第四章 数字控制器的连续化设计方法

第四章 数字控制器的连续化设计方法

模拟控制系统的控制过程是通过传感器把被测的各个模拟参量，比如温度、流量、压力、液位、成份等，变换成电信号（电流、电压），再送给模拟调节器。在调节器中，被测模拟参量转换成的电信号与设定值进行比较后，经过PID控制器送到执行机构，改变进给量，达到自动调节的目的。系统的控制器是连续模拟环节，也称为模拟调节器。而在数字控制系统中，用数字控制器来代替模拟调节器。传感器输出的电信号通过A/D转换器转换成数字信号，送给数字控制器。控制器按照一定的控制算法进行运算处理后，输出控制量，再经过D/A转换成模拟量，通过执行机构去控制生产过程，使控制参数达到给定值。在计算机控制系统中，用计算机来控制和调节被控对象，实现数字控制器的功能。

计算机控制系统的设计，是指在给定系统性能指标的条件下，设计出控制器的控制规律和相应的控制算法，并通过控制程序加以实现，对硬件电路、外围设备、执行机构等进行控制，实现控制功能。

为什么要用计算机实现数字控制器的功能？主要是因为它有以下优点： （1） 可以分时控制，实现多回路控制

计算机的运行速度比较快，而被控对象变化一般都比较缓慢，因此用一台计算机可以控制多个外围设备。计算机采用分时控制，轮流为每个外围设备服务，既提高了控制系统的速度，又大大节省了硬件开销。

（2） 控制算法灵活，功能强大，能实现复杂的控制规律

使用计算机，通过控制程序实现控制算法，可根据实际需要调节控制参数，不需要修改硬件就可改变控制方案，因此非常灵活。此外计算机不仅可以实现数字PID控制，而且还可以应用直接数字控制、模糊控制、自适应控制等各种控制方法。计算机控制系统中，计算机不仅要完成控制任务，还可实现监控、数据采集、显示、报警等各种功能，因此控制系统的功能非常强大，可以节约人力、物力。

（3） 系统的可靠性高，稳定性好

用应用软件实现数字控制器的功能，比用硬件组成的调节器具有更高的可靠性和稳定性，而且容易调试，维修方便。

（4） 保证安全生产，改善劳动条件

在石油化工、煤炭生产、无损检测等应用领域，由于生产环境比较恶劣，存在对人体有害的射线或气体，就可用计算机实现远程监控。操作人员不用去现场，也可对生产过程一目了然，极大的改善劳动条件。

常见的计算机控制系统结构原理图如图4.1所示。 y(t) 被控 r(t) + D/A 计算机 对象 B A _ A/ D B′ A′

图4.1 计算机控制系统结构原理图

图中r(t)是系统的输入信号，即被测参数的给定值；y(t)是系统的输出信号，即被测参数的实际测量值。

计算机控制系统在结构上是模拟部件和数字部件组成的混合系统，包含连续模拟、离散模拟、离散数字等多种信号形式。D/A转换器的输入信号A和A/D转换器的输出信号A′ 都是数字量，而D/A转换器的输出信号B和A/D转换器的输入信号B′ 都是模拟量。如果把计算机控制系统从A或A′ 点断开，其输入输出都是数字量，我们可以把它看作是一个离散系统；如果把计算机控制系统从B或B′ 点断开，其输入输出都是模拟量，我们可以把它看作是一个连续变化的模拟系统。由此我们得到数字控制器的两种设计方法。

1、数字控制器的连续化设计法

这种方法也称为数字控制器的间接设计法。忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，把计算机控制系统近似看作模拟系统。按照连续系统的理论进行分析和设计，在S域中进行初步设计，求出连续控制器的传递函数，然后把连续控制器近似离散化为数字控制器，得到其控制算式，并由计算机实现。数字控制器的连续化设计方法在设计中被广泛应用。

2、数字控制器的离散化设计方法

这种方法也称为数字控制器的直接设计法。把计算机控制系统看作离散控制系统，从被控对象的特性出发，直接根据采样系统理论，利用Z变换等工具进行分析和设计，得到其控制规律，并用计算机实现。这种设计方法完全根据采样控制系统的特点进行综合分析，比连续化设计方法更具有一般的意义。

这两种设计方法采用不同的控制理论进行分析和设计，使用的数学工具也不相同，如表4-1所示。

表4-1 两种设计方法所用的数学工具 分类 连续化设计方法 离散化设计方法 系统分析工具 Laplace变换 Z变换 动态行为的描述 微分方程 差分方程 输入输出模型 传递函数 脉冲传递函数 分析平面 S平面 Z平面 这一章主要介绍数字控制器的连续化设计方法，讲述各种离散化方法、数字PID控制器的设计、PID控制器的参数整定以及施密斯预估器的设计原理。

