假期用整理后卷子1-2课时卷

§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一)

1．下列说法正确的是( )A．y＝2x2＋1中的x、y是具有相关关系的两个变量

B．正四面体的体积与其棱长具有相关关系C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系

D．传染病医院感染甲型H1N1流感的医务人员数与医院收治的甲型流感人数是具有相关关系的两个变量 2．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( )A．点散布特征为从左下角到右上角区域 B．点散布在某带形区域内C．点散布在某圆形区域内D．点散布特征为从左上角到右下角区域内 3．已知x与y之间的一组数据如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y关于x的线性回归直线必过( )A．(2,2)点 B．(1.5,0)点C．(1,2)点

D．(1.5,4)点

4．回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和()A．越大B．越小C．可能大也可能小 D．以上均错 ^

5．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得y ＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是( )A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D．年龄为37岁人群中的大部分人的体内脂肪含量为31.5%

6．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是________．

7．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：

月平均气温x(℃) 17 13 8 2 月销售量y(件) ^^^^24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y ＝b x＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________．

^

8．已知线性回归方程为y ＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________． 9．某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：

月份 产量(千件) 单位成本(元) 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 (1)求出线性回归方程；(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ (3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？

10．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：

推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 推销金额y/万元 2 3 3 4 5 (1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；

(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．

11．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，?，10)，得散点图(1)；对变量u，v，有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，?，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )

(1) (2)

A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关

12．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：

x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5n 7.0 根据上表，通过计算机画出的散点图呈线性相关，并且已经得到∑^

^

^

i＝1

xiyi＝112.3. ^

^

(1)求线性回归方程y ＝b x＋a 的回归系数a 、b 的值； (2)求残差平方和； (3)求相关指数R2；

(4)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

1

答案1．D [感染的医务人员数不仅受医院收治的病人数的影响，还受防护措施等其他因素的影响．]

2．D [散点图的主要作用是直观判断两个变量之间的相关关系．一般地说，当散点图中的点是呈“由左下角到右上角”的趋势时，则两个变量之间具有正相关关系；而当散点图中的点是呈“由左上角到右下角”的趋势时，则

两个变量之间具有负相关关系．]3．D [在本题中，样本点的中心为(1.5,4)，所以回归直线过(1.5,4)点．] 4．B [相关指数R2

越大，说明回归模型拟合的效果越好，残差平方和越小，反之也是．]

^5．C [当x＝37时，y ＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内

^

^

脂肪含量为20.90%.]6^

．甲7．46解析 ∵样本点的中心为(10,38)，∴38＝－2×10＋a ，∴a ＝58，

∴当x＝6时，y ＝－2×6＋58＝46.8．11.696

解析 y的估计值就是当6

x＝25时的函数值，6

6即0.50×25－0.81＝11.69.9．解 (1)n＝6，i∑＝1

xi＝21，i∑＝1

yi＝426，x＝3.5，y＝71，i∑＝1

xi2＝79，i∑＝1

xiyi＝1 481，

6

^

∑xiyi－6x b ＝iy

＝1

1 481－6×3.5×71

^^

6＝∑279－6×3.52

≈－1.82. a＝y－b x＝71＋1.82×3.5＝77.37.

ix2i－6x

＝1

^

^

^

^

线性回归方程为y ＝^a ＋b x＝77.37－1.82x.(2)因为单位成本平均变动b ＝－1.82<0，且产量x的计量单位是千件，所以根据回归系数b 的意义有：产量每增加一个单位即^

1 000件时，单位成本平均减少1.82元．

(3)当产量为6 000件时，即x＝6，代入线性回归方程：y＝77.37－1.82×6＝66.45(元)当产量为6 000件时，单位成本为66.45元．

5

^

^

^

^

∑ ?xi－x??10．解 (1)设所求的线性回归方程为y ＝b x＋a ，则b ＝iyi－y?5＝10

^^＝1＝0.5，a＝y－b ∑i＝1

?xi－x?

2

20x＝0.4. ^

^

所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y ＝0.5x＋0.4.(2)当x＝11时，y ＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)． 所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．

11．C [图(1)中的数据随着x的增大而y减小，因此变量x与变量y负相关；图(2)中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关．] 12．解 (1)由已知数据制成下表. i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x2i 4 9 165 25 536 90 x＝4；y＝5；i∑＝1xi2＝90；i∑＝1xiyi＝112.3 ^

于是有b ＝112.3－5×4×5^

^

90－5×42

＝1.23，

a ＝y－b x＝5－1.23×4＝0.08，

^

∴y ＝1.23^

x＋0.08.

(2)由公式y 1＝1.23×2＋0.08＝2.54，

^

×3＋0.08＝3.77， ^

y2＝1.23^y3＝1.23×4＋0.08＝5， ^

y4＝1.23×5＋0.08＝6.23， y5＝1.23×6＋0.08＝7.46，

^

∴e2.2－2.54＝－0.34， ^

1＝＝0.03， ^e2＝3.8－3.77^e3＝5.5－5＝0.5， ^

e4＝6.5－6.23＝0.27， e5＝7.0－7.46＝－0.46.

∴残差平方和为(－0.34)2

＋0.032

＋0.52

＋0.272

＋(－0.46)2

＝0.651.

(3)R2＝1－0.651

?－2.8?2

＋?－1.2?2＋0.52＋1.52＋2.02 ≈0.958 7.

^

(4)线性回归方程为^

y ＝1.23x＋0.08， 当x＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．

§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)

^

1．设有一个回归方程为y ＝3－5x，变量x增加一个单位时( ) A．y平均增加3个单位

B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位

D．y平均减少3个单位

2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )

^

^

^

^

A．y ＝－10x＋200 B．y ＝10x＋200C．y ＝－10x－200 D．y ＝10x－200

3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有

^

相关关系，回归方程为y ＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均工资收入的百分比约为( )A．83% B．72% C．67% D．66%

4．若x，y具有相关关系，且得到一组散点图大致分布在一条直线的附近，则所得的回归直线是指( ) A．经过散点图上两点的直线B．经过散点图上最多的点的直线C．与各个散点的偏差和最小的直线 D．与各个散点的偏差的平方和最小的直线

5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元) 49 26 39 54 2

^^^^

父亲身高(x) 儿子身高63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 根据上表可得回归方程y ＝b x＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为( ) A．63.6万元

B．65.5万元C．67.7万元

D．72.0万元

6．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是

x/万元 y/万元 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 (y) (1)对变量y与x进行相关性检验；

(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．

7.根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：

年份 产量 1986 8.6 1991 10.4 1996 12.9 2001 16.1

12．某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：

根据有关专家预测，到2010年我国能源生产总量将达到21.7亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列的四种

^

^

^

^

2

x 1 2 5.52 3 4.08 5 2.85 10 2.11 20 1.62 30 1.41 50 1.30 100 1.21 200 1.15 模型中的哪一种________．(填序号)①y ＝a x＋b (a ≠0)；②y＝ax＋bx＋c(a≠0)； ③y＝ax(a>0且a≠1)；④y＝logax(a>0且a≠1)． 8．下列说法中正确的是________(填序号)．

①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法．

9．假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的．若10个学生初一(x)和初二(y)的数学分数如下：

y 10.15 1

检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系？如有，求出y对x的线性回归方程．

x

x y 74 76 71 75 72 71 68 70 76 76 73 79 67 65 70 77 65 62 74 72

试求初一和初二数学分数间的线性回归方程．

10．在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量．

x/min y/mg 1 39.8 2 32.2 3 25.4 4 20.3 5 16.2 6 13.3

§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)

^

^

(1)设y与x之间具有关系y＝cdx，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)； (2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1)． 11．测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：

1．B2．A [∵负相关，∴b <0，再由问题的实际意义排除即可．]3．A [当y ＝7.675时，x≈9.262，

3

∴估计该城市人均消费额占人均收入百分比约7.675÷9.262≈0.83.]

