黑龙江省哈尔滨市第三中学2022届高三一模数学理

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黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三一模数学（理）

一、单选题 1．设集合，集合，则（ ）

A.

B.

C.

D.

2．下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（ ）

A.

B.

C.

D.

3．设是等差数列的前项和，若,

，那么等于（ ） A. 4 B. 5 C. 9 D. 18

4．已知()00cos15,sin15OA =， ()

00cos75,sin75OB =，则AB =（ ） A. 2 B.

3 C. 2 D. 1

5．过原点且倾斜角为3

π的直线被圆22

40x y y +-=所截得的弦长为（ ） A.

3 B. 2 C.

6 D. 23

6．设l ， m 是两条不同的直线， α， β是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出l ∥m 的是

A. l ∥α， m ⊥β， α⊥β

B. l ⊥α， m ⊥β， α∥β

C. l ∥α， m ∥β， α∥β

D. l ∥α， m ∥β， α⊥β 7．函数

（且

）的图像恒过定点，若点在直线

上，其中

，则

的最大值为

A.

B. C. D.

8．设是数列的前项和，若

,则（ ）

A.

B.

C.

D.

9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为

A. B. C. D.

10．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：

根据上表可得回归方程

中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生

人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（ ）

A. 111

B. 117

C. 118

D. 123

11．已知

为双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆

相切，且

，则双曲线的离心率为（ ）

A.

B. C. D.

12．设函数

，若

是函数

是极大值点，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

二、填空题

13．已知正方形边长为2，是的中点，则______.

14．若实数满足，则的最大值为_______.

15．直线与抛物线相交于不同两点，若是中点，则直线的斜率_______. 16．已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为_______.

三、解答题

17．已知函数.

（1）当时，求的值域；

（2）已知的内角的对边分别为，，，求的面积.

18．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；

课外体育不达标课外体育达标合计

男

女20110

合计

（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：，其中

0.0250.150.100.0050.0250.0100.0050.001

5.024 2.072

6.635

7.879 5.024 6.6357.87910.828

19．如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是的中点.

（1）当是中点时，求证：平面；

（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.

20．已知是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点.（1）若，求弦长；

（2）为坐标原点，，满足，求直线的方程.

21．已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标

系，曲线的方程为（为参数）.

（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；

（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.

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参考答案

1．C 【解析】∵集合

，集合 ∴

故选C.

2．B 【解析】对于，是偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是偶函数，在区间单调递减，故正确；对于，是非奇非偶函数，在区间

单调递增，故排除；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递减，故排除. 故选B.

3．B 【解析】等差数列中，所以，从而，，所以

，故选B. 4．D

【解析】∵()00cos15,sin15OA =， ()00cos75,sin75OB = ∴()()22cos75cos15sin75sin1522cos601AB OB OA =-=

?-?+?-?=-?= 故选D

5．D

【解析】2240x y x +-=，即()2224x y -+=。依题意可得，直线方程为3y x =，则圆心()2,0到直线3y x =的距离23

3123

d ==，所以直线被圆所截得的弦长为22424123d -=-=，故选D

6．B

【解析】由A ， C ， D 可推出l 与m 平行、相交或异面，由B 可推出l ∥m . 故选B

7．A

【解析】依题意有，代入直线得，所以，故选.

8．C

【解析】当时，，解得.

当时，，，则，即.

∴数列是首项为，公比为的等比数列

∴

故选C.

9．D

【解析】由三视图的俯视图可知，三棱锥的底面为等腰直角三角形，故体积为.故选.

10．B

【解析】因为，所以，所以回归直线方程为，当时代入，解得，故选B.

11．C

【解析】设与圆相切于点，则因为，所以为等腰三角形，设的中点为，由为的中点，所以，又因为在直角中，

，所以①

又②，③ 故由①②③得，，故本题选C

点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到，由双曲线定义有，列方程即可求离心率的值..

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12．A

【解析】，若因为是函数是极大值点，所以

即，所以

若时，因为，所以当时，，当时，所以是函数

是极大值点，符合题意；当时，若是函数是极大值点，则需，即，

综上，故选A.

13．2

【解析】根据题意.

故正确答案为.

14．5

【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部：

其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，此时.

故答案为.

点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通

过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

15．

【解析】设，

∵直线与抛物线相交于不同两点

∴，，则两式相减得

∵是中点

∴

∴

故答案为.

16．

【解析】由于，且为钝角，故，由正弦定理得

，故

.

17．(1) (2)

【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合，即可求得

的值域；（2）由求得的值，利用余弦定理求得的值，可得的面积.

试题解析：（1）由题意知，由.

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∵

∴

∴

∴

（2）∵

∴

∵

∴

∵，

∴由余弦定理可得

∴

∴

18．（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据所给数据，可得列联表；（2）根据关联表，代入公式计算，

与临界值比较即可得出结论.

试题解析：(1)

(2)

所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.

19．（1）见解析；（2）.

【解析】【试题分析】（1）取中点，连结，利用三角形中位线证得四边形为平行四边形，由此证得线面平行.（2）假设存在这样的点，以点为原点建立空间直角坐标

系，利用平面和平面的法向量，结合它们所成锐二面角的余弦值，可求得这个点的坐标.

【试题解析】

（1）取中点，连结，则∥且.

因为当为中点时，∥且，

所以∥且.

所以四边形为平行四边形，∥，

又因为，，

所以平面；

（2）假设存在满足条件的点，设.

以为原点，向量方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，平面的法向量，

平面的法向量，，

解得，所以存在满足条件的点，此时.

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20．(1) (2)

【解析】试题分析：（1）由题意可知过的直线斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得关于的一元二次方程，由及韦达定理可得的值，从而求出弦长；（2）由可得，即，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出的值，从而求出直线的方程.

试题解析：(1)由题意可知过的直线斜率存在，设直线的方程为

联立，得

∵

∴，则

∴

(2)∵

∴

∴，即

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