4.1 数字控制器的连续化设计步骤

虽然连续化的设计方法是一种近似的方法，但是由于工程技术人员比较熟悉连续系统的设计方法，经验比较丰富，而且这种设计方法容易掌握，所以仍然得到了广泛的应用。数字控制器的连续化设计方法要求系统的采样周期足够小，一般只能实现比较简单的控制算法。

图4.2是带采样开关的计算机控制系统的结构图，G0(S)是被控对象的传递函数，H(S)是零阶保持器的传递函数，D(z)是数字控制器的脉冲传递函数，由计算机实现。模拟化设计的任务就是根据系统的性能指标和被控对象的数学模型，设计数字控制器

的脉冲传递函数D(z)，并用计算机实现。

+ e(t) e(k) u(k) u(t) r(t) y(t) D(z) H(s) G0(s) _

图4.2 带采样开关的计算机控制系统的结构图

其设计可以按照以下步骤进行： 1、求出模拟调节器的传递函数D(S)

把图4.2所示的计算机控制系统看作是一个连续变化的模拟系统，则其结构如图4.3所示，图中G(S)=H(S)×G0(S)，是广义被控对象的传递函数。

r(t) + y(t) e(t) u(t) G(s) D(s) _ 图4.3 连续控制系统结构图

按照连续系统的设计方法，根据系统性能指标的要求，利用频率特性法、根轨迹法等设计出模拟调节器的传递函数D(S)。

2、选择合适的采样周期T

数字控制器的连续化设计方法要求系统的采样周期足够小，因此采样周期的选择除了满足香农采样定理以外，还必须根据实际情况，合理选择。一般情况下，设计人员都是根据经验法选择相当短的采样周期。

3、把D(S)离散化，求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)

数字控制器最终要靠程序来实现，因此必须把D(S)离散化，求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，才能得到其差分方程。把D(S)离散化为数字控制器的脉冲传递函数D(z)的方法比较多，比如前向差分法、后向差分法、双线性变换法、零阶保持器法、阶跃响应不变法等。必须选择合适的离散化方法，才能保证D(z)的性能接近D(S)的性能，满足系统性能指标的要求。

4、检验系统的闭环特性是否满足设计要求

求出广义被控对象的脉冲传递函数G(z)，把D(z)连入系统，对系统进行仿真实验，检查系统设计是否满足要求。如果不满足要求，就修改参数或重新设计。

5、把D(z)变换成差分方程的形式，并编程实现

连续动态系统采用微分方程来描述，离散系统的动态行为用差分方程来描述。只有求出数字控制器所对应的差分方程，我们才能得到控制算式，才能编程实现数字控制器的功能。

6、现场调试

用计算机对系统进行控制，把硬件和软件结合起来，进行现场调试，这是计算机

控制系统设计的关键部分。

4.2 模拟调节器的离散化方法

模拟调节器离散化的目的就是由模拟调节器的传递函数D(S)得到数字控制器的脉冲传递函数D(z)，从而求出其差分方程。模拟调节器的离散化方法很多，本节简要介绍几种常用的离散化方法。

一、差分变换法

差分变换法也称为差分反演法，这是一种最简单的变换方法。模拟调节器如果用微分方程的形式表示，其导数就可以用差分方程来近似代替，把连续校正装置的传递函数D(S)转换成差分方程，再用差分方程来近似表示这个微分方程。

差分变换法分为前向差分法和后向差分法。 1、前向差分法

利用台劳级数展开，可将z?e写成以下形式

Tsz?eTs?1?Ts???1?Ts （4-1）

由上式可得

s?z?1 （4-2） T把式（4-2）代入模拟调节器的传递函数D(S)中，即可求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，得到前向差分法的计算公式：

D(z)?D(s)s?z?1T （4-3）

式中T是系统的采样周期。

前向差分法还可通过数值微分计算得到。

du(t)u(k?1)?u(k) （4-4） ?dtT等式左边进行拉氏变换为su(s)，右边进行Z变换为变换公式。

2、后向差分法

利用台劳级数展开，还可将z?e写成以下形式

Tsz?1u(z)，同样可得到其Tz?eTs?1e?Ts?1 （4-5） 1?Ts

由上式可得

z?11?z?1 s? （4-6） ?TzT把式（4-6）代入模拟调节器的传递函数D(S)中，即可求出数字控制器的脉冲传

递函数D(z)，得到后向差分法的计算公式：

D(z)?D(s)1?z?1s?T （4-7）

式中T是系统的采样周期。

后向差分法同样可通过数值微分计算得到。

du(t)u(k)?u(k?1) （4-8） ?dtT1?z?1等式左边进行拉氏变换为su(s)，右边进行Z变换为u(z)，同样可得到其

T变换公式。

例4-1 已知模拟调节器的传递函数D(S)?1，分别采用前向差分和后向

T1S?1差分法对其进行离散化，求出其脉冲传递函数D(z)以及所对应的差分方程。

解：（1）前向差分法

根据其变换公式，则：D(z)?D(s)z?1Ts??1T ?z?1T1z?(T?T1)T1??1T对应的差分方程为：

u(k)?（2）后向差分法

根据其变换公式，则：

Te(k)?T1u(k?1)

