练习题一

练习题一

1.1甲乙两人同时观察正在飞行的直升飞机，甲看到它匀速上升，一看到它匀加速下降，这样的现象有吗？

答： 有

1.2 设质点作曲线运动的方程为x?x(t),y?y(t) 在计算质点的速度和加速度时，有两种方法：

?drd2r?22,a?2，求出v,a。 (1) 先求出r?x?y，再根据v?dtdt(2) 先求出速度和加速度的各分量

dxdyd2xd2y2222vx?,vy?,ax?2,ay?2 然后再用v?vx?vy,a?ax?ay dtdtdtdt求出v,a，你认为那一种方法正确？为什么？

?d2r?dr,a?2， 答：（2）种方法正确。因为v?dtdt1.3 (1)匀速圆周运动的速度和加速度都恒定不变吗？ 答：不是。方向时刻变化。

(3) 再什么情况下会有法向加速度？再什么情况下会有切向加速度？ 答：速度方向改变时会有法向加速度，速度大小改变时会有切向加速度。

(4) 以一定的初速度、抛射角抛出的物体，在轨道上那一点的法向加速度最大？那一 点的切向加速度最大？

答：最高点处的法向加速度最大，抛出点和落地点的切向加速度最大。

1.4（1）一人从原点出发，25秒内向东走30米，又10秒内向南走10米，再15秒内向西北走18米。试求合位移的大小和方向；

（2）求每一分位移中的平均速度；求和位移中的平均速度；求全路程的平均速率； （3）位移和路程有何区别？在什么情况下两者相等？平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下两者相等？

解：（1） 102?302?1010 ??arctg1 31?v?182?(1010)2?2?18?1010cos(90??45??arctg)=17.5m

3 1

??9? 东偏北

30?1.20m

s25?10?1.00m 向南：|v|=

s10?18?1.20m 向西北：|v|=

s15?17.5?0.35m 合位移中：|v|=

s50?58?1.16m 全路程：|v|=

s50（2） 向东：|v|=

? （3） 位移：位置矢量的改变量，是矢量。

路程：质点所经轨迹的总长，是标量。

在单向直线运动中二者相等。

平均速度：质点的位移和发生这段位移所用的时间比，是矢量。 平均速率：质点的路程和发生这段路程所用时间比，是标量。

在单向直线运动中二者相等。

???1.5 质点的运动方程为r?2i?(3?t)j，式中t以秒计，r以米计。试求：

（1） 质点在前2秒内的位移； （2） 质点在前2秒内的平均速度； （3） 指点在第2秒末的速度；

解：（1）根据题意知质点在前两秒内的位移为：

???????r?2?2i?(3?2)j?[2?0i?(3?0)j]?4i?2j

（2）质点在前两秒的平均速度为：

??????r4i?2j??2i?j v??t2（3）质点在第二秒末的速度为：

????rv??2i?j

?t???21.6质点的运动方程为r?2ti?(19?2t)j，式中t以秒计，r以米计。试求：

（1）质点的轨道方程；

（2）质点在t?1s到t?2s内的位移和平均速度；

2

（3）质点在t?1s到t?2s内的平均速度以及t?2s的瞬时加速度；

??rx?2t2 有前式得t? 并将其代入后 解：（1）由运动学方程知：x?2t y??t2x2式便得质点的轨道方程：y?19?

2（2）质点在t?1s到t?2s内的位移为：

??????????r?r(2)?r(1)?2?i?(19?2?4)j?[2i?(19?2?1)j]?2i?6j

???????r2i?6j??2i?6j 平均速度为：v??t2?1????dr?2i?4j （3）瞬时速度为：v?dt??????则，t?1s和t?2s时的速度分别为：v1?2i?4j v1?2i?8j

????????v?v22i?8j?(2i?4j)???4j 平均加速度为：a?122?1????dv???4j t?2s时的瞬时加速度为：a??4j 瞬时加速度为：a?dt1.7 一质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a?2?6x，取国际单位制，质点在原点处的速度为10m/s，试求质点在任意坐标处的速度值。

解：因 a?2?6x?vv22dv2 即：vdv?(2?6x)dx dxx 两边积分

102vdv?(2?6x)dx ??0由此可解得速度随坐标的关系为：v?2x3?x?25 1.8 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90千米每小时的速率行驶，3分钟后以70千米每小时的速率向北偏西30度方向行驶，求列车的平均加速度。 解：根据题意可得速度增量的大小为： ?v?22?v2vcos30?1?v2?1v2290?2370??29?0?702??1 hk4m5.7?则列车的平均加速度大小为：a??v45.7??914km?h?2 ?t3/60平均加速度的方向确定如下：设其为正北夹角为?，则有：

3

v12??v2?v22 cos(???)??0.6428

2v1?v由此可以确定平均加速度的方向与正北的夹角??130

1.9 质点由坐标原点出发时开始记时，沿x轴运动，其加速度为ax?2cm/s2，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6秒时质点的位置及所走过的位移和路程。 （1） 初速度等于零。

（2） 初速度为9厘米每秒，与加速度方向相反。 解：（1）根据题意 ax??dv?2两边dt

?v0dv??2dt0tv?2tdx?v?2t再由 dtx?t2?x?62?0?36cm?s??x?36cm

（2）由题可知 初速度与加速度的方向相反则

vx??9cm/s?解得

v?9dv??2dt0ttv?2t?9?x0dx??vdt???2t?9?dt0

x?t2?9t?x?62?9?6??18cm

1.10 一质点作一维运动，加速度与位移的关系为a??kx,k为正常数，已知t=0时质点静止于x?x0处，试求质点的运动规律。 解：由

dvx?ax??A?2cos??t? 两边积分得vx???Asin(?t) dtdx?vx???Asin(?t) 两边取积分 再由 dt 4

得

?xAdx??vxdt????Asin(?t)00tt

x?A?Acos(?t)1.11 一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其角位移 ??2?4t,取国际单位制，问： （1） 时间等于2s时，此点的切向加速度和法向加速度各是多少？ （2） 当?等于多少时其总加速度与半径成45度角？ 解：（1）角速度为：??3d??12t2rad/s dtd?24trad/s2 则 角加速度为：??dt切向加速度为：a??R??24tR?4.8m/s 法向加速度为：an?R?2?144t4R?230.4m/s2

（2）根据题意 当加速度与半径成45度角时

有 an?a? 由此可得

144t4R?24tRt?1/6?0.55s33

对应的角度为：??2?4t?2.67rad

1.12意质点从某一点以同样大小的速率沿着同一铅直面内不同的方向同时抛出。试证明：

（1） 在任意时刻这些质点是散处在某一圆周上； （2） 各质点彼此的相对加速度方向始终不变；

证明：（1）由抛射体的运动方程知： x?v （1） ?t0cosy?v0sin?t?将（2）式变换后得： y?12gt （2） 212gt?v0sin?t （3） 2122222对（1）与（3）式两边平方后相加得：x?(y?gt)?v0t

212此等式为圆的方程。其圆心：（0，?gt），半径：R?v0t

2由此可见，不同时刻其圆周不同，同一时刻，这些沿不同方向抛出的质点就位于半径为R?v0t的同一圆周上。

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