 0.

dtdt

2242

解 特征方程 2 1 0,或( 1) 0,即特征根 i是重根.因此,

方程有四个实值解cost,tcost,sint,tsint,故通解为

x (c1 c2t)cost (c3 c4t)sint,

其中c1,c2,c3,c4为任意常数. 形状为如下形式的方程

n 1

dnyydyn 1dx ax ax any 0 (11) 1n 1

dxdxndxn 1n

称为欧拉方程,这里a1,a2,线性微分方程

,an为常数.此方程可以通过变量变换化为常系数齐次

dnydn 1ydy

b b bny 0 (12) 1n 1

dtdtndtn 1

其中b1,b2,

,bn是常数,因而可用上述讨论的方法求出(12)的通解,再代回原来的

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变量（注意：t lnx）就可求得方程(11)的通解.

由上述推演过程我们知道方程(12)有形如y e t的解,从而方程(11)有形如

y x 的解,因此可以直接求欧拉方程的形如y xK的解.以y xK代入(11)并约去

因子x,就得到确定K的代数方程

K(K 1)(13)

可以证明这正是(12)的特征方程.因此,方程(13)的m重实根K K0,对应于方程(11)的m个解

K

(K n 1) a1K(K 1)

(K n 2)

an 0 ,

xK0,xK0lnx,xK0ln2x,,xK0lnm 1x,

而方程(13)的m重复根K i ,对应于方程(11)的2m个实值解

x cos( lnx),x lnxcos( lnx),xsin( lnx),xlnxsin( lnx),

2

,x lnm 1xcos( lnx),,xln

m 1

xsin( lnx).

d2ydy

x y 0. 例2 求解方程x

dx2dx

解 寻找方程的形式解y x,得到确定K的方程K(K 1) K 1 0,或

K

(K 1)2 0,K1 K2 1.因此,方程的通解为y (c1 c2lnx)x,其中c1,c2是任意常

数.

四 非齐次线性微分方程的解法

现在讨论常系数非齐次线性微分方程 (14)

的求解问题,这里a1,a2,

dnxdn 1x

L x n a1n 1

dtdt

an 1

dx

anx f(t) dt

,an是常数,而f(t)为连续函数.

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（一）比较系数法

1.类型Ⅰ

m 1

设f(t) (b0tm bt 1

bm 1t bm)e t,其中 及bi(i 0,1,

,m)为实常数,

那么方程(14)有形如

(15)

的特解,其中k为特征方程F( ) 0的根 的重数(单根相当于k 1；当 不是特征根时,取k 0),而B0,B1,

m 1

x (B0tm Bt 1

Bm 1t Bm)e t

,Bm是待定常数,可以通过比较系数法来确定.

bm.

m 1

(1) 如果 0,则此时f(t) b0tm bt 1

现在再分两种情形讨论.

(a) 在 0不是特征根的情形,即F(0) 0,因而an 0,这时取k 0,以

m 1x B0tm Bt 1

Bm代入方程(14),并比较t额的同次幂的系数,得到常数

B0,B1,,Bm必须满足的方程

B0a b0, B1an mB0an 1 b1, B2an m 1 B1an 1 m m 1 B0an 2 b2,

Ba B

m 1 an 1 2B m 2 an 2 m m n 1 B0an m bn. mn

(16)

注意到an 0,这些待定常数B0,B1,

,Bm可以从方程组(16)唯一地逐个确定出来.

F(k 1) 0,而F(k) 0,

'

(b) 在 0是k重特征根的情形,即F(0) F(0)

也就是an an 1 an k 1 0,an k 0.这时相应地,方程(14)将为

(17)

dnxdn 1x

a1n 1 dtndt

an k

dkx

f(t)dtk

.

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dkx

令k z,则方程(17)化为 dt

(18)

对方程(18)来说,由于an k 0, 0已不是它的特征根.因此,由1)知它有形如

m 1

z B0tm Bt 1

dn kxdn k 1x

a1n k 1 n k

dtdt

an kz f(t)

,

Bm的特解,因而方程(17)有特解x满足

Bm.

dkxmm 1

z Bt Bt 01kdt

这表明x是t的m k次多项式,其中t的幂次 k 1的项带有任意常数.但因我们只需要知道一个特解就够了.我们特别地取这些任意常数均为零,于是我们得到方程(17) (或方程(14))的一个特解

x tk( 0tm 1tm 1

这里 0, 1,

m),

, m是已确定了的常数.

t

(2) 如果 0,则此时作变量变换 x ye,将方程(14)化为

(19) 其中A1,A2,

dnydn 1y

A1n 1 ndtdt

An 1

dy

Any b0tm dt

bm,

,An是常数.而且特征方程(5)的根 对应于方程(19)的特征方程的零

根,并且重数也相同.因此,利用上面的结果就有如下结论：

在 不是特征方程(5)的根的情形,方程(14)有特解

m 1

x (B0tm Bt 1

Bm)e t；

在 是特征方程(5)的k重根的情形,方程(14)有特解

m 1x tk(B0tm Bt 1

Bm)e t.