T?T1D(z)?D(s)s?1?zT?1??1T? ?1?11?z(T1?T)?T1ZT1??1T对应的差分方程为：

u(k)?Te(k)?T1u(k?1)

T1?T差分变换法中，后向差分法比前向差分法有更好的稳定性，所以应用更加广泛。 二、零阶保持器法

零阶保持器法的基本思想是：离散近似后的数字控制器的阶跃响应序列，必须与模拟调节器的阶跃响应的采样值相等，因此又称为阶跃响应不变法。

这种方法就是在模拟调节器前面，串联一个零阶保持器，最后进行Z变换，得到数字控制器的脉冲传递函数，即

D(z)?Z?H(s)D(s)? （4-9）

1?e?Ts式中零阶保持器的传递函数H(s)?。

s例4-2 设模拟调节器的传递函数D(s)?a，用零阶保持器法求其脉冲传递s?a函数D(z)及所对应的差分方程。

解：根据式（4-9），得数字控制器的脉冲传递函数为：

?a?D(z)?Z?H(s)D(s)??(1?z?1)Z? ??s(s?a)?1?11?1?1??(1?z?1)Z???(1?z)???1?z?11?z?1e?aT?ss?a??z?1(1?e?aT)?1?z?1e?aT其对应的差分方程为：

???

u(k)?(1?e?aT)e(k?1)?e?aTu(k?1)

三、双线性变换法

双线性变换法又称为突斯汀变换法或梯形法。 利用台劳级数展开，可将z?e写成以下形式

Ts2Ts2Tsz?eTs?ee?TTs??1?s22 （4-10） ??TT1?s??1?s221?

由式（4-10）可以得到：

s?2z?1 （4-11）

Tz?1把式（4-11）代入模拟调节器的传递函数D(S)中，即可求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，得到双线性变换法的计算公式：

D(z)?D(s)s?2z?1Tz?1 （4-12）

例4-3 已知模拟调节器的传递函数D(s)?s?0.5，选择采样周期T=1秒，用

(s?1)2双线性变换法求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，并写出其差分方程。

解：根据式（4-12），得数字控制器的脉冲传递函数为：

D(z)?D(s)s?2z?1z?1?2Tz?1z?1z?1?0.50.278(1?0.4z?1?0.6z?2)z?1 ???1?2z?11?0.667z?0.111z(2?1)2z?12所对应的差分方程为：

u(k)?0.667u(k?1)?0.111u(k?2)?0.278e(k)?0.111e(k?1)?0.167e(k?2)

四、根匹配法

根匹配法又称为匹配Z变换法或零极点匹配法，用这种方法能产生零点、极点都与连续系统相匹配的脉冲传递函数。其变换方法就是直接把S平面上的零极点对应的映射到Z平面上的零极点。

假设模拟调节器的传递函数中零极点多项式为s+a，s+a±jb，则根匹配法的变换公式为：

s?a?1?z?1e?aT （4-13）

s?a?jb?1?2z?1e?aTcosbT?z?2e?2aT （4-14）

例4-4 已知模拟调节器的传递函数D(s)?s，选择采样周期T=1秒，用根s?1匹配法求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，并写出其差分方程。

解：模拟调节器的传递函数中零点多项式为s，极点多项式为s+1，根据式（4-13），求出数字控制器的脉冲传递函数为：

D(z)?D(s)s?1?z?1所对应的差分方程为：

s?1?1?z?1e?11?z?1 ?1?0.37z?1u(k)?0.37u(k?1)?e(k)?e(k?1)

五、修改的根匹配法

根匹配法不能保证数字控制器的脉冲传递函数D(z)与模拟调节器的传递函数 D(S)有相同的增益，修改的根匹配法就是在根匹配法的基础上，为保证两者有相同的增益所做出的一种改进的变换方法。

修改的根匹配法的数学表达式是：

D(z)?kD?(z) （4-15）

式中D′ (z)是用根匹配法得到的数字控制器的脉冲传递函数，k是在两者对阶跃函数作用的稳态响应相同的条件下所求出的比例系数。

其离散化过程分为两个步骤：首先采用根匹配法求出数字控制器的脉冲传递函数D′ (z)；其次在保证两者对单位阶跃响应有相同增益的条件下求出系数k，这样就可用修改的根匹配法求出D(z)。

