高中数学中对称性问题

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

对称性与周期性

函数对称性、周期性的判断

1. 函数y f(x)有f(a x) f(b x)（若等式两端的两自变量相加为常数，如

(a x) (b x) a b），则f(x)的图像关于x

a b

轴对称；当a b时，若2

f(a x) f(a x) (或f(x) f(2a x))，则f(x)关于x a轴对称；

2. 函数y f(x)有f(x a) f(x b)（若等式两端的两自变量相减为常数，如

(x a) (x b) a b），则f(x)是周期函数，其周期T a b；当a b时，若f(x a) f(x a)，则f(x)是周期函数，其周期T 2a；

3. 函数y f(x)的图像关于点P(a,b)对称 f(x) f(2a x) 2b (或f(x)=2b f(2a x))；函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 f(x)= f(2a x) (或 f(a x)= f(a x))； 4. 奇函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 y f(x)是周期函数，且T 2a是函数的一个周期；偶函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 y f(x)是周期函数，且T 4a是函数的一个周期； 5. 奇函数y f(x)的图像关于直线x a对称 y f(x)是周期函数，且T 4a是函数的一个周期；偶函数y f(x)的图像关于直线x a对称 y f(x)是周期函数，且T 2a是函数的一个周期；

6. 函数y f(x)的图像关于点M(a,0)和点N(b,0)对称 函数y f(x)是周期函数，且

T 2(a b)是函数的一个周期；

7. 函数y f(x)的图像关于直线x a和直线x b对称 函数y f(x)是周期函数，且

T 2(a b)是函数的一个周期。

- 1 -

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

点关于点的对称 中心对称问题（点对称问题） 直线关于点的对称

曲线关于点的对称

对称问题

点关于直线的对称

轴对称问题（线对称问题）

直线关于直线的对称

曲线关于直线的对称

一、 点对称

(1) 点关于点的对称点问题

若点A(x1,y1), B(x2,y2), 则线段AB中点M的坐标是(

x1 x2y1 y2

,)；据此可以解求点与点的22

- 2 -

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

中心对称，即求点M(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点M的坐标(x,y)，利用中点坐标公式可得

'

a

x0 xy y'

, b 0，解算的M的坐标为(2a x0, 2b y0)。

22

例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点M的坐标是( 4, 1).

① 点M(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点M的坐标(2a x0, 2b y0)

'

''

;

② 点M(x0,y0)关于原点的对称点M的坐标(2a x0, 2b y0)=( x0, y0)

.(2) 直线关于点对称

① 直线L：Ax By C 0关于原点的对称直线

设所求直线上一点为M(x,y)，则它关于原点的对称点为M( x, y)，因为M点在直线L上，故有A( x) B( y) C 0，即Ax By C 0；

② 直线l1：Ax By C 0关于某一点P(a,b)的对称直线l2 它的求法分两种情况：

1)、当P(a,b)在l1上时，它的对称直线为过P点的任一条直线。

2)、当P点不在l1上时，对称直线的求法为： 解法（一）：在直线l2上任取一点M(x,y)，则它关于

'

'

P的对称点为M'(2a x,2b y)，因为M'点在l1上，把

M'点坐标代入直线在l1中，便得到l2的方程即为

A(2a x) B(2b y) C ，简化为：0Ax By C 2aA 2bB 0.

解法（二）：在l1上取一点M(x1,y1)，求出M关于P点的对称点M'(2a x1,2b

y1)的坐标。再

- 3 -

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

由Kl1 Kl2

A

，可求出直线l2的方程。 B

解法（三）：由Kl1 Kl2，可设l1:Ax By C 0关于点P(a,b)的对称直线为Ax By C'

0

C'从而可求的及对称直线方程。

(3) 曲线关于点对称

曲线C1:f(x,y) 0关于P(a,b)的对称曲线的求法：设M(x,y)是所求曲线的任一点，则M点关于P(a,b)的对称点为(2a x,2b y)在曲线f(x,y) 0上。故对称曲线方程为f(2a x,2b y) 0。

二、 直线的对称

(1) 点关于直线的对称

1) 点P(a,b)关于x轴的对称点为P'(a, b) 2) 点P(a,b)关于y轴的对称点为P'( a,b) 3) 关于直线x m的对称点是P'(2m a,b) 4) 关于直线y n的对称点是P'(a,2n b) 5) 点P(a,b)关于直线y x的对称点为P'(b,a) 6) 点P(a,b)关于直线y x的对称点为P'( b, a)

