2007年高考数学试题汇编（数列解答题）

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2007年高考数学试题汇编（数列解答题）

重庆理21

已知各项均为正数的数列?an?的前n项和满足Sn?1，且6Sn?(an?1)(an?2),n?N* （Ⅰ）求?an?的通项公式；（Ⅱ）设数列?bn?满足an(2和，求证3Tn?1?log2(an?3),n?N*. （Ⅰ）解：由a1?S1?bn?1)?1，并记Tn为?bn?的前n项

1解得a1?1或a1?2，由假设a1?S1?1，因此a1?2.(a1?1)(a1?2)，

6又由an?1?Sn?1?Sn?11(an?1?1)(an?1?2)?(an?1)(an?2)， 66得an?1?an?3?0或an?1??an，因an?0，故an?1??an不成立，因此an?1?an?3?0，从而?an?是公差为3，首项为2的等差数列，故?an?的通项为an?3n?2. ?1?3n??logz（Ⅱ）证法一：由an(2b?1)?1可解得bz?logz?； 1???a3n?1n??3n??36从而Tn?b1?b2???bn?logz?··?·?.

253n?1??3n?2?36·因此3Tn?1?logz(an?3)?logz?··?. ?·253n?13n?2??3f(n?1)3n?2?3n?3?(3n?3)33n?2?36令f(x)??··?·,则. ?·??·??3n?1?3n?2f(n)3n?5?3n?2?(3n?5)(3n?2)2?2533因(3n?3)2?(3n?5)(3n?2)2?9n?7＞0，故f(n?1)＞f(n). 特别的f(n)?f(1)?27＞log2(an?3). ＞1.从而3Tn?1?log(an?3)?logf(n)＞0，即3Tn?120证法二：同证法一求得bn及Tn.

由二项式定理知，当c＞0时，不等式(1?c)3＞1?3c成立.由此不等式有 ?3Tn?1?log22?1??1??2?31??1???1????1??＞log253n?1????333???2?1???1?2???3??3????1?? 5??3n?1?583n?2＝log22···?·?log2(3n?2)?log2(an?3).

243n?1证法三：同证法一求得bn及Tn.

363n373n?1583n?2令An＝··，Cn＝··。 ?·，Bn＝··?·?·253n463n473n?12007年高考数学试题汇编（数列解答题） 第 2 页 共 29 页

因

3n3n?13n?23n?23，因此An.从而 ＞＞＞AnBnCn?3n?13n3n?1233n??2633Tn?1?log22?··?·??log22Ax＞log22AnBnCn?log2(3n?2)?log2(an?3).

3n?1??35浙江理21

已知数列?an?中的相邻两项a2k?1，a2k是关于x的方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两个根，且a2k?1≤a2k(k?1，2，3，?)．

（I）求a1，a2，a3，a7；（II）求数列?an?的前2n项和S2n；

?1?sinn(?1)f(2)(?1)f(3)(?1)f(4)(?1)f(n?1)?3?，Tn?（Ⅲ）记f(n)??， ???…?2?sinnaaaaaaaa?1234562n?12n求证：

15≤Tn≤(n?N*)． 624本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分． （I）解：方程x?(3k?2)x?3k?2?0的两个根为x1?3k，x2?2k，

当k?1时，x1?3，x2?2，所以a1?2；当k?2时，x1?6，x2?4，所以a3?4； 当k?3时，x1?9，x2?8，所以a5?8时；当k?4时，x1?12，x2?16，所以a7?12． （II）解：S2n?a1?a2???a2n

2kk3n2?3nn?1?2?2． ?(3?6???3n)?(2?2???2)?22n111(?1)f(n?1)（III）证明：Tn?， ?????a1a2a3a4a5a6a2n?1a2n所以T1?11511． ?，T2???a1a2a3a424a1a26?1111(?1)f(n?1)111?当n≥3时，Tn??????≥???????

6a3a4a5a6a2n?1a2n6a3a4?a5a6a2n?1a2n?11111?11?1???， ≥???????66?226?232n?66?2n6?1511(?1)f(n?1)511?同时，Tn??????≤???????

