初中数学复习教案

初中数学总复习教案

第一章 实数

一、重要概念

1．数的分类及概念

整数

(有限或无限循环小数) 分数

正无理数 负无理数

正整数0

负整数 正分数 负分数

实数

正实数 0 负数 有理数

实数

无理数(无限不循环小数)

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）

2a (a为一切实数)

常见的非负数有： │ a│

a(a≥0)

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数：①定义:如果两个数的乘积为1.那么这两个数互为倒数.②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。

4．相反数： ①定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.②求相反数的公式: a的相反数为-a. ③性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置关于原点对称;C.两个相反数的和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”）:具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如2都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n（n为自然数）

7．绝对值：①代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。

a(a≥0) │a│= -a(a<0)

几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

11．科学记数法：N=a?10（1≤a＜10，n是整数）。（1）当N是大于1的数时，n＝N的整数位数减去1。

n?3.24156?10如：3241.56.(2) 当N是小于1的数时，n＝N的第一个有效数字前0的个数.

如:0.0000324156?3.24156?10

12 有效数字：从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数字止，所有的数字叫这个数的有效数字。如：0.004015,有效数字是4,0,1,5.一共四个.又如:0.00401500,有效数字是4,0,1,5,0,0,一共六个.

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第二章 代数式

一 重要概念 分类： 单项式

整式 多项式 有理式 分代数式 无理式

1.代数式、有理式、无理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 有根号的代数式叫无理式，如：a、a2?b2。没有根号的代数式叫有理式。如：a、a?b。整式

22和分式统称为有理式。

2.整式和分式

分母中含有字母的代数式叫做分式。如：

1b、。 a3a分母中不含有字母的代数式叫做整式。

整式和分式统称有理式，或含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 3.单项式与多项式

2数字和字母之间，字母和字母之间只有乘除运算的代数式叫单项式。如：3abc，abc。单独的一

132个数或字母也是单项式。如：a、0、-3。

几个单项式的和或差，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

x2 =x,x2=│x│等。

x4.系数与指数

区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：3、7是根式，但不是无理式，是无理数。

7.各种方根的概念

（1） 平方根:如果一个数的平方等于另一个数,那么这个数叫另一个数的平方根.即:?2?a,?叫a的平方根 记作 ???a （2）算术平方根：一个正数的平方等于另一个数，这个正数叫另个一数的算术平方根。a的算术根记作：a 第 2 页 2

正数a的正的平方根（a[a≥0—与“平方根”的区别]）;

算术平方根与绝对值，联系：都是非负数，a2=│a│区别：│a│中，a为一切实数;a中，a为非负数。

（3）立方根：一个数的立方等于另一个数，这个数叫另个一数的立方根。如：

?3?a,?叫a的立方根 记作 ??3a 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。 把分母中的根号划去叫做分母有理化。 9.指数 a·a…a=an

nn个 (a—幂，乘方运算) ⑴

nnn① a＞0时，a＞0;②a＜0时，a＞0（n是偶数），a＜0（n是奇数） ⑵ 零指数公式：a=1（a≠0）负整指数公式： a0?p?1(a?0,p是正整数) pa二、运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则2．分式的性质 ⑴基本性质：

bbmb?bb?=（m≠0）⑵符号法则：??⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）

aamaa?a3．整式运算法则（去括号、添括号法则）

4．幂的运算性质：

①同底数幂相乘：a2a=annnm

nm?n;②同底数幂相除：a÷a=amnm?n;③幂的乘方：(am)n=amn;④

b?papanan积的乘方：(ab)=ab;⑤分式乘方：()?n（注意：凡是公式都可以倒用）技巧：()?()

abbb5．乘法法则：⑴单3单;⑵单3多;⑶多3多。

6．乘法公式：(a?b)2?a2?2ab?b2（a+b）（a-b）=a?b

22 (a±b)(a?ab?b)=a?b （注意：凡是公式都可以倒用）

33227．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。 8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。 9．算术根的性质：

a2＝a;(a)2?a(a?0);ab?a?b(a≥0,b≥0);

aa(a≥0,b＞0)（注意：凡是公?bb式都可以倒用）

10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A.

1a;B.

bab1;C.. ?aama?nb 第 3 页

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第三章 方程（组）

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2、分类：

一次方程

整式方程 二次方程

高次方程 有理方程

方程 分式方程

无理方程

一、解方程的依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c≠0) 二、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。

2． 二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加减法

三、一元二次方程

1．定义及一般形式：ax2?bx?c?0(a?0) 如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式? 答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列. 2．解法：⑴配方法（注意步骤和推导求根公式）

(2)公式法：x1,2?b?b2?4ac2?(b?4ac?0)

2a(3)因式分解法（特征：左边=0）

说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。对于不规则的方程首先要化

成一元二次方程的标准形式。

3．根的判别式：??b?4ac

2当??b?4ac＞0时,一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不相等的实数根.反之亦然. 2当??b?4ac=0时,一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个相等的实数根. 反之亦然. 2当??b?4ac＜0时,一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)没有的实数根. 反之亦然.

