2009年广州市高三年级调研测试（理数）

2009年广州市高三年级调研测试

数 学（理 科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室

号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：如果事件A,B互斥，那么P?A?B??P?A??P?B?．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，则（1?i）（1? i）=

A．0 B．1 C．2 D．2i 2．在等比数列｛an｝中，已知a1?1, a4?8，则a5?

A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），a?b ，则实数x的值为 A．

11 B．?2 C．2 D．? 224．经过圆C:(x?1)2?(y?2)2?4的圆心且斜率为1的直线方程为

A．x?y?3?0 B．x?y?3?0 C.x?y?1?0 D．x?y?3?0 5. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图， 则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A．65 B．64

甲531乙C．63 D．62 8 2 4 5 3 66. 命题“若a?b,则a?1?b?1”的否命题是 ．．．

1457479326378A.若a?b,则a?1?b?1 B.若a?b,则a?1?b?1

图1 1

C.若a?b,则a?1?b?1 D.若a?b,则a?1?b?1

7．图2为一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三 角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为

A．6 B．12C．24 D．32 8. 已知抛物线C的方程为x3

1y，过点A?0,?1?和点B?t,3?的直 2线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是

2???2?2??????,??? A. ???,?1???1,??? B. ??,???? 22????C.

???,?22???22,?? D. ??,?2?2,??

?????开始 S＝0 i＝3 S＝S＋i i＝i＋1 否

二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9~ 12题） 9. 函数

f(x)?log2(x2?1)的定义域为 .

52??10. 在?x??的二项展开式中，x3的系数是_______________．（用数字作答）

x??11.在如图3所示的算法流程图中，输出S的值为 .

i＞10 是 输出S 结束 ?x?y≥2，?12. 已知变量x，y满足约束条件?x?y≤2，若目标函数z?y?ax仅在点?5,3?

?0≤y≤3，?处取得最小值, 则实数a的取值范围为 .

图3

(二) 选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（不等式选讲选做题）不等式2x?x?1?2的解集是______________．

?x?2cos?14．(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中圆C的参数方程为?（?y?2?2sin??为参数），

以原点O为极点，以_________ ．

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为

2

15．（几何证明选讲选做题）如图4，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PAB、PCD，PA = AB =

BAPOCD5，

CD = 3，则PC =____________．

图三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 416. (本小题满分12分)

已知

f(x)?sinx?3cosx(x?R).

（1）求函数（2）求函数

f(x)的最小正周期;

f(x)的最大值，并指出此时x的值．

17．（本小题满分12分）

一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．

抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，

则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.

（1）求这箱产品被用户接收的概率；

（2）记抽检的产品件数为?，求?的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图5，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90o，RB?BC?2． 点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置， 使PA⊥AB，连结PB、PC． （1）求证：BC⊥PB；

3

P CDR A 图B

（2）求二面角A?CD?P的平面角的余弦值．

19. (本小题满分14分)

设椭圆C:x2y22a2?b2?1(a?b?0)的离心率为e=2,点A是椭圆上的一点,且点A到

椭圆C两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C的方程； （2）椭圆C上一动点P?x0,y0?关于直线y?2x的对称点为P1?x1,y1?,求3x1?4y1的

取值范围.

20.（本小题满分14分） 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图6所示的数表：

设aij（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行、

1

从左往右数第j个数. 数表中第i行共有2i?1个正整数

. 2 3 （1）若aij＝2010，求i、j的值；

4 5

6 7

（2）记An?aaN*),

8

9 10 11 12 13 14 11?a22?33???ann(n?

??????????

试比较A2n与n?n的大小, 并说明理由.

图6

21. （本小题满分14分） 已知函数

f?x??13x3?x2?ax?a (a?R)．

(1) 当a??3时，求函数f?x?的极值；

（2）若函数f?x?的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

4

15

参考答案

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几

种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A B C C D

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，

每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．(??,?1)?(1,??) 10．?10 11．52 12.

?1,???

13.