24a5a6a7a8a2n?1a2n24a5a6?a1a2a2n?1a2n?2007年高考数学试题汇编（数列解答题） 第 3 页 共 29 页

≤15511?11?5???. ??????1n3n?24249?29?22?249?215≤Tn≤． 624浙江文19

综上，当n?N*时，

已知数列{an}中的相邻两项a2k?1、a2k是关于x的方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0 的两个根，且a2k?1≤a2k (k ＝1，2，3，?)．

(I)求a1,a3,a5,a7及a2n (n≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{an}的前2n项和S2n． 本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分． (I)解：方程x?(3k?2)x?3k?2?0的两个根为x1?3k, x2?2k．

当k＝1时，x1?3,x2?2，所以a1?2；当k＝2时，x1?6,x2?4，所以a3?4； 当k＝3时，x1?9,x2?8，所以a5?8；当k＝4时，x1?12,x2?16，所以a7?12； 因为n≥4时，2?3n，所以a2n?2n (n?4)

n2kk3n2?3nn?1?2?2．（Ⅱ） S2n?a1?a2???a2n?(3?6???3n)?(2?2???2)＝

22n天津理21

在数列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；（Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn； （Ⅲ）证明存在k?N，使得

?an?1a≤k?1对任意n?N?均成立． anak本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）解法一：a2?2????(2??)2???2，

222a3??(?2?22)??3?(2??)22?2?3?23， a4??(2?3?23)??4?(2??)23?3?4?24．

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由此可猜想出数列?an?的通项公式为an?(n?1)?n?2n． 以下用数学归纳法证明．

（1）当n?1时，a1?2，等式成立．

（2）假设当n?k时等式成立，即ak?(k?1)?k?2k，那么

ak?1??a1??k?1?(2??)2k??(k?1)?k??2k??k?1?2k?1??2k ?[(k?1)?1]?k?1?2k?1．这就是说，当n?k?1时等式也成立．

根据（1）和（2）可知，等式an?(n?1)?n?2n对任何n?N都成立． 解法二：由an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，??0，

??2?可得n?1???????an?1n?1?2??n????1， ????annnn?an?2??an?2???????n?1，所以?n????为等差数列，其公差为1，首项为0，故所以数列?an??????????n???的通项公式为an?(n?1)?n?2n．

（Ⅱ）解：设Tn??2?2?3?3?4???(n?2)?n?1?(n?1)?n， ①

?Tn??3?2?4?3?5???(n?2)?n?(n?1)?n?1 ②

当??1时，①式减去②式，

得(1??)Tn?????????(n?1)?23nn?1?2??n?1??(n?1)?n?1，

1???2??n?1(n?1)?n?1(n?1)?n?2?n?n?1??2． Tn???(1??)21??(1??)2(n?1)?n?2?n?n?1??2n?1这时数列?an?的前n项和Sn??2?2． 2(1??)当??1时，Tn?n(n?1)n(n?1)?2n?1?2． ．这时数列?an?的前n项和Sn?22（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列??an?1?a2?的第一项最大，下面证明：

a1?an?2007年高考数学试题汇编（数列解答题） 第 5 页 共 29 页

an?1a2?2?4??,n≥2． ③ ana12由??0知an?0，要使③式成立，只要2an?1?(?2?4)an(n≥2)， 因为(?2?4)an?(?2?4)(n?1)?n?(?2?1)2n

?4?·(n?1)?n?4?2n?4(n?1)?n?1?2n?2

≥2n?n?1?2n?2?2an?1，n≥2．所以③式成立．

因此，存在k?1，使得

an?1aa≤k?1?2对任意n?N?均成立． anaka1天津文20

在数列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N．

*（Ⅰ）证明数列?an?n?是等比数列；（Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn； （Ⅲ）证明不等式Sn?1≤4Sn，对任意n?N皆成立．

本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设an?1?4an?3n?1，得an?1?(n?1)?4(an?n)，n?N． 又a1?1?1，所以数列?an?n?是首项为1，且公比为4的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知an?n?4n?1，于是数列?an?的通项公式为an?4n?1?n．

**4n?1n(n?1)?所以数列?an?的前n项和Sn?． 32（Ⅲ）证明：对任意的n?N，

*?4n?1n(n?1)?14n?1?1(n?1)(n?2)??(3n2?n?4)≤0. Sn?1?4Sn???4???2322??3所以不等式Sn?1≤4Sn，对任意n?N皆成立．

四川文22

已知函数f?x??x?4，设曲线y?f?x?在点xn,f?xn?处的切线与x轴的交点为

2*??

