2010年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

2010年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答

一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分）

? 1．函数y =2sin(3x–)的图像向左平移φ (φ＞0)个单位，所得到的图像对应的函数为

2奇函数，则φ的最小值是

????（A）． （B）． （C）． （D）．

3468 答：C．

?理由：函数y =2sin(3x–)的图像向左平移φ (φ＞0)个单位，所得到的图像对应的函

2??数为y =2sin[3(x+φ)–]= y =2sin[3x+(3φ–)]，而已知这个函数是奇函数,其必要条件是在

22??0点的函数值为0，即3φ–=kπ，所以φ的最小值是．

262．P(a, b)是第一象限内的矩形ABCD中（含边界）的一个动点，A、B、C、D的坐

b标如图所示.则的最大值与最小值依次是 y A(m, p) D(n, p) aqqqppqpp（A），．（B），．（C），．（D），．

nnmnmmmnB(m, q) C(n, q) 答：B． x b理由：为直线OP的斜率，其最小值为OC的斜率，其最大值为OA的斜率，所以

abqp的最大值为，最小值为． anm????????????????3．P是△ABC所在平面上一点，满足PA?PB?PC?2AB．若S△ABC = 6，则△PAB的面积等于

（A）4． （B）3． （C）2． （D）1． 答：C．

???????????????? 理由：在△ABC所在平面上取一点O，∵ PA?PB?PC?2AB，

???????????????????????? ∴ OA?OB?OC?3OP?2OB?2OA，

????????????????????????∴ 3(OA?OP)?OB?OC，即3PA?CB．

1∴ S△PAB =S△ABC =2．

3f(?1)4．若二次函数f(x) = ax2+bx+c的对称轴为x =1且其图像过点(2, 0)，则的值是

f(1)（A）?3． （B）?2． （C）2． （D）3． 答：选A.

理由：因为二次函数f (x) = ax2+bx+c的对称轴为x =1且其图像过点(2, 0)，所以曲线过点(0, 0)，因此c=f(0)=0，于是f (x) = ax2+bx，得f (1) =a+b，f (?1) =a–b．

f(?1)a?b?bb??= ?3． 又图形对称轴为x =1，则=1，即= ?2．所以

2aaf(1)a?b2010年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答 第1页 共4页

5．在△ABC中，中线AD与中线BE垂直相交于G，则sinC的最大值是

2324（A）． （B）． （C）． （D）． A 5535答：B． 2x y E 2y 解：在△ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，GD=x，GE=y， x G B C D 所以 GA=2x，GB=2y．

分别在直角△AGB、直角△AGE和直角△BGD中应用勾股定理，得4x2+4y2=c2，

222222b22a2a?b4x+y=，x+4y=．三式相加得出c=．由余弦定理，得

445a2?b2?c25c2?c24c24c24c24cosC===≥==．又?C是锐角，所以

2ab2ab2aba2?b25c2534sinC=1?cos2C≤1?()2=．

551116．已知函数f(x)的定义域为(–∞,0)∪(0,+ ∞)，且满足f()?f(?x)= 4x，则 f (2)×f (–)

2xx的值等于

（A）31.5． （B）30.5． （C）?30.5．（D）?31.5． 答：D．

111 理由：把x= ?2，x=分别代入f()?f(?x)= 4x，得

2xx11?f(?)?f(2)??8??22 ?1?f(2)?2f(?)?2??21717 解之得f (2)=9，f (–)= –，故f (2)×f (–)=9×(–)= ?31.5．

2222

二、填空题（满分64分，每小题8分）

1．已知函数f (x)=x2?1的定义域为D，值域为{?1, 0, 1, 3}，试确定这样的集合D最多有多少个．

答：27．

??f(1)?0?f(2)?3?f(2)?1 解：∵ f (0)= ?1，?，?，?，

f(?1)?0f(?2)?3???f(?2)?1?∴ 0?D；?1，1至少一个属于D；?2，2至少一个属于D；?2，2至少一个属于D．于是，这样的D共有3×3×3=27个．

234567log2?log2?log2?log2?log2?log2345678的值． 2．求

log32?log43?log54?log65?log76?log87答：?6．

234567log2?log2?log2?log2?log2?log2345678 解：

log32?log43?log54?log65?log76?log872010年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答 第2页 共4页

?234567??2?log2???????log2???2?2345678?8?log22????? == ?6．

lg2lg3lg4lg5lg6lg7lg2lg21?????lg3lg4lg5lg6lg7lg8lg83lg23 3．在长方形ABCD中，E为AB上一点，AB=14，CE=13，DE=15．CF⊥DE于F，

