全国各地中考数学分类解析第章开放探索型问题 - 图文

第三十七章 开放探索型问题

12. (2018山东日照，12，3分)如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形

A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是（ ）

A.

13n?1B.

111C.D. 3n3n?13n?2O 解读：设正方形A1B1C1D1的边长为x，则AC1= C1D1= D1 B =x,故3x=1，x=

1；同理，正方形A2B2C2D2的边长为311，……，故可猜想第n个正方形A. nBnCnDn的边长是n233解答：选B．

点评：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例

A

A2 A1 B2

B1

C2 D2

C1 D1

B

入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力.解题的关键是求正方形A1B1C1D1的边长.

（2018河北省25,10分）25、（本小题满分10分）

如图14，A（-5,0），B(-3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°，点P从点Q（4,0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒 （1）求点C的坐标；

（2）当∠BCP= 15°时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切时，求t的值。

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【解读】在直角三角形BCO中，∠CBO=45°OB=3，可得OC=3，因此点C的坐标为（0,3）；（2）∠BCP= 15°，只是提及到了角的大小，没有说明点P的位置，因此分两种情况考虑：点P在点B的左侧和右侧；（3）⊙P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切，而四边形有四条边，肯定不能与AO相切，所以要分三种情况考虑。

【答案】解（1）∵∠BCO=∠CBO=45°∴OC=OB=3 又∵点C在y轴的正半轴上，

∴点C的坐标为（0,3）………………………………2分 （2）当点P在点B右侧时，如图2.

若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故OP=OCtan30°=3 此时t?4?3………………………………4分

当点P在点B左侧时，如图3，由. ∠BCP=15°得∠PCO=60° 故PO=OCtan60°=33， 此时t=4+33

∴t的值为4+3或4+33………………………………6分

（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边都相切，有以下三种情况：

①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1……………7分

②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4……………………………8分

③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO=90°， ∴点A为切点，如图4，

PC2?PA2??9?t?，

2PO2??t?4?，于是?9?t???t?4??32，解得t=5.6

222∴t的值为1或4或5.6……………………１0分

【点评】本题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用，在今后的教案中多渗透考虑问题要全面（不重不漏），培养学生优秀的学习品质。有一定难度。

（2018河北省26,12分）26、（本小题满分12分）

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如图15-1和图15-2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos?ABC?5。 13探究 如图15-1，AH⊥BC于点H，则AH=___________，AC=____________，△ABC的面积S△

ABC

=_____________。

拓展 如图15-2，点D在AC上（可以与点A、C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，（当点D与点A重合时，我们认为S△ABC=0）

（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；

（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值； （3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围。

发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值。

【解读】探究 根据三角函数和勾股定理可以很快求出AH和AC 的值，进而求出三角形的面积。 拓展（1）利用所给数据，写出表示两个三角形面积的代数式；（2）利用（1）中的式子，用x表示m和n，再求（m+n）的值。点D在AC上，BD的长度可以认为是点D到AC的距离，所以当BD⊥AC时，x最小，是三角形AC边上的高，最大值是BC的长度，容易求出的最大值和最小值；（3）根据垂线段最短和轴对称可知，点D唯一时，只能是点D是垂足时和点D在点A关于垂足的对称点的下方时两种情况。 发现 满足条件的直线就是AC所在直线，A、B、C三点到这条直线的距离之和的最小值就是（m+n）的最小值。

【答案】解：探究

12 15 84……………………………………………………3分 拓展

（1）由三角形面积公式得S△ABD?11mx，S△CBD?nx………………………………4分 223 / 37

（2）由（1）得m?2S△ABD2S△CBD2S2S△CBD168，n?， ∴m+n=△ABD?=……………………5分

xxxxx由于AC边上的高为

2S△ABC2?845656?x?14 ??∴x的取值范围为51515556时，（m+n）的最大值为15；……………………7分 5∵（m+n）随x的增大而减小， ∴当x=

当x=14时，（m+n）的最小值为12. …………………………8分

（3）x的取值范围是x?56或13?x?14…………………………10分 5发现

AC所在的直线…………………………11分

最小值为

56…………………………12分 5【点评】此题为探究题型，前半部分难度较小，在确定x的取值范围时，学生不容易想到；第（3）中x的取值范围也不容易想到，是本题的难点。探究就是上边知识点的一个应用，相对来说简单一些。整体来说，此题难度偏难，有一定挑战性。

24. （2018·湖北省恩施市，题号24 分值12）如图12，已知抛物线y＝-x＋bx＋ｃ与一直线相交于A（-1,0），C（2,3）两点，与y轴交与点N。其顶点为D。 （1求抛物线及直线A、C的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上任意一点，过E作EF∥BD，交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求△APC面积的最大值

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【解读】（1）直接将A、C两点的坐标代入y＝-x＋bx＋ｃ和y=kx+b即可。

（2）本题实质是在直线x=3上找一点M使MN+MD的值最小。作N关于x=3的对称点，连接D N，求直线D N和x=3的交点可得m的值；

（3）BD、EF是平行四边形的邻边，分点E在线段AC和线段AC（或CA）延长线上两种可能来考虑。BD长可求，EF=BD，点F和点E横坐标相同，点F纵坐标等于点E纵坐标加（或减）BD长度，设点E（x,y），则点F坐标（x,y+3）,代入抛物线表达式可求解；

（4）作CQ⊥x轴于Q，作PG⊥x轴，交AC于H，则点H和点P横坐标相同，设二者横坐标为x，根据直线与抛物线表达式可用分别表示出相应纵坐标，进而用x表示PH的长度，根据△PAC面积等于（AQ为定值）可讨论其最值。

【答案】解：设直线AC的解读式为:y=kx+n，点 A（-1,0），C（2,3）在A\\C上，可得：

1

1

21PH×AQ2?0??k?n 解得:k=1,n=1 ?3?2k?n?∴AC的解读式为：y=x+1。

把A（-1,0），C（2,3）y＝-x＋bx＋ｃ 2?0??1?b?c解得b=2,c=3, ?3??4?2b?c?∴抛物线的解读式为y= -x＋2x＋3， ∴N（0,3）D（1,4）.

(2) 作N关于x=3的对称点N，连接DN，则N（6,3）.设直线D N的解读式为y=px+q，则有：

1

1

1

1

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