福建省各市2012年中考数学分类解析6 函数的图像与性质

福建9市2012年中考数学试题分类解析汇编

专题6：函数的图象与性质

一、选择题

1. （2012福建龙岩4分）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有【 】

①y=x ②y=－2x＋1 ③y=? A．1个 【答案】B。

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。

【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断： ①∵y=x的k＞0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大； ②∵y=－2x＋1的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小； ③∵y=?1x1x ④y=3x2

D． 4个

B．2个 C．3个

的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；

④∵y=3x2的a＞0，对称轴为x=0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小。 ∴正确的有2个。故选B。

2. （2012福建南平4分）已知反比例函数y?为【 】

A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定

【答案】A。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】∵反比例函数y?

1x

1x

的图象上有两点A（1，m）、B（2，n）．则m与n的大小关系

中k=1＞0，∴此函数的图象在一、三象限。

∵0＜1＜2，∴A、B两点均在第一象限。

∵在第一象限内y随x的增大而减小，∴m＞n。故选A。

3. （2012福建漳州4分）在公式I=象大致表示为【 】

UR中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图

A．【答案】D。

B．C． D．

【考点】跨学科问题，反比例函数的图象。 【分析】∵在公式I=

UR中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系不反比例函数关系，且R为正数，

∴选项D正确。故选D。

4. （2012福建福州4分）如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、B k

两点，若反比例函数y＝(x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是【 】

x

A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 【答案】A。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。 【分析】∵ 点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，

∴ 当x＝1时，y＝－1＋6＝5；当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4。 ∴ 点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)。

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小。 设与线段AB相交于点(x，－x＋6)时k值最大， 则k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9。

∵ 1≤x≤4，∴ 当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)。 因此，k的取值范围是2≤k≤9。故选A。

5. （2012福建泉州3分）若y?kx?4的函数值y随着x的增大而增大，则k的值可能是下列的【 】.

A .?4 B.?【答案】D。

12 C.0 D.3

【考点】一次函数图象与系数的关系。 【分析】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：

①当k>0时， y的值随x的值增大而增大； ②当k<0时， y的值随x的值增大而减小。

由题意得，函数y?kx?4函数值y随着x的增大而增大，，故k>0，可取3。故选D。 二、填空题

1

1. （2012福建宁德3分）如图，点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于点

x 1

B．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1＝A1M，△A1C1B的面积

2 1

记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2＝A2M，△A2C2B的

4 1

面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3＝A3M，△A3C3B

8

的面积记为S3；依次类推…；则S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ．

【答案】

255512。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。 【分析】过点M作MD⊥y轴于点D，过点A1作A1E⊥BM于点E，过点C1作C1F⊥BM于点F，

1

∵点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，

x

∴OB×DM=1。∴S?ABM?112?OB?MB?12。

∵A1C1=

12A1M，即C1为A1M中点，

∴C1到BM的距离C1F为A1到BM的距离A1E的一半。

∴S1?S?BMC?112 S?A1BM?14。

12?BM?BO?12∴S?BMA?212?BM?A2到BM距离?。

1 3∵A2C2＝A2M，∴C2到BM的距离为A2到BM的距离的。

44∴S2?S?A2C2B?114S?BMA?218。

同理可得：S3=

16，S4=

13214，…

18???128∴S1＋S2＋S3＋?＋S8＝? ?129?14?18???1256 ?1512?255512。

2. （2012福建龙岩3分）如图，平面直角坐标系中，⊙O1过原点O，且⊙O1与⊙O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1?x1，y1?、P2?x2，y2?在反比例函数y=（x>0）的图象上，则y1+y2= ▲ ．

1x

【答案】2。

【考点】反比例函数综合题。

【分析】∵⊙O1过原点O，⊙O1的半径O1P1，∴O1O=O1P1。

∵⊙O1的半径O1P1与x轴垂直，点P1（x1，y1）在反比例函数y=∴x1=y1，x1y1=1。∴x1=y1=1。

∵⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2的半径O2P2与x轴垂直， 设两圆相切于点A，∴AO2=O2P2=y2，OO2=2+y2。 ∴P2点的坐标为：（2+y2，y2）。 ∵点P2在反比例函数y=1x1x（x＞0）的图象上，

