初高中衔接讲义（修改）

第一讲：勾股定理的再认识

222勾股定理：在?ABC中,设?A,?B,?C的对边分别为a,b,c.若?C?90?,则a?b?c.

1.勾股定理的内涵:

①勾股定理的使用前提是三角形内有一直角. ②勾股定理确定了三角形边与角的定量关系. ③勾股定理揭示了HL定理成立的根本原因.

例1.在?ABC中,若有两边的长分别为3,4,则第三边的长度x的取值范围为________. 例2.若?ABC是一个直角三角形,且有两边的长分别为3,4,则第三边的长为________.

例3.在?ABC中,?C?90?,AC?3,BC?4,点D在边AB上,且AD?4BD,则CD?________. 例4.在?ABC中,设?A,?B,?C的对边分别为a,b,c.若?C?120?,a?3,b?4,则c?________. 2.勾股定理的结构

①在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方. ②在直角三角形中,三条边长之间的关系是平方后的关系.

222例5.在?ABC中,?C?90?,且AC?BC,点D在边AB上,求证:AD?BD?2CD.

22例6.在?ABC中,设?A,?B,?C的对边分别为a,b,c,?B?2?A,求证:b?a?ac.

3.勾股定理的延拓

①勾股定理与三角形形状间的关系. ②勾股定理与余弦定理之间的关系.

例7.在?ABC中,若?C为钝角,AC?3,BC?4,则AB边长度的取值范围为________.

例8.在?ABC中,设?A,?B,?C的对边分别为a,b,c.若?C?60?,a?3,b?4,则c?________.

2224.勾股定理逆定理：在?ABC中,设?A,?B,?C的对边分别为a,b,c.若a?b?c,则?C?90?.

222244例9.若?ABC三边长a,b,c满足ac?bc?a?b,则这个三角形的形状为_______.

例10.在正方形ABCD中,F为CD的中点,E为BC上一点,且BC?4CE,求证:AF?EF.

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第二讲：分解因式的再认识

1.分解因式的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.例如下列从左到右的变形中就是分解因式的过程：a2?4ab?4b2?(a?2b)2,x2y?xy?xy(x?1).

注意：①分解因式的结果要以乘积的形式出现；②每个因式必须是整式且每个因式的次数都必须不高于原多项式的次数；③分解因式必须分解到每个因式都不能再分解为止；④分解因式是一个恒等变形的过程,等式左边必须是多项式；⑤因式与整式乘法之间的关系:分解因式与整式乘法是互逆的关系. 例1.请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式？

(1)x?2?(x?1)(x?1)?1； (2)(x?3)(x?2)?x?x?6； (3)3mn?6mn?3mn(m?2)； (4)ma?mb?mc?m(a?b)?mc； 2.分解因式的方法

①提公因式； ②利用公式； ③分组分解； ④添项拆项； ⑤十字相乘； ⑥方程的解. 例2.在实数范围内分解下列各个多项式

22(1)2ab?4ab； (2)12xyz?9xy；

2322222(3)(a?b)?c； (4)a?b?ac?bc；

22(5)a?2ab?b； (6)x?5x?6； (7)4x?19x?9； (8)x?7x?6.

22(9)x?2x?2x?2x?1； (10)x?2xy?3y?2x?10y?8.

243242242423例3.若分解因式x?mx?15?(x?3)(x?n),求m,n的值. 例4.已知x,y都是自然数,且xy?2x?3y?12,求x,y的值.

例5.当k为何值时,x?y?3x?7y?k可以分解为两个一次因式的乘积？ 例6.已知9a?12ab?8b?4bc?2c?4c?4?0,求a?b?c的值. 3.因式乘积的符号：若干个非零因式之积的符号取决于负号的个数.

例7.求解不等式: (1)x?2x?15?0； (2)x?4x?5?0； (3)x?4x?5?0. 例8.若关于x的不等式x?2mx?2m?3?0对一切实数x均成立,求实数m的取值范围.

222222222- 2 -

第三讲：判别式意义再认识

1.判别式的意义 (1)判别式的概念

22对于关于x的一元二次方程ax?bx?c?0,记??b?4ac,则: ①当??0时,该方程有两个不

相等的实数根；②当??0时,该方程有两个相等的实数根；③当??0时,该方程没有实数根.

称??b?4ac为关于x的一元二次方程ax?bx?c?0有无实数根的判别式. (2)判别式的实质

22对于关于x的一元二次方程ax?bx?c?0可以通过配方法得到(2ax?b)?b?4ac,由此可以

222看出??b?4ac?(2ax?b)是一个完全平方式,从而必有??0. 2.判别式的应用

例1.判断以下方程的解的情况: (1)x?5x?3?0； (2)2x?5x?3?0； (3)x?mx?2m?3?0 例2.若关于x的一元二次方程2x?2mx?3m?4?0有实数根,求实数m的取值范围.

例3.已知实数x,y满足x?y?5?2x?4y,试求实数x,y的值.

例4.求证:关于x的方程mx?(m?6)x?3?0必有实数根.