例4-5 设D(s)?10s?2，采样周期T=1秒，用修改的根匹配法求出D(z)，并s?1写出其差分方程。

解：（1）用根匹配法求出数字控制器的脉冲传递函数D′ (z)

D?(z)?D(s)s?2?1?z?1e?2s?1?1?z?1e?11?0.13z?1 ?10?1?0.37z?1（2）求出系数k 由式（4-15），可得

1?0.13z?1D(z)?kD?(z)?k ?11?0.37z根据终值定理，在单位阶跃函数作用下D(S)的稳态响应值为：

lims?D(s)?s?01?limD(s)?20 ss?0因此在单位阶跃函数作用下，数字控制器的脉冲传递函数D(z)的稳态响应值也应等于20，根据Z变换的终值定理，可知：

z1?0.13z?1lim(z?1)D(z)?limD(z)?limk?20 z?1z?11?0.37z?1z?1z?1

所以 k=14.5

1-0.13z-1数字控制器的脉冲传递函数D(z)?14.5

1-0.37z-1所对应的差分方程为：

u(k)?0.37u(k?1)?14.5e(k)?1.89e(k?1)

六、Z变换法

Z变换法也称为冲激不变法、脉冲响应不变法，就是直接对模拟调节器的传递函数D(S)求Z变换，即

D(z)?Z?D(s)? （4-16）

例4-6 设D(s)?差分方程。

解：D(z)?Z?D(s)??Z?s，采样周期T=1秒，用Z变换法求出D(z)，并写出其

(s?1)2??1s?1??Z? ?2?2??(s?1)??s?1(s?1)?zTze?T1?0.376z?1??? ?T?T2?12z?e(z?e)(1?0.368z)所对应的差分方程为；

u(k)?0.736u(k?1)?0.135u(k?2)?e(k)?0.376e(k?1)

以上各种离散化方法各有千秋，哪一种方法都没有绝对优势。修改的根匹配法计

算简单，而且模拟调节器和数字控制器的增益相同。如果只考虑系统增益，其效果最佳。后向差分法计算简单，稳定的连续控制器可以产生稳定的离散控制器，但是瞬态响应和频率响应都会产生畸变。为了减小畸变，应该选择较小的采样周期。同时其精度比较低，因此只是在个别情况下用于微分环节和积分环节的离散化。双线性变换法可以把S的开左半平面映射到Z平面的单位圆内部区域，稳定的连续控制器能产生稳定的数字控制器，但是瞬态响应和频率响应都会产生畸变。随着采样周期的增大，各种离散化方法得到的数字控制器的脉冲传递函数D(z)的性能会变差，与模拟调节器的传递函数D(S)的频率特性的差别也变大。

不论选用哪种离散化方法，只要能满足实际需要，能够用计算机实现模拟调节器的功能，我们就认为它是适用的。

4.3 PID 算法的数字实现

在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例（proportional）、积分

（integral）、微分（differential）控制，简称PID控制，又称PID调节。PID控制算法在工业控制中有着广泛的应用，大约有90%的工业控制系统都采用了PID控制算法。PID控制器以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。其调节的实质就是根据系统的偏差，按照比例、积分、微分之间的函数关系进行运算，用运算结果作为控制量，对系统进行控制。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。在实际应用中，人们已经积累了丰富的经验，可根据被控对象的特性和控制要求，灵活改变PID控制器的结构。在计算机控制系统中，用软件实现PID控制器的功能，可以在线整定PID参数，灵活修正PID控制算法，使其功能进一步完善。这一节主要讲一下PID控制器的数字实现及其程序设计。

4.3.1 模拟PID调节器

PID调节器是一种线性调节器，其输入是系统的偏差信号e，输出是控制量u。系统偏差经过比例、积分、微分的线性组合，构成控制量，如图4.4所示。实际应用中，可以根据需要，灵活改变其结构。根据不同的线性组合，形成比例（P）调节器、比例积分（PI）调节器、比例微分（PD）调节器、比例积分微分（PID）调节器等。

比例环节 + r + 输出y u 给定值+ e 受控对象 积分环节 + - 微分环节 图4.4 模拟PID调节器结构 1、 比例调节器

比例控制是一种最简单的控制方式，控制器的输出与输入之间成比例关系，其控制规律为：

u(t)?kpe(t) （4-17）

式中kp是比例系数，e(t)是调节器输入的偏差信号，u(t)是调节器输出的控制量。

只要存在偏差，比例调节器就会及时的调节被控参数，朝着减小偏差的方向变化。调节作用的强弱，除了与偏差有关，主要取决于比例系数kp。加大比例系数，调节作用加强，动态特性变好，响应速度变快，稳态误差减小。但是如果比例系数太大，会使系统的动态品质变差，引起被控量振荡，甚至导致闭环系统不稳定。