（x＞0）的图象上，

∴（2+y2）?y2=1，解得：y2=－1+2 或－1－2（不合题意舍去）。 ∴y1+y2=1+（－1+2）=

2。

3. （2012福建漳州4分）如图，点A(3，n)在双曲线y=平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是 ▲ ．

3x上，过点A作 AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直

【答案】4。

【考点】反比例函数的图象和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理。 【分析】由点A(3，n)在双曲线y=

3x上得，n=1。∴A(3，1)。

∵线段OA的垂直平分线交OC于点B，∴OB=AB。 则在△ABC中， AC=1，AB＋BC=OB＋BC=OC=3， ∴△ABC周长的值是4。

4. （2012福建三明4分）如图，点A在双曲线y=2x?x>0?上，点B在双曲线y=?x>0?上，且AB//y

x4轴，点P是y轴上的任意一点，则△PAB的面积为 ▲ ．

【答案】1。

【考点】反比例函数的图象和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】∵点A在双曲线y= ∴可设A（x， ∴AB=

4x?2x?2x2x2x?x>0?上，点B在双曲线y=?x>0?上，且AB//y轴，

x4x4），B（x，）?x>0?。

，AB边上的高为x。

122x?x=1。

∴△PAB的面积为?

三、解答题

1. （2012福建厦门6分）画出函数y＝－x＋1的图象；

【答案】解：∵当x=0时，y＝1；当y＝0时，x=1。∴连接点（1，0）和（0。1）即得函数y＝－x＋1的图象：

【考点】一次函数的图象。直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】利用两点法作出一次函数的图象即可。

2. （2012福建厦门12分）已知点A(1，c)和点B (3，d )是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝点．

（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若AM＝BM，求点B的坐标； （2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝1

值时，若PN＝ ，求此时双曲线的解析式．

2

k

【答案】（1）解：∵点A(1，c)和点B (3，d )在双曲线y＝2（k2＞0）上，

x

∴ c＝k2＝3d 。

∵ k2＞0， ∴ c＞0，d＞0。

∴A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限。 ∴ AM＝3d。

过点B作BT⊥AM，垂足为T。 ∴ BT＝2，TM＝d。 ∵ AM＝BM，∴ BM＝3d。

在Rt△BTM中，TM 2＋BT2＝BM2，即 d2＋4＝9d2，∴ d＝2。 2

k2PN（k2＞0）于点N．当 取最大x NE

k2（k2＞0）的交 x

∴点B(3，

2)。 2

k2（k2＞0）的交点， x

（2）∵ 点A(1，c)、B(3，d)是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝

∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b。 14

∴k1＝－k2，b＝k2。

33

∵ A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限， ∴ 点P在第一象限。设P（x，k1x＋b）， ∴

PEk1x＋bkb14＝ ＝1x2＋x＝－x2＋x。 NEk2k2k233

x

＝??x?2?+31243

PEPE4

∵当x＝1，3时，＝1，又∵当x＝2时， 的最大值是。

NENE3∴1≤∴

PE4

≤.。∴ PE≥NE。 NE3

11PNPE2＝－1＝??x?2?+。 NENE33PN1∴当x＝2时，的最大值是。

NE3

133

由题意，此时PN＝，∴ NE＝。∴ 点N(2，) 。 ∴ k2＝3。

2223

∴此时双曲线的解析式为y＝。

x

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，二次函数的最值。 【分析】（1）过点B作BT⊥AM，由点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线y＝

k2

（k2＞0）上，得到c=3d，x

则A点坐标为（1，3d），在Rt△BTM中应用勾股定理即可计算出d的值，即可确定B点坐标。

PNPN

（2）P（x，k1x＋b），求出关于x的二次函数，应用二次函数的最值即可求得的最大值，此时根

NENE

133k3

据PN＝求得NE＝，从而得到N(2，)，代入y＝2即可求得k2＝3。因此求得反比例函数的解析式为y＝。

222x x3. （2012福建莆田8分）如图，某种新型导弹从地面发射点Ｌ处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为y?118x?216x (0?x?10)．发射3 s后，导弹到达A点，此时位