^

^

4．D5．B [由题意可知x＝3.5，y＝42，则42＝9.4×3.5＋a ，a ＝9.1，

^

y ＝9.4×6＋9.1＝65.5，答案应选B.]6．(6,50) 7．①8．④⑤

解析 回归分析就是研究两个事件的相关性；回归模型是需要通过散点图模拟的；回归模型有线性和非线性之分．

10

10

^

9．解 因为x＝71，?x251 467－10×71×72.3i＝50 520，y＝72.3，?xiyi＝51 467，所以，b ＝

i＝1

i＝1

50 520－10×71

2

≈1.218 2.

^^

a ＝72.3－1.218 2×71＝－14.192 2，线性回归方程是：y ＝1.218 2x－14.192 2. 10．解 (1)在y＝cdx两边取自然对数，令ln y＝z，ln c＝a， ln d＝b，则z＝a＋bx.由已知数据，得 x 1 2 3 4 5 6 y 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588 ^

由公式得a≈3.905 5，b≈－0.221 9，则线性回归方程为z ＝3.905 5－0.221 9x.而ln c＝3.905 5，ln d＝－0.221 9，故c≈49.681，d≈0.801，所以c、d的估计值分别为49.681，0.801.(2)当x＝10时，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)． 11．解 (1)x＝66.8，y＝67.01，10∑10i＝ 1x2i＝44 794，∑i＝ 1y2i＝44 941.93，x y＝4 476.27， 10

∑x2＝4 462.24，y2＝4 490.34，10∑ xi＝ 1xiyi－10x yiyi＝44 842.4.所以r＝

i＝1

(

10∑2

2

i＝ 1xi－10x2

)(

10∑2

i＝ 1yi－10y)

＝

44 842.4－10×4 476.27

?44 794－44 622.4??44 941.93－44 903.4?

＝

79.7

≈79.7

≈0.980 2.

6 611.74881.31

由于r的值非常接近于1，

^

^

^

所以y与x之间具有线性相关关系．(2)设回归方程为y ＝b x＋a . 10

^

∑由b ＝i＝ 1xiyi－10x y44 842.4－44 762.7

10＝

∑i＝ 1

x2244 794－44 622.4i－10x＝

79.7

171.6

≈0.464 5， ^^

a ＝y－b x＝67.01－0.464 5×66.8≈35.98.

^

故所求的线性回归方程为y ＝0.464 5x＋35.98.

^

(3)当x＝73时，y ＝0.464 5×73＋35.98≈69.9，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸． 12．解 把1x置换为z，则有z＝1

x，

从而z与y的数据为 z 1 0.5 0.333 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 可作出散点图，从图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合．

z＝1

10×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1，

y＝1

10

×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14，∑z2i＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.005210

≈1.415，

i＝1

10

10

∑y2

2

2

2

2

i＝10.15＋5.52＋…＋1.21＋1.15＝171.803，∑ziyi＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15

i＝1

i＝1

10

^

∑ziyi－10z y^^

＝15.221 02，所以b ＝

i＝1

10

≈8.976，a＝y－b z＝3.14－8.976×0.225 1≈1.120，

∑z2

2

i－10zi＝1

^

所以所求的z与y的线性回归方程为y＝8.976z＋1.120. ^

又因为z＝1x，所以y ＝8.976

x＋1.120.

§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

1．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺

病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有( )A．①②③ B．②④⑤C．②③④⑤

D．①②③④⑤

2．用独立性检验来考察两个分类变量x与y是否有关系，当统计量K2的观测值( ) A．越大，“x与y有关系”成立的可能性越小B．越大，“x与y有关系”成立的可能性越大 C．越小，“x与y没有关系”成立的可能性越小D．与“x与y有关系”成立的可能性无关 3．检验两个分类变量是否相关时，可以用________粗略地判断两个分类变量是否有关系．( )

4

A．散点图 B．独立性检验C．等高条形图 D．以上全部都可以 4．下面是一个2×2列联表：

y1 y2 总计

x1 a 21 73 x2 8 25 33 总计 b 46 则表中a，b处的值分别为( )A．94,96

B．52,50C．52,60

D．54,52

5．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表 认为作业量大 认为作业量不大 合计 男生 18 9 27 女生 8 15 23 合计 26 24 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”，这种推断犯错误的概率不超过( ) A．0.01

B．0.005

C．0.025

D．0.001

6．下列说法正确的是________．(填序号)①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响； ②事件A与B关系越密切，K2就越大；③K2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据； ④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．

7．在一次独立性检验中，有300人按性别和是否色弱分类如下表： 男 女 正常 142 140 色弱 13 5 由此表计算得K2的观测值k≈________.(结果保留两位小数)

8．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K2的观测值k＝6.023，根据这一数据查表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过________．

9．在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表； (2)检验性别与休闲方式是否有关系．

10．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：

积极支持改革 不太赞成改革 合计 工作积极 54 40 94 工作一般 32 63 95 合计 86 103 189 依据表中的数据对人力资源部的研究项目进行分析，能够得出什么结论？

11．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：

①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100

个吸烟的人中必有99人患有肺病；

②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；

③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．

其中说法正确的是________．(填序号)

12．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别 男 女 是否需要志愿者 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

1．B 2．B 3．C4．C [由列联表知，2

a＝73－21＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.]

5．C [K2＝50×?18×15－8×9?26×24×27×23

≈5.059>5.024.∵P(K2

≥5.024)＝0.025，∴犯错误的概率不超过0.025.]

6．②解析 对于①，事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错．②是正确的．对于③，判断A与B是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故③错．对于④，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B一定发生，故④错． 7．3.24解析 代入K2公式计算即可．8．0.025 9．解 (1)2×2的列联表：

5

休闲方式 看电视 运动 合计 性别 女 43 27 70

男 21 33 54 合计 64 60 124 (2)根据列联表中的数据得到k＝124×?43×33－27×21?270×54×64×60

≈6.201.

因为k≥5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别有关系．

计算K的观测值k＝189×?54×63－32×40?210．解2

94×95×86×103

≈10.759.

由于10.759>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．

11．③解析 K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．

12．解 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老

年人的比例的估计值为70

500

＝14%.

(2)k＝500×?40×270－30×160?2

200×300×70×430

≈9.967.

由于9.967>7.879，所以有99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．

§2.1 合情推理与演绎推理

1．下列说法正确的是( )A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误

2．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是( )

A．n2－1

B．(n－1)2＋1C．2n－1

D．2n－1＋1

3．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )

1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111

1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111

??A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113

4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2

＝a2

＋2ab＋b2

与(a＋b)2

类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0

B．1

C．2

D．3

5．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )

A．■ B． C．□ D．○

6．已知正三角形内切圆的半径是高的1

3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是

____________________________________________．

7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，?，根据上述规律，第五个等式为____________________． 8．观察下列等式：

①cos 2α＝2cos2

α－1； ②cos 4α＝8cos4

α－8cos2

α＋1；

③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；

④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；

⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m－n＋p＝________.

9．观察等式sin220°＋sin240°＋sin 20°·sin 40°＝3

4

；

sin228°＋sin232°＋sin 28°·sin 32°＝3

4

.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．

10．已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝

12(an＋1an

)

(n∈N*)，求出a1，a2，a3，并推测an的表达式．

11．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )

6

A．f(x) B．－f(x)

C．g(x)

D．－g(x12．已知椭圆C：x22) a2＋y

b2＝1 (a>b>0)具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意

一点，当直线PM、PN的斜率都存在时，记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双

C：x2y2

曲线a2－b

2＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．

§2.1 合情推理与演绎推理

1．B [合情推理的结论不一定正确，但必须有前提有结论．]2．C [a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n

－1.故选C.] 3．B [由数塔可以猜测，结果是各位都是1的七位数，即1111111.]4．B

5．A [图形涉及□、○、三种符号；其中○与各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个□符号，即应画上■才

合适．]6．正四面体的内切球的半径是高的1

4

解析 原问题的解法为等面积法，即S＝12ah＝3×12ar?r＝111

3h，类比问题的解法应为等体积法，V＝3Sh＝4×3

Sr

?r＝14h，即正四面体的内切球的半径是高的1

4.7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．962

解析 观察各式容易得m＝29

＝512，注意各等式右边的表达式各项系数和均为1，故有m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有

cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n＋14p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，联立方程组??

n＋p＋350＝0，?n＋4p＋200＝0，

得?

