树德中学 圆锥曲线汇报课学生版

圆锥曲线背景下的定点、定值、最值问题（学生版） 树德中学数学组 张世军 一、要点梳理（课前知识预备）

二、回顾往昔，自我检测

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1、步步高p318B组第七题改编：已知椭圆2＋2＝1 (a>b>0)，点P是椭圆上异于顶点

ab的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l′过点P且垂直于l，交y轴于点B.则以AB为直径的圆经过定点

2、步步高P147典例改编：已知抛物线y2＝2px (p>0)，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，则直线AB过定点

3、设抛物线C：y2＝2px，(p>0),F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点．则→→OA·OB是一个定值 。

4、（2012山东）设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )．

A．(0,2)

B．[0,2] D．[2，＋∞)

C．(2，＋∞)

三、题型分类，自我提升 题型一、圆锥曲线定点问题；

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1，?在椭圆E上． 例1、已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)，其右焦点为(1,0)，点P??2?ab(1)求椭圆E的方程；

(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于(不同于点A的)M，N

两点，试判断直线MN与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

归纳总结：求解直线和曲线过定点问题的基本思路

把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．

题型2、定值问题

例2、在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．

(1)求曲线C1的方程；

(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

归纳总结：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

题型3、最值问题

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例3、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝

ab且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

归纳总结：

圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

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四、创新押题，决胜高考

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1、已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，点

ab2P(2， 3)，点F2在线段PF1的中垂线上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标．

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2、如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝，且＝22.

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(1)求该椭圆的标准方程；

→→→

(2)设动点P满足：OP＝OM＋2ON，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率1

之积为－.问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的

2坐标；若不存在，说明理由．

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3、已知F1，F2分别是椭圆E：＋y＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0

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的对称点是圆C的一条直径的两个端点．

(1)求圆C的方程；

(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程．

五、查漏补缺，完善自我。

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