d3xd2xdx

x e t(t 5)的通解. 例3 求3 32 3

dtdtdt

解 特征方程 3 3 1 ( 1) 0有三重根 1,2,3 1,对应齐次方程的通解为x (c1 c2t c3t2)e t,且方程有形状为x t(A Bt)e的特解,将它代入方程得

3

t

323

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(6A 24Bt)e t e t(t 5),

比较系数求得A ,B

56113

t(t 20)e t.故方程的通解为 .从而x

2424

x (c1 c2t c3t2)e t

13

t(t 20)e t, 24

其中c1,c2,c3为任意常数. 2.类型Ⅱ

设f(t) A(t)cos t B(t)sin t e,其中 , 为常数,而A(t),B(t)是带实系

t

数的t的多项式,其中一个的次数为m,而另一个的次数不超过m,那么我们有如下结论：方程(14)有形如 (20)

的特解,这里k为特征方程F( ) 0的根 i 的重数,而P(t),Q(t)均为待定的带实系数的次数不高于m的t的多项式,可以通过比较系数的方法来确定.

x tk P(t)cos t Q(t)sin t e t

d2xdx

4x cos2t的通解. 例4 求方程2 4

dtdt

解 特征方程 2 4 4 0有重根 1 2 2,因此,对应的齐次线性微分方程的通解为

x (c1 c2t)e 2t,其中c1,c2为任意常数.现求非其次线性微分方程的一个特解.因为

2i不是特征根,我们求形如x Acos2t Bsin2t的特解,将它代入原方程并化简得

到8Bcos2t 8Asin2t cos2t,

11

比较同类项系数得A 0,B ,从而x sin2t,因此原方程的通解为

88

1

x (c1 c2t)e 2t sin2t.

8

（二）拉普拉斯变换法

常系数线性微分方程(组)还可以应用拉普拉斯变换法进行求解,这往往比较简便. 由积分

F(s) e stf(t)dt

所定义的确定于复平面(Res )上的复变数s的函数F(s),称为函数f(t)的拉普拉斯变换,其中f(t)于t 0有定义,且满足不等式

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f(t) Me t,

这里M, 为某两个正常数.我们将称f(t)原函数,而F(s)称为像函数. 设给定微分方程

dnxdn 1x

a1n 1 ndtdt

anx f(t)

(14)

及初始条件

x(0) x0,x'(0) x0',

其中a1,a2,

,x(n 1)(0) x0(n 1),

,an是常数,而f(t)连续且满足原函数的条件.

(k)

注意,如果x(t)是方程(14)的任意解,则x(t)及其各阶导数x均是原函数.记

(t)(k 1,2,,n)

F(s) * f(t) e stf(t)dt,

X(s) * x(t) ex(t)dt.

st0

那么,按原函数微分性质有

'* x (t) sX(s) x0,

(n)nn 1n 2'* x(t) sX(s) sx0 sx0

x0(n 1),

于是,对方程(14)两端施行拉普拉斯变换,并利用线性性质就得到

snX(s) sn 1x0 sn 2x0'

即

sx0(n 2) x0(n 1)

x0(n 2)

n 1n 2n 3' a1 sX(s) sx sx0 0

an 1 sX(s) x0 anX(s) F(s),(sn a1sn 1

s an)X(s)

an 1)x0

x0(n 1),

F(s) (sn 1 a1sn 2 (sn 2 a1sn 3

an 2)x0'

或A(s)X(s) F(s) B(s),

其中A(s),B(s)和F(s)都是已知多项式,由此

X(s)

F(s) B(s)

,

A(s)

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这就是方程(14)的满足所给初始条件的解x(t)的像函数.而x(t)可直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式计算求得.

例5 求解方程x'' 2x' x e t,x(1) x'(1) 0. 解 先令 t 1,将问题化为

x'' 2x' x e ( 1),x(0) x'(0) 0,

再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到

s2X(s) 2sX(s) X(s)

因此

11 , s 1e

X(s)

11

. 3

(s 1)e

查拉普拉斯变换表可得

1

x( ) 2e 1,

2

从而

x(t)

1

(t 1)2e t, 2

这就是所要求的解.

五 总结

常微分线性方程的求解还有很多方法，以上是对它的解法的部分求解，还不全面，还需要我们从多个方面来了解常微分线性方程的求解方法。300年来分析是数学的首要分支，而微分方程是分析的心脏，是数学中与应用密切相关的基础学科。通过研究分析线性常微分方程的解法，更好的解析数学中产生的较深问题，并且为高等分析提供了大部分思想和理论的根源，对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。

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参考文献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7y54.html