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设数列{an}的公比为q，由a2?2，可得a1?2，a3?2q． q又S3?7，可知

12?2?2q?7，即2q2?5q?2?0，解得q1?2，q2?．

2q，?q?2．?a1?1．故数列{an}的通项为an?2n?1． 由题意得q?1（2）由于bn?lna3n?1，n?1 由（1）得a3n?1?23n，?bn?ln23n?3nln2 ，2，?，

又bn?1?bn?3ln2n，?{bn}是等差数列．

?Tn?b1?b2???bn?故Tn?n(b1?bn)n(3ln2?3ln2)3n(n?1)??ln2. 2223n(n?1)ln2． 2全国2理21

1)an?设数列{an}的首项a1?(0，，3?an?1，n?2，3，4，…． 2（1）求{an}的通项公式；（2）设bn?an3?2an，证明bn?bn?1，其中n为正整数． 21．解：（1）由an?

3?an?11，n?2，3，4，…，整理得1?an??(1?an?1)． 221又1?a1?0，所以{1?an}是首项为1?a1，公比为?的等比数列，得

2

?1?an?1?(1?a1)????2?n?1

（2）方法一：由（1）可知0?an?2n?12n322，故bn?0．那么bn?b?1n 22?3?an??a(3?2an?1)?a(3?2an)????2?

3?an?29an?2 3?2??a(3?2a)?(a?1)nn??n2?4?22又由（1）知an?0且an?1，故bn，n为正整数． ?1?bn?0，因此bn?bn?1方法二：由（1）可知0?an?因为an?1?3，an?1， 2(3?an)an3?an，所以bn?1?an?13?2an?1?． 2232?3?an??3?an?2由an?1可得an(3?2an)??，即a(3?2a)?nn????an

?2??2?2007年高考数学试题汇编（数列解答题） 第 12 页 共 29 页

两边开平方得an3?2an?3?an?an．即bn?bn?1，n为正整数． 2全国2文17

设等比数列{an}的公比q?1，前n项和为Sn．已知a3?2，S4?5S2，求{an}的通项公式．

2?aq?2，1na1(1?q2)a1(1?q)?4．解：由题设知a1?0，Sn?，则?a1(1?q)?5? ② 1?q1?q?1?q?由②得1?q4?5(1?q2)，(q2?4)(q2?1)?0，(q?2)(q?2)(q?1)(q?1)?0， 因为q?1，解得q??1或q??2．

当q??1时，代入①得a1?2，通项公式an?2?(?1)n?1； 当q??2时，代入①得a1?11n?1，通项公式an??(?2)． 22全国1理22

，2，3，…． 已知数列?an?中a1?2，an?1?(2?1)(an?2)，n?1（Ⅰ）求?an?的通项公式；（Ⅱ）若数列?bn?中b1?2，bn?1?3bn?4，2，3，…， ，n?12bn?3，2，3，…． 证明：2?bn≤a4n?3，n?1解：（Ⅰ）由题设：an?1?(2?1)(an?2)

?(2?1)(an?2)?(2?1)(2?2)?(2?1)(an?2)?2， an?1?2?(2?1)(an?2)．

所以，数列an?2是首项为2?2，公比为2?1的等比数列，

n2，3，…． (2?1)?1?an?2?2(2?1)n，即an的通项公式为an?2???，n?1，??（Ⅱ）用数学归纳法证明．

（ⅰ）当n?1时，因2?2，b1?a1?2，所以2?b1≤a1，结论成立．

（ⅱ）假设当n?k时，结论成立，即2?bk≤a4k?3，也即0?bk?2≤a4k?3?3． 当n?k?1时，bk?1?2?3bk?4(3?22)bk?(4?32) ?2?2bk?32bk?32007年高考数学试题汇编（数列解答题） 第 13 页 共 29 页

?11(3?22)(bk?2)??3?22，所以 ?0，又

2bk?322?32bk?3bk?1?2?(3?22)(bk?2)?(3?22)2(bk?2)?(2?1)4(a4k?3?2)

2bk?3?a4k?1?2．也就是说，当n?k?1时，结论成立．

，2，3，…． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知2?bn≤a4n?3，n?1全国1文21

设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，a3?b5?21，

?a?（Ⅱ）求数列?n?的前n项和Sn． a5?b3?13.（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