?1??????,1? 14．?2,? 15．2

2??3????5??????2k??(k?Z)等, 均给?或?2,2??2?说明：第14题答案可以有多种形式，如可答?2,满分.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．(本小题满分12分) 解：（1）∵

f?x??sinx?3cosx

?2??1?3? ?? 2分 sinx?cosx?2?2?? ?2?sinxcos??????cosxsin? ?? 4分 33? ?2sin?x?∴T?????. ?? 6分 3??2?. ?? 8分

(2) 当sin?x???????1时, f(x)取得最大值, 其值为2 . ??10分 3?5

此时x??3??2?2k?，即x?2k???6(k?Z). ??12分

17．(本小题满分12分)

解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件A，P(A)?即这箱产品被用户接收的概率为

8?7?67?. ??3分

10?9?8157． ??4分 15（2）?的可能取值为1，2，3． ??5分

21?， 105828P???2?=??，

109458728P???3?=??， ??8分

10945P???1?=

∴?的概率分布列为：

? P ∴E?=

1 2 3 1 58 4528 45 ??10分 1828109?1??2??3?． ??12分 545454518．(本小题满分14分)

解：（1）∵点A、D分别是RB、RC的中点，

1BC. ?? 2分 2∴∠PAD??RAD??RBC=90o. ∴PA?AD.

∴ PA?BC,

∴AD//BC,AD?∵BC?AB,PA?AB?A,

∴BC⊥平面PAB. ?? 4分 ∵PB?平面PAB,

∴BC?PB. ?? 6分

（2）法1：取RD的中点F，连结AF、PF．

∵RA?AD?1,

∴AF?RC. P∵AP?AR,AP?AD,

∴AP?平面RBC. ∵RC?平面RBC,

∴RC?AP. ?? 8分

6

CDFRAB

∵AF?AP?A,

∴RC?平面PAF. ∵PF?平面PAF, ∴RC?PF.

∴∠AFP是二面角A?CD?P的平面角. ??10分 在Rt△RAD中,

112， AF?RD?RA2?AD2?222PF?PA2?AF2?6， 2在Rt△PAF中,

2AF3. ??12分 cos?AFP??2?PF362∴ 二面角A?CD?P的平面角的余弦值是法2：建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz．

则D（－1，0，0），C（－2，1，0），P（0，0，1）. ∴DC=（－1，1，0），DP=（1，0，1）, ??8分 设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），则：

P3. ??14分 3z?CDBy???n?DC??x?y?0， ??10分 ???R?n?DP?x?z?0令x?1，得y?1,z??1， ∴n=（1，1，－1）.

显然，PA是平面ACD的一个法向量，PA=（0,0,?1）． ??12分

xA???n?PA13??∴cos=?．

33?1n?PA∴二面角A?CD?P的平面角的余弦值是

19. (本小题满分14分)

解:(1)依题意知,2a?4,?a?2. ?? 2分

7

3. ??14分 3

∵e?∴c?c2, ?a22,b?a2?c2?2. ?? 4分

x2y2??1. ?? 6分 ∴所求椭圆C的方程为42（2）∵ 点P?x0,y0?关于直线y?2x的对称点为P1?x1,y1?，

?y0?y1?2??1,??x0?x1∴ ? ??8分

y?yx?x?01?2?01.?2?2解得：x1?4y0?3x03y?4x0，y1?0. ??10分 55∴3x1?4y1??5x0. ??12分

x2y2??1上, ∵ 点P?x0,y0?在椭圆C:42∴?2?x0∴3x1?2, 则?10??5x0?10.

?4y1的取值范围为??10,10?. ??14分

20.（本小题满分14分）

2n?1n解：（1）数表中前n行共有1?2?2???2?2?1个数，

即第i行的第一个数是2

∴aij＝2i?1?∵210i?1， ?? 2分

j?1．

?2010?211，aij＝2010，

∴ i＝11． ?? 4分 令210?j?1?2010,

解得（2）∵Anj?2010?210?1?987． ?? 6分 ?a11?a22?a33???ann

?1?2?22???2n?1??0?1?2????n?1??

?? 8

?2n?1?2n?n?1?． ?? 7分 2nn?n?1?n2?3n?22n?(n?n)?2?∴An?(n?n)?2?1?． 22n2?3n?22当n?1时, 2?, 则An?n?n;

2nn2?3n?22当n?2时, 2?, 则An?n?n;

2nn2?3n?22当n?3时, 2?, 则An?n?n;

2nn2?3n?2当n?4时, 猜想: 2?. ?? 11分

2n下面用数学归纳法证明猜想正确.

