19.1.1 平行四边形的性质(2)

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19.1.1 平行四边形的性质（2）

(第2课时)

三维目标 一、知识与技能

1．能正确说出平行四边形的对角线互相平分的性质；?知道平行四边形面积的计算方法．

2．会用平行四边形的对角线互相平分的性质，进行有关的论证和计算． 二、过程与方法

1．经历探究平行四边形的性质，在此活动中发展学生的合作、创新意识．

2．探索并掌握平行四边形对角线互相平分的性质；?掌握平行线之间的距离处处相等的结论并会简单的应用． 三、情感态度与价值观

1．在探究活动中，引导学生学会独立思考、自主探索、?合作交流的科学探究方法． 2．解决平行四边形问题的基本思路是化四边形为三角形来处理，?渗透转化的思想． 教学重点

1．平行四边形的对角线互相平分． 2．平行线之间的距离处处相等． 教学难点

灵活应用平行四边形的性质． 教具准备 多媒体课件． 教学过程

一、创设问题情境，引入新课

老师先画一平行四边形ABCD，请学生说出关性质．

生：AB∥CD，AD∥BC（定义），

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?ABCD的有

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AB=CD，AD=BC（性质1）．

∠ABC=∠CDA，∠BAD=∠BCD（性质2）． 还可以得出：

∠ABC+∠BCD=180°（平行线性质）等．

师：很好．我们现在连接AC和BD，记它们的交点为O，在平行四边形中，除边和角外，还有对角线，那么平行四边形的对角线有什么特征呢？同学们探究一下．

提示：观察图（1）中有几对全等三角形？有哪些线段是相等的？并设法验证你的猜想． 生甲：用测量的方法可以发现AO=OC，BD=OD．?看起来有四对全等三角形．?即：?△ABC≌△CDA；△ABD≌△CDB；△ABO≌△CDO；△ADO≌△CBO． 可以用复制平行四边形纸片，借助旋转，折叠的方法去验证． 师：说具体点好吗？

生甲：我把平行四边形ABCD复制到一张半透明的纸上，并将复制后的平行四边形绕着对角线的交点O旋转180°，发现复制的平行四边形与原平行四边形重合，于是可以得到这些全等三角和相等线段．

生乙：他的做法很直观，我可以利用学过的三角形全等知识和上节学过的平行四边形性质解决这个问题：

因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC，AD∥BC．

由AD∥BC得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO． ∴△AOD≌△COB．（角边角）． ∴OA=OC，OB=OD．

同样道理可以证明其他三对全等三角形． 二、讲授新课

师：从上面的讨论中，我们可以发现平行四边形的对角线具有什么性质呢？请用文字语言来描述． 生1：

?ABCD的对角线AC与BD相交于点D，线段AC平分线段BD，?线段BD?也平分

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线段AC．

生2：线段AC与线段BD是不是互相平分呢？

师：你想得很有道理．线段AC平分线段BD于点O，同时线段BD也平分线段AC于点O，这样的两条线段称为互相平分．于是我们得到了平行四边形的另一性质： 播放课件：（进一步熟悉三种语言的描述） 平行四边形的对角线互相平分．（文字语言）

（图形语言）

? ABCD的对角线AC、BD相交于点O?

?OA?OC, （符号语言） ??OB?OD.【例2】如图（2），四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC．求BC、CD?、?AC、OA的长以及

?ABCD的面积．

分析：要求BC、CD的长，可由平行四边形的对边相等求得，即BC=AD，CD=AB． AC是

?ABCD的对角线，已知AC⊥BC所以AC是Rt△ACB的直角边，?可以通过勾股定

1AC． 2ABCD

理求得AC的长．再根据平行四边形的对角线互相平分得出OA= AC是平行四边形的高，所以S? =BC·AC．

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8，CD=AB=10． ∵AC⊥BC，

∴△ABC是直角三角形． ∴AC= AB2?BC2?102?82=6．

又∵OA=OC， ∴OA= S?ABCD

1AC=3． 2 =BC·AC=8×6=48．

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补充：已知直线a∥b，过直线a上任意两点A、B分别向直线b作垂线，交直线b于点C、点D．（如下图）

（1）线段AC、BD所在的直线有怎样的位置关系？

（2）比较线段AC、BD的长短．

师生共析：

平面内两条直线的位置关系有平行和相交．由已知知道：线段AC、BD?是过直线a上任意两点A、B分别向直线b作的垂线段，由“两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行”得知：线段AC与线段BD平行；由已知：直线a∥b，和（1）的结论：?AC∥BD，得出：四边形ACDB是平行四边形，因为平行四边形的对边相等，所以AC=BD． 类推：夹在两平行线间的平行线段相等，即：

a//b???四边形ACDB是平行四边形?AC=BD．

AC//BD? 解：∵AC⊥b，BD⊥b， ∴AC∥BD． 又∵a∥b，

∴四边形ACDB是平行四边形． ∴AC=BD．

师：生活中这样的例子很多的．请同学们举出几个实例来．

生甲：两条笔直的铁轨是相互平行的，夹在铁轨之间的枕木也是相互平行的，两根枕木与两条铁轨围成一个平行四边形，它的对边相等，所以夹在铁轨之间的枕木是一样长的．一般情况下，枕木与铁轨是互相垂直的，所以夹在铁轨间的枕木的长度即两条铁轨间的距离．