比例调节器虽然有结构简单、调节及时、调节速度快等优点，但是当仅有比例控制时，系统的输出存在着稳态误差（Steady-state error）。比例调节器的阶跃响应特性曲线如图4.5所示。

2、比例积分调节器

在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统（System with Steady-state Error）。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入积分项。积分控制规律为：

u(t)?1e(t)dt （4-18） ?TI式中TI是积分时间常数，TI越大，积分作用就越弱。

积分环节的响应特性曲线如图4.6所示。 e(t) e(t)

t t 0 0 u(t) u(t)

Kpe(t)

t t 0 0

图4.6 积分环节的响应特性曲线 图4.5 比例调节器的阶跃响应特性曲线

只要偏差不为零，积分环节就会累积偏差，影响控制量u，并减小偏差。直到偏差为零，控制作用不在变化，系统才能达到稳态。因此积分作用能够消除稳态误差。但是积分作用的动作比较缓慢，而且在偏差刚出现时，调节作用很弱，不能及时克服扰动的影响，使动态偏差增大，调节过程延长，因此很少单独使用。

把比例环节和积分环节结合起来，就构成比例积分调节器，其调节规律为：

??1u(t)?kp?e(t)??e(t)dt? （4-19）

TI??比例积分调节器的输出特性曲

线如图4.7所示。PI调节器对于偏差的阶跃响应除了比例环节的作用外，还包含了累积偏差的积分作用。在阶跃作用刚开始的瞬间，调节器进行比例控制。随后，积分作用开始累加偏差，其输出值不断增加。积分环节具有饱和作用，输出也不能无限增加，经过一段时间后，PI调节器的输出趋于稳定。可见，PI调节器不仅具

e(t) 0 u(t) t

Kpe(t) t 0 图4.7 比例积分调节器的阶跃响应特性曲线

有速度快的优点，而且可以消除静差，使系统的稳态误差为零。在PI调节器中，积分时间常数TI是一个比较重要的参数。增大TI，积分作用减弱，系统响应速度变慢，但是可以减小超调，提高系统的稳定性，所以一定要考虑被控对象的特性，结合实际情况，选择合适的积分时间常数TI。

3、比例微分调节器

PI调节器虽然可以消除系统的稳态误差，响应速度也比较快，但是当被控对象的惯性比较大时，其调节品质仍然不能满足要求。这时有必要在偏差出现或变化的瞬间，不仅对偏差作出即时反应，而且还要对偏差量的变化作出反应。也就是说，根据偏差变化的趋势，提前给出较大的调节作用，及时消除系统的偏差。为了达到这一目的，可以在调节器中加入微分作用，不仅可以大大减小系统的偏差，而且加快了系统的调节速度，改善了控制过程的动态品质。

微分调节器的控制规律为：

u(t)?TDde(t) （4-20） dt式中TD是微分时间常数，TD越大，微分作用就越强。

微分环节的响应特性曲线如图4.8所示。从图中可以看出，微分环节对偏差的任何变化都会产生控制作用，来调整系统的输出，阻止偏差的变化。偏差变化越快，反馈校正量就越大，所以微分作用有助于减小超调，克服振荡，使系统趋于稳定。微分环节只对偏差的变化作出反应，对于固定偏差，不会产生调节作用，因此微分环节不能消除稳态误差。

e(t) e(t) t t 0 0 ∞ ∞ u(t) u(t) kpe(t) t t

0 0 图4.9 比例微分调节器的阶跃响应特性曲线 图4.8 微分环节的响应特性曲线

把比例环节和微分环节结合起来，就构成比例微分调节器，其调节规律为：

de(t)??u(t)?kp?e(t)?TD （4-21） ?dt??比例微分调节器的阶跃响应特性曲线如图4.9所示，在偏差刚出现的瞬间，其变

化率非常大，PD调节器的作用最强。随后系统偏差不再变化，PD调节器的输出按指数下降，微分作用完全消失。PD调节器可以提高系统的响应速度，改善调节品质，但是不能消除系统的稳态误差。为此，需要加入积分环节，构成比例积分微分（PID）

调节器。

4、比例积分微分调节器

比例积分微分调节器的调节规律为：

?1de(t)?u(t)?kp?e(t)??e(t)dt?TD? （4-22）

TIdt??PID调节器的阶跃响应特性曲

线如图4.10所示。从图中可以看出，系统产生偏差后，比例和微分环节会产生较大的调节作用。积分环节对偏差进行累加，直到最后消除稳态误差。采用PID调节器，使系统的静态特性和动态特性都得到改善，因此在自动控制领域得到了广泛的应用。