22224．根与系数顶的关系：x1?x2??bc,x1?x2? aa2逆定理：若x1?x2?m,x1?x2?n，则以x1,x2为根的一元二次方程是：x?mx?n?0。 5．常用等式：x1?x2?(x1?x2)?2x1x2

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(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 四、分式方程

1．分式方程

⑴定义：分母中含未知数的方程，叫分式方程。如：

121?? 2xx?32

⑵基本思想： 分式方程 去分母 整式方程

如何将分式方程化为整式方程？答：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.

⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，

3x?62x?2??7） x?1x?2⑷验根：将求出的未知数的值代入公分母，若分母不为0则是原方程的根，否则，是原方程的增根。

（5）解分式方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列→求出未知数的值→检验 六、无理方程 ⑴定义

乘方 ⑵基本思想： 无理方程 有理方程 ⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，2x2?9?17?x2）⑷验根及方法 七 列方程（组）解应用题 ㈠概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。 ⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

㈡常用的相等关系

1． 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt

C A B ⑴相遇问题(同时出发)： 相遇处 ←乙 甲→

s甲+s乙=sAB;t甲?t乙

⑵追及问题（同时出发）：

A 甲→

B （相遇处） 乙→ C 第 5 页 5

s甲?sAC?s乙;t甲(AB)?t乙(CB)

若甲出发t小时后，乙才出发，

(甲)→ A 乙→ B （相遇处）

而后在B处追上甲，则

s甲?s乙;t甲?t?t乙

⑶水中航行：v顺?船速?水速;v逆?船速?水速 2． 配料问题：溶质=溶液3浓度

溶液=溶质+溶剂

3．增长率问题：分析方法:逐年逐月的分析方法.an?a1(1?r)n?1

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率3工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 ㈢注意语言与解析式的互化 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、??

又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

㈣注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算 如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

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第四章、一元一次不等式（组）

1． 定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2． 一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。 3． 一元一次不等式组：

4． 不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0) ⑶a>b←→ac

⑷（传递性）a>b,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）7．应用举例（略）

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第五章 函数及其图象

一、平面直角坐标系 1．各象限内点的坐标的特点 2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1 函数中的三个概念：常量，自变量，因变量。

2．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

3．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。 4．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数 （定义→图象→性质） 1． 正比例函数

⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。 ⑵图象：直线（过原点） ⑶性质：①k>0，?②k<0，? 2． 一次函数

⑴定义：y=kx+b(k≠0)

⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。

y y y y o (k>0,b>0) x o (k<0,b>0) x o (k>0,b<0) x o (k<0,b<0) x

⑶性质：①k>0,?②k<0,? ⑷图象的四种情况： 3． 二次函数

⑴定义：y?ax2?bx?c(a?0)(一般式) y?a(x?h)?k(a?0)(顶点式)

特殊地，y?ax(a?0),y?ax?k(a?0)都是二次函数。

⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。

222y?ax2?bx?c(a?0)用配方法变为y?a(x?h)2?k(a?0)，则顶点为（h,k）;对称轴为直线

x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。

⑶性质：a>0时，在对称轴左侧?，右侧?;a<0时，在对称轴左侧?，右侧?。 4.反比例函数

⑴定义：三种形式：y?k?kx?1或xy=k(k≠0)。 x 第 8 页

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⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于?，y随x?;②k<0时，图象位于?，y随x?;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法 1． 用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，

并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点

y 的坐标。如下图： X=2 2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、(-1,5) 、b、c的符号。

六、应用举例（略）

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o x 求解析式? 9

b;a

第六章 直线形

一、直线、相交线、平行线

1．线段、射线、直线三者的区别与联系 从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。 2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”） 4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角） 6．互为余角、互为补角及表示方法 7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”） 9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）

11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成 13．公理、定理 14．逆命题

二、三角形 分类：⑴按边分;

⑵按角分

1．定义（包括内、外角）

2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，

等边 等角 大边 大角

小边 小角

3．三角形的主要线段

讨论：①定义②33线的交点—三角形的3心③性质 ① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质 5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS） ⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法 6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。 7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线 8．证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等

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⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法 ⑸证线段和差关系：延结法、截余法 ⑹证面积关系：将面积表示出来

三、四边形 1．一般性质（角） ⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ⑶外角和：360° 2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

定义→性质→判定 边 角 对角线

面积对称性⑵平行四边形、性质和判定

⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形──↑

⑷对角线的纽带作用：

相等且互相平分 相等 互相平分 矩形

垂直 四边形 平行四边形 相等且互相垂直 相等 菱形 轴中对心称对称 矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、正方形

垂直 互相垂直平分 互相垂直平分且相等 3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质） 4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理 ③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：任意等分线段。

四、应用举例（略）

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第七章 解直角三角形

一、三角函数

1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . 2． 特殊角的三角函数值：

3． 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;? 4． 三角函数值随角度变化的关系 5．查三角函数表 二、解直角三角形

