第三节 电场强度

7-3 电场强度 一、 静电场

人们通过反复研究，终于弄清了任何电荷在其周围都将激发起电场，电荷间的相互作用是通过电场对电荷的作用来实现的。 现在我们将从施力和作功这两方面来研究静电场的性质，分别引出描述电场性质的两个物理量——电场强度和电势。

二、电场强度

在静止电荷周围存在着静电场，静电场遍布静止电荷周围的全部空间。 电场对处于其中的电荷施以作用力。 如下图所示，在静止电荷Q周围的静电场中，先后将试验电荷+q0放到电场中A、B和C三个不同的位置处。 我们发现，试验电荷+q0在电场中不同位置处所受到的电场力F的值和方向均不相同。 另一方面就电场中的某一点而言，只与q0的大小有关，但F与q0之比，则与

q0无关，为一不变的矢量。 显然，这个不变的矢量只与该点处的电场有关，所以该矢量叫做电

场强度，用符号E表示，有

E?Fq0 （7-2）

它表明，电场中某点处的电场强度E等于位于该点处的单位试验电荷所受的电场力。电场强度是空间位置的函数。由于我们取试验电荷为正电荷，故E的方向与试验电荷所受力F的方向相同。

在国际单位中，电场强度的单位为牛顿每库仑，符号为N?C；电场强度的单位亦为伏特每米，符号为V?m。

应当指出，在已知电场强度分布的电场中，电荷q在场中某点处所受的力F，可由式（7-2）算得

?1?1F = qE

三、点电荷电场强度

由库仑定律及电场强度定义式，可求得真空中点电荷周围电场的电场强度。

如 上图所示，在真空中，点电荷Q位于直角坐标系的原点O，由原点O指向场点P的位矢为

r。 若把试验电荷q0置于场点P，由库仑定律可得q0所受的电场力为

F?1Qq0er4π?0r2 （7-3）

er为位矢r的单位矢量，即er=r/r。 由电场强度定义式（7-2）可得场点P电场强度为

E?F1Q?e2rq04π?0r （7-4）

例 把一个点电荷（q=?62×10C）放在电场中某点处，该电荷受到的电场力为F=3.2×10i+1.3×10j N. 求该电荷所在处的电场强度。

-6

-6

-9

解 由电场强度的定义式（7-2），可得电荷所在处的电场强度为

F3.2?10?6i?1.3?10?6jNE??q?62?10?9C ??(51.6i?21.90j) N?C?1

E的大小为

E?(?51.6)2?(21.0)2N?C?1?55.71 N?C?1 E的方向则可按如下方法求得。 F与x轴的夹角?为

1.3?10?6??arctg?arctg?22.1?Fx3.2?10?6Fy

E与x的夹角为??

???arctgEyEx?arctg?21.0?22.1??51.0

即E的方向与F的方向相反，如下图所示。

四、电场强度叠加原理

下面我们先介绍由力的叠加原理得到的电场强度叠加原理。

设真空中一点电荷系由Q1，Q2和Q3三个点电荷组成(下图)，在场点P处放置

一试验电荷q0，且Q1，Q2和Q3到点P的矢量为r1,r2和r3。若试验电荷q0受到Q1，

Q2和Q3的作用力分别为F1，F2和F3，根据力的叠加原理可得作用在试验电荷q0上

的力F为

F?F1?F2?F3

由库仑定律可知F1,F2和F3分别为

F1?

1q0Q1e14π?0r12 ，

F2?

1q0Q2e24π?0r22 ，

F3?

1q0Q3e34π?0r32

式中e1,e2和e3分别为矢量r1,r2和r3的单位矢量。

另外，按照电场强度定义式（7-2），可得点P处的电场强度为

E?FFFF?1?2?3?E1?E2?E3q0q0q0q0

（7-5）

于是，点P处的电场强度为

E?1Q1

上述结论虽是从三个点电荷组成的点电荷系得出的，显然不难推广至由任意数目点电荷所组成的点电荷系，故可以得到普遍结论如下：点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对该点所激起的电场强度的矢量和。这就是电场强度的叠加原理，其数学表达式为

E??Ei?i?1n4??0r12e1?1Q24??0r22e2?1Q34??0r32e314??0

?ri?1nQi2iei

如下图所示，有一体积为V，电荷连续分布的带电体，现在来计算点P处的电场强度。首先，我们在带电体上取电荷元dq，其线度相对于V可视为无限小，从而可将dq作为一个点电荷对待。于是dq在点P的电场强度为

1dqer4π?0r2dE?

式中er为由dq指向点P的单位矢量。 其次，取各电荷元对点P处的电场强度，并求矢量积分。 于是可得电荷系在点P处的电场强度E

1erdq4π?0r2

E?? dE?? VV （7-7）

若dV为电荷元dq的体积元，?为其电荷体密度，则dq??dV。于是，式（7-7）亦可写成

1? erdV4π?0r2

E??V

顺便指出，对于电荷连续分布的线带电体和面带电体来说，电荷元dq分别为

dq??dl和dq??dS， 其中?为电荷线密度，?为电荷面密度，则由式（7-7）可得

它们的电场强度分别为

1?er1?erdl, E?dS22? l4π? S4π?rr00

E??

例1 如右图所示，正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。 计算在环的轴线上任一点P处的电场强度。

解 设圆环在如图所示的yz平面上，坐标原点与环心相重合。 点P与环心O的距离为x。 由题意知圆环上的电荷是均匀分布的，故其电荷线密度?为一常量，且??q/2?R。 在环上取线段元dl，其电荷元dq??dl，此电荷元对点P处激起的电场强度为

dE?1?dler4π?0r2

根据电场强度叠加原理，我们可以计算电荷连续分布的电荷系的电场强度。

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