在工业控制领域，实际的被控对象一般都是具有纯滞后的二阶惯性环节，即：

e(t) t

0 u(t) Kpe(t) 0 t 图4.10 PID调节器的阶跃响应特性曲线

ke??sG0(s)? （4-23）

(T1s?1)(T2s?1)被控对象具有纯滞后特性，滞后时间为τ，理想的控制系统只能做到系统的输出在滞后时间τ后，才能准确地跟踪输入，因此相应的闭环传递函数为；

?(s)?e??s （4-24）

所以模拟调节器的传递函数为：

D(s)?用级数展开，e??s1?(s)(Ts?1)(T2s?1)??1 （4-25） G0(s)1??(s)k(1?e??s)?1??s，代入上式，得：

(T1s?1)(T2s?1)T1T2s2?(T1?T2)s?1D(s)?? （4-26）

k?sk?s可把式（4-26）变形为：

D(s)?kp(1?式中：

1?TDs) （4-27） TIskp?T1?T2TT；TI?T1?T2；TD?12

T1?T2k?式（4-27）其实就是模拟PID调节器的传递函数，kp、TI、TD分别是比例系数、

积分时间常数和微分时间常数。

可以得出结论：按照理想控制设计出来的控制器是一个PID调节器。对于一般的工业被控对象，它是一个理想的调节器，只要选择合适的参数，经过原系统的滞后时间后，其输出就可以准确地跟踪输入。这也是在工业控制中大量应用PID调节器的原因。

用计算机实现PID控制，必须把模拟PID调节器离散化，得到其控制算式。下面介绍PID算法的数字实现。

4.3.2 PID算法的数字实现

模拟PID调节器的调节规律为：

?1de(t)?

u(t)?kp?e(t)??e(t)dt?TD? （4-28）

TIdt??式中e(t)是系统的偏差，调节器的输入信号；kp是调节器的比例系数；TI是调节器的

积分时间常数；TD是调节器的微分时间常数；u(t)是控制量，调节器的输出信号。

计算机控制系统中，必须把式（4-28）离散化，得到数字PID调节器的控制算式，才能编写PID控制程序，用软件实现PID控制。

离散化过程分为三步： （1） 连续时间离散化

模拟PID调节器中，时间t是连续的，而计算机控制系统只能按照采样时刻的偏差值来计算控制量，因此必须把连续时间离散化。连续时间t用离散时间kT来代替，其中T是采样周期；k是采样序号，k=0，1，2，…

（2） 积分项用累加求和来近似

?e(t)dt??e(i)?t?T?e(i)

0i?0i?0tkk式中△t=T，时间间隔△t是系统的采样周期，应该使T足够小，保证系统的精度。

（3） 微分项用一阶后向差分来近似

de(t)e(k)?e(k?1) ?dtT由此，得到离散的PID控制算式：

?Tu(k)?kp?e(k)?TI?

?e(i)?i?0k?TD?e(k)?e(k?1)?? （4-29） T?式（4-29）表示的控制算式提供了执行机构在第k个采样时刻的位置u(k)，比如用PID控制器控制阀门的开度，其输出u(k)与阀门开度的位置一一对应，所以被称为位置式的PID控制算式，其控制示意图如图4.11所示。 输出值y 给定值r + e u 位置式PID控制器 受控对象

-

图4.11 位置式PID控制示意图

令积分系数kI?kpTT，微分系数kD?kpD，则式（4-29）可以写成： TITku(k)?kpe(k)?kI?e(i)?kD?e(k)?e(k?1)? （4-30）

i?0从上式可以看出，要想计算出u(k)，必须把前面所有时刻的偏差e(i) 进行累加，

计算量比较大，编程也比较复杂，而且存储多个偏差值，也会占用大量的存储空间。为了简化运算，可以对其作如下改动。

由式（4-30），我们可以得到u(k-1)：

u(k?1)?kpe(k?1)?kI?e(i)?k?e(k?1)?e(k?2)? （4-31）

Di?0k?1用式（4-30）减去（4-31），可得：

?u(k)?u(k)?u(k?1)

?kp?e(k)?e(k?1)??kIe(k)?kD?e(k)?2e(k?1)?e(k?2)? （4-32）

式中u(k-1) 对应执行机构在第k-1个采样时刻的位置，所以其输出△u(k)提供了执行机构在第k个采样时刻位置的增量，因此被称为增量式的PID控制算式。

可以看出，要计算△u(k)，只需用到e(k)、e(k-1)、e(k-2)三个最近的偏差值，计算比较简单，编程也比较容易。

增量式的PID控制算式也可变形为：

?u(k)?a0e(k)?a1e(k?1)?a2e(k?2) （4-33）

式中：

a0?kp??1???TTD?TD?TD???a?k1?2；； a?k?1p?2p?TIT?T?T?控制步进电机时可以应用增量式PID控制器，在执行过程中用步进电机实现位置

