02上海市浦东区2022-2022学年高三年级第一学期质量调研数学

1 上海市浦东区2017—2018学年高三第一学期期末测试卷

数学2018.1

考生注意:

1. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚, 并在规定的区域内贴上条形码.

2. 本试卷共有23道试题, 满分150分. 考试时间20分钟.

一. 填空题（本大题满分54分）本大题有14题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 每个空格填对得4分, 否则一律得零分.

1. 集合{1,2,3,4}A =, {1,3,5,7}B =, 则A B =I ________.

2. 不等式11x

<的解集为________. 3. 已知函数()21f x x =-的反函数是1()f x -, 则1(5)f -=________.

4. 已知向量(1,2)a =-r , (3,4)b =r , 则向量a r 在向量b r 的方向上的投影为________.

5. 已知i 是虚数单位, 复数z

满足(11z ?=, 则||z =________.

6. 在5(21)x +的二项展开式中, 3x 的系数是________.

7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品, 2个二等品, 现从中抽取4个产品, 其中恰好有1个二等品的概率为________.

8. 已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数, 且在[0,)+?上是增函数, 若(1)(4)f a f +?, 则实数a 的取值范围是________.

9. 已知等比数列11,,1,93

鬃?前n 项和为n S , 则使得2018n S >的n 的最小值为________. 10. 圆锥的底面半径为3, 其侧面展开图是一个圆心角为23

p 的扇形, 则此圆锥的表面积为________. 11. 已知函数()sin f x x w =（0w >）, 将()f x 的图像向左平移

2p w 个单位得到函数()g x 的图像, 令()()()h x f x g x =+, 如果存在实数m , 使得对任意的实数x , 都有()()(1)h m h x h m ＃+成立, 则w 的最小值为________.

12. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, M 、N 是双曲线22

124x y -=上的两个动点, 动点P 满足2OP OM ON =-uu u r uuu r uuu r , 直线OM 与直线ON 斜率之积为2, 已知平面内存在两定点1F 、2F , 使得

12||||||PF PF -为定值, 则该定值为________.

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑, 选对得5分, 否则一律得零分.

13. 若实数,x y R ?, 则命题甲“44x y xy ì?>?í?>??”是命题乙“22x y ì??í?>??

”的（）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要

14. 已知A BC D 中, 2

A p ?, 1A

B A

C ==, 点P 是AB 边上的动点, 点Q 是AC 边上的动点, 则

2 BQ CP ×u u u r u u u r 的最小值为（）

A. 4-

B. 2-

C. 1-

D. 0

15. 某食品的保鲜时间y （单位: 小时）与储存温度x （单位: ℃）满足函数关系kx b y e +=（ 2.718e =鬃?为自然对数的底数, k 、b 为常数）, 若该食品在0℃的保鲜时间是192小时, 在22℃的保鲜时间是48小时, 则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时

A. 22

B. 23

C. 24

D. 33

16. 关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x , 则222123x x x ++=（）

A. 1

B. 2

C. 22

p D. 22p 三. 解答题（本大题满分76分）本大题共5题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤

17. 如图, 在长方体1111ABCD A B C D -中, 2AB =, 1AD =, 11A A =.

（1）求异面直线1BC 与1CD 所成的角; （2）求三棱锥1B D AC -的体积.

18. 在ABC D 中, 角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c , 已知(2,1)m =r ,

(cos ,cos cos )c C a B b A n =+r , 且n m ^r r .

（1）求C ; （2）若227c b =,

且ABC S D =求b 的值.

19. 已知等差数列{}n a 的公差为2, 其前n 项和22n S pn n =+（*n N ?, p R ?）.

（1）求p 的值及{}n a 的通项公式;

（2）在等比数列{}n b 中, 21b a =, 324b a =+, 令(21)(2)

n n n

a n k c

b n k ì=-??=í?=??（*k N ?）, 求数列{}n

c 的前n 项和n T .