例5.若二次函数y?2x?3mx?m?m?6的图像均在x轴上方,求实数m的取值范围.

3.判别式的拓展

例6.已知实数a,b,c满足3a?2b?c?0,求证:b?3ac.

例7.已知关于x的方程kx?(k?1)x?1?0有有理数根,求整数k的值.

例8.求所有的整数m,使关于x的方程mx?(4m?2)x?4m?7至少有一个整数根.

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22222222222222第四讲：韦达定理的再认识

1.韦达定理的应用

若关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0的两个实数根为x1,x2,则x1?x2??22222bc,x1?x2?. aa例1.若a,b是方程x?2x?1?0的两个实数根,求a?b,a?b,3a?b?8a?3的值.

例2.若不相等的实数a,b满足:a?3a?1?0,b?3b?1?0,求代数式

例3.若a,b均为有理数,且3?2是方程x2?ax?b?0的一个实根,则a?b?________.

例4.若方程x2?(2a?1)x?a2?0的两个实数根为x1,x2,且x1?x2?1,求实数a的取值范围. 2.韦达定理的前提

22应用韦达定理的前提条件是一元二次方程ax?bx?c?0有两个实数根,即必须??b?4ac?0.

221?b2?6b的值. 2a例5.若关于x的方程ax?6x?1?0只有正实数根,求实数a的取值范围.

例6.若a,b是方程x?mx?3m?0的两个实数根,且a?b?7,求实数m的值.

例7.是否存在实数m,使得关于x的方程x?2mx?2m?1?0的两个实数根的平方和为1？若存在,

22222请求出所有实数m的值；若不存在,请说明理由.

3.韦达定理的拓展

例8.求所有的实数a,使关于x的方程x?ax?6a?0有且只有正整数根.

例9.求所有的实数a,使关于x的方程

例10.设a,b,c是方程x?2x?1?0的三个实数根,求a?b?c?2abc的值.

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3222211a??有且只有正整数根. x?2x?12x?1第五讲：函数图像的再认识

1.点的坐标的认识

例1.若点P的坐标为(2x?1,x?3),则当x的值从?1逐渐增大到1的过程中,点P将______.

A.先向右上移动,再向右下移动 B.先向右下移动,再向右上移动 C.先向左上移动,再向左下移动 D.先向左下移动,再向左上移动 例2.已知点P在直线y?2x?1上,并且点P到x轴的距离为5,求点P的坐标.

例3.如果O为坐标原点,以P(3,4)为圆心,OP长为半径作有_____个,到y轴距离为1.3的点有_____个. 2.函数图像的画法

①直接描点作图； ②利用性质作图； ③分段函数作图. 3.数形结合法初探

例4.将抛物线y?2x?8x?7先向上平移2个单位,再向右平移3个单位可以得到抛物线_______. 例5.若右图是函数y?ax?bx?c图像的一部分,则当x满足_______时,该函数的函数值y?0.

O22P,那么在P上到x轴的距离为1.3的点

2y例6.若抛物线y?ax?bx?c与x轴交于A,B两点,线段AB?8,当

20.72xx?1时,函数值取得最大值2,求该抛物线的解析式.

例7.若要使反比例函数y?例8.求不等式

例9.讨论方程|x?2x?3|?a的实数根的个数.

例10.若当1?x?5时,一次函数y?kx?b的函数值满足?1?y?7,则k?b?_______. 例11.已知当x?1时,不等式t?1?(t?4)x恒成立,求实数t的取值范围.

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223的函数值y?3,则自变量x的值应该满足的条件为_______. x3?x?2的解集. x

第六讲：分类讨论思想初探

1.分类讨论的意义

例1.解关于x的不等式ax?2.

2.分类讨论的依据

例2.解关于x的不等式(x?2)(x?a)?0.

例3.解关于x的不等式(x?3)(x?m)?0.

例4.解关于x的不等式(x?1)(x?2m?3)?0.

例5.解关于x的不等式(x?m)(x?2m?3)?0.

例6.解关于x的不等式x?(a?1)x?a?0.

例7.已知关于x的不等式ax?5?0有且只有三个正整数解,求实数a的取值范围.

例8.已知不等式组?

3.分类讨论的误区

例9.解关于x的不等式ax?(a?1)x?1?0.

例10.求x的范围,使得当a?[?1,1]时函数y?x?(a?4)x?2a?4的图像全在x轴上方.

例11.已知关于x的方程mx?(3m?8m)x?2m?13m?15?0至少有一个整数根,求整数m的值.

2222222?2x?a?0的整数解有且只有1,2,3,求满足条件的所有整数对(a,b)？

?bx?3?0- 6 -

第七讲：全等与相似的再认识

1.如图,图中所有小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与?ABC相似的是______.

2.已知在右下图的图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位. ①在图1中画出一个与格点?ABC相似且面积为9个平方单位的格点三角形?A1B1C1.

②在图2中画出一个与格点?DEF相似且面积为5个平方单位的格点三角形?D1E1F1.