的累积，对位置的增量进行累加，其控制示意图如图4.12所示。

y r + u e △u 步进电机 受控对象 增量式PID控制器 - 图4.12 增量式PID控制示意图

位置式PID控制算法和增量式PID控制算法的流程图如图4.13所示。 开始 开始 置参数r 、a0、a1、a2 置参数r 、a0、a1、a2 置初值e(k-1)=e(k-2)=0、u(k-1) 置初值e(k-1)=e(k-2)=0 启动A/D转换，采集输出y(k) 启动A/D转换，采集输出y(k) 求偏差e(k)= r- y(k) 求偏差e(k)= r- y(k) 计算△u(k) 计算△u(k) 输出u(k)=△u(k)+ u(k-1)，进行D/A转换 输出△u(k)，进行D/A转换 参数传递e(k-2)=e(k-1) 参数传递e(k-2)=e(k-1)、e(k-1)=e(k) u (k-1)= u (k) e(k-1)=e(k) N N 采样时间到？ 采样时间到？ Y Y 图4.13 位置式PID和增量式PID控制算法的流程图

增量式PID控制器与位置式PID控制器相比，有以下优点：

（1）位置式PID控制器输出的是执行机构的位置，控制算式要对过去所有的偏差值进行累加，因此容易产生累积误差。增量式PID控制器输出的是位置的增量，计

算时只用到最近三次偏差，不需要累加误差，计算误差或精度对控制量的影响比较小。

（2）位置式PID控制器输出的是控制量的全量u(k)，增量式PID控制器输出的是控制量的增量△u(k)，使用相同的计算机，△u(k)比u(k)小很多，因此当控制器的输出产生误动作，增量式PID控制器对系统的影响比较小。当计算机出现故障，△u(k)为零时，系统仍然可以保持在原来的位置，与所需的位置差距并不太大，可靠性比较高。

（3）手动控制就是用人对系统进行控制，自动控制就是不需要人的干预，由计算机来控制系统。不论怎么控制，每次执行机构的变化都是△u(k)，所以增量式PID控制器在切换控制方式时，不会对系统产生太大的冲击。

正是因为有以上优点，增量式PID控制器比位置式PID控制器的应用更为广泛。

4.4 几种改进的PID控制算法

位置式PID控制算法和增量式PID控制算法是两种标准的PID控制，在使用过程中，由于执行机构、被控对象、工业环境、控制要求等各方面的原因，标准的PID控制往往不能满足要求，因此必须对PID控制算法进行改进。用计算机实现PID控制，可以根据系统的实际要求，对PID控制算法灵活改动，达到提高调节品质的目的。下面介绍几种改进的PID控制算法。

4.4.1 对积分项的改进

积分项的作用是消除系统的稳态误差，但是由于计算机的字长、系统的惯性、积分的饱和作用以及执行机构的性能等各方面的原因，在积分项的作用下，系统会产生较大的超调，其控制品质变差，因此必须对积分项进行改进。

1、 减小积分整量化误差的方法

由式（4-32）可知，增量式PID控制算式中的积分项为：

?uI(k)?kIe(k)?kpTe(k) （4-34） TI当采样周期比较小，积分时间常数比较大，由于计算机字长的限制，其运算结果有可能小于计算机的最低有效位，在运算的时候，积分项的输出就可能被计算机取整，当作零而舍掉，积分作用消失，产生误差。这种由于计算机取整而产生的积分项输出误差称为积分整量化误差，计算机字长的限制是产生整量化误差的原因。

例如，某字长为8位的计算机控制系统中，采用增量式PID控制器，比例系数kp=1，积分时间常数TI=10秒，采样周期T=1秒，当数字量偏差e(k)=0.01，对应的积分项输出为：

?uI(k)?kpT11e(k)?1??0.01? TI101000此时积分项的输出小于计算机的最低有效位，计算机会把它当作零舍去，控制器的积

分环节就没起作用。只有数字量偏差增大到一定程度，积分项输出才能大于计算机的

最低有效位，积分环节才能起作用。积分整量化误差的存在势必使系统存在静差，必须予以消除。

通常采用两种方法来解决这个问题：

（1）扩大计算机的字长，增加计算机的位数，提高运算精度。其实质是降低计算机最低有效位所对应的数据量，把计算机取整而舍去的部分保留下来。

上面的例子中，如果选择12位字长的计算机，其最低有效位为1/4096，积分项的输出大于计算机的最低有效位，积分项被保留下来，起到累积误差的作用，从而消除系统静差。

（2）当积分项的输出小于计算机的最低有效位ε时，不要把它们当作零舍去，而是把它们一次次累加起来，直到积分项输出的数字量大于最低有效位，把整数作为积分项进行运算，小数部分作为下次累加的基数值。这种改进的PID控制算法称为防止积分整量化误差的PID控制算法，其控制算式可以写成：

kTDT?u(k)?kp(1?)e(k)?a1e(k?1)?a2e(k?2)??kpe(i)