?n＝－400，

?p＝50.

∴m－n＋p＝962.

9．解 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，∴由此题的条件猜想，若α＋β＝60°，

则sin2α＋sin2β＋sin α·sin β＝3111

4.10．解 由a1＝S1＝2(a1＋a1)得，a1＝a1

，

又a1>0，所以a1＝1.当n≥2时，将Sn＝

12(an＋1an)

，Sn1

(1－1＝2an－1＋an)

的左右两边分别相减得

－1

an＝12(an＋1an)－12(an1an)，整理得a(1n－1＝－an)1－1＋－1＋，所以a2－＝－22

－1anan，即a2＋2a2＋1＝2，

－1a2

又a2>0，所以a2＝2－1.同理a3－12

a3＝－22，即a3＋22a3＋2＝3，

又a3>0，所以a3＝3－2. 可推测an＝n－n－1.

11．D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]

12．证明 类似性质为：若M、N为双曲线x2y2

a2－b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任一点，当

直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与P点位置无关的定值．其证明如下：

P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，其中m22－n22＝1，即n2＝b2

设y－ny＋n2(m2－a2)．∴kPM＝，kPN＝，2abax－mx＋m

又xy22b

2

a2－b2＝1，即y＝a

2(x2－a2)， ∴y2－n2＝b

2a

2(x2－m2)．

y2－n2b2

∴kPM·kPN＝x2－m2

＝a

2. 故kPM·kPN是与P点位置无关的定值．

2.1.2 演绎推理

1．演绎推理中的“一般性原理”包括( )①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．下列说法不正确的个数为( )

①演绎推理是一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定正确；③合情推理是演绎推理的前提，演绎推理是合情推理的可靠性．A．3 B．2 C．1 D．0

3．“因为对数函数y＝logax是增函数，而y＝log11

2x是对数函数，所以y＝log2x是增函数”．有关这个“三段论”

的推理形式和推理结论正确的说法是( )A．形式正确，结论正确 B．形式错误，结论错误 C．形式正确，结论错误 D．形式错误，结论正确

4．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( ) A．① B．② C．③ D．①和②

7

5．“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提( ) A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形

6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．

7．已知f(x)＝x(

12x－1＋12)

，求证：f(x)是偶函数．证明：f(x)＝x2x＋1

2?2x－1?，其定义域为{x|x≠0}， 又f(－x)＝(－x)2－x＋1

1＋2x

2x＋1

2?2－x－1?＝－x2?1－2x?＝x·2?2x－1?＝f(x)，f(x)为偶函数．

此题省略了__________．

8．补充下列推理的三段论：(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数且________，所以b＝8.(2)因为________，又因为e＝2.718 28?是无限不循环小数，所以e是无理数． 9．把下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾； (2)一切奇数都不能被2整除，2100

＋1是奇数，所以2100

＋1不能被2整除； (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．

10．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证EF∥平面BCD.

11．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；(大前提) 已知直线b∥平面α，直线a?平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论) 那么这个推理是( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误

D．非以上错误

12．用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．

2.1.2 演绎推理

1．A2．C [演绎推理的结论正确与否与前提、推理形式有关，不一定正确，故②不正确．]

3．C [推理的形式正确，但大前提是错误的，这是因为对数函数y＝logax (0

8．(1)a＝－8(2)无限不循环小数是无理数9．解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提

在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提水会沸腾．结论

(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除．结论

(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论 10．证明 三角形的中位线平行于底边大前提点E、F分别是AB、AD的中点小前提 所以EF∥BD结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行大前提 EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD小前提EF∥平面BCD.结论 11．A

12．证明 设x10， f(x2)－f(x1)＝(x32＋x2)－(x31＋x1) ＝(x23

－x13

)＋(x2－x1)

＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x2

1)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21＋1)

＝(x2－x1)

[(

x2＋x122)

＋34

x21＋1]

. 因为(x2＋

x12

)2

＋3x1

24

＋1>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．

于是根据“三段论”，得函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．

习题课

1．若f(n)＝n2

＋n＋41，n∈N＋，下列说法正确的是( )A．f(n)可以为偶数

B．f(n)一定为奇数

C．f(n)一定为质数 D．f(n)必为合数

2．不等式a>b与11C．11

a>b同时成立的充要条件为( )A．a>b>0 B．a>0>bbb>0 3．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( )A．3 B．－3

C．6

D．－6

4．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，?，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2 007(x)等于( ) A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x

5．如果数列{an}的前n项和Sn＝3

2an－3，那这个数列的通项公式是( )

A．an＝2(n2＋n＋1) B．an＝3·2nC．an＝3n＋1

D．an＝2·3n

8

6．f(n)＝1＋12＋13＋?＋1n (n∈N357

＋)．计算得f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，推测当n≥2时，有___________．

7．已知两个圆：x2

＋y2

＝1， ① 与x2＋(y－3)2＝1.

②

则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________________________________________________________ 8．下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为________．

9．11×2＋12×3＋11

3×4＋?＋n?n＋1?

，写出n＝1,2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？

10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.

求证：(1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.

11．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 第1列 第2列 第3列 ? 第1行 1 2 3 ? 第2行 2 4 6 ? 第3行 3 6 9 ? ? ? ? ? ? 那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．

12．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．

习题课答案1．B [因为n∈N＋，所以f(n)＝n(n＋1)＋41，一定为奇数．]

??a>b，?a>b，2．B [???1?a>b，

a>1??b

?a－b

??

?a>0>bab<0，?ab<0，.]

3．A [a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}是以6个项为周期循环出现的数列，a33＝a3＝3.]4．D [由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，?可以归纳出：f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝－cos x (n∈N＋)，∴f2 007(x)＝f3(x)＝－cos x．]

5．D [当n＝1时，a1＝32a1－3，∴a1＝6，由Sn＝32an－3，当n≥2时，Sn3

－1＝2

an－1－3，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn33

－1＝an－an－1，∴an＝3an－1.∴a1＝6，a2＝3×6，a3＝32×6.猜想：an＝6·3n－1＝2·3n22

.]

6．f(2n)>n＋22

7．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2

③

(x－c)2＋(y－d)2＝r2

④

其中a≠c或b≠d，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程．

8．125解析 第一个图只一条线段，第二个图比第一个图增加4条线段，即线段的端点上各增加2条，第三个图比第二个图增加4×2＝23条线段．第4个图比第三个图增加23×2＝24条线段，因此猜测第6个图的线段的条数为

1＋22＋23＋24＋25＋26＝1＋22?25－1?2－1＝27

－3＝125.

9．解 n＝1时，11

1×2＝2；

n＝2时，11112

1×2＋2×3＝2＋6＝3；

n＝3时，111211×2＋2×3＋3×4＝3＋12＝3

4；

n＝4时，11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝34＋120＝4

5

. 观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.

所以猜想11111×2＋2×3＋3×4＋?＋n?n＋1?＝n

n＋1.

证明如下： 由111111111×2＝1－2，2×3＝2－3，?，n?n＋1?＝n－n＋1.

∴原式＝1－12＋12－13＋13－14＋?＋11

n－n＋1 ＝1－1n

n＋1＝n＋1. 10．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知 EF∥BC.因为EF?平面ABC，BC?平面ABC. 所以EF∥平面ABC.