于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2 km，再过3s后，导弹到达B点． (1)(4分)求发射点L与雷达站R之间的距离；

(2)(4分)当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值．

【答案】解：(1)把x＝3代入y?118x?216x，得y＝1，即AL＝1。

2222 在Rt△ARL中，AR＝2，∴ LR＝AR?AL=2?1=3 。

(2)把x＝3＋3＝6代入y?∴tan∠BRL＝

BLLR33118x?216x，得y＝3，即BL＝3 。

＝＝3。

答：发射点L与雷达站R之间的距离为3km，雷达站测得的仰角的正切值3。

【考点】二次函数的应用，解直角三角形的应用（仰角俯角问题），勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】（1）在解析式中，把x=3代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角△ALR中，利用勾股定理即可求得LR的长。

（2）在解析式中，把x=6代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角△BLR中，根据正切函数的定

义即可求解。

4. （2012福建莆田10分） 如图，一次函数y?k1x?b的图象过点A(0,3)，且与反比例函数y?(x＞O)的图象相交于B、C两点． (1)(5分)若B(1，2)，求k1?k2的值；

(2)(5分)若AB＝BC，则k1?k2的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

k2x

【答案】解：(1)把B(1，2)代入) y?k2x，得k2＝2 。

把A(0，3)，B(1，2)代入y?k1x?b，

?b?3?b?3得?，解得?。 ?k1?b?2?k1??1∴k1?k2??2。

(2) 是，定值为k1?k2??2。

过点B作BG⊥y轴于点G，过点C作CH⊥y轴于点F。 ∴BG∥CH。

∵AB＝BC，∴AG＝GH，∴CH＝2BG。 设B(m，

k2m)，则C(2m，

k2mk2k22m?) 。

=k22m∴AG＝3?∴3?把B(

k2mk2=，GH＝

k2mk22mk22

k222m，解得m?。∴B(

，2)，C(k2，1) 。

2，2)，C(k2，1)代入y?k1x?b，得

k2??2?k1?+b，两式相减，得k1?k2??2。 2??1?k?k+b12?【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形中位线定理。

【分析】（1）分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式，然后代入k1?k2进行计算即可得解。

（2）根据三角形中位线定理设出B，C的坐标B(m，

表达式，得到B(

k22k2m)，C(2m，

k22m)，由AG=GH，求出m关于k2

，2)，C(k2，1)，分别代入y?k1x?b，消去b，即可得到结论。

5. （2012福建莆田14分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线y?ax?bx?c(a?0)过点A。 (1)(2分)求c的值； ．

(2)(6分)若a＝－l，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；

2

(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点 F。当BF＝1时，求抛物线的解析式．

【答案】解：(1)∵抛物线y?ax2?bx?c过点A(0，3)，∴c＝3。

(2) ∵a＝－l，∴y??x2?bx?3

如图①，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与直线x＝6的交点应落在C点或C点下方。

∴ 当x＝6时，y≤0。

∴?62?6b?3?0，即b?112。

112 又∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0。∴0＜b???。

由抛物线的对称性可知： AD?2??? 又∵△ADE的高＝BC＝3，∴S＝∵

3212??b?b?2?????b。 ?2a??2???1??32b。

×b×3＝

＞0，∴S随b的增大而增大。

112∴当b＝时，S的最大值＝?23112=334。

如图②，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时，抛物线与直线 x＝6的交点应落在线段BC上且不与点B重合，即0≤yE＜3。