?bn?4??1?2d?q?21，解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，?bn?的公比为q，则依题意有q?0且? 2??1?4d?q?13，解得d?2，q?2．所以an?1?(n?1)d?2n?1，bn?qn?1?2n?1． （Ⅱ）

an2n?1?n?1． bn2352n?32n?152n?32n?1?????2S?2?3?????n?2 ② ① n21222n?22n?122n?322222n?1②－①得Sn?2?2??2???n?2?n?1，

222211?n?12n?32n?11?2n?1?11?2?2??1??2???n?2??n?1?2?2?2?n?1?6?n?1．

122?22?221?2Sn?1?辽宁理21

已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x?R满足条件：an?bn，

tx?1，t?0t，?2，g(x)?2x，f(b)?g(b)，若f(x)≥f(bn)?g(bn?1)(n?N*).（I）

?1liman存在，求x的取值范围；（II）若函数y?f(x)为R上的增函数，g(x)?f(x)，n??b?1，f(1)?1，证明对任意n?N*，liman（用t表示）．

n??

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江西理22

11?aan?111*设正整数数列?an?满足：a2?4，且对于任何n?N，有2? ?n?2?．

an?11?1annn?1（1）求a1，a3；（2）求数列?an?的通项an． 解：（1）根据条件得2??111?1 ① ?n(n?1)???2??an?1an?anan?1?当n?1时，由2??11?122111?2????2?，即有2????2?，

4a14a1a2a1?a1a2?解得

28?a1?．因为a1为正整数，故a1?1． 37当n?2时，由2??11?11?6????2?，解得8?a3?10，所以a3?9． a34?4a3?（2）方法一：由a1?1，a2?4，a3?9，猜想：an?n2． 下面用数学归纳法证明．

1当n?1，2时，由（1）知an?n2均成立；

?2假设n?k(k≥2)成立，则ak?k2，则n?k?1时

?由①得2??111?1?k(k?1)?2???2?2 ak?1ak?1?k?kk2(k?1)k(k2?k?1)(k?1)212?2?ak?1??(k?1)?2?ak?1?(k?1)2? k?k?1k?1k?1k?1(k?1)2??0，1?． 因为k≥2时，(k?1)?(k?1)?k(k?1)(k?2)≥0，所以2k?122k?1≥1，所以

1??0，1?．又ak?1?N*，所以(k?1)2≤ak?1≤(k?1)2． k?1故ak?1?(k?1)2，即n?k?1时，an?n2成立． 由1，2知，对任意n?N，an?n2．

??*（2）方法二：由a1?1，a2?4，a3?9，猜想：an?n2．

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下面用数学归纳法证明．

1当n?1，2时，由（1）知an?n2均成立；

?2假设n?k(k≥2)成立，则ak?k2，则n?k?1时

??111?1由①得2? ?k(k?1)?2??2??2ak?1kakk?1??即2?1k?1k(k?1)1???2?2 ② ak?1kak?1kk?1k2?k?1由②左式，得，即(k?1)ak?1?k3?k2?k，因为两端为整数， ?kak?1则(k?1)ak?1≤k3?k2?k?1?(k?1)2(k?1)．于是ak?1≤(k?1)2 ③

k(k?1)2k2?1?k(k?1)k2?k?1又由②右式，． ??22ak?1kk则(k2?k?1)ak?1?k3(k?1)．因为两端为正整数，则(k2?k?1)ak?1?k4?k3?1，

k4?k3?1k?(k?1)2?2所以ak?1≥2．

k?k?1k?k?1又因k≥2时，ak?1为正整数，则ak?1≥(k?1)2 ④ 据③④ak?1?(k?1)2，即n?k?1时，an?n2成立． 由1，2知，对任意n?N，an?n2．

??*江西文21

设?an?为等比数列，a1?1，a2?3．

（1）求最小的自然数n，使an≥2007；（2）求和：T2n?1232n?????． a1a2a3a2n?a2?解：（1）由已知条件得an?1????a1?立的最小自然数n?8． （2）T2n??n?1?3n?1，因为36?2007?37，所以，使an≥2007成

