5.3 相似矩阵

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第三节 相似矩阵

一、相似矩阵的概念与性质 相似矩阵的概念与性质 二、利用相似变换将矩阵对角化 三、小结 思考题

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一、相似矩阵概念与性质定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP = B ,-1

则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.记为A ~ B .

对A进行运算P 1 AP称为对A进行相似变换 .

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定理1 定理 若n阶矩阵 A与B相似 ,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同 .

证明

A与B相似

可逆阵 P , 使得P 1 AP = B= P 1 AP P 1 (λ E )P ∴ B λE

= P

1

( A λE ) P

= P 1 A λ E P

= A λE .则A与B的特征多项式相同 , 从而A与B的特征值亦相同.

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相似矩阵的性质: 相似矩阵的性质 (1)相似矩阵有相同的秩; (1)相似矩阵有相同的秩; 相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等; (2)相似矩阵的行列式相等; 相似矩阵的行列式相等 证明：( ) 阶矩阵A与 相似 相似,则存在非奇异 证明：(2)设n阶矩阵 与B相似 则存在非奇异 ：( 阶矩阵 矩阵P使得 矩阵 使得 P 1 AP = B 所以

| P AP |=| B | | P 1 || A || P |=| B |

1

从而

| A |=| B |

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阶方阵A与对角阵 (3) 若 n 阶方阵 与对角阵 ) λ1 λ2 Λ= O λn

相似, 则λ1 , λ 2 ,L , λ n即是 A的n个特征值 .

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利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 个 若A = PB P 1 , 则 k = PBP 1 PBP 1LPBP 1PBP 1= P B k P 1 . A A的多项式

( A) = a 0 An + a1 An 1 + L + a n 1 A + a n E= a 0 P B n P 1 + a 1 P B n 1 P 1 + L + a n 1 PB P 1 + a n PE P 1 = P ( a 0 B n + a1 B n 1 + L + a n 1 B + a n E ) P 1 = P ( B ) P 1 .

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特别地 , 若可逆矩阵 P使 P 1 AP = Λ为对角矩阵 , k ( A) = P ( Λ ) P 1 . 则 = P Λ k P 1 , A

对于对角矩阵 Λ , 有 k λ1 λk 2 kΛ =

, O k λn

( λ 1) ( λ 1) , (Λ ) = O ( λ 1)

利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 算矩阵 的 . 多项式 (A)

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结论 设 (λ)是 阵 的 征 项 ,则 ( A) = O. f 矩 A 特 多 式 f 证明 只证明 与对角矩阵相似的情形 . 只证明A 若A与对角矩阵相似 , 则有可逆矩阵 P , 使 1 P AP = Λ = diag (λ 1 ,L, λ n ),

其中λ i 为A的特征值 , f (λ i ) = 0. 由A = PΛ P 1 , 有 的特征值 f ( λ 1) 1 1 f ( A) = Pf ( Λ ) P = P O P f (λ n ) = PO P 1 = O .

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二、n阶矩阵与对角阵相似的条件对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P AP = Λ为对角阵 , 这就称为把方阵 A对角化 . 1

定理 2 n阶矩阵 A与对角矩阵相似 (即 A能对角化 ) 的充分必要条件是 A 有 n个线性无关的特征向量 . 证明假设存在可逆阵 P , 使P 1

AP = Λ为对角阵 , 必要性

把 P 用其列向量表示为 P = ( p1 , p2 ,L , pn ) .

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λ1 λ2 即 A( p1 , p2 ,L, pn ) = ( p1 , p2 ,L, pn ) O λn

由 P 1 AP = Λ , 得AP = PΛ ,

= (λ1 p1 , λ 2 p2 ,L, λ n pn ).

∴ A( p1 , p2 ,L, pn ) = ( Ap1 , Ap2 ,L, Apn ) = (λ1 p1 , λp2 ,L, λpn )于是有 Api = λ i pi

(i = 1,2,L, n ).

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可见 λ i 是 A 的特征值 , 而 P 的列向量 p i 就是 A 的对应于特征值 λ i的特征向量 .

反之,由于A恰好有 n个特征值 , 并可对应地求 得n个特征向量 , 这n个特征向量即可构成矩 阵P , 使AP = PΛ .又由于 P 可逆 , 所以 p1 , p2 ,L , pn 线性无关 .

命题得证. 命题得证

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推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 个特征值互不相等， 与对角阵相似. 则 A 与对角阵相似.

说明

A 有 n 个相异特征值只是 A 化为对角矩阵 的充分条件而不是必要条件， 的充分条件而不是必要条件，也就是

的特征方程有重根， 如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 个线性无关的特征向量， 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， 对角化， 个线性无关的特征向量， A 还是能对角化. 还是能对角化. 一个n阶矩阵具备什么条件才能对角化？ 一个 阶矩阵具备什么条件才能对角化？ 阶矩阵具备什么条件才能对角化 的特征向量. 能找到 n个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量 或:n个互异特征值 个互异特征值

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判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 3 1 A= 1 3 2 1 1 1 1 0 B = 4 3 0 C = 0 2 0 4 1 3 1 0 2

若能, 若能 则求出可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵 . 解:(1)

A的特征多项式为 3 λ 1 2 1 3 λ = (3 λ ) 1= 8 6λ + λ 2 = (4 λ )( 2 λ )

所以A 所以 的特征值为 λ 1 = 2, λ 2 = 4.

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1 当λ1 = 2时, 对应的特征向量 p1 = . 1 1 当λ 2 = 4时, 对应的特征向量为 p 2 = 1 . p1 , p 2 线性无关，所以 A 可对角化， 线性无关， 可对角化，

1 1 令 P =(p , p )= 1 2 1 1 则有 2 0 1 P AP = 0 4

即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应. 要相互对应.

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(2) B的特征多项式为 的特征多项式为 1 λ B λE = 4 1 1 3 λ 0 0 0 2 λ 0 p1 = 0 , 1

= ( 2 λ )(1 λ ) 2 ,

所以B 所以 的特征值为 λ1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1.当λ1 = 2时, 对应的特征向量

1 当λ 2 = λ3 = 1时, 对应的特征向量 p2 = 2

, 1 不能化为对角矩阵. 故 B 不能化为对角矩阵

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(3)

2 1 1 C = 0 2 0 4 1 3

2 λ C λE = 0 4

1 2 λ 12

1 0 3 λ

= (λ + 1)(λ 2 ) ,2

令 (λ + 1)(λ 2 ) = 0得C的特征值为 λ1 = 1, λ2 = λ 3 = 2.

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1 当λ1 = 1时, 对应的特征向量 p1 = 0 , 1

当λ 2 = λ 3 = 2时, 对应的特征向量 0 p2 = 1 , 1 1 0 1

1 p3 = 0 , 4

由于 0 1 0 ≠ 0, 所以 p1 , p2 , p3线性无关 . 1 1 4

即 C 有 3个线性无关的特征向量 , 因而 C 可对角化 .

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1 0 1 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = 0 1 0 1 1 4

则有

1 0 0 1 P AP = 0 2 0 0 0 2

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例2

0 0 1 设 A = 1 1 x 1 0 0

为何值时,矩阵 能对角化？ 问x为何值时 矩阵 能对角化？ 为何值时 矩阵A能对角化 解:

A的特征多项式为

λ 0 A λE = 1 1 λ 1 0= (λ + 1)(λ 1)2

1

λ

λ x = (1 λ ) 1

1 λ

得A的特征值为 λ1 = 1, λ2 = λ3 = 1.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7x1i.html