当x＝6，则y??6?6b?3?6b?33， ∴0≤6b—33＜3，∴

1122≤b＜6。

∴BE＝3－(6b－33)＝36—6b。 ∴S＝

12AD·BE＝

1∵对称轴b＝3＜

2112·b·(36—6b)＝－3b2+18b。 ，∴随b的增大而减小。

∴当b＝

112时，S的最大值＝

334334。

综上所述：S的最大值为。

(3)当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。

当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：

①当点M、N分别在AB、OC边上时． 如图③过M点作MG⊥OC于点G，连接OM．

∴MG＝OA＝3．∠2＋∠MNO＝90°。 ∵OF垂直平分MN．

∴OM＝ON，∠1＋∠MNO=90°，∠1＝∠2。

∵FB＝1，FC＝3－1＝2。 ∴tan∠1＝

∴GN＝

13FCOC?26?13，tan∠2＝

GNGM＝tan∠1＝

13。

GM＝1。

设N(n，0)，则G(n－1，0)，∴M(n－1，3)。 ∴AM＝n－1，ON＝n＝OM。 在Rt△AOM中，OM2?OA2?AM2，

∴n?3??n?1?，解得n＝5。∴ M(4，3)，N(5，0)。

222把M(4，3)，N(5，0)分别代入y?ax?by?3，得

3?a????16a?4b?3?5，解得?。

?25a?5b?3?b?12?5?35x?22?3??0∴抛物线的解析式为y??125x?3。

②当点M、N分别在AB、BC边上时．如图④，连接MF．

∵OF垂直平分MN，

∴∠1＋∠NFO＝90°，MF＝FN。 又∵∠0CB＝90°，∴∠2＋∠CFO=90°。 ∴∠1＝∠2。

∵BF＝1， ∴FC＝2。

∴tan∠1＝tan∠2＝

FCOC?26?=1313。

在Rt△MBN，tan∠1＝

MBBN，∴BN＝3MB。

3?n32设N(6，n)．则FN＝2－n，BN＝3一n。∴MF＝2－n，MB＝?1?13n。

在Rt△MBF中，∵MF?MB?FB，∴?2?n?解得：n1?∴AM＝6－把M(5143434，n2?3 (不合题意舍去)，∴BM?=51422221??2??1?n??1。

3??34。

＝，∴ M(53414，3)，N(6，

34) 。

，3)，N(6，)分别代人y?ax2?by?3，得

2?121??21?a??3?a?b?3??????24?4?，解得 。 ??21?3?b??36a?6b?3??8??4∴抛物线的解析式为y??12x?2218x?3。 x?2综上所述，抛物线的解析式为y??35125x?3或y??12x?2218x?3。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。

【分析】（1）将点A的坐标代入y?ax?bx?c即可求得c的值。

（2）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。

（3）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用待定系数法分别求解。

6（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在 x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物 线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段

2

AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1） 中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求 点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）B（3，0），C（0，3）。 ∵A（—1，0）B（3，0）

∴可设过A、B、C三点的抛物线为y=a?x+1??x?3??a?0? 。

又∵C（0，3）在抛物线上，∴3=a?0+1??0?3?，解得a=?∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 y=?（2）①当△OCE∽△OBC时，则

OCOB?OEOC3333。

33x+2?x+1??x?3?即y=?233x+3。

。

33x?13 ∵OC=3， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴ ∴当x=2时，△OCE∽△OBC。

②存在点P。

?。∴x=2。

由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。 ∴∠AEC=∠A=60°。

又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。

23 ∴点C与点M关于抛物线的对称轴x=?b2a=?3?3?2????3??=1对称。

∵C（0，3），∴M（2，3）。 过M作MN⊥x轴于点N（2，0），

∴MN=3。 ∴ EN=1。

∴ EM?EN?MN22?1+2??32?2。

若△PEM为等腰三角形，则：

ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。

ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，23) 。 ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1， ∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，23）或（1，△EPM为等腰三角形。

233233) ）时，

7.

（2012福建漳州10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营 养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克．

(1)至少需要购买甲种原料多少千克?