12342n112342n?12n?2?3???2n?1① T2n??2?3?4???2n?1?2n② 133333333333

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12n2n411112n3?3?3?8n2n3?①?②，得T2n?1??2?3???2n?1?2n?? 2n2n13333334?331?31?32n?2?9?24n所以T2n?． 2n16?3江苏理20

已知 {an}是等差数列，记Sn为数列{bn}a1?b1,a2?b2?a1，{bn}是公比为q的等比数列，的前n项和，

（1）若bk?am(m,k是大于2的正整数)，求证：Sk?1?(m?1)a1；（4分）

（2）若b3?ai(i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；（8分）

（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）

解：设{an}的公差为d，由a1?b1, a2?b2?a1，知d?0,q?1，d?a1?q?1?（a1?0）（1）因为bk?am，所以a1qk?1?a1??m?1?a1?q?1?，

qk?1?1??m?1??q?1??2?m??m?1?q，

所以Sk?1?a1?1?qk?1?1?q2?a1?m?1??m?1?q?q??m?1?a1

（2）b3?a1q,ai?a1??i?1?a1?q?1?，由b3?ai，

所以q?1??i?1??q?1?,q??i?1?q??i?2??0,解得，q?1或q?i?2，但q?1，

22所以q?i?2，因为i是正整数，所以i?2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项

n?1?n?N?，为bn?a1q设数列{an}中的某一项amm?N=a1??m?1?a1?q?1?，现

????在只要证明存在正整数m，使得bn?am，即在方程a1q正整数解即可，qn?1n?1?a1??m?1?a1?q?1?中m有

qn?1?1?1??m?1??q?1,?1???1q?q2??qn?2，所以?mq?1m?2?q?q2??qn?2，若i?1，则q??1，那么b2n?1?b1?a1,b2n?b2?a2，当i?32007年高考数学试题汇编（数列解答题） 第 17 页 共 29 页

时，因为a1?b1,a2?b2，只要考虑n?3的情况，因为b3?ai，所以i?3，因此q是正

n?1n?N?与数列{an}的第整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为bn?a1q??2?q?q2??qn?2项相等，从而结论成立。

?（3）设数列{bn}中有三项bm,bn,bpm?n?p,m,n,p?N成等差数列，则有

???2a1qn?1?a1qm?1?a1qp?1,设n?m?x,p?n?y,x,y?N，所以2???1?qy，令xqx?1,y?2，则q3?2q?1?0,所以q??q?1??q2?q?1??0，因为q?1，所以q2?q?1?0，

5?15?1，即存在使得{bn}中有三项舍去负值q???22bm,bm?1,bm?3?m?N??成等差数列。

湖南理21

已知An(an，bn)（n?N*）是曲线y?e上的点，a1?a，Sn是数列{an}的前n项和，

22n?2，3，4，且满足Sn?． ?3n2an?Sn?1，an?0，

x（I）证明：数列??bn?2??（n≤2）是常数数列； ?bn?（II）确定a的取值集合M，使a?M时，数列{an}是单调递增数列； （III）证明：当a?M时，弦AnAn?1（n?N*）的斜率随n单调递增

222解：（I）当n≥2时，由已知得Sn?Sn?1?3nan．

因为an?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n2 ① 于是Sn?1?Sn?3(n?1)2 ② 由②－①得an?1?an?6n?3 ③ 于是an?2?an?1?6n?9 ④ 由④－③得an?2?an?6 ⑤

?b?bn?2ean?2所以?an?ean?2?an?e6，即数列?n?2?(n≥2)是常数数列．

bne?bn?（II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a．由③有a3?a2?15，a4?a3?21，所以

2007年高考数学试题汇编（数列解答题） 第 18 页 共 29 页

a3?3?2a，a4?18?2a．

而 ⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列， 所以a2k?a2?6(k?1)，a2k?1?a3?6(k?1)，a2k?2?a4?6(k?1)(k?N*)， 数列{an}是单调递增数列?a1?a2且a2k?a2k?1?a2k?2对任意的k?N*成立．

?a1?a2且a2?6(k?1)?a3?6(k?1)?a4?6(k?1) ?a1?a2?a3?a4?a?12?2a?3?2a?18?2a?即所求a的取值集合是M??a915?a?． 44?915??a??．

4??4bn?1?bnean?1?ean（III）解法一：弦AnAn?1的斜率为kn? ?an?1?anan?1?anex(x?x0)?(ex?ex0)ex?ex0任取x0，设函数f(x)?，则f(x)?

