随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分）

1．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，则X的特征函数为e?(eit-1)。

2．设随机过程X(t)=Acos(? t+?),-?

1(sin(?t+1)-sin?t)。 21的同一指数分布。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为

?4．设?Wn,n?1?是与泊松过程?X(t),t?0?对应的一个等待时间序列，则Wn服从?分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t

?t?,对应随机变量X(t)??3t??e,如果t时取得红球如果t时取得白球，则 这个随机过程的状态空间

?12?2?t,t,?;e,e??。 ?33? 6．设马氏链的一步转移概率矩阵P=(pij)，n步转移矩阵P7．设?Xn,n?0(n)(n)nP?P，二者之间的关系为。 ?(p(n))ij?为马氏链，状态空间I，初始概率pi?P(X0=i)，绝对概率pj(n)?P?Xn?j?，

i?I(n)n步转移概率p(n)ij，三者之间的关系为pj(n)??pi?pij。

(n)8．在马氏链?Xn,n?0?中，记 fij?PXv?j,1?v?n-1,Xn?jX0?i,n?1,

??fij??fij(n)，若fii?1，称状态i为非常返的。

n=1?9．非周期的正常返状态称为遍历态。 10．状态i常返的充要条件为

?pn=0?(n)ii??。

二．证明题（每题6分，共24分）

1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BCA)=P(BA)P(CAB)。

1

证明：左边=

P(ABC)P(ABC)P(AB)??P(CAB)P(BA)=右边

P(A)P(AB)P(A) 2.设{X(t),t?0}是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明{X(t),t?0}是一个马尔科夫过程。 证明：当0?t1?t2???tn?t时，

P(X(t)?xX(t1)=x1,X(t2)=x2,?X(tn)=xn)=

P(X(t)-X(tn)?x-xnX(t1)-X(0)=x1,X(t2)-X(0)=x2,?X(tn)-X(0)=xn)=

P(X(t)-X(tn)?x-xn)，又因为P(X(t)?xX(tn)=xn)=P(X(t)-X(tn)?x-xnX(tn)=xn)= P(X(t)-X(tn)?x-xn)，故P(X(t)?xX(t1)=x1,X(t2)=x2,?X(tn)=xn)=P(X(t)?xX(tn)=xn)

3.设?Xn,n?0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n?0,1?l

(n)证明：Pij?PX(n)=jX(0)=i?P?X(n)=j,?????X(l)=kX(0)=i?=?P?X(n)=j,X(l)=kX(0)=i? ??k?Ik?I(l)(n-l)ikkj =

?P?X(l)=kX(0)=i??P?X(n)=jX(l)=k,X(0)=i?=?Pk?IP，其意义为n步转移概率可以

用较低步数的转移概率来表示。

4.设?N(t),t?0?是强度为?的泊松过程，?Yk,k=1,2,??是一列独立同分布随机变量，且与

?N(t),t?0?独立，令X(t)=?Yk,t?0，证明：若E(Y12

k=1N(t)?N()t证明：由条件期望的性质E?X(t)??E?E?N(t)in??X(t)N(t)???，而E????X(t)N(t)n?E??Yi1?=?n??n?=E??YiN(t)?n?=E??Yi?=nE(Y1)，所以E?X(t)???tE?Y1?。

?i=1??i=1? 三．计算题（每题10分，共50分）

1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：X(t)=????

??cos?t H (H)=p(T)= ,t?(-?,+?)，设pt T ?2

1，2

求（1）?X(t),t?(??,??)?的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。 解：（1）样本函数集合为?cos?t,t?,t?(-?,+?)； （2）当t=0时，P?X(0)=0??P?X(0)=1??1， 2?0?0x<0x<-1??11?? 故F(x;0)=?0?x<1；同理F(x;1)=??1?x<1

?2x?1?2x?1???1?12.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。

(4)k-4e，则解：设?N(t),t?0?是顾客到达数的泊松过程，??2，故P?N(2)=k??k!P?N(2)?3??P?N(2)=0?+P?N(2)=1?+P?N(2)=2?+P?N(2)=3??e-4?4e-4?8e-4?32-471-4e?e33 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为?，而今天无雨明天有雨的概率为?；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设

??0.7,??0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P=??p00?p10p01??0.70.3????，于是p11?0.40.6???P(2)?0.610.39??0.57490.4251?(4)(2)(2)?PP=??，四步转移概率矩阵为P?PP??0.56680.4332?，从而得到今0.520.48????(4)天有雨且第四天仍有雨的概率为P00?0.5749。

4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。

?010??13?111?(2)2?1?， P?P??9解：一步转移概率矩阵P=?1?333??3??010???

137913?1?9?,13??13由p(2)ij>0知，此链有遍历性；设极限分布?=??1,?2,?3?，??1???1?13?2??方程组??3?1????2?23???????1???23?1?31535153

?1?2?15.设有四个状态I=?0，1，2，3?的马氏链，它的一步转移概率矩阵P=?2?1?4??0（１）画出状态转移图；

（２）对状态进行分类；

（３）对状态空间I进行分解。 解：（1）图略；

1112200140400??0?? 1?4?1?? （2）p33?1,而p30，p31，p32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记C1=?3?；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记C2=?0，1?，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达C1，C2中的状态，而C1，C2中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记D=?2?。

（3）状态空间I可分解为：E=D?C1?C2

四.简答题（6分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。 答：（略）

4

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