(2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明购买 甲种原料多少千克时，总费用最少?

【答案】解：（1）依题意，得600x+400（20-x）≥480×20，

解得x≥8。

∴至少需要购买甲种原料8千克。

（2）根据题意得：y=9x+5（20－x），即y=4x+100，

∵k=4＞0，∴y随x的增大而增大。 ∵x≥8，∴当x=8时，y最小。

∴购买甲种原料8千克时，总费用最少。

【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用。

【分析】（1）先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有480单位的维生素C”这一不等关系列出不等式，即可求出答案。

（2）根据表中所给的数据列出式子，再根据k的值，即可得出购买甲种原料多少千克时，总费用最少。

8. （2012福建漳州12分）已知抛物线y=

14x + 1(如图所示)．

2

(1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；

(2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角 形，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，点M在直线．．AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在， 直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． ．．

【答案】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=0）。

∵△PAB是等边三角形，

∴∠ABO=90°－60°=30°。

（2）

∴AB=2OA=4。∴PB=4。 把y=4代入y=

14x2+1，得 x=±23。

∴点P的坐标为（23，4）或（－23 ，4）。 （3）存在。所有满足条件的点N的坐标为 ．．(3，1)， (-3，-1)， (-3，1)， (3，-1)。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定。 【分析】（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可。

（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点

的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标。

（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即

可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标：

设存在点M使得OAMN是菱形，

∵∠OAP＞90，∴OA不可能为菱形的对角线，只能为菱形的边。 若点P的坐标为（23，4），∵点A的坐标为（0，2），

?3?23 k?b?4?k??设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b，则?，解得： ?3。

??b?2?b?2 ?0

∴AP所在直线的解析式为：y=33x+2。

33∵点M在直线AP上，∴设点M的坐标为：（m， 如图，作MH⊥y轴于点H， 则MH= m，AN=OH－OA=33m+2）。

m+2－2=33m。

∵OA为菱形的边，∴AM=AO=2。

∴在Rt△AMH中，AH2+MH2=AM2，即：m2+（33m）2=22，

解得：m=±3。∴M（3，3）或（－3，1）。

当M（3，3）时，N（3，1）；当M（－3，1）时，N（－3，－1）。 若点P的坐标为（－23，4），同理可得N的坐标为（－3，1）或（3，－1）。

综上所述，存在点N（3，1），（－3，－1），（－3，1），（3，－1），使得

四边形OAMN是菱形。

9. （2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y＝ax＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D 的坐标；

(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．

2

【答案】解：(1) ∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．

∴?

?9a＋3b＝0?16a＋4b＝4

，解得：?

?a＝1?b＝－3

。

∴抛物线的解析式是y＝x2－3x。

(2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，

得：4＝4k1，解得k1＝1。 ∴直线OB的解析式为y＝x。

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。 ∵点D在抛物线y＝x－3x上，∴可设D(x，x－3x)。

又点D在直线y＝x－m上，∴ x－3x ＝x－m，即x－4x＋m＝0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－4m＝0，解得：m＝4。 此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2。∴ D点坐标为(2，－2)。

(3) ∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，

2

2

2

2

∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)。 设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)， 1

∴4k2＋3＝4，解得：k2＝。

41

∴直线A'B的解析式是y＝x＋3。

4∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上。

12

∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x－3x上，

413

∴ n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)。

44345∴ 点N的坐标为(－，)。

416

如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1， 345

则N1(－，－)，B1(4，－4)。

416∴O、D、B1都在直线y＝－x上。

∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1。 ∴

OP1OD1345＝＝。∴点P1的坐标为(－，－)。 ON1OB12832

453将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)。

328345453

综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)。

832328

10.

（2012福建泉州9分）国家推行“节能减排，低碳经济”的政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元.据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y0、y1（单位：元）

与正常运营时间x（单位：天）之间分别满足关系式：y0?ax、y1?b?50x，如图所示. 试根据图像解决下列问题：

（1）每辆车改装前每天的燃料费a= 元,每辆车的改装费b= 元.正常运营 天后，就可以从节省燃料费中收回改装成本.