1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2． 依据：①边的关系：a2?b2?c2

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

五、对实际问题的处理

1． 俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度： 北 i 仰角 h 俯角 西 东 α l i=h/l=tgα

南 4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。四、应用举例（略）

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第八章 相似形

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）： bd? 反比性质： ac acdcab??ad?bc??或? 更比性质： bdbacd （比例基本定理） a?bc?d?合比性质： bdacma?c???ma????(b?d???n?0)?等比性质:? bdnb?d???nb第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 第二套：

平行线分线段

应用于△中

成比例定理 (基本定理) （ 推论

涉及概念：①

推论 (骨干定理) 相似基本定理

推论的逆定理

判定定理相似三角形 Rt△ 定理3 定理2

推论

定理1

注意：①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似（比例线段）→平行。 二、相似三角形性质

1．对应线段?;2．对应周长?;3．对应面积?。 三、相关作图

①作第四比例项;②作比例中项。 四、证（解）题规律、辅助线 1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴

amcmmamcm?,?(为中间比)⑵?,?',n?n' bndnnbndnamcm'mm'''⑶?,?'(m?m,n?n或?') bndnnn 第 13 页

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3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

第九章 圆

一、圆的基本性质 1．圆的定义（两种）

2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3．“三点定圆”定理 4．垂径定理及其推论

5、与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系） ⑶弦切角定义（弦切角定理）

二、直线和圆的位置关系

1.三种位置及判定与性质：

d>R 直线与圆相离

d=R 直线与圆相切 d

2.切线的性质（重点）

3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴?⑵? 4．切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) d>R+r 外离 d=R+r 外切 R-r

3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质

四、圆和正多边形

1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形） 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算

中心角：?360?n?n?2?(右图) O α 内角的一半：??(n?2)180?n?12(右图) A β （解Rt△OAM可求出相关元素,SM B n、Pn等） 五、一组计算公式

1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式

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2.

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

第十章 统计初步

一、重要概念

1.总体：考察对象的全体。

2.个体：总体中每一个考察对象。 3.样本：从总体中抽出的一部分个体。 4.样本容量：样本中个体的数目。

5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

二、计算方法

1.样本平均数：⑴x?1'''(x1?x2???xn);⑵若x1?x1?a，x2?x2?a，?，xn?xn?a,则nx?x'?a(a—常数，x1，x2，?，xn接近较整的常数a);⑶加权平均数：

x?x1f1?x2f2???xkfk(f1?f2???fk?n);⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特

n征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

1s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2];⑵若

n21'2'2'2''x1'?x1?a,x2?x2?a,?,xn?xn?a,则s2?[(x1?x2???xn)?nx']（a—接近x1、

n2

．

样

本

方

差

：

⑴

，则x2、?、xn的平均数的较“整”的常数）;若x1、x2、?、xn较“小”较“整”

21222s?[(x1?x2???xn)?nx];⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本

n2容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：s?s2

三、应用举例（略）

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第十一章概率

1. 事件的概念

必然事件：在生活中一定发生的事件 不可能事件：在生活中一定不会发生的事件

随机事件：在生活中有可能发生，有可能不发生的事件 2.概率：0?p?1

3.概率的计算：列表和树状图 4.利用概率设计游戏方案

类型一、生活中的确定事件和随机事件 例1.下列事件中必然发生的是（ ）

A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上 B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3

C．通常情况下，抛出的篮球会下落 D．阴天就一定会下雨 类型二、概率的意义 例2.下列说法正确的是：（ ） A、买一张彩票就中大奖是不可能事件 B、天气预报称：“明天下雨的概率是90%”，则明天一定会下雨

C、要了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，可以采取抽样调查的方式进行

D、掷两枚普通的正方体骰子，点数之积是奇数与点数之积是偶数出现的机会相同 类型三、用列表和树状图求概率

例3．小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． （1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？

（2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1，B1，C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法或画树状图（树形图）法加以说明． 小刚 小明

A B C A1 B1 C1 类型四、用概率判断游戏的公平性

例4.如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被均匀地分成4等份，每份分别标上1，2，3，4四个数字；转盘B被均匀地分成6等份，每份分别标上1，2，3，4，5，6六个数字，有人为甲、乙两人

设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时自由转动转盘A与B；

（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，那么乙胜（如转盘A指针指向3，转盘B指针指向5，3?5?15，按规定乙胜）．

你认为这样的规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，那么请你设计一个公平的规则，并说明理由．

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A

B

类型五、概率和频率的关系

例5.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 摸到白球的次数m 摸到白球的频率100 65 0.65 200 124 0.62 300 178 0.593 500 302 0.604 800 481 0.601 1000 599 0.599 3000 1803 0.601 m n（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到0.1） （2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)? ．

（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？

类型六、用概率计算平均收益

例6. 甲、乙两超市（大型商场）同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均

可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．

甲超市:

球 礼金券（元） 乙超市:

球 礼金券（元） 两红 10 一红一白 5 两白 10 两红 5 一红一白 10 两白 5 （1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况；

（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．

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