高等数学上册（理工类·第四版）考试必会基础习题

第一章函数、极限与连续

内容概要

名称 函 数 函 数 两个要素：对应法则邻 域 主要内容（1.1、1.2） U?a,???xx?a????（即U?a,?（U0????xa???x?a??? ） ?a,????xa???x?a??,x?0?）U0?a,???x0?x?a???f以及函数的定义域D 由此，两函数相等?两要素相同；（与自变量用何字母表示无关） 解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数； 特 性 局 部 单 调 性 区间I局部 有界 性 对集合X?D，若存在正数M上有界，或，使对所有x?X，恒有f?x??M，称 函数f?x?在Xf?x?是X上的有界函数；反之无界，即任意正数 M（无论M多大），总存在（能找到）x0?X，使得f?x0??M ?D，对区间上任意两点x1x2，当x1?x2时，恒有： f?x1??f?x2?，称函数在区间I反之，若上是单调增加函数； 上是单调减小函数； f?x1??f?x2?，则称函数在区间I 奇偶性 设函数则称f?x?的定义域D关于原点对称；若?x?D，恒有f??x??f?x?， f?x?是偶函数；若?x?D，恒有f??x???f?x?，则称f?x?是奇 函数； 周期性 若存在非零常数T，使得对?x?D，有?x?T??D，且 f?x?T??f?x?，则称f?x?是周期函数； 初等 函数 几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数； 反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数

第3章 中值定理与导数的应用

内容概要 名称 3.1 中值 定理 名称 罗尔中值定理 主要内容（3.1、3.2） 条件 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导；（3）结论 至少存在一点ξ?(a,b)使得f(a)?f(b) f/(ξ)?0 至少存在一点拉格朗日中值定理 柯西中值定理 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导 ??(a,b)使得f/(ξ)?f(b)?f(a) b?a（1）在[a,b]上连续，在(a,b)f(x)、g(x)：内可导；（2）在(a,b)内每点处g/至少存在一点ξ?(a,b) 使得(x)?0 f/(ξ)f(b)?f(a)?/b?ag(ξ)3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与?型未定式 ?通分或取倒数化为基本形式 0?型或型； ?00?2）0??型：常用取倒数的手段化为型或型，即： ?000??0????或0????； 1/?01/0?1）???型：常用通分的手段化为1）0型：取对数得000取对数化为 基本形式 其中0?ln0?0????e0?ln0，00?1/?0或0?ln0?0???2）1型：取对数得1?????； 1/0??e??ln1， 00? 1/?0??或??ln1???0??； 1/0?其中??ln1???0?3）?型：取对数得?00?e0?ln?， 00? 1/?0??或0?ln??0????。 1/0?其中0?ln??0???

函数，极限与连续&中值定理

习题1~8

★ ★ 5.利用等价无穷小性质求下列极限：

?sinx?tanx；

（2）lim3x?01?cosx2（3）limln?1?3xsinx?； x?0tanx2x?0（4）lim1?xsinx?1；

xarctanx知识点：等价无穷小代换求极限；

思路：要活用等价无穷小公式，如当x?0，有x?0，故sinx～x，以及有关定理。

333?sinx?tanx?lim（2）lim3x?01?cosx2x?0x3?x?2

122x2??（3）当x?0时，3xsinx?0，故ln?1?3xsinx?～3xsinx，

ln?1?3xsinx?3xsinx?lim?3；

x?0x?0tanx2x21xsinx1?xsinx?11（4）lim?lim2? ；

x?0x?0xarctanxx?x2 lim习题3~2

★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：

（7） limtanx?xx?0x-sinx；

知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：

00型与

?型未定?式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于???型与0??型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于0型、1型与?型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

0?0tanx?xsec2x?12tanxsec2x2?lim?lim?lim?2； （7） lim3x?0x?sinxx?01?cosxx?0x?0sinxcosx习题1~6

★ ★ 1．计算下列极限：

（12）

x???limx1?x2?x??；

（14）lim?3??1； ?3?x?11?x1?x??知识点：极限求法

思路：参照本节例题给出的几种极限的求法

（12）

x???limx1?x?x?limx1?xx????2??2?1?x?x?2?x1?x2?x??limxx2?1?xx????1； 2x?1??x?2??1?x?x2?33??1??lim??1； （14）lim??lim?33?2x?1x?1x?1x?11?x1?x1?xx?x?1??????习题1-7

★ ★ 2．计算下列极限：

（7）limx?0?1?xe?x1x ；

1?知识点：重要极限： lim?1?????0?1??e （或lim?1???e）

??????1??思路： 将函数表达式化成lim?1?????0?1??e（或lim?1???e），并利用指数函数运算性质

???????（em?n?em?en,emn??em?n）得出结果

（7） lim1?x?0?xex?1x?lim1?xex?0?x?1xex?ex?e1?e

习题3-2

★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：

（14）

x?0lim?xsinx；

（19）

x???lim(x?1?x)21x；

知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：

00型与

?型未定?式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于???型与0??型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于0型、1型与?型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

0?0（14）

x?0limxsinx?e?x?0?limsinxlnx?ex?0?limlnxcscx?ex?0?lim1?xcotxcscx?ex1?x2x?0?limtanxsinx?x ?e0?1；

1?（19）

x???lim(x?1?x2)1x?eln(x?1?x2)x???xlim?ex???limx?1?x2?ex???lim11?x2?1；

习题1-9

★ ★ 3．判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使它

连续。

x2?1（2）y?2,x?1,x?2;

x?3x?2

知识点：间断点类型及判定；

思路： 间断点类型取决于左右极限是否存在，故要分别求间断点的左右极限；

?x?1??x?1??limx?1??2，左右极限相等， x2?1?lim（2）x?1时，lim2x?1x?3x?2x?1?x?2??x?1?x?1x?2∴是第一类中的可去间断点，补充定义

y?1???2可使函数在该点处连续；

x2?1x?1 x?2时，lim2??lim??，∴是第二类无穷间断点；

x?2x?3x?2x?2x?2★ ★ 6．设

?a?x2,x?0?f?x???1,x?0，已知f?x?在x?0处连续，试确定a及b的值。

?2?lnb?x?x,0?x??

知识点：左右连续；

思路：在x?0处连续，有f?0?0??f?0?0??f?0?，并据此列式求解； 解：f?x?在x?0处连续当且仅当f?x?在x?0处既左连续又右连续；

由

x?0?limlnb?x?x?2??a?1?lim?a?x?f?0??1?lnb?a?1??； x?0b?e?2

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