3 20. 已知椭圆2

222:1x y a b G +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F , 设点(0,)A b ,

在12AF F D 中, 12

23

F A F p ?,

周长为4+（1）求椭圆G 的方程; （2）设不经过点A 的直线l 与椭圆G 相交于B 、C 两点, 若直线AB 与AC 的斜率之和为1-, 求证: 直线l 过定点, 并求出该定点的坐标;

（3）记第（2）问所求的定点为E , 点P 为椭圆G 上的一个动点, 试根据AEP D 面积S 的不同取值范围, 讨论AEP D 存在的个数, 并说明理由.

21. 已知函数()f x 的定义域为D , 值域为()f D , 即(){|(),}f D y y f x x D ==?, 若()f D D í, 则称()f x 在D 上封闭.

（1）分别判断函数2017()2017log x

f x x =+, 2()1x

g x x =+在(0,1)上是否封闭, 说明理由; （2

）函数()f x k =+的定义域为[,]D a b =, 且存在反函数1()y f x -=, 若函数()f x 在D 上封闭, 且函数1()f x -在()f D 上也封闭, 求实数k 的取值范围;

（3）已知函数()f x 的定义域为D , 对任意,x y D ?, 若x y 1, 有()()f x f y 1恒成立, 则称()f x 在D 上是单射, 已知函数()f x 在D 上封闭且单射, 并且满足()x f D D , 其中1()(())

n n f x f f x +=（*n N ?）, 1()()f x f x =, 证明: 存在D 的真子集, n D 1n D - 鬃

? 3D 2D 1D D , 使得()f x 在所有i D （1,2,3,,i n =鬃?

）上封闭.

4

5 2018年浦东区高三一模数学参考答案

第一部分、填选

第二部分、简答题

17. （1）11//AD BC Q 1AD C \?是异面直线1BC 与1CD 所成的角或其补角. 2分 在等腰1ACD D 中

, 11AC AD ===

易得110CD A ?分

即: 异面直线1BC 与1CD

所成的角arccos 10分

（2）11B D AC D ABC V V --=……………………4分

1

1

1(12)1323

=创创=……………………3分

18. （1）由m n ^u r u r , ∴2cos cos cos 0c C a B b A ++=, ……………………2分

由正弦定理得: 2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=, ……2分 ∴()2sin cos sin 0C C A B ++=;

2sin cos sin 0C C C +=;

由sin 0C 1, ∴1

cos 2C =-, ……………………2分 ∴23C p

=; ……………………1分

（2）由2222cos c a b ab C =+-, ∴22272cos b a b ab C =+-, ∴2260a ab b +-=, ∴2a b =; ……………………4分

由ABC S D =

, 1sin 2ab C =

∴1

222b b 鬃……………2分

∴2b =. ……………………1分

19. （1）22n S pn n =+Q

*2

,22,2

n p a n N pn p n ì??\=?í?-+???

1 2 3 4 5 6 {}1,3 (,0)(1,)-??U 4 1- 1

2

80 7 8 9 10 11 12 1633 5,3轾

-臌 10 36p p

13 14 15 16

B B

C B

6 *22,n a pn p n N \=-+?……………………3分 122n n a a p +\-==

1p \=, 3(1)221n a n n =+-=+……………………3分

（2）∵21323,49b a b a ===+=, ∴3q =, 2212333n n n n b b q ---==?, ……………………2分 当*2,n k k N =?时, 1234212n k k T a b a b a b -=++++++L 1321242(+)()k k a a a b b b -=++++++L L 21(37+4-1)(3273)k k -=++++++L L

(341)3(19)3(91)(21)2198k k k k k k +---=+=++- (1)3(31)28

n n n +-=+……………………3分 当*21,n k k N =-?时, 1n +是偶数, 111(1)(2)3(31)T T 328n n n n n n n b +++++-=-=+- (1)(2)3328

n n n ++-=+ **(1)3(31);2,28(1)(2)33;21,28

n n n n n n k k N T n n n k k N ì?+-?+=????\=í?++-?+=-?????……………………3分 20. （1）由1223F A F p ?得: 13F A O p ?,

所以23a b ==………① 又12AF F D

周长为4+

所以224a c +=+………②

解①②方程组, 得21a b ì??í?=??