生乙：一排暖气片是互相平行的，所以每两个暖气片间的平行线段都是相等的．? 生丙：长方形的门、窗的框架也符合这个原理．

师：同学们总结的很好，看来只要细心观察，生活无处不数学噢．下面我们来做练习，从而进一步熟练掌握平行四边形的性质．

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三、随堂练习

完成课本P95练习．（学生板演）

1．解：∵四边形ABCD是平行四边形（如图（3）所示）， ∴AO=OC= DO=OB=

1AC=4cm， 21BD=7cm． 2 (3) AD=BC=10cm．

∴△AOD的周长=AO+OD+AD=4+7+10=21（cm）． △ABC的周长=AB+BC+AC=AB+10+8=AB+18． △DBC的周长=BC+CD+BD=10+CD+14=CD+24． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD．

∴△DBC的周长比△ABC的周长要长，长6cm．

2．解：如图（4） ∴∠1=∠2． 又∵∠3=∠4，

∴△AOE≌△COF（角边角）． ∴OE=OF． 四、课时小结

师：本节课我们学习了平行四边形的又一性质：平行四边形的对角线互相平分．结合上节内容，我们系统复习总结一下平行四边形的定义和性质．（学生口述，教师演示课件，共同完成下表，达到梳理和巩固知识的目的）

小结：

图形 名称 文字语言 图形语言 - 5 -

?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，所以AO=OC，AB∥CD，

符号语言

www.czsx.com.cn 平 行 四 边 形 定 义 两组对边分别平 行的四边形 ∵AB//CD，BC//AD， ∴四边形ABCD是平行四边形 性 质 平行四边形的对 角相等；对边相 等；对边平行； 对角线互相平分 ∵四边形ABCD是?， ∴∠A=∠C；∠B=∠D。 AB=CD，AD=BC，AD//CD， AD//BC。 ∵四边形MNPQ是∴OM=OP，ON=OQ ?， 对于几何中重要概念和图形性质，同学们要逐渐熟练地进行文字语言、图形语言及符号语言等不同表达形式的互相“翻译”．真正做到：看到图形，能想到图形，会写出表达式． 五、课后作业

1．阅读课本P92~95内容．

2．完成课本习题19．1 3、8、11．

3．预习“平行四边形的判定”．?（仿照研究平行四边形的性质的方法来研究它） 板书设计

19．1．1 平行四边形的性质（二） 1．平行四边形的性质

平行四边形的对角线互相平分． 2．应用举例 例2（性质应用） 补充例题（性质应用） 3．随堂练习（学生板演） （1）（生甲）： （2）（生乙）： 4．小结

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5．课后作业．19．1 3、8、11． 活动与探究

如图（5）已知△BCE、△DCF分别是以?ABCD的邻边BC、CD?为边向外所作的等边三

角形，求证：△AEF是等边三角形．

过程：学生分析、探讨，通过交流活动得证此命题结论．

（通过本题的论证使学生懂得：平行四边形的性质、等边三角形的性质及判定．另外需注意：DC与CE不在同一条直线上）

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备课资料 参考例题

【例1】如图6，田村有一四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，?请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．（画图要保留作图痕迹，不写画法）

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分析：这样的图案设计，只能连结AC于BD，交于点O，将原池塘分割成四块，分别以AB，BC，CD，DA为对角线，向外作

?AOBE，?BOCF，?CODG，?DOAH．

根据平行线间的距离处处相等知，S△AEB=S△ABO，S△ADH =S△AOD，S△BOC =S△BFC，S△CDG =S△COD，故S?FGHE

=2S四边形ABCD．

【例2】如图（7），平行四边形ABCD，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于O点． （1）图中有哪些相等的线段；

（2）图中有多少个平行四边形（平行四边形ABCD除外）． 解：（1）由平行四边形对边平行，故AB∥CD，AD∥BC． 又EF∥AB，GH∥AD，

所以AB∥EF∥DC，AD∥GH∥BC． 因此AE=OH=BF，ED=OG=FC，AD=HG=BC． AH=EO=DG，HB=OF=GC，AB=EF=DC． （2）平行四边形有：

?AHOE，?HBFO，?EOGD，?OFCG，?ABFE，?EFCD，?AHGD，

?HBCG，共8个．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7x8a.html