崇明2011高三数学二模试题 解答

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崇明县2011年高考模拟考试试卷

高三数学（理科）

班级:___________姓名:____________ 考生注意：

1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；

2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚；

3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，满分56分，只需将结果写在答题纸上） 1、方程log(3x?4)?1的解x? ．2

2、函数y?cos?x?sin?x的最小正周期T? ．1

2443、已知z是方程z?2?i(z?1)的复数解，则z?．102

4、若直线l过点P(0,1)，且方向向量为(2,?1)，则直线l的方程为 （用直线方程的一般式表示）x?2y?2?0

2

5、二项式(x?1x)6的展开式中常数项等于

15 ．（用数字作答）

6、执行右图所示的程序框图，若输入x?10，则输出y的值等于 7、函数

1f(x)?x12(x?1)x?114

的值域为 ．(??,1]

开始 nn8、已知等差数列?a?的前n项和为S，若输入x S??6,S?S?1，8

x?y则S? ．36

31815y?0.5x?118否 9、已知直线l的极坐标方程为?cos(???4)?22，则极是 输出y x?y?1点到这条直线的距离等于 ．22 结束 （第6题图）S ，10、若一个无穷等比数列{a}的前n项和为

nn且limSn??n?12，

11)?(,1) 则首项a取值范围是________．(0,12211、圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，

若放入三个相同的

实心铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好

淹没最上面的球，则球的半径等于

3

cm．4

x2y2??1(m?0)mm?1812、已知双曲线的一条渐近线方

A

C

程为y?3x，它的一个焦点恰好在抛物 线y?ax的准线上，则a? B ．D a??24 ????????13、如图：在三角形ABC中，BA?AD?0， ?????????????????????AD?1,BC?3BD，则AC?AD? ．3 14、设函数f(x)?x?1，若关于x的不等式

22xf()?4f(m)?4m2f(x)?f(x?1)m3?,??对任意x???恒成立，则实?2????3??3????,?2???2,????????数m的取值范围是 ．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分，

每小题给出四个选项，其中有且只有一个结论是正确的，选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得5分，否则一律得零分）

15、从总体中抽取的一个样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，

则总体方差的点估计值等于????????????????????????（ ）

52 A、5 B、 C、 D、222

4

?216、命题P：“x?1?2”，命题Q：“x．则P?1”x?3是Q的???????????（ ） A、充分非必要条件 B、必要非充分条件

C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

17、函数f(x)?2?3x的一个零点所在的一个区间是???????????????（ ）

A、(1,2) B、(0,1) C、(?1,0) D、(?2,?1)

18、一个少年足球爱好者报考某知名足球学

校。面试过程是这样的：先由二位助理教练单独面试（假设相互独立），若能同时通过两位助理教练的面试，则予以录取；若均未通过两位助理教练面试，则不予取录；若恰好能通过一位助理教练的面试，则再由主教练进行终审（直接决定录取或不予录取）。如果该少年足球爱好者通过两位助理教练面试的概率均为0.5，通过主教练终审的概率为0.3，那么该少年足球爱好者被这知名足球学校录取的概率为?（ ） A、0.55 B、0.4 C、0.25 D、0.325

x三、解答题（本大题共5小题，满分74分。

解答下列各题并写出必要的过程，并将解题过程清楚地写在答题纸上）

5

19、本题满分12分（其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）

????已知向量a?(sinx,cosx),b?(1,3)，设函数f(x)?a?b （1）若x?[0,?]，求函数f(x)的单调区间；

（2）已知锐角?ABC的三内角A、B、C所对的

边是a、b、c，若有f(A??)?3sinB?2173,a?7,

，求c边的长度．

20、本题满分14分（其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）

ABCD是正如图，直线PA?平面ABCD，四边形P 方形，且PA?AD?2，点Ｅ、F、G分别是线段PA、

E F

PD、CD的中点．

（1）求异面直线EG与BD所成角的大小（结果A D 用反三角表示）； G

B

C

CD（2）在线段上是否存在一点Q，使BF?EQ，

若存在，求出DQ的长，若不存在，请说明

6

理由．

21、本题满分14分．（其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 某公司生产某种消防安全产品，年产量x台(0?x?100,x?N)时，销售收入函数R(x)?3000x?20x（单位：百元），其成本函数满足C(x)?500x?b（单位：百元）．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）．

