研究生流体力学讲义 - 图文

高等流体力学

讲义

陈燎原编

2013年9月

预备知识

§1 场论的基本概念

一、标量场 空间区域D的每一点M（x,y,z）对应一个数值φ（x,y,z），它在此空间域D上构成一个标量场，用点M（x,y,z）的标量函数φ（x,y,z）表示。 例：温度场T（x,y,z），密度场ρ（x,y,z）。

?二、矢量场 空间区域D的每一点M（x,y,z）对应一个矢量值A（x,y,z），它在此空间域D上构?成一个矢量场，用点M（x,y,z）的矢量函数A（x,y,z）表示。

????A(x,y,z)?A(x,y,z)i?A(x,y,z)j?A(x,y,z)k （0-1） xyz???? 例：流速场 V(x,y,z)?Vx(x,y,z)i?Vy(x,y,z)j?Vz(x,y,z)k

矢量场的矢量线——曲线上各点处的矢量均与曲线相切。 （设M（x,y,z）为矢量线上任一点）

????矢径为 r?xi?yj?zk ????微分为 dr?dxi?dyj?dzk

?????dr与场矢量A?Axi?Ayj?Azk相切 图 0-1

?

dxdydz (矢量线微分方程) （0-2） ??AxAyAz三、梯度 标量场φ（x,y,z）的梯度定义为

?????????i?j?k??? （0-3） grad???x?y?z???????j?k 称哈密尔顿算子（为矢性微分算子） （0-4） 式中 ??i?x?y?z由定义知，标量函数的梯度为矢量函数，其方向与过点M0（x,y,z）的等值面??c的方向重合，

指向?增加的一方，是?变化率最大的方向，表示最大变化率数值。 四、方向导数

定义

?(M)??(M0)?? （0-5） ?limM?M0?lM0M???0，?沿l向增加 ?l???0，?沿l向减小 当?l当

图 0-2

1

??????????计算式 ?l·gra?d?co?s?cos??co?s （0-6）

?l?x?y?z?????其中 l?cos?i?cos?j?cos?k 为方向l的单位矢量，?,?,?为方向角，

cos?,cos?,cos?为方向余弦。

方向导数为?在方向l上的变化率，它等于其梯度在方向l上的投影。

????grald? （0-7） ?l梯度性质：

1、 方向导数等于梯度在该方向上的投影；

2、 标量场每一点M的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数?（M）增大的方向。

??例：求标量场u?xy?yz在点M（2,-1,1）处的梯度，以及在矢量l?2i?2j?k方向的方向导

23数。

???32解： gradu|M?[yi?(2xy?z)j?3yzk]M

2??? ?i?3j?3k

又在l方向的单位矢量

?l2?2?1? l????i?j?k

33|l|3? |l|?22?22?1?3

?u?|M?graldu|M?[grad·lu]M ?l2211 ?1??(?3)??(?3)?(?)??

3333 ?五、散度

?通量定义：设有矢量场A(M)，沿其中某一有向

曲面S的曲面积分

???????Ands???A·ds （0-8）

?叫A向正侧穿过曲面S的通量。 图 0-3

例：微元面积上流量(即通量)

ds （当Q>0表示沿曲面正侧穿过，反之负号） dQ?v·总流量 Q?????vds ??·??vds ??·2

如S为闭曲面 Q?

散度定义：设有矢量场A(M)，于场中一点M作一含M在内的任一闭曲面S，设其所包围的空间域为Ω，以△V表示其体积，以△?表示从内穿出S的通量，若当Ω以任意方式缩向M点，则

????散度 divA?lim?lim??M?V??M?V??ds??A· （0-9）

由定义知，散度为一标量，表示场中一点处的通量对体积的变化率。

??divA?0为有源，divA?0表示该点有散发通量的正源，<0为负源。 图 0-4

??定理：矢量场A?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k，在任一点M（x,y,z）处的散度为

???????????diAv??·A?(i?j?k)·(Pi?Qj?Rk)

?x?y?z ?六、旋度

?P?Q?R?? （0-10） ?x?y?z?环量的定义：设有矢量场A(M)，则沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分

??dl （0-11） ???A·叫此矢量场按所取方向沿曲线l的环量。

物理意义：力F沿闭曲线运动一周所做功。

??dl 图 0-5 W??F·在流速场V（M）中，流速沿曲线一周的环流。

??dl Ql??V·在直角坐标系中

?? A?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k

?dlcos(t,x)i?dlcos(t,y)j?dlcos(t,z)k

???????dl?dxi?dyj?dzk

（3个cos为l的切线矢量t的方向余弦）

??dl??Pdx?Qdy?Rdz 环量 ???A·环量面密度 lim?s?M?? ?lim?l?s?M?s?s?dl?A·（即为环量对面积的变化率） 图 0-6

????旋度定义：在矢量场A(M)中的一点M处存在这样的一个矢量R，矢量场A在点M处沿R方

3

???向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是|R|，则称R为矢量场A在点M处的旋度，记

作rotA即rotA＝R。

（即旋度矢量在数值和方向上表示出了最大的环量面密度）

?????旋度计算：设A?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k， ??? i j k

????? rotA???A? ?x?z?y P Q R

?R?Q??P?R??Q?P??)i?(?)j?(?)k （0-12） ?(?y?z?z?x?x?y例：设一刚体绕坐标原点O的某个轴l转动，其角速度为

??????????1i??2j??3k，任一点M的矢径为r?xi?yj?zk， ???????线速度为v???r?(?2z??3y)i?(?3x??1z)j?(?1y??2x)k，

?求线速度场v的旋度。 图 0-7 ????解： ?v?(?2z??3y)i?(?3x??1z)j?(?1y??2x)k

????rotv?(?1??1)i?(?2??2)j?(?3??3)k

???? ?2((?1i??2j??3k)?2?

§2 张量初步

一、概念

张量概念的引入与坐标系无关，现只在笛卡儿直角坐标系中定义张量，叫笛卡儿张量。张量概念是标量和矢量概念的推广。标量函数在任一点的函数值只用一个数能完全描述；矢量函数需要三个分量。实际中存在这样的物理量，在三维空间需要多于三个分量才能完全描述。例，微元体表面的应力要九个分量才能描述。这就促成了将矢量概念推广成能容纳更多分量的张量概念。

张量的阶数和分量数

不同特征的物理量用不同阶的张量描述，张量阶数由它所包含的分量数决定。N阶张量的分量数为3N。标量是0阶张量，矢量是1阶张量。流体力学用的最多是2阶，共9个分量。

并不是任何由分量组成的量都是张量。只有这样的量才是张量，在坐标系旋转时其分量按一定规律变化，因而能维持某些量不变。张量的特征是：不随坐标系旋转而变化。例：标量场函数值和矢量长度都不随坐标系的旋转而变化。 二、张量表示法

由于张量常包含多个分量，在式中要把所涉及的分量一一写出非常繁杂。规定如下张量表示法： a) 对应于x,y,z，将坐标改写为x 1,x2,x3，简记为xi，(i=1,2,3)； b) 用ai表示一个矢量，i是自由指标，可取1，2，3；

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