连接AF，BF．求△ABF的面积． D C 答：36.96．

F 解：先求BE．设BE=x，则AE=14?x，在直角△ADE与直角△BCE

中应用勾股定理，得DE2?AE2=AD2=BC2=CE2?BE2，即得方程A B E 2222

15?(14?x)=13?x，所以 x =5．

再应用勾股定理，得AD=BC=132?x2=12．SABCD =12×14=168，所以S△CDE =84． 设DF=y，则EF=15?y，在直角△CDF与直角△CEF中应用勾股定理，得CD2?DF2=CF2=CE2?EF2，即得方程142?x2=132?(15?x)2，所以 x =8.4．

8.48.4 因此，S△CDF =84×=28= 47.04．

1551 又由于S△CDF +S△ABF =SABCD = 84，所以 S△ABF =84?S△CDF = 84?47.04 = 36.96．

2?2x?4(x??3)?4．在同一个直角坐标系中，如果直线y = kx与函数y???2(?3?x?3) 的图像恰

?2x?8(x?3)?有3个不同的交点．试确定k的取值范围．

2答：(,2)．

3?2x?4(x??3)?解：在坐标系中画出函数y???2(?3?x?3)的草

?2x?8(x?3)?图，即图中的粗黑折线．

直线l1：y=2x与该折线只有1个公共点，

2直线l2：y=x与该折线只有2个公共点，

3对于过原点的直线，当由l2逆时针旋转到l1时，即当且仅当斜率k满足

2＜k＜2时，3直线l3：y=kx与该折线恰有3个交点．

????????????? 5．P是△ABC内一点，且满足2PA?3PB?6PC?0，试确定△PAB，△PBC，△PCA的面积之比．

A1 答：6?2?3．

解：如图，分别在PA、PB、PC的延长线上取点A?????????????????????????A1，B1，C1，使PA?2PA,PB1?3PB,PC1?6PC，

P???????????1???BC则PA1?PB1?PC1?0． ∴P为△A1B1C1的重心，∴S?PA1B1?S?PB1C1?S?PC1A1．

∵S?PAB?S?PA1B12?3B1C1，S?PBC?S?PB1C13?6，S?PCA?S?PC1A16?2，∴ S△PAB ?S△PBC ?S△PCA = 6?2?3．

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6．如图，凸四边形ABCD中，?BAD+?ADC=240°，E和F分别是边AD、BC的中点，EF=7厘米，若以AB、CD为边分别画两个正方形A1和A2，再画一个长度和宽度分别等于AB、CD的长方形A3．求所画的三个图形A1、A2和A3的面积之和是多少平方

P 厘米．

答：28．

D E 解：延长BA、CD相交于点P，由?BAD+?ADC =240°，得

A ?BPC = 60°．

G 连接BD，取BD的中点G，连接EG，FG，则由三角形中位B C F 11线定理，知GE//BP，GF//PC，所以?EGF = 120°，EG =AB，FG =CD．

22 在△EGF中，由余弦定理得

?AB??CD??AB??CD?EF2?EG2?FG2?2EG?FGcos120????????????，

2222????????2?AB??CD??AB??CD?222即?．所以 AB+CD+AB×CD = 4×7 = 28． ???EF?7?7????????2??2??2??2?即三个图形A1、A2和A3的面积之和是28平方厘米．

?3?5?7??sin4?cos47．试确定sin4?cos4的值．

88883答：．

2?3?5?7??sin4?cos4解：sin4?cos4

8888?5?????45?4??sin4?cos4????sin?cos????? 8888?????5?5???sin4?cos4?sin4?cos4

88882222????????5?5???25?25? ??sin2?cos2??2sin2cos2??sin2 ?cos2?2sincos?88?88?88?88?1?2??1?1?0? ?2??sin???sin??2?8?2?8?2222221???1??2?sin???2?4?2?2?5?

sin?4?21?2?1?2?11113?2?????2?????． ???????2?2?2?2?222228．在△ABC中，?ABC=100°，?ACB=65°，在AB边上取点M，使得?MCB=55°，在AC边上取点N，使得?NBC=80°．试确定?NMC的度数．

答：25°．

解：易知?BAC=15°，作△MCB的外接圆，与BN的延长线交于点M1，则在这个圆中弦CM1与CM对的圆周角互补，所以CM1=CM．

又? M1CM =? M1BM =100°?80°=20°，?ACM=65°?55°=10°，所以?M1CN =10°；又CN=CN，所以△M1CN ≌ △MCN．

因此，?NMC=?NM1C=?CMB=?BAC+?ACM=15°+10°=25°．

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