x?x0(x?x0)2记g(x)?ex(x?x0)?(ex?e0)，则g?(x)?ex(x?x0)?ex?ex?ex(x?x0)， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(x0，??)上为增函数， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(??，x0)上为减函数，

所以x?x0时，g(x)?g(x0)?0，从而f?`(x)?0，所以f(x)在(??，x0)和(x0，??)上都是增函数．

由（II）知，a?M时，数列{an}单调递增，

xean?1?eanean?2?ean取x0?an，因为an?an?1?an?2，所以kn?． ?an?1?anan?2?anean?1?ean?2ean?ean?2取x0?an?2，因为an?an?1?an?2，所以kn?1?． ?an?1?an?2an?an?2所以kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增． 解法二：

ex?ean?1设函数f(x)?，同解法一得，f(x)在(??，an?1)和(an?1，??)上都是增函数，

x?an?12007年高考数学试题汇编（数列解答题） 第 19 页 共 29 页

ean?ean?1ex?ean?1ean?2?ean?1ex?ean?1an?1an?1所以kn?，． ?lim?ek??lim?en?1??n→an→aan?an?1an?2?an?1n?1x?an?1x?an?1n?1故kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．

湖南文20

22设Sn是数列{an}（n?N*）的前n项和，a1?a，且Sn?3n2an?Sn?1，an?0，

n?2，3，4，?．

（I）证明：数列{an?2?an}（n≥2）是常数数列；

（II）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{bn}（n?N*）中的所有项都是数列{an}中的项，并指出bn是数列{an}中的第几项．

22220．解：（I）当n≥2时，由已知得Sn?Sn?3nan． ?1因为an?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n2 ① 于是Sn?1?Sn?3(n?1)2 ② 由②－①得：an?1?an?6n?3 ③ 于是an?2?an?1?6n?9 ④

由④－③得：an?2?an?6 ⑤ 即数列{an?2?an}（n≥2）是常数数列．

（II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a．由③有a1?a2?15，所以a3?3?2a， 而⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列．

所以a2k?a2?(k?1)?6?6k?2a?6，a2k?1?a3?(k?1)?6?6k?2a?3，k?N*． 由题设知，当a为奇数时，而bn为偶数，所以bn不是数列{a2k?1}a2k?1为奇数，bn?18?7n?1．中的项，bn只可能是数列{a2k}中的项．

若b1?18是数列{a2k}中的第kn项，由18?6k?2a?6得a?3k0?6，取k0?3，得a?3，此时a2k?6k，由bn?a2k，得18?7的第6?7n?1n?1?6k，k?3?7n?1?N*，从而bn是数列{an}中

项．

（注：考生取满足a?3kn?6，kn?N*的任一奇数，说明bn是数列{an}中的第

6?7n?1?2a?2项即可） 32007年高考数学试题汇编（数列解答题） 第 20 页 共 29 页

湖北理21

已知m，n为正整数，

（I）用数学归纳法证明：当x??1时，(1?x)m≥1?mx；

1?1m?1??（II）对于n≥6，已知?1?，求证， ?1?????22?n?3??m?3?m??1??2，?，n； 求证?1?????，m?1，n?32????（III）求出满足等式3n?4n???(n?2)n?(n?3)m的所有正整数n．

本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．

解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：

（ⅰ）当m?1时，原不等式成立；当m?2时，左边?1?2x?x，右边?1?2x， 因为x22mmmm≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当m?k时，不等式成立，即(1?x)k≥1?kx，则当m?k?1时，

∵x??1，∴1?x?0，于是在不等式(1?x)k≥1?kx两边同乘以1?x得

(1?x)k·(1?x)≥(1?kx)(1?x)?1?(k?1)x?kx2≥1?(k?1)x，

所以(1?x)k?1≥1?(k?1)x．即当m?k?1时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．

1?m?（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得?1?≥1??0， ?n?3?n?3?于是?1?m??m?1??≤1????n?3??n?3?nnmnm??1???1?，2，?，n． ???1??????，m?1n?32????????m（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时，

1??2?n?1?1?1???1?1??1????1???????1??1， ??????????n2?n?3??n?3??n?3?2?2??2??n?2??n?1??3?∴???????????1．

n?3n?3n?3??????nnnnnn2n

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