所以椭圆方程为2

214

x y +=………………………4分 （2）设直线l 方程: y kx m =+, 交点1122(,),(,)B x y C x y 22222(14)84(1)044y kx m k x kmx m x y ì=+???++-=í?+=??

………………………1分 21212224(1)8,1414m km x x x x k k -+=-

?++…………………………1分 121211

,A B A C y y k k x x --==………………………………………1分

依题: 1AB AC k k +=-即:

12121

11y y x x --+=-…………………………1分 1122,,y kx m y kx m =+=+Q

7 121212121

112(1)1kx m kx m x x k m x x x x +-+-++=-?-=-× 21m k ?--……………………………………………………………1分 21y kx m kx k \=+=--过定点(2,1)-…………………………………………1分

（3）:10AE l x y +-=

, (0,1),(2,1),A E AE -=分

设直线:l y x t =-+与椭圆2

214

x y +=相切,

22225210414

0y x t x tx t x y t ì=-+????+-=í?+=????D =??……………………1分

得两切线到:10AE l x y +-=

的距离分别为12d d ==(

)1112A EP d

S D ==+ (

)2

112A EP d S D ==-………………………1分

当1AEP S D >

+时, AEP D 个数为0个

当1AEP S D =+时, AEP D 个数为1个

11AEP S D -<<

+时, AEP D 个数为2个

当1AEP S D =时, AEP D 个数为3个

当01AEP S D <<时, AEP D 个数为4个……………………3分

21. （1）因为函数()f x 的定义域为(0,)+?, 值域为(,)-??, （取一个具体例子也可）, 所以()f x 在()0,1上不封闭. …………………………（结论和理由各1分）

1(1,2)t x =+?2(1)11()()2(0,)(0,1)2t g x h t t t t -===+-瓮

()g x 在()0,1上封闭……………………（结论和理由各1分）

（2）函数()f x 在D 上封闭, 则()f D D í. 函数1()f x -在()f D 上封闭, 则()D f D í, 得到: ()D f D =. …………………………………………（2分） (

)f x k =+在,D a b 轾=臌

单调递增. 则(),()f a a f b b ==(

)f x k x ?+=在)1,é-+??两不等实根. …………（1分） ()221g()2110x x x k x k x k 骒?锍-÷??÷?=-++-=í÷??3÷?桫??

,

8 故22(21)4(1)0g(1)0g()02122112

k k k k k k ì?????+-->????-????3í????>????+??>-???, 解得5,14k 纟?ú?-??úè?. …………（3分） 另解: (

)f x k x ?+=在)1,é-+??两不等实根.

令0)t t =? 21k t t +=-在)0,t é??

?有两个不等根, 画图, 由数形结合可知, 11,04k 纟?ú+???úè?

解得5,14k 纟?ú?-??úè?. （3）如果()f D D =, 则()n f D D =, 与题干()n f D D 1D矛盾. 因此()f D D 1D, 取1()D f D =, 则1D D 1D. …………………………（2分） 接下来证明11()f D D 1D, 因为()f x 是单射, 因此取一个1\p D D ?, 则p 是唯一的使得()()f x f p =的根, 换句话说1()()f p f D ?. ……………（2分） 考虑到1\p D D ?, 即{}1\

D D p í, 因为()f x 是单射, 则{}(){}{}111()\

()\()\()f D f D p f D f p D f p D 构?=? 这样就有了11()f D D 1D. ………………………………………………（3分）

接着令1()n n D f D +=, 并重复上述论证证明1n n D D +1D. …………（1分）

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