2（1）求利润函数P(x)；

（2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？

7

（3）在经济学中，对于函数f(x)，我们把函

数f(x?1)?f(x)称为函数f(x)的边际函数，记作Mf(x)．对于（1）求得的利润函数P(x)，求边际函数MP(x)；并利用边际函数MP(x)的性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）

22、本题满分16分（其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分） 如图，已知椭圆

12x2y2??1(a?b?0)a2b2，M为椭圆上的

y 一个动点，F、F分别为椭圆的左、右焦点，A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端B M 1点．当MF?FF时，原点Ｏ到直线MF的距离为 OF．· · 32121F1 O F2 A 1x （1）求a,b满足的关系式； （2）当点M在椭圆上变化时， 求证：?FMF的最大值为?2．

128

（3）设圆x2?y2?r2(0?r?b)，G是圆

上任意一点，过G作圆的切线交椭 圆于Q,Q两点，当OQ?OQ时，

1212求r的值．（用b表示）

23、本题满分18分（其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 已知数列?a?的前n项和为S，满足

nn2?2Sn?3an(n?N)?.数列

?1?bn??an?1??nnn?1n?2.

（1）求证:数列?a?为等比数列；

（2）若对于任意n?N，不等式b?(n?1)?恒成立，

求实数?的最大值；

?n（3）对于数列?b?中值为整数的项，按照原．．

n9

数列中前后顺序排列得到新的数列?c?，

nM记T?c?c?????c，

n132n?1n?c2?c4?????c2nT，求M的表达式．

nn崇明县2011年高考模拟考试试卷解答

高三数学（理科）

二、选择题

15、A 16、A 17、C 18、三、解答题 19、（1）

f(x)??a?b??sinx?3cosx?2sin(x?? 3)单调增区间是[0,?6] 单调减区间是[?6,?]（2）因为f(A??3)?3 所以sinA?32 absinA?sinB

所以b?2

锐角三角形，所以cosA?1272,cosB?7 sinC?sin[??(A?B)]?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?321

14asinA?c7csinC,3?321214

c?3另解

B

10

所以b?2 （同上）

a2?b2?c2?2bccosAc?3

20．[理]

（1）以A为原点建立如图坐标系

则E(0,0,1),G(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0)

因此???EG??(1,2,?1),???BD??(?2,2,0) 所以

???cos??|EG?????|???EG??BD|?|???BD?||?26?22?36 即异面直线EG与BD所成角的为arccos36 （2）假设CD存在点Q，使BF?EQ，设DQ?x，则

Q(x,2,0),F(0,1,1)

因此???BF??(?2,1,1),???EQ??(x,2,?1) 因为BF?EQ所以???BF?????EQ??0 即DQ?x?12, 所以CD存在点Q，使BF?EQ 21、（1）由题意，x?0,b?4000

所以C(x)?500x?4000 P(x)?R(x)?C(x)?3000x?20x2?500x?4000??20x2?2500x?4000,0?x?100 （2）P(x)??20(x?125)22?74125 （0?x?100，x?N）

