3.2.2《指数运算的性质》(北师大版必修1)

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指数运算的性质

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正数的负分数指数幂 规定a m n

=

1 am n

(a > 0, m, n ∈ N + , 且n > 1)

0的正分数指数幂等于0, 的正分数指数幂等于0 的负分数指数幂无意义. 0的负分数指数幂无意义.扩充

整数指数幂

有理数指数幂

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例1 把下列各式中的b写成负分数指数幂的形式

(1)b 5 = 32;解

(2)b 4 = 35 ;

(3)b 2 n = π 3m (m, n ∈ N + ).1 5 5 4

(1)b = 32 (2)b = 3

;

(3)b = π

3m 2n

(m, n ∈ N + )

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例2 计算

(1)8解

1 3

;3

(2)27

2 3

1 (1)因为2 = 8, 所以8 = 1 = 2 8312

1 3

(2)因为27

= 9 , 所以9 = 27 , 273

2 3

2 3

1 = 2 = . 9 3 271

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有理数指数幂的运算整数指数幂的运算性质对于有理数幂也同样适用

其中, a > 0, b > 0,α , β是有理数.

(1)a a = a α β αβ (2)(a ) = a α α α (3)(ab ) = a bα β α +β

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例3 求值:

(1)625解

3 4

;3 4

(2)4= 5

3 24×

;3 4

(1)625

( )

16 (3) ; 81 53 = 125; =1 = 2 = 8 3

3 4

3 4 4

=5

(2)4

3 2

=2 3 4

( )

3 2 2

=2

3 2× 2

16 (3) 81

2 = 3

3 4× 4

2 = = 27 8 3

3

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1.分数指数幂的意义 分数指数幂的意义 m 正数的正分数指数幂的意义是： 正分数指数幂的意义是 正数的正分数指数幂的意义是：a n = n a m (a > 0, m , n ∈ N , n > 1) + 正数的负分数指数幂的意义是： 正数的负分数指数幂的意义是： 的负分数指数幂的意义是 m n

a

=

1 am n

=

1n

am

(a > 0, m , n ∈ N + , n > 1)

注意：分数指数幂与根式可以互化. 注意：分数指数幂与根式可以互化 零的正分数指数幂等于0; 零的负分数指数幂没有意义 的正分数指数幂等于 ； 零的负分数指数幂没有意义! ①

( a)n

n

=a

(n>1,n∈N+), ∈

n

②

a (n为奇数) 为奇数) 为奇数 (n>1,n∈N+). ∈ a = 为偶数) 为偶数 a (n为偶数 n

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二、无理数指数幂的意义 一般地，无理数指数幂a 是无理数) 一般地，无理数指数幂 α(a>0, α是无理数)是一个确定的实数 是无理数 是一个确定的实数. 注意! 底数a>0; 注意 1.底数 底数 2.由于无理数指数幂 α(a>0, α是无理数)是一个确定的 由于无理数指数幂a 是无理数) 由于无理数指数幂 是无理数 实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算， 实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有 理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂. 理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂 即 无理数指数幂的运算性质： 无理数指数幂的运算性质： 1) 都是无理数) (1)aras=ar+s (a>0, r, s 都是无理数) (2)(ar)s=ars (a>0, r, s 都是无理数 ) ) (3)(ab)r=arbr(a>0, b>

0, r 是无理数 ) ) 三、实数指数幂的运算性质 均有下面的运算性质： 对任意的实数 r, s, 均有下面的运算性质： (1)ar·as=ar+s (a>0, r, s ∈R) ) ) (2)(ar)s=ars (a>0, r, s ∈R) ) ) (3)(a·b)r=arbr(a>0, b>0, r ∈R ) )

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化简( 例4.化简(式中字母均为正数): 化简 式中字母均为正数):

(1) 3 x 2 (2 x 2 yz );

(2) ( x y ) a (4 y a ).α

1 a

点评：注意运算性质的应用 点评：注意运算性质的应用.例5.已知 α=3,10β=4,求10α+β, 10α-β,10-2α, 已知10 , 已知 ， 10 5 .

运用整体思想和运算性质是解决本题的关键， 运用整体思想和运算性质是解决本题的关键，要深 点评： 点评： 刻理解这种方法. 刻理解这种方法

练习 .已知 100 = 50,10 = 2, 求2a + b的值？a b

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例6. 已知

a +a 1

1 2

1 2

求下列各式的值： = 3, 求下列各式的值：2 2

a (1) + a ;

a (2) + a ; (3)

a a a -a1 2

3 2

3 2

1 2

.

练习4.已知 求下列各式的值: 练习 已知 2x+2-x=5, 求下列各式的值 (1) 4x+4-x; (2) 8x+8-x.

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五、小

结

1.无理数指数幂的意义 无理数指数幂的意义 一般地，无理数指数幂a 是无理数) 一般地，无理数指数幂 α(a>0, α是无理数)是 是无理数 一个确定的实数. 一个确定的实数 2.实数指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质 均有下面的运算性质： 对任意的实数 r, s, 均有下面的运算性质： (1)ar·as=ar+s (a>0, r, s ∈R) ) ) (2)(ar)s=ars (a>0, r, s ∈R) ) ) (3)(a·b)r=arbr(a>0, b>0, r ∈R ) ) 3.逼近的思想，体会无限接近的含义. 逼近的思想，体会无限接近的含义 逼近的思想

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