TTIi?0?a0e(k)?a1e(k?1)?a2e(k?2)??kpi?0?kTe(k)TI （4-35）

??a0e(k)?a1e(k?1)?a2e(k?2)?m(k)?uPD(k)?m(k)每次运算时，把积分项单独累加，根据累加结果，决定积分项的输出值，其流程框图如图4.14所示： 开始 计算m(k) Y Y m(k)>0？ m(k)≥ε？ N N △u(k)=uPD(k) △u(k)=uPD(k)-1 △u(k)=uPD(k)+1 输出△u(k) 图4.14 防止积分整量化误差的PID控制算法程序流程

2、 积分饱和及其抑制方法

（1）积分饱和产生的原因及其危害

实际控制系统中，由于执行机构的物理性能和机械性能的约束，把控制变量及其变化率限制在有限的范围内，即umin?u?umax。

如果计算机输出的控制量u在?umin,umax?范围内，那么系统就会按照期望的过程进行控制；如果控制量u≤umin或u≥umax，受执行机构的限制，虽然计算机有控制量输出，但是执行机构只能按照控制量u=umin或u=umax来运行，系统不会按期望的过程进行控制，由此将不能得到期望的控制效果。比如控制阀门的开度或直流电机的转速，阀门不可能无限的开大或关小，电机的速度也不可能一直加快或减慢，达到其极限值后，阀门的开度或直流电机的转速就不会再变化，这就是执行机构的饱和效应。

在位置式的数字PID控制系统中，大幅度变动给定值或者突然启动、停止时，系统会产生较大的偏差，这些偏差经过积分项的累加，有可能使控制量超出执行机构的有限范围，不能及时按照控制量的要求动作，产生饱和效应，使超调量增大甚至振荡，影响控制效果，这种饱和现象是由积分项引起的，所以被称为积分饱和。

积分饱和使系统的稳定性变差，调节时间变长，过渡过程变慢，超调量增大，甚至产生振荡，影响控制效果，因此必须克服积分饱和对系统的影响，提高控制质量。下面就介绍几种常用的抑制积分饱和的方法。

（2）积分分离法

减小积分饱和的关键在于使积分项的累积不要太大。积分分离法的基本思想是：当偏差e(k)大于一定的阈值，就舍弃积分环节，进行PD控制，使累加的偏差和不至于太大；当偏差e(k)较小的时候，引入积分环节，进行PID控制，消除系统静差。这样，既保证了系统无静差，又使系统有足够的稳定性。

积分分离的PID控制算式为：

u(k)?kpe(k)??kI?e(i)?kD?e(k)?e(k?1)? （4-36）

i?0ke(k)?B时?1式中 ??? B为偏差e(k)的阈值。

0e(k)?B时?控制作用刚开始时偏差很大，采用积分分离法，积分环节不起作用，不累加偏差，

防止了积分项过大；当偏差进入阈值限定的误差带才开始累加偏差，有利于消除静差。即使系统进入饱和区，由于累积的偏差和较小，也能较快退出饱和区，减小超调，改善系统的输出特性。

积分分离的PID控制算法的程序流程图如图4.15所示。 （3）变速积分的PID算法

积分分离的PID控制中，当偏差比较大的时候，积分项不起作用，积分项前面的系数α=0；当偏差在阈值限定的误差带，积分项累加偏差，积分项前面的系数α=1，

开始

启动A/D转换，采集输出值y(k)

求偏差e(k)=r-y(k) 计算u1(k)=kpe(k)+kD[e(k)-e(k-1)]

Y e(k)＞B？

N

计算u2(k)=kI∑e(i) 输出u(k)=u1(k) 输出u(k)=u1(k)+ u2(k)

图4.15 积分分离的PID控制算法的程序流程图

它对积分项采用开关控制，α是突变的。变速积分的实质是改进的积分分离法，其基本思想是根据偏差的大小改变积分项的累加速度。偏差越大，累加速度越慢，积分作用越弱；偏差越小，累加速度越快，积分作用越强。在变速积分中，α是缓慢变化的，它对积分项采用线性控制，比积分分离的PID控制算法更优越。

变速积分的PID控制算式为：

u(k)?kpe(k)??kI?e(i)?kD?e(k)?e(k?1)? （4-37）

i?0ke(k)?A时?1?式中 ???(B?e(k))/(B?A) A?e(k)?B时

?0e(k)?B时?（4）遇限削弱积分法

这种改进的PID控制算法的基本思想是：一旦计算机输出的控制量进入饱和区，则停止增大积分项的累加，只进行削弱积分项的累加。具体作法是：计算控制量u(k)时，首先判断上一采样时刻的输出u(k-1)是否超过执行机构限定的范围。如果超过上

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