7) 点P(a,b)关于某直线L:Ax By C 0的对称点P'的坐标

KPP'解法（一）：由PP'⊥L知，

Ax By C 0

BB 直线PP'的方程→y b (x a)，由 BAAy b (x a) A

可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点P'的坐标。

解法（二）：设对称点为P'(x,y)，由中点坐标公式求得中点坐标为(

a xb y

,)把中点坐标代入22

L中得到A

a xb yBb yB

B C 0①； ②，再由KPP' 得联立①、②可得到P'点坐标。 22Aa xA

解法（三）：设对称点为P'(x,y

)

①，再

- 4 -

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

由KPP'

Bb yB

②，由①、②可得到P'点坐标。 得

Aa xA

(2) 直线l1关于直线l的对称直线l2

设直线l:Ax By C 0，则l

关于x轴对称的直线是Ax B( y) C 0 关于y轴对称的直线是A( x) By C 0 关于y x对称的直线是Bx Ay C 0 关

于

y x对称的直线是

A( y)

B( x)

C

1) 当l1与l不相交时，则l1∥l∥l2

在l1上取一点M(x0,y0)求出它关于l的对称点M'的坐标。再利用Kl1 Kl2可求出l2的方程。 2) 当l1与l相交时，l1、l、l2三线交于一点。 解法（一）：先解l1与l组成的方程组，求出交点A的坐标。则交点必在对称直线l2上。再在l1上找一点B，点B的对称点B'也在l2上，由A、B'两点可求出直线

l2的方程。

解法（二）：在l1上任取一点P(x1,y1)，则P点关于直线l的对称点Q在直线l2上，再由PQ⊥l，

KPQ KL 1。又PQ的中点在l上，由此解得x1 f(x,y),y1 g(x,y)，把点(x1,y1)代入直线l1的

方程中可求出l2的方程。

解法（三）：设l1关于l的对称直线为l2，则l2必过l1与l的交点，且l2到l的角等于l到l1的角，从而求出l2的斜率，进而求出l2的方程。

例：求直线l1:2x y 3 0关于直线l:x y 1 0对称的直线l２的方程

解：设M x,y 为所求直线l２上任意一点，则其关于l对称的点M' x1,y1 在直线l１上.

- 5 -

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

y y1

1 1 (MM' l,即KMM' Kl=-1) x1 1 y x x1

y1 1 x x x1 y y1 1 0 (MM'的中在l上)

22

又 2x1 y1 3 0 2 1 y 1 x 3 0

故所求直线方程为x 2y 4 0 (3) 曲线关于直线对称

曲线C1关于直线l的对称曲线C2的方程，在C2上任取一点M(x,y)，可求出它关于l的对称点坐标，再代入C1中，就可求得C2的方程。

例：求圆x y 1关于直线l：x y 1 0的对称圆的方程

解法（一）：设M x,y 为所求圆上任意一点，则其关于l对称的点M' x1,y1 在x y 1上.

2

2

2

2

y y1

1 1 (MM' l,即KMM' Kl=-1) x1 1 y x x1

y 1 x 1 x x1 y y1 1 0 (MM'的中在l上)

22

x12 y12 1 y 1 x 1 1--即为对称圆的方程

解法（二）：求圆心（0，0）关于l对称点C（1，1）

22

所求圆方程为 y 1 x 1 1

22

y2

1 关于直线l：x y 1 0对称椭圆的方程 例：求椭圆x 2

2

y2

1上. 解：设M x,y 为所求椭圆上任意一点，则其关于l对称的点M' x1,y1 在x 2

2

x 1 y1 x 2 1 1 y 1

y 1 x2 1

2

综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是：⑴ 求对称点一般采用，先设对称点P(x,y)，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出x,y的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵ 求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点M(x,y)，再利用求对称点的方程求出M点的对称点M'点坐标，将M'点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于x,y的关系式，就是所求对称曲线的方程。

通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：

- 6 -

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

三、 函数图像自身的对称

(1) 一般地，函数y f(x)的图象关于x

a b

对称 y f(x)满足f(a x) f(b x) 2

证明:

),设P(x0,y0)是y f(x)的图象上的任意一点,则1)若y f(x)满足f(a x) f(b x

y0 f(x0),P(x0,y0)关于直线x

a b

的对称点是Q(a b x0,y0) 2

由条件知f(a b x0) f(b (b x0)) f(x0) y0

所以Q(a b x0,y0)在y f(x)的图象上,故函数y f(x)的图象关于x 2) 若函数y f(x)的图象关于x

a b

对称. 2

a b

对称. 设P(x0,y0)是y f(x)的图象上的任意一点，则2

P(x0,y0)关于x

a b

对称点Q(a b x0,y0)也在y f(x)的图象上。从而有2

y0 f(x0) f(a b x0)。令b x0 x则有f(a x) f(b x)