(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知 CC1⊥平面A1B1C1.

又A1D?A1B1C1，故CC1⊥A1D.

9

又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，

故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

11．n2

＋n

解析 由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，?，组成一等差数列，所以第n行第n＋1列的数是：n2＋n.

12．解 猜想正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S22

△ABC＋S△ACD＋S22△ADB＝S△BCD”．

事实上，本题还需要严格意义上的证明：

如图所示，作AO⊥平面BCD于点O，由三个侧面两两互相垂直可知三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，故O为△BCD的垂心，在Rt△DAE中，AO⊥DE，有AE2

＝EO·ED，

S212

△ABC＝4BC·

AE2 ＝(12BC·EO)(12

BC·ED)

＝S△OBC·S△BCD，

同理S2△ACD＝S△BCD·S△OCD，S2△ABD＝S△BCD·S△OBD， 故S22ACD＋S22△ABC＋S△△ADB＝S△BCD.

3．1.1 数系的扩充和复数的概念

1．(1＋3)i的实部与虚部分别是( )A．1，3 B．1＋3，0C．0,1＋3

D．0，(1＋3)i 2．a为何值时，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i表示纯虚数( )A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1

C．a＝0

D．a＝2或a＝0

3．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i (x，y∈R)，则x，y的值分别为( )A．1,2 B．2,1C．－1,2 D．－2,1 4．已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的( )A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5．已知k∈R，方程x2＋kx＋3xi＋4＋k＝0一定有实根的充要条件是( )A．|k|≥4 B．k≥2＋25或k≤2－25C．k＝±32D．k＝－4

6．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为________． 7．若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a＝______.

8．使不等式m2

－(m2

－3m)i<(m2

－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．

9．已知复数z＝

a2－7a＋6

a2－1

＋(a2－5a－6)i (a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)

纯虚数．

10．已知

x2

－x－6

x＋1

＋(x2－2x－3)i＝0 (x∈R)，求x的值．

11．设a，b∈R，若a＋b＋i＝10＋abi(i为虚数单位)，则(a－b)2等于( )

A．－12

B．－8

C．8

D．10

12．如果m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1

3．1.1 数系的扩充和复数的概念答案

1．C [(1＋3)i可看作0＋(1＋3)i＝a＋bi，所以实部a＝0，虚部b＝1＋3.]

由已知得??a2

－2a＝0，

2．C [?a2－a－2≠0，

∴a＝0时，z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i为纯虚数．]

3．A [(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i???

7－3x＝2y， ?x＝?3y＝2?x＋2???1，

?y＝2.

即x，y的值分别为1,2.]

4．C [若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数，若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则??a－b＝0，

?a＋b≠0.

]

2

．D [设方程的实根为x，则x2＋kx＋4＋k＋3xi＝0，∴??x＋kx＋4＋k＝0，

5?3x＝0，

∴k＝－4.故选D.]

?m2

－3m－1＝36．－1解析 若M∩N＝{3}，则m2

－3m－1＋(m2

－5m－6)i＝3，∴??m＝4或m＝－1

?m2－5m－6＝0 ???m＝6或m＝－1

，

∴m＝－1.

10

2

7．－4解析 若4－3a－a2

i＝a2

＋4ai，则??4－3a＝a

?a2

＋3a－4＝0?a＝－4或a＝1

?－a2＝4a???a2＋4a＝0 ???a＝0或a＝－4

.∴a＝－4.

?m2

－3m＝0，

8．{3}解析若使复数可以比较大小，∴两个数必须为实数．∴?m2

－4m＋3＝0，

?m2<10，

?

m＝0或3，

∴?m＝1或3，∴m＝

?－10

10，

3.

9．解 (1)当z为实数时，则有：

??a2

－5a－6＝0，?a＝－1或a＝6，?a2－1≠0， ∴??a≠±1，

∴a＝6. ∴当a＝6时，z为实数．

(2)当z为虚数时，则有： ??a2

－5a－6≠0，

?a≠－1且a≠6，?a2－1≠0，∴??a≠±1，

∴a≠±1且a≠6.

∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数． (3)当z为纯虚数时，则有：

?a2－5a－6≠0，

??a≠－1且a≠6，?

a2

－7a＋6

a2－1

＝0，

∴??a＝6.

∴不存在实数a使z为纯虚数． 10．解 由复数相等的定义得 ?x2－x－6

?

x＋1＝0，?

x2－2x－3＝0.

解得：x＝3，∴x＝3为所求． 11．C [由复数相等的充要条件得，?

?a＋b＝10

?ab＝1

?(a－b)2

＝a＋b－2ab＝10－2＝8.] 12．解 由z1>z2，z1

?m3＋3m2＋2m＝0， ①

∴当z1>z2时，有?m3－5m2

＋4m＝0， ②

?

m2＋1>4m＋2， ③

由①②解得m＝0，不能满足③式， ∴使z1>z2的m的值的集合为空集． 由以上可知，m＝0时，m2＋1<4m＋2， ∴使z1

复数的概念习题课

1．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是( )

A．3－3i B．3＋iC．－2＋2i D．2＋2i 2．若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2等于( )

A．0 B．2 C．5

2 D．5

3．若点P对应的复数z满足|z|≤1，则P的轨迹是( ) A．直线

B．线段C．圆

D．单位圆以及圆内

4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为( ) A．1

B．1或3C．3 D．9

5．在复平面内，O为原点，向量OA→对应复数为－1－2i，则点A关于直线y＝－x对称点为B，向量OB→

对应复数为( )A．－2－i

B．2＋iC．1＋2i

D．－1＋2i

6．若x是实数，y是纯虚数且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________.

7．下列命题：(1)两个复数不能比较大小；(2)若z＝a＋bi，则当a＝0，b≠0时，z为纯虚数； (3)x＋yi＝1＋i?x＝y＝1；(4)若实数a与虚数ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是________． 8．若|log3m＋4i|＝5，则实数m＝________.

2

9．当实数m为何值时，复数z＝m＋m－62

m＋(m－2m)i为 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

10．已知z＝2a＋1－2＋(a－3)i对应的点在第四象限，求a的取值范围．

11．求复数z1＝3＋4i，及z2＝－1

2

－2i的模，并比较它们模的大小．

11

12．实数m分别取何值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i的对应点：(1)在x轴上方；(2)在直线x＋y＋5＝0上．

习题课答案1．A [3i－2的虚部为3,3i2

＋2i的实部为－3，故所求复数为3－3i.] 2．D [由已知a＝－1，b＝2，∴a2＋b2＝5.]3．D

4．D [若表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则m－3＝2m，即m－2m－3＝0， ∴(m－3)(m＋1)＝0，∴m＝3，∴m＝9.]

?5．B

[点A(－1，－2)，设B(x，y)，则?y＋2?

x＋1＝1

?x＝2

??－1＋x－2＋y?y＝1

，∴向量OB→对应的复数为2＋i.]

2＋2＝0

，解得?

6．12 2i解析 设y＝bi (b≠0)，∴??2x－1＝0

1?b＝2

，∴x＝2.7．0

解析 因为实数也是复数，而两个实数是可以比较大小的，故(1)错；(2)中没有注意到z＝a＋bi中未对a，b加以限制，故(2)错；(3)中在x，y∈R时可推出x＝y＝1，而此题未限制x，y∈R，故(3)错；(4)中忽视了当a＝0时，ai＝0，即0在虚数集中没有对应，故(4)错．

8．27或127解析 由题意得，(log3m)2＋16＝25，即(log3m)2＝9，∴log3m＝±3，∴m＝27或m＝1

27

.