11

所以x?62或x?63 P(x)?P(62)?P63)?74120（百元） （3）MP(x)?P(x?1)?P(x)??40x?2480（0?x?99，x?N） 边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当x?0时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当x?62时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大。 22、解（1）设F(?c,0),F(c,0),A(a,0),B(0,b),

max12因为MF?FF，所以点M坐标为

212221b2M(c,)a

所以MF方程bx?2acy?bc?0 O到MF距离d?111?|OF1|?c3b4?4a2c232bb2c，整理得2b4?a2c2所以

222??a?b?c?422??2b?ac解得a?2

（2）设MF?m,MF?n,m?n?2a

1由余弦定理得因为

m2?n2?4c2(m?n)2?2mn?4c2cos?F1MF2??2mn2mn4(a2?c2)?2mn2b2???12mnmn

(m?n)20?mn??2b2412，

所以cos?FMF?0

12

当且仅当m?n?a?2b,cos?FMF?0

由三角形内角及余弦单调性知有最大值

??FMF? 21212,rsin)?圆上任意一点，过G点的切（3）设G(rcos?线交该椭圆于Q(x,x),Q(x,y)， 则切线l的法向量为(rcos?,rsin?)，直线l的方程为xcos??ysin??r?0

112222xcos??ysin??r?0联立方程组? ?x?2y?2b?222①cos??0时，OG?QG?QG，所以r?122b2?2r2，即：

r?6b3；

?222xcos??ysin??r?0②cos??0时，由? ?x?2y?2b得(1?cos?)y22?2rsin?y?r2?2b2cos2??0

所以

?2rsin??y?y?12??1?cos2??222?y?y?r?2bcos??121?cos2??221212

2因为xxcos??r?(y?y)rsin??sin? 由OQ?OQ得，xxcos??yycos??r?(y?y)rsin??yy?0

2221212121212所以3r2cos2??2b2cos2?，从而r?6b36b3；

由①、②知，r?

。

13

另解：由（1）a?2b，椭圆方程为x设G(x,y),Q(x,y),Q(x,y)

①当y?0,x??r，切线方程x??r，

00111222002?2y2?2b2

所以因为所以

2b2?r2x1?x2??r,y1,2??2

??????????OQ1?OQ2,OQ1?OQ2?02

002b2?r2x1x2?y1y2?r??026r?b30②当y?0,，切线方程xx?yy，消去y得

?r2，

2??xx0?yy0?r?222??x?2y?2b(2x02?y02)x2?4r2x0x?2r4?2y02b2?04r2x02r4?2y02b2x1?x2?,x1x2?222x0?y02x02?y02

r2?x1x0r2?x2x0r4?r2x0(x1?x2)?x02x1x2y1y2??y0y0y02r4?2x02b2y1y2?2x02?y02

?0

因为

所以xx?yy12??????????OQ1?OQ2,OQ1?OQ2?012代入得

3r4?2y02b2?2x02b2?0,x02?y02?r26r?b3123、 （1）a?2

2?2S?3a 2?2S?3a

nnn?1n?1(n?N?)14

所以2a即：aan?1?3an?1?3an

恒成立。

n?1n?3(n?N?)所以，?a?为以2为首项，公比为3的等比数列。

n（2）

1?1?bn??2?3n?2??nn?1 n?2①b?2?,??1 2②n?2时，令

2?3n?2f(n)?n(n?1)2?3n?22?3n?2?(1?n)?,??nn(n?1)

min，

4?3n?2(n?1)f(n?1)?f(n)??0(n?2)n(n?1)(n?2)所以，

2?3n?2f(n)?n(n?1)(f(n))（n?2）为递增数列。

1?(n?2)3

从而??1 31?的最大值等于。 由①，②知??1，所以33（3）c?1

当n?2k?1(k?2)时，c?2?3 当n?2k(k?1)时，c?3

13k?1?k?1n2?3k?1?k?1n所以

1??n?12?n?33?2cn??2?3?n?2n?2?32?32?2?32?1?2?1n?1n?2,n为奇数n?2,n为偶数3n?1?n?1

Tn?1?2?3?????2?3

15

Mn?1?32?32?1?2?1?????32?3n?1?n?1

n?2所以所以

1n?1?Tn???1?2?332?1?2?1?????2?33n?1?n?1Mn?2?1n?1?1?32?3?2?1?????32?3?n?1?1Tn?2n?1??Mn?3n?3?32n?1n?2

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