（2）某出租汽车公司一次性改装了100辆车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？

【答案】解：（1）90； 4000；100。

（2）依题意，得y0?y1?100?90x?(4000?50x)??400000

解得x?200。

答：200天后节省燃料费40万元。 【考点】一次函数和一元一次方程的应用。

【分析】（1）根据图象得出y0=ax过点（100，9000），得出a的值，再将点（100，9000），代入y1=b+50x，求出b即可，再结合图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本。

（2）根据题意及图象得出：改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元，从而得出

y0?y1?100?90x?(4000?50x)??400000，得出即可。

11. （2012福建泉州14分）如图，点O为坐标原点，直线l绕着点A（0,2）旋转，与经过点C（0,1）的二次函数y?14x?h交于不同的两点P、Q.

2（1）求h的值；

（2）通过操作、观察算出△POQ面积的最小值（不必说理）；

（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中四边形AOBQ是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.

【答案】解：（1）∵二次函数y? ∴h=1。

（2）操作、观察可知当直线l∥x轴时，其面积最小； 将y=2带入二次函数y? ∴ S最小=（2×4）÷2=4。

（3）连接BQ，若l与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，

依题意，设抛物线y?114x?1上的点 1214x?h的图象经过C（0,1），

2

14x?1中，得x??2，

2P（a，a2?1）、Q（b，b2?1）（a＜0＜b）。

44直线BC：y=k1x+1过点P， ∴a2?1=ak1+1，得k1=a。

4411∴直线BC：y=ax+1

41令y=0得：xB=?4a

过点A的直线l：y=k2x+2经过点P、Q，

∴a2?1?ak2?2?①，b2?1=bk2?2?②。

4411①×b-②×a得：（a2b?b2a）?b?a?2（b?a），化简得：b=?414a。

∴点B与Q的横坐标相同。∴BQ∥y轴，即BQ∥OA。 又∵AQ与OB不平行，∴四边形AOBQ是梯形。 根据抛物线的对称性可得（a＞0＞b）结论相同。

若l与x轴平行，由OA=2，BQ=2，OB=2，AQ=2，且∠AOB=900，得四边形AOBQ是正方形。 故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当l与x轴平行时，四

边形AOBQ是正方形。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质，二次函数的性质，一次函数的运用，梯形和正方形的判定。

【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定系数法求得h的值。

（2）操作、观察可得结论。实际上，由P（a，a2?1）、Q（b，b2?1）（a＜0＜b），可求得b=?44114a（参见（3））。

∴S?POQ?12???OA?|??a|?（?）?（?a）=??2aa?1444a??a?+4 ??2OA?xQ?xP??∴当?=?a即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，△POQ的面积最小。

a4即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4。

（3）判断四边形AOBQ的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断．首先设出P、Q的坐标，然后根

据点P、C求出直线BC的解析式，从而表示出点B的坐标，然后再通过直线PQ以及P、A、Q三点坐标，求出Q、B两点坐标之间的关联，从而判断该四边形是否符合梯形的特征。

边形AOBQ是正方形。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质，二次函数的性质，一次函数的运用，梯形和正方形的判定。

【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定系数法求得h的值。

（2）操作、观察可得结论。实际上，由P（a，a2?1）、Q（b，b2?1）（a＜0＜b），可求得b=?44114a（参见（3））。

∴S?POQ?12???OA?|??a|?（?）?（?a）=??2aa?1444a??a?+4 ??2OA?xQ?xP??∴当?=?a即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，△POQ的面积最小。

a4即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4。

（3）判断四边形AOBQ的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断．首先设出P、Q的坐标，然后根

据点P、C求出直线BC的解析式，从而表示出点B的坐标，然后再通过直线PQ以及P、A、Q三点坐标，求出Q、B两点坐标之间的关联，从而判断该四边形是否符合梯形的特征。

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