??m2

－2m＝0

9．解 (1)当?m≠0

，即m＝2时，复数z是实数；(2)当m2－2m≠0，

即m≠0，且m≠2时，复数z是虚数；

?m2＋m－6

(3)当?

m＝0?，

m2－2m≠0

即m＝－3时，复数z是纯虚数．

10．解 由题意得?

?2a＋1－2>0，?∴3

2<3. 11．解 |z1|＝32＋42＝5， |z2|＝

(－12

＋?－2?2

3

2)＝2

. ∵5>3

2

，∴|z1|>|z2|.

12．解 (1)由题意得m2－2m－15>0， 解得m<－3或m>5.

(2)由题意得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，

m＝－3±414.

3.1.2 复数的几何意义

1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限

2．已知0

B．(1,3)C．(1，5)

D．(1，3) 3．与x轴同方向的单位向量e1，与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是( )

A．e1对应实数1，e2对应虚数iB．e1对应虚数i，e2对应虚数i

C．e1对应实数1，e2对应虚数－iD．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i

4．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在( )

A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限

5．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( )

A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数

6．设z＝log2(m2

－3m－3)＋i·log2(m－3) (m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是________． 7．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是__________．

8．若2

3

9．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，求实数x的取值范围．

10．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.

12

11．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i

D．4＋i

12．已知z＝3＋ai且|z－2|<2，求实数a的取值范围．

3．1.2 复数的几何意义答案

1．D [∵π

2

<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0，∴点(sin 2，cos 2)在第四象限．]

2．C [由题意得z＝a＋i，∴|z|＝a2＋1.∵0

3．A4．A [∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴??x＋y＝3，?x＝1，

?x－y＝－1. 解得??y＝2.

∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．]

5．C [∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，可知选C.]

6．15解析 log2(m2

－3m－3)－2logm2

－3m－32(m－3)＋1＝0，log2?m－3?2

＝－1，

m2

－3m－3?m－3?2＝1

2，m＝±15，而m>3，∴m＝15. 7．(－45，2)

解析 根据模的定义得?x－1?2＋?2x－1?2<10，∴5x2－6x－8<0，∴(5x＋4)(x－2)<0，∴－4

5

8．四解析 ∵2

3

0，m－1<0，∴复数对应点位于第四象限．

9．解 ∵复数x2

－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，∴x满足??x2

－6x＋5<0，?x－2>0，

解得2

∈(2,5)．

10．解 设z＝x＋yi (x，y∈R)．则x＋yi＋x2

＋y2

＝2＋8i，∴??x＋x2＋y2＝2，

?x＝－15

?∴?y＝8，

?y＝8

，∴z＝－15＋8i.

11．C [∵A(6,5)，B(－2,3)，且C为AB的中点，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i.故选C.]

12．解 方法一 利用模的定义． ∵z＝3＋ai (a∈R)，由|z－2|<2， 即|3＋ai－2|<2，即|1＋ai|<2，

∴12＋a2<2，∴－3

利用复数的几何意义．

由|z－2|<2可知，在复平面内z对应的点Z在以(2,0)为圆心，2为半径的圆内(不包括边界)，如图．由z＝3＋ai可知z对应的点Z在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图知，－3

3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

1．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于( )A．2 B．2＋2iC．4＋2i D．4－2i

2．复数z1＝2－12i，z2＝12－2i，则z1＋z2等于( )A．0 B．32＋52iC．52－52i D．52－3

2

i

3．向量OZ→对应的复数是5－4i，向量OZ→→→

12对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是( ) A．－10＋8i

B．10－8iC．0 D．10＋8i

4．非零复数z→→，若|z，则向量OA→与OB→

1，z2分别对应复平面内的向量OA与OB1＋z2|＝|z1－z2|的关系是( )

A.OA→＝OB→ B．|OA→|＝|OB→|C．OA→⊥OB→ D．OA→，OB→共线 5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( ) A．a＝－3，b＝－4

B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4

D．a＝3，b＝4

6．设纯虚数z满足|z－1－i|＝3，则z＝____________.

7．在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么BC→

对应的复数为________________________________________________________________． 8．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝__________.

9．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－3＋2i.

(1)求z1－z2；

(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．

13

10．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.

(1)求AB→，BC→，AC→

对应的复数；

(2)判断△ABC的形状； (3)求△ABC的面积．

11．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )

A．2

B．3

C．4

D．5

12．复数3＋3i，－5i，－2＋i的对应点分别为平行四边形的三个顶点A，B，C，求第四个顶点对应的复数．

3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义答案

1．C [z1－z2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i.]2．C [z1＋z2＝(2＋

12)－(12＋2)i＝52－52

i.] 3．C [OZ→→

1＋OZ2＝5－4i＋(－5＋4i)＝0.]4．C [由向量的加法及减法可知：在?OACB内，

OC→＝OA→＋OB→，AB→＝OB→－OA→.非零复数z→→

1，z2分别对应复平面内向量OA，OB，由复数加减法的几何意义可

知：|z→→z→→

1＋z2|对应OC的模，|z1－z2|对应AB的模，又因为|z1＋2|＝|z1－z2|，则|OC|＝|AB|，所以四边形OACB是矩形，

因此OA→⊥OB→

，故选C.]

5．A [z＋b)i，z??4＋b＝0?a＝－3

1＋z2＝a－3＋(41－z2＝a＋3＋(4－b)i，由已知得?a＋3＝0 ，∴??b＝－4

.]

6．(±22＋1)i解析 ∵z是纯虚数，设z＝bi (b∈R且b≠0)．由|z－1－i|＝3得|－1＋(b－1)i|＝3.

∴1＋(b－1)2

＝9，∴b－1＝±22，∴b＝±22＋1，即z＝(±22＋1)i.

7．4－4i解析 由AB→＝OB→－OA→，得OB→＝AB→＋OA→＝1＋5i＋(－2＋i)＝－1＋6i，BC→＝OC→－OB→

＝3＋2i－(－1＋6i)＝4－4i.

8．5＋3i解析 ∵f(z)＝z－2i，∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1)i－2i＝5＋3i. 9．解 (1)

因为z＝－2＋i，z→

12＝－3＋2i，所以z1－z2＝(－2＋i)－(－3＋2i)＝1－i.(2)在复平面内复数z1－z2所对应的向量是OZ

＝1－i，如图所示．

10．解 (1)AB→对应的复数为z→

B－zA＝(2＋i)－1＝1＋i. BC对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.

AC→

对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.

(2)由(1)可得，|AB→|＝2，|BC→|＝10，|AC→|＝8，∵|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→

|2，∴△ABC为直角三角形．

(3)S1

△ABC＝2

×2×8＝2.11．B [

由已知|z－(－2＋2i)|＝1，所以复数z的对应点的轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的

圆，如图所示，|z－2－2i|＝|z－(2＋2i)|表示复数z的对应点到(2,2)点的距离，即圆上的点到(2,2)点的距离，最小值

为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.]

12．解 当四点顺序为ABCD时，第四个顶点D对应的复数为1＋9i；当四点顺序为ADBC时，第四个顶点D对应的复数为5－3i；当四点顺序为ABDC时，第四个顶点D对应的复数为－5－7i.

习题课

1．复数

(3－i

2

1＋i

)等于( )A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i 2．已知i2＝－1，则i(1－3i)等于( )A.3－i B．3＋iC．－3－i

D．－3＋i

3．设a，b为实数，若复数1＋2ia＋bi

＝1＋i，则( )A．a＝31

2，b＝2 B．a＝3，b＝1

C．a＝12，b＝3

2 D．a＝1，b＝3

4．下列式子中正确的是( )A．3i>2i B．|2＋3i|>|1－4i|C．|2－i|>2·i4

D．i2

>－i

5．对任意复数z＝x＋yi (x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )

A．|z－z|＝2y B．z2＝x2＋y2C．|z－z|≥2x

D．|z|≤|x|＋|y|

6．若复数z＝1－2i (i为虚数单位)，则z·z＋z＝__________.