特例：

① 当b=a时，函数y f(x)的图象关于x a对称 y f(x)满足f(a x) f(a x)

- 7 -

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

② 当a=0,b=2m时，函数y f(x)的图象关于x m对称 y f(x)满足f(x) f(2m x) ③ 当

a+b=0

时，函数y f(x)的图象关于x 0对称

y f(x)满足

f( a )x f(a 或)x(f a) x f a( x

(2) 函数y f(x)关于点(a,b)对称

f(a x) f(a x) 2，b或f(2a x) f( x) 2b或

f(2a x) f(x) 2b

简证：设点(x1,y1)在y f(x)上，即y1 f(x1)，通过f(2a x) f(x) 2b可知，所以f(2a x1) 2b f(x1) 2b y1，所以点(2a x1,2b y1)也f(2a x1) f(x1) 2b，

在y f(x)上，而点(2a x1,2b y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得证。

四、 两个函数图像的对称

- 8 -

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

五、 周期性

1、一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x T) f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若f(x a) f(x b)，则f(x)是周期函数，b a是它的一个周期

2.若T是周期，则kT(k 0,k Z)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数f(x) C；

3、对于非零常数A，若函数y f(x)满足f(x A) f(x)，则函数y f(x)必有一个周期为2A。 证明：f(x 2A) f[x (x A)] f(x A) [ f(x)] f(x)

∴函数y f(x)的一个周期为2A。 4、对于非零常数A，函数y f(x)满足f(x A)

1

，则函数y f(x)的一个周期为2A。 f(x)

证明：f(x 2A) f(x A A)

1

f(x)。

f(x A)

1

，则函数y f(x)的一个周期为2A。 f(x)

5、对于非零常数A，函数y f(x)满足f(x A)

证明：f(x 2A) f(x A A)

1

f(x)。

f(x A)

6、已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x

- 9 -

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

都有f(x) f(x a) f(x a)(a 0)则函数的一个周期为6a 证明：f(x) f(x a) f(x a) （1）

f(x a) f(x) f(x 2a) （2）

两式相加得：f(x a) f(x 2a) f(x) f(x 3a) f(x 6a)

六、 对称性和周期性之间的联系

性质1：函数y f(x)满足f(a x) f(a x)，f(b x) f(b x)(a b)，求证：函数y f(x)是周期函数。

证明：∵f(a x) f(a x)得f(x) f(2a x)

f(b x) f(b x)得f(x) f(2b x)

∴f(2a x) f(2b x) ∴f(x) f(2b 2a x)

∴函数y f(x)是周期函数，且2b 2a是一个周期。

性质2：函数y f(x)满足f(a x) f(a x) c和f(b x) f(b x) c(a b)时，函数y f(x)是周期函数。（函数y f(x)图象有两个对称中心（a，对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）

证明：由f(a x) f(a x) c f(x) f(2a x) c

cc

）、（b，）时，函数y f(x)是周期函数，且22

) f(b )x cf(x) f(2b f(b x

得f(2a x) f(2b x) 得f(x) f(2b 2a x)

x) c

∴函数y f(x)是以2b 2a为周期的函数。

性质3：函数y f(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴x b（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(b a)。

证明：f(a x) f(a x) 2c f(x) f(2a x) 2c

) f(b f(b x)x f()x (4a

f(2 b 2b x

x

b a) x) f(2b f(4(

(2b f(4a 2b x) f(2a

2a x) )2c f( 2b a 2x

- 10 -

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

2c f(2b (2a x)) 2c f(2a x) 2c (2c f(x)) 2c 2c f(x) f(x)

推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x a和点(b,0)(a b)对称，则f(x)是周期函数，

4(b a)是它的一个周期

证明：由已知f(x) f(2a x),f(x) f(2b x).

f(x) f(2a x) f[2b (2a x)] f[2(b a) x]

f[2a 2(b a) x] f[2(2a b) x]

f[2b 2(2a b) x] f[4(b a) x],周期为4(b a).

举例:y sinx等.

性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x a) f(x a),则2a为函数f(x)的周期。（若

f(x)满足f(x a) f(x a)则f(x)的图象以x a为图象的对称轴，应注意二者的区别)

证明： f(x a) f(x a) f(x) f(x 2a)

性质5：已知函数y f x 对任意实数x,都有f a x f x b，则y f x 是以2a为周期的函数

证明：f(a x) b f(x)

f(x 2a) f((x a) a) b f(x a) b (b f(x)) f(x)

- 11 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7w9j.html