42?3?4?2n2?3n?2n① 当n?4时,2?16?, 即2?成立;

224k2?3k?2② 假设当n?k?k?4?时, 猜想成立, 即2?,

2k 则2∵

k?1k2?3k?2?2?2?2??k2?3k?2,

2kk2?k?1?2?3?k?1??22k2?6k?4?k2?5k?6?k?2??k?1??3k?2????0,

2222??k?1?3?k?1??2∴2k?1?.

2即当n?k?1时，猜想也正确.

n2?3n?2由①、②得当n?4时, 2?成立.

2n当n?4时,An?n2?n. ?? 13分

An?n2?n; 当n?4时,An?n2?n. ?? 14分

综上所述, 当n?1,2,3时,

nn2?3n?2另法( 证明当n?4时, 2?可用下面的方法):

2

9

当n?4时,

2n??1?1?n?C0+ C123n n + Cn+ Cn

?1?n?n?n?1?n?n?1??n?22??6

?1?n?n?n?1?2?n?3?26 ?n2?3n?22.

21. (本小题满分14分) 解：（1）当a??3时，

f?x??13x3?x2?3x?3，

∴

f??x??x2?2x?3??x?3??x?1?.

令

f??x?=0, 得 x1??1,x2?3. ?? 2分当x??1时,

f'?x??0, 则f?x?在???,?1?上单调递增;

当?1?x?3时,f'?x??0, 则f?x?在??1,3?上单调递减;

当x?3时,

f'?x??0, f?x?在?3,???上单调递增. ∴ 当x??1时,

f?x?取得极大值为f??1???1143?1?3?3?3;

当x?3时, f?x?取得极小值为f?3??13?27?9?9?3??6. （2） ∵

f??x?= x2?2x?a，

∴△=

4?4a= 4?1?a? .

① 若a≥1，则△≤0， ∴

f??x?≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上单调递增 . ∵f（0）??a?0，

f?3??2a?0,

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． ② 若a＜1，则△＞0， ∴

f??x?= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1

∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．

10

?? 4分 ?? 6分?? 7分 ?? 9分

当x变化时，

x f'?x?,f?x?的取值情况如下表：

x1 0 极大值 （x1，x2） － x2 0 极小值 ↘ ?? 11分

↗ ???,x1? + ?x2,??? + f??x? f（x） ↗ 2∵x1?2x1?a?0,

?2x1.

2∴a??x11f?x1??x13?x12?ax1?a

31322 ?x1?x1?ax1?x1?2x1

313 ?x1??a?2?x1

312 ?x1x1?3?a?2?.

312同理f?x2??x2x2?3?a?2?.

3122∴f?x1??f?x2??x1x2x1?3?a?2??x2?3?a?2?

912??x1x2??x1x2?2?3?a?2?x12?x2?9?a?2?2 91?aa2?3?a?2??x1?x2?2?2x1x2?9?a?2?2 94?aa2?3a?3. 9 令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞0．

∴

?????????????????? 而当0?a?1时,

f?0???a?0,f?3??2a?0,

故当0?a?1时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点. ?? 13分 综上所述，a的取值范围是

?0,???． ?? 14分

11

当x变化时，

x f'?x?,f?x?的取值情况如下表：

x1 0 极大值 （x1，x2） － x2 0 极小值 ↘ ?? 11分

↗ ???,x1? + ?x2,??? + f??x? f（x） ↗ 2∵x1?2x1?a?0,

?2x1.

2∴a??x11f?x1??x13?x12?ax1?a

31322 ?x1?x1?ax1?x1?2x1

313 ?x1??a?2?x1

312 ?x1x1?3?a?2?.

312同理f?x2??x2x2?3?a?2?.

3122∴f?x1??f?x2??x1x2x1?3?a?2??x2?3?a?2?

912??x1x2??x1x2?2?3?a?2?x12?x2?9?a?2?2 91?aa2?3?a?2??x1?x2?2?2x1x2?9?a?2?2 94?aa2?3a?3. 9 令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞0．

∴

?????????????????? 而当0?a?1时,

f?0???a?0,f?3??2a?0,

故当0?a?1时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点. ?? 13分 综上所述，a的取值范围是

?0,???． ?? 14分

11

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7wqp.html