7．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．

8．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝______.

9．已知复平面上的?ABCD中，AC→对应的复数为6＋8i，BD→对应的复数为－4＋6i，求向量DA→

对应的复数．

10．已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)有实数根b.

(1)求实数a，b的值；

(2)若复数z满足|z－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．

11．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数

z

1＋i

的点是( ) 14

A．E

B．FC．G

D．H

12．(1)证明|z|＝1?z＝

1；

z

(2)已知复数z满足z·z＋3z＝5＋3i，求复数z.

习题课答案

1．A [(3－i)2[?3－i??1－i?

2

1＋i＝

2

]

2

＝(1－2i)＝－3－4i.]

2．B [i(1－3i)＝i＋3，选B.]3．A

4．C [在A、D中都含有虚数．因虚数不能比较大小，故A、D错；在B中：

|2＋3i|＝13，|1－4i|＝1＋16＝17，故B错；在C中，|2－i|＝4＋1＝5，2·i4＝2，故C正确．]

5．D [可对选项逐个检查，A项，|z－z|≥2y，故A错，B项，z2

＝x2

－y2

＋2xyi，故B错，C项，|z－z|≥2y，故C错，D项正确．]6．6－2i解析 z·z＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝6－2i.

7．2解析 考查复数的运算、模的性质．z(2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i与3＋2i的模相等，z的模为2.

8．322?x2＋y2＋x＝2??x＝34＋i解析 设z＝x＋yi，则z＋|z|＝x＋y＋x＋yi＝2＋i，∴?4?

，∴?

，∴z＝3＋i. y＝1??y＝1

49．解 设?ABCD的对角线AC与BD相交于点P，由复数加减法的几何意义，得

DA→＝PA→－PD→＝12CA→－12BD→＝12(CA→－BD→)＝1

→2(－6－8i＋4－6i)＝－1－7i，所以向量DA对应的复数为－1－7i.

10．解 (1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，

故??b2

－6b＋9＝0?a＝b

解得a＝b＝3.

(2)设z＝x＋yi (x，y∈R)，由|z－3－3i|＝2|z|，

得(x－3)2

＋(y＋3)2

＝4(x2

＋y2

)，即(x＋1)2

＋(y－1)2

＝8.∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，22为半径的圆．

如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值．∵|OO1|＝2，半径r＝22， ∴当z＝1－i时，|z|min＝2. 11．D [由题图知复数z＝3＋i，∴z1＋i＝3＋i1＋i＝?3＋i??1－i??1＋i??1－i?＝4－2i2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H.]

12．(1)证明 设z＝x＋yi (x，y∈R)，则|z|＝1?x2＋y2

＝1，z＝1?z·z＝1?(x＋yi)(x－yi)＝1

z?x2＋y2＝1，∴|z|＝1?z＝

1z

.(2)解 设z＝x＋yi (x，y∈R)，则z＝x－yi，由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋3(x＋yi)

＝(x2＋y2＋3x)＋3yi＝5＋3i，

?x2＋y2

＋3x＝5，∴??x＝1?x?3y＝3 ∴??y＝1 或?＝－4?y＝1

. ∴z＝1＋i或z＝－4＋i.

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

1．复数i3(1＋i)2等于( )A．2 B．－2 C．2i D．－2i

2．已知a＋2i

i

＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于( )A．－1 B．1 C．2

D．3

3．设i是虚数单位，则i3?i＋1?

i－1等于( )A．－1 B．1 C．－i D．i

4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )A．x＝3，y＝3

B．x＝5，y＝1

C．x＝－1，y＝－1

D．x＝－1，y＝1

z

5．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则z等于( )A．i B．－i

C．±1

D．±i

6．已知复数z＝1＋i，则2

z－z＝________.

7．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．

8．若2

1－i

＝a＋bi (a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________.

9．计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)(1＋i62＋3i1－i)

＋3－2i.

10．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y的值．

15

11．复数z＝

i

1＋i

在复平面上对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

12．已知关于x的方程x2

＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．

3．2.2 复数代数形式的乘除运算

答案

1．A [i3(1＋i)2＝i3·2i＝2i4

＝2，选A.]2．B [∵a＋2i＝b＋i，∴a＋2i＝bi－1.∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]

3．A [∵i＋1?1＋i?22ii3

i

?i＋1?34

i－1＝－?1－i??1＋i?＝－2＝－i，∴i－1＝i·(－i)＝－i＝－1.]4．D [x－2＝3x，y＝－(－1)，即x＝

－1，y＝1.]5．D [设z＝x＋yi (x，y∈R)，则z＝x－yi，依题意2x＝4且x2＋y2＝8，解之得x＝2，y＝±2.

z

z

2

2

∴?2?1－i?

z＝＝?2±2i8＝±i.]6．－2i解析 2＝2

z·z

z－z1＋i－1－i＝?1＋i??1－i?

－1－i＝－2i. 7．2解析 方法一 ∵z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝

6＋4i2－3i＝26i13＝2i，∴|z|＝2.方法二 由z(2－3i)＝6＋4i，得z＝6＋4i

2－3i

. 则|z|＝|6＋4i|

|6＋4i|62＋42

2－3i＝|2－3i|＝22＋3

2＝2.

8．2解析 由2

1－i

＝a＋bi，得2＝(a＋bi)·(1－i)，∴2＝a＋b＋(b－a)i，(a，b∈R)，由复数相等的定义，知a＋b＝

2.

9．解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.

(3)方法一 原式＝[

?1＋i?2

6?2＋6＋2i＋3i－62]＋3i??3＋2i?＝i6

＋＝－1＋i.

?3?2＋?2?

25方法二 (技巧解法)原式＝

[

?1＋i?2

3i?i2

]

6

＋

?2＋＝i6＋?2＋3i?i

＝－1＋i.

?3－2i?i2＋3i10．解 设x＝a＋bi (a，b∈R)，则y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，

∴??4a2

＝4，

?a＝1， ?a＝1， ?a＝－1，?a＝－1，?x＝1＋i，?x＝1－i，?a2＋b2＝2，∴??b＝1，或??b＝－1，或??b＝1， 或??b＝－1. ∴??y＝1－i， 或??y＝1＋i，

或??x＝－1＋i，?y＝－1－i，

或??x＝－1－i，ii?1－i?1＋i11?y＝－1＋i.

11．A [∵z＝1＋i＝?1＋i??1－i?＝2＝2＋2i，

∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．]

12．解 设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，

2

由复数相等的充要条件得??x0＋kx0＋2＝0

?2x＋k＝0

，

0?x0＝2解得?

???

x0＝－2或k＝－22

?k＝22

，

∴方程的实根为x＝2或x＝－2， 相应的k值为k＝－22或k＝22.

§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一)

1．下列说法正确的是( )A．y＝2x2＋1中的x、y是具有相关关系的两个变量

B．正四面体的体积与其棱长具有相关关系C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D．传染病医院感染甲型H1N1流感的医务人员数与医院收治的甲型流感人数是具有相关关系的两个变量 2．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( )A．点散布特征为从左下角到右上角区域 B．点散布在某带形区域内C．点散布在某圆形区域内D．点散布特征为从左上角到右下角区域内 3．已知x与y之间的一组数据如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y关于x的线性回归直线必过( )A．(2,2)点 B．(1.5,0)点C．(1,2)点

D．(1.5,4)点

4．回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和()A．越大B．越小C．可能大也可能小 D．以上均错 ^

5．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得y ＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是( )A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D．年龄为37岁人群中的大部分人的体内脂肪含量为31.5%

6．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是________．

7．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：

月平均气温x(℃) 17 13 8 2 月销售量y(件) ^^^^24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y ＝b x＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________．

^

8．已知线性回归方程为y ＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________． 9．某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：

16

月份 产量(千件) 单位成本(元) 1 2 73

2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 (1)求出线性回归方程；(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ (3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？

10．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：

推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 推销金额y/万元 2 3 3 4 5 (1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；

(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．

11．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，?，10)，得散点图(1)；对变量u，v，有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，?，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )

(1) (2)

A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关

12．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：

x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5n 7.0 根据上表，通过计算机画出的散点图呈线性相关，并且已经得到∑^

^

^

i＝112.3.

