应用多元统计分析_第二章正态分布的参数估计答案

练习二 多元正态分布的参数估计

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，

X (X1,X2, Xp) 的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X (X1,X2, Xp) 的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。

2.2设二维随机向量(X1X2) 服从二元正态分布，写出其联合分布。 解：设(X1X2) 的均值向量为μ 1

联合分布密度函数为

12

f(x) 2

21 2

2

21

1/2

1

12 12 1 exp (x μ) (x μ) 。 2 2 21 2

2

12 1 ，则其 2 ，协方差矩阵为 2 212

2.3已知随机向量(X1X2) 的联合密度函数为

f(x1,x2)

2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

22

(b a)(d c)

其中a x1 b，c x2 d。求

（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。

（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；

fx1(x1)

dc

2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

dx 22

(b a)(d c)

d

2(d c)(x1 a)x2

(b a)2(d c)2

c

d

d

c

2[(b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

dx2 22

(b a)(d c)

d c

2(d c)(x1 a)x2

(b a)2(d c)2

2(d c)(x1 a)x2(b a)2(d c)2

cd

2[(b a)t 2(x1 a)t]

dt

(b a)2(d c)2

2

2

d c

c

[(b a)t 2(x1 a)t]

(b a)2(d c)2

1 b a

所以

b a b a

由于X1服从均匀分布，则均值为，方差为。

122

1

同理，由于X2服从均匀分布fx2(x2) d c

0

x1 c,d 其它

2

，则均值为

d c

，方差为2

d c

12

2

。

（2）解：随机变量X1和X2的协方差和相关系数；

cov(x1,x2)

d

c

a b d c 2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)] x x 1dx2 1 2 22 a 2 2 (b a)(d c)

b

(c d)(b a)

36cov(x1,x2)

x x

1

2

1 3

（3）解：判断X1和X2是否相互独立。

X1和X2由于f(x1,x2) fx1(x1)fx2(x2)，所以不独立。

2.4设X (X1,X2, Xp) 服从正态分布，已知其协方差矩阵 为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。

解： 因为X (X1,X2, Xp) 的密度函数为

p

f(x,...,x 1/2 1 1

1p) Σexp 2(x μ) Σ(x μ) 2 1

又由于Σ 2

2

2 p Σ 222

1 2 p

1

2 1 1

Σ 1

2 2

1

2 p

则f(x1,...,x

p)

1 21

1

p

Σ 222 1/2 1 1

2

1 2 pexp 2(x μ)Σ 2

(x μ)

1

2p

p 1 1(x2221 1(xp p) 1 2

p exp 1) 2 2 1(x2 3)2 ...

2

12 22 p

p

(xi 2 i)

i 1

2 2

f(x1)...f(xp) i

则其分量是相互独立。

2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为

Xin μ

i 1n

n

(X )(X ) n Σii

i 1

35650.00

12.33 μ

17325.00 152.50

201588000.0038900.0083722500.00

13.06716710.00 38900.00Σ

83722500.0016710.0036573750.00 -736800.00-35.800-199875.00

-736800.00

-35.80

-199875.00

16695.10

2.6 渐近无偏性、有效性和一致性；

2.7 设总体服从正态分布，X~Np(μ,Σ)，有样本X1,X2,...,Xn。由于是相互独立的正态分布随机向量之和，所以也服从正态分布。又

n

n n

E() E Xi E Xi μn μ

i 1 i 1 i 1

n 1

D() D Xi 2

i 1 n

1

D Xi 2 ni 1

n

Σ n

i 1

n

Σ

所以~Np(μ,Σ)。

n1 (Xi )(Xi ) 2.8 方法1： Σ n 1i 1

1n

XiX i n n 1i 1

n

1 ) E( XiX E(Σi n) n 1i 1

1 n

EXX nE ii n 1 i 1 1 nΣ 1

Σ n n 1(n 1)Σ Σ。 n 1 n i 1

方法2：S (Xi-i-)

i 1

n

Xi-μ ( μ) Xi-μ ( μ)

i 1n

n

(Xi-μ)(Xi-μ) 2 (Xi-μ)(-μ) n( μμ μ)

i 1

i 1

n

(Xi-μ)(Xi-μ) 2n( μ μ) n( μ μ)

i 1n

n

(Xi-μ)(Xi-μ) n( μ μ)

i 1

S1 n

E() E (Xi-μ)(Xi-μ) n( μ μ) n 1n 1 i 1 1 n

E(Xi-μ)X(i-μ )nE( μ μ n 1 i 1

)Σ。

故

S

为Σ的无偏估计。 n 1

9.设X(1),X(2),...,X(n)是从多元正态分布X~Np(μ,Σ)抽出的一个简单随机样本，试求S的分布。

证明： 设

Γ

** *

1 * * 2

ij n n 为一正交矩阵。

n

*

令Ζ =(Ζ1Ζ2 Ζn)= X1X2 Xn Γ ，

由于Xi(i 1,2,3,4, n)独立同正态分布,且Γ为正交矩阵

所以 ( 1 2 n)独立同正态分布。且有

Ζn

n Χ

i，E(Ζnn) i 1

E(Χi) ，Var(Zn

) 1Σ。 i 1nn

E(Ζa) E( rajΧj)

(a 1,2,3,

,n 1) j 1

n

raj

j 1

n

raj

rnj 0 i 1

Cov(Ζ

i ji,Ζj) Σ

i j

又因为n

S (Xj )(Xj )

i 1

n

XjX j n

i 1n

XjX j ΖnΖ n

i 1

Ζ ΓΓ Ζ-ΖnΖ n= Z1Z 1 Z2Z 2 ... ZnZ n-ΖnΖ n

故n 1

S j j，由于Z1,Z2, ,Zn 1独立同正态分布Np(0,Σ)，所以

j 1

n 1

S j j~Wp(n 1, )

j 1

10.设Xi(ni p)是来自Np(μi,Σi)的简单随机样本，i 1,2,3, ,k， （1）已知μ1 μ2 ... μk μ且Σ1 Σ2 ... Σk Σ，求μ和Σ的估计。（2）已知Σ1 Σ2 ... Σk Σ求μ1,μ2,...,,μk和Σ的估计。

解：（1） knμ

1

a

nx

ai

，

1 n2 ... n k

a 1i 1

kna

a

i

Σ

x

xai

a 1i 1

n1 n2 ... n

k

(2) lnL(μ1, ,μk,Σ)

ln (2 )p

Σ n

exp[ 1 kna(xa

a2i-μa) Σ-1(xi-μa)]

a 1i 1

lnL(μ,Σ)

Σ 1n1kn

2pnln(2 ) 2lnΣ 2 a(xai-μa) Σ-1(xai-μa)a 1i 1

lnL(μ,Σ)n 11kn Σ 2Σ 2 a

(Xaμ2i μa)(Xai a) Σ 1 0 a 1i 1

lnL(μnj,Σ)

j

μ Σ 1(Xij μj) 0(j 1,2,...,k)

j

i 1

解之，得

n k

nj

x

ij j xij j

1j 1i 1

j j j

μ

nx

ij

，Σ

j

i 1

n1 n2 ... n

k

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7xbe.html