ABCF图1DE图23.在?ABC中,AB?4,AC?3,?ABC?45?,求?ABC的面积.

4.(1)在?ABC和?A1B1?8,AC?A1C1?7,且?ABC??A1B1C1中,如果有AB?A1BC11?45?,那么?ABC和?A1B1C1一定全等吗？

(2)在?ABC和?A1B1?8,AC?A1C1?7,且?ABC??A1B1C1中,如果有AB?A1BC11?60?,那么?ABC和?A1B1C1一定全等吗？

(3)在?ABC和?A1B1?8,AC?A1C1?9,且?ABC??A1B1C1中,如果有AB?A1BC11?60?,那么?ABC和?A1B1C1一定全等吗？

(4)在?ABC和?A1B1C1中,如果有AB?A1B1?m,AC?AC11?n,且?ABC??A1B1C1?120?,那么?ABC和?A1B1C1一定全等吗？

(5)在?ABC和?A1B1C1中,如果已知AB?A1B1?m,AC?AC11?n,且?ABC??A1B1C1??,那么当m,n,?之间满足怎样的关系时,我们就可以断定?ABC和?A1B1C1全等? 5.如图,已知点D,E分别在等边?ABC的边BC,BA的延长线上,且满足

EAE?BD,求证:CE?DE.

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ABCD第八讲：基本不等式及其应用

一、基本不等式：

1.基本不等式

2.使用基本不等式的注意事项

二、典型例题：

例1.求下列函数的最值. (1)y?2x?1,(x?1) x?1x2?3x?9(2)y?,(x?0)

xx2?3x?9(3)y?,(x?1)

x?1x2?8(4)y?,(x?0)

x?1x2?8(5)y?,(x?5)

x?1 (6)y?2x(3?x),(0?x?3) (7)y?2x9?x2,(0?x?3) (8)y?2x25?9x2,(0?x?)

5312

?的最小值. ab12 (2)已知正实数a,b满足a?2b?2,求?的最小值.

ab12 (3)已知正实数a,b满足??3,求2a?b的最小值.

ab12 (4)已知正实数a,b满足??3,求a?2b的最小值.

ab例2.(1)已知正实数a,b满足a?b?1,求

(5)已知正实数a,b满足ab?a?2b,求a?2b的最小值. (6)已知正实数a,b满足ab?a?2b,求2a?3b的最小值. (7)已知正实数a,b满足ab?a?b?8,求a?b的最小值. (8)已知正实数a,b满足ab?a?b?8,求a?2b的最小值.

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第九讲：二次函数的再认识(1)

1.已知二次函数的图象过(?3,?2),(1,?2)和(2,3)三点,求二次函数的解析式.

2.已知二次函数的图象过(?2,0)和(3,0)两点,且其顶点的纵坐标为

3.当x为何值时,函数f(x)?(x?x1)2?(x?x2)2?

4.已知方程x?2px?1?0有一个根大于1,有一个根小于1,求实数p的取值集合.

5.当k为何值时,关于x的二次方程7x2?(k?13)x?k2?k?2?0的两个实根?和?分别满足

2125,求它的解析式. 4?(x?xn)2取得最小值.

0???1和1???2？

226.已知x1,x2是方程x2?(k?2)x?(k2?3k?5)?0的两个实数根,求x1的最大值. ?x2

7.求函数y?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?5在[?3,3]上的最小值.

8.若开口向下的抛物线过x轴上方的点P(x0,y0).求证:抛物线与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x0在x1与x2之间.

29.已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0),方程f(x)?x的两根x1,x2满足0?x1?x2?1,若x?(0,x1),a证明:x?f(x)?x1.

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第十讲：二次函数的再认识(2)

1.求证:函数y?kx?b(k?0)的图像一定经过第一象限.

2.设二次函数f(x)?ax2?bx?c,求证:存在实数m,使得f(m)与a同号.

3.设开口向上的二次函数f(x)?ax2?bx?c的图像经过x轴下方的点P(x0,y0),求证:方程f(x)?0有两个实根x1,x2,且x1?x0?x2.

4.设函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),且方程f(x)?x的根x1,x2满足0?x1?x2?(1)当x?(0,x1)时,求证:x?f(x)?x1.

(2)当曲线y?f(x)关于直线x?x0对称时,求证:x0?

5.(1)求函数y?x?2x?1的最小值.

(2)求函数y?x?2x?1在x?[2,5]内的最小值. (3)求函数y?x?2x?1在x?[?2,5]内的最小值. (4)求函数y?x?2x?1在x?[?2,m]内的最小值. (5)求函数y?x?2x?1在x?[m,m?2]内的最小值.

6.(1)求函数y?x?2mx?1的最小值.

(2)求函数y?x?2mx?1在x?[m?1,m?2]内的最小值. (3)求函数y?x?2mx?1在x?[?2,m]内的最小值. (4)求函数y?x?2mx?1在x?[m,m?2]内的最小值. (5)求函数y?x?2mx?1在x?[?2,5]内的最小值.

22222222221. a1x1. 2- 10 -

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