^

^

＝1

xiyi(1)求线性回归方程y ＝b x＋a 的回归系数a 、b 的值； (2)求残差平方和； (3)求相关指数R2

；

(4)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)

^

1．设有一个回归方程为y ＝3－5x，变量x增加一个单位时( ) A．y平均增加3个单位

B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位

D．y平均减少3个单位

2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )

^

^

^

^

A．y ＝－10x＋200 B．y ＝10x＋200C．y ＝－10x－200 D．y ＝10x－200

3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有

^

相关关系，回归方程为y ＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均工资收入的百分比约为( )A．83% B．72% C．67% D．66%

4．若x，y具有相关关系，且得到一组散点图大致分布在一条直线的附近，则所得的回归直线是指( ) A．经过散点图上两点的直线B．经过散点图上最多的点的直线C．与各个散点的偏差和最小的直线 D．与各个散点的偏差的平方和最小的直线

5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元) 49 26 39 54 ^

^

^

^

根据上表可得回归方程y ＝b x＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为( ) A．63.6万元

B．65.5万元C．67.7万元

D．72.0万元

6．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是

x/万元 2 4 5 6 8 17

y/万元 30 40 60 50 70 (1)对变量y与x进行相关性检验；

(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程；

7.根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：

年份 产量 1986 8.6 1991 10.4 1996 12.9 2001 16.1

(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．

12．某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：

x 1 2 5.52 3 4.08 5 2.85 10 2.11 20 1.62 30 1.41 50 1.30 100 1.21 200 1.15 根据有关专家预测，到2010年我国能源生产总量将达到21.7亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列的四种

^

^

^

^

2

y 10.15 模型中的哪一种________．(填序号)①y ＝a x＋b (a ≠0)；②y＝ax＋bx＋c(a≠0)； ③y＝a(a>0且a≠1)；④y＝logax(a>0且a≠1)． 8．下列说法中正确的是________(填序号)．

①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法．

9．假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的．若10个学生初一(x)和初二(y)的数学分数如下：

x1

检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系？如有，求出y对x的线性回归方程．

x§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

1．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有A．①②③

B．②④⑤C．②③④⑤

D．①②③④⑤

2．用独立性检验来考察两个分类变量x与y是否有关系，当统计量K2的观测值( ) A．越大，“x与y有关系”成立的可能性越小B．越大，“x与y有关系”成立的可能性越大 C．越小，“x与y没有关系”成立的可能性越小D．与“x与y有关系”成立的可能性无关

x y 74 76 71 75 72 71 68 70 76 76 73 79 67 65 70 77 65 62 74 72 3．检验两个分类变量是否相关时，可以用________粗略地判断两个分类变量是否有关系．( ) A．散点图

B．独立性检验C．等高条形图

D．以上全部都可以

试求初一和初二数学分数间的线性回归方程．

10．在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量．

4．下面是一个2×2列联表：

x1 x2 y1 a 8 b y2 21 25 46 总计 73 33

D．54,52

x/min y/mg 1 39.8 x2 32.2 3 25.4 4 20.3 5 16.2 6 13.3 总计 则表中a，b处的值分别为( )A．94,96

B．52,50C．52,60

(1)设y与x之间具有关系y＝cd，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)； (2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1)． 11．测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下： 父亲身高(x) 儿子身高(y) 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 5．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表 男生 女生 合计 认为作业量大 18 8 26 认为作业量不大 9 15 24 合计 27 23 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”，这种推断犯错误的概率不超过( ) A．0.01

B．0.005

C．0.025

D．0.001

6．下列说法正确的是________．(填序号)①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响； ②事件A与B关系越密切，K2就越大；③K2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据； ④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．

18

7．在一次独立性检验中，有300人按性别和是否色弱分类如下表： 男 女 正常 142 140

色弱 13 5 由此表计算得K2的观测值k≈________.(结果保留两位小数)

8．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K2的观测值k＝6.023，根据这一数据查表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过________．

9．在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表； (2)检验性别与休闲方式是否有关系．

10．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：

积极支持改革 不太赞成改革 合计 工作积极 54 40 94 工作一般 32 63 95 合计 86 103 189 依据表中的数据对人力资源部的研究项目进行分析，能够得出什么结论？

11．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：

①若K2

的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；

②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；

③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．

其中说法正确的是________．(填序号)

12．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别 男 女 是否需要志愿者 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

§2.1 合情推理与演绎推理

1．下列说法正确的是( )A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误

2．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是( )

A．n2－1

B．(n－1)2＋1C．2n－1

D．2n－1＋1

3．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )

1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 ??A．1111110

B．1111111C．1111112

D．1111113

4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2

＝a2

＋2a·b＋b2

.其中结论正确的个数是( )A．0

B．1 C．2 D．3

5．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )

A．■

B． C．□ D．○

6．已知正三角形内切圆的半径是高的

1

3

，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________________________________．

7．观察下列等式：13

＋23

＝32,13

＋23

＋33

＝62,13

＋23

＋33

＋43

＝102

，?，根据上述规律，第五个等式为____________________． 8．观察下列等式：

①cos 2α＝2cos2α－1；

19

②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；

③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；

④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；

⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m－n＋p＝________.

9．观察等式sin220°＋sin240°＋sin 20°·sin 40°＝3

4

；

sin228°＋sin232°＋sin 28°·sin 32°＝3

4

.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．

10．已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝

12(an＋1

an

)

(n∈N*)，求出a1，a2，a3，并推测an的表达式．

11．观察(x2

)′＝2x，(x4

)′＝4x3

，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )

A．f(x)

B．－f(x)

C．g(x)

D．－g(x12．已知椭圆C：x2)

a2＋y

2b2＝1 (a>b>0)具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意

一点，当直线PM、PN的斜率都存在时，记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双

C：x2y2

曲线a2－b

2＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．

2.1.2 演绎推理

1．演绎推理中的“一般性原理”包括( )①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

2．下列说法不正确的个数为( )①演绎推理是一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定正确；③合情推理是演绎推理的前提，演绎推理是合情推理的可靠性．A．3 B．2 C．1 D．0

3．“因为对数函数y＝logax是增函数，而y＝log11

2x是对数函数，所以y＝log2x是增函数”．有关这个“三段论”

的推理形式和推理结论正确的说法是( )A．形式正确，结论正确 B．形式错误，结论错误 C．形式正确，结论错误 D．形式错误，结论正确

4．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( ) A．① B．② C．③ D．①和②

5．“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提( ) A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形

6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．

)＝x(112x7．已知f(x2x－1＋2)

，求证：f(x)是偶函数．证明：f(x)＝x＋12?2x－1?，其定义域为{x|x≠0}， ＝(－x)2－x＋11＋2x又f(－x)2x＋1

2?2－x－1?＝－x2?1－2x?＝x·2?2x－1?

＝f(x)，f(x)为偶函数．此题省略了__________．

8．补充下列推理的三段论：(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数且________，所以b＝8.(2)因为________，又因为e＝2.718 28?是无限不循环小数，所以e是无理数．

9．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除； (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．

10．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证EF∥平面BCD.

20

11．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；(大前提) 已知直线b∥平面α，直线a?平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论) 那么这个推理是( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误

12．用三段论证明函数f(x)＝x3

＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．

习题课

1．若f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，下列说法正确的是( )A．f(n)可以为偶数

B．f(n)一定为奇数

C．f(n)一定为质数 D．f(n)必为合数

2．不等式a>b与1111

a>b同时成立的充要条件为( )A．a>b>0 B．a>0>bC．b

D．1a>1b>0

3．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( )A．3 B．－3

C．6

D．－6

4．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，?，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2 007(x)等于( ) A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x

5．如果数列{an}的前n项和Sn＝3

2

an－3，那这个数列的通项公式是( )

A．an＝2(n2

＋n＋1) B．an＝3·2n

C．an＝3n＋1 D．an＝2·3n

6．f(n)＝1＋12＋13＋?＋1357

n (n∈N＋)．计算得f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，推测当n≥2时，有___________．

7．已知两个圆：x2＋y2＝1，

①与x2＋(y－3)2＝1.

②

则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________________________________________________________ 8．下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为________．

9．11×2＋12×3＋1

3×4＋?＋1n?n＋1?，写出n＝1,2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？

10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.

求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.

11．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 第1列 第2列 第3列 ? 第1行 1 2 3 ? 第2行 2 4 6 ? 第3行 3 6 9 ? ? ? ? ? ? 那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．

12．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2

＋AC2

＝BC2

.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．

3．1.1 数系的扩充和复数的概念

1．(1＋3)i的实部与虚部分别是( )A．1，3

B．1＋3，0C．0,1＋3 D．0，(1＋3)i 2．a为何值时，复数z＝(a2

－2a)＋(a2

－a－2)i表示纯虚数( )A．a≠2或a≠1

B．a≠2且a≠1

C．a＝0

D．a＝2或a＝0

3．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i (x，y∈R)，则x，y的值分别为( )A．1,2 B．2,1C．－1,2 D．－2,1 4．已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的( )A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5．已知k∈R，方程x2

＋kx＋3xi＋4＋k＝0一定有实根的充要条件是( )A．|k|≥4

B．k≥2＋25或k≤2－25C．k＝±32D．k＝－4

6．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为________． 7．若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a＝______.

8．使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．

9．已知复数z＝a2－7a＋62

a2－1＋(a－5a－6)i (a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)

纯虚数．

x210．已知－x－6

x＋1

＋(x2－2x－3)i＝0 (x∈R)，求x的值．

21

11．设a，b∈R，若a＋b＋i＝10＋abi(i为虚数单位)，则(a－b)2等于( )

A．－12

B．－8

C．8

D．10

12．如果m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什

么？使z1

复数的概念习题课

1．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是( )

A．3－3i

B．3＋iC．－2＋2i

D．2＋2i 2．若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2

＋b2

等于( )

A．0 B．2 C．5

2 D．5

3．若点P对应的复数z满足|z|≤1，则P的轨迹是( ) A．直线

B．线段C．圆

D．单位圆以及圆内

4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为( ) A．1

B．1或3C．3 D．9

5．在复平面内，O为原点，向量OA→对应复数为－1－2i，则点A关于直线y＝－x对称点为B，向量OB→

对应复数为( )A．－2－i

B．2＋iC．1＋2i

D．－1＋2i

6．若x是实数，y是纯虚数且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________.

7．下列命题：(1)两个复数不能比较大小；(2)若z＝a＋bi，则当a＝0，b≠0时，z为纯虚数； (3)x＋yi＝1＋i?x＝y＝1；(4)若实数a与虚数ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是________． 8．若|log3m＋4i|＝5，则实数m＝________.

m2

9．当实数m为何值时，复数z＝＋m－6

m

＋(m2－2m)i为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

10．已知z＝2a＋1－2＋(a－3)i对应的点在第四象限，求a的取值范围．

11．求复数z1＝3＋4i，及z2＝－1

2

－2i的模，并比较它们模的大小．

12．实数m分别取何值时，复数z＝(m2

＋5m＋6)＋(m2

－2m－15)i的对应点：(1)在x轴上方；(2)在直线x＋y＋5＝0上．

3.1.2 复数的几何意义

1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 2．已知0

B．(1,3)C．(1，5)

D．(1，3) 3．与x轴同方向的单位向量e1，与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是( ) A．e1对应实数1，e2对应虚数iB．e1对应虚数i，e2对应虚数i

C．e1对应实数1，e2对应虚数－iD．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i

4．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在( )

A．第一象限

B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

5．设z＝(2t2

＋5t－3)＋(t2

＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( )

A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数

6．设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3) (m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是________． 7．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是__________．

8．若2

3

9．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，求实数x的取值范围．

10．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.

22

11．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i

D．4＋i

12．已知z＝3＋ai且|z－2|<2，求实数a的取值范围．

3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

1．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于( )A．2 B．2＋2iC．4＋2i D．4－2i

2．复数z1＝2－12i，z2＝12－2i，则z1＋z2等于( )A．0 B．355553

2＋2iC．2－2i D．2－2

i

3．向量OZ→OZ→→→

1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是( ) A．－10＋8i

B．10－8iC．0 D．10＋8i

4．非零复数z→→→→

1，z2分别对应复平面内的向量OA与OB，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则向量OA与OB的关系是( )

A.OA→＝OB→ B．|OA→|＝|OB→|C．OA→⊥OB→ D．OA→，OB→共线 5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( ) A．a＝－3，b＝－4

B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4

D．a＝3，b＝4

6．设纯虚数z满足|z－1－i|＝3，则z＝____________.

7．在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么BC→

对应的复数为________________________________________________________________． 8．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝__________.

9．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－3＋2i.

(1)求z1－z2；

(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．

10．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.

(1)求AB→，BC→，AC→

对应的复数；

(2)判断△ABC的形状； (3)求△ABC的面积．

11．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )

A．2

B．3

C．4

D．5

12．复数3＋3i，－5i，－2＋i的对应点分别为平行四边形的三个顶点A，B，C，求第四个顶点对应的复数．

习题课

1．复数

(3－i2

1＋i

)等于( )A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i 2．已知i2＝－1，则i(1－3i)等于( )A.3－i B．3＋iC．－3－i

D．－3＋i

3．设a，b为实数，若复数1＋2i31

a＋bi

＝1＋i，则( )A．a＝2，b＝2 B．a＝3，b＝1

C．a＝12，b＝3

2 D．a＝1，b＝3

4．下列式子中正确的是( )A．3i>2i B．|2＋3i|>|1－4i|C．|2－i|>2·i4 D．i2>－i

5．对任意复数z＝x＋yi (x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )

A．|z－z|＝2y B．z2

＝x2

＋y2

C．|z－z|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|

6．若复数z＝1－2i (i为虚数单位)，则z·z＋z＝__________.

7．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．

8．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝______.

9．已知复平面上的?ABCD中，AC→对应的复数为6＋8i，BD→对应的复数为－4＋6i，求向量DA→

对应的复数．

10．已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)有实数根b.

(1)求实数a，b的值；

(2)若复数z满足|z－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．

11．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数

z

1＋i

的点是( ) 23

11．复数z＝

i

1＋i

在复平面上对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

12．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．

A．E

B．FC．G

D．H

12．(1)证明|z|＝1?z＝

1；

z

(2)已知复数z满足z·z＋3z＝5＋3i，求复数z.

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

1．复数i3

(1＋i)2

等于( )A．2 B．－2 C．2i D．－2i

2．已知a＋2i

i

＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于( )A．－1 B．1 C．2

D．3

3．设i是虚数单位，则i3?i＋1?

i－1等于( )A．－1 B．1 C．－i D．i

4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )A．x＝3，y＝3

B．x＝5，y＝1

C．x＝－1，y＝－1

D．x＝－1，y＝1

z

5．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则z等于( )A．i B．－i

C．±1

D．±i

6．已知复数z＝1＋i，则2

z－z＝________.

7．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．

8．若2

1－i

＝a＋bi (a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________.

9．计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)(1＋i)

62＋3i1－i＋3－2i.

10．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y的值．

24

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