优化设计复习资料有答案

现代设计方法参考书目:

1、陈继平. 现代设计方法， 华中科技大学出版社。 2、高健. 机械设计优化基础， 科学出版社，2007，9

3、刘惟信. 机械最优化设计，第二版，清华大学出版社。 第一章习题

例2 某工厂生产甲乙两种产品。生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见表。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。

设每天生产甲产品x1件，乙x2件，利润为f(x1,x2) f(x1,x2)=60x1+120x2

每天实际消耗的材料、工时和电力分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)、g3(x1,x2)表示： g1(x1,x2)=9x1+4x2 g2(x1,x2)=3x1+10x2 g3(x1,x2)=4x1+5x2 于是上述问题可归结为： 求变量 x1,x2

使函数 f(x1,x2)= 60x1+120x2极大化 满足条件 g1(x1,x2)=9x1+4x2≤360

g2(x1,x2)=3x1+10x2≤300 g3(x1,x2)=4x1+5x2≤200 g4(x1,x2)=x1≥0 g5(x1,x2)=x2≥0

例3 一种承受纯扭矩的空心传动轴，已知传递的扭矩为T，试确定此传动轴的内外径，以使其用料最省。

例： 求下列非线性规划优化问题

优化设计的迭代算法

1、下降迭代算法的基本格式 k?1kk迭代公式 k

基本原理：从某一初始设计开始，沿某个搜索方向以适当步长得到新的可行的设计，如此反复迭代，直到满足设计要求，迭代终止。

?X??X???SS(k)——第k步的搜索方向，是一个向量；Xk?1? X*??Xk?X*αk——第k步的步长因子，是一个数，它决定在方向S(k)上所取的步长大小。 简单的说：是一个搜索、迭代、逼近的过程。最关键的是搜索的方向和步长。 迭代算法的基本步骤：

1，选定初始点X(0)，令k=0; 2、在X(k)处选定下降方向S(k);,

3、从X(k)出发沿S(k)一维搜索，找到X(k+1)=X(k)+αkS(k), 使得f(X(k+1))

例：f (X)=x12+4x22，已知初始点X(0)=[1,1]T，搜索方向S(o)=[-2,-4]T，求X(1)=?

?1???2??1?2?? X(1)?X(0)??S(0)???????????1???4??1?4??

9f(X(1))?(1?2?)2?4(1?4?)2α? 36 ? 8?? 17?X(1)???1 ???17??迭代终止条件：迭代法收敛性 1）线性收敛性（2）二次收敛性（3）超线性收敛性

终止迭代收敛准则。

?

第二章

2.1 函数的方向导数与梯度 一、 函数的方向导数

偏导数: 只描述函数沿特殊方向（x, y轴）的变化情况在许多实际问题中，常常要知道函数沿其它任一方向上的变化率——引入方向导数的概念。

方向导数定义：设函数f(x1,x2)是点X(0)的某个邻域上的函数，它与x轴夹角为θ1，与y轴夹角θ2，设X(1)为S上另一点，则||X(0)X(1)||=ρ=

如果极限

存在，则称这个极限为函数f(x1,x2)在点X(0)沿S的方向导数。 已知F(X)=X21+X22，取 ??cosα1??2/2??S?????cosα?2????2/2??, 则在点处沿S方向的方向导数数值为（ ）

例题已知函数f(X)=

则其在点X=(2，1)T处梯度的模为【 】

例2-1 求二元函数f(x1, x2)＝x12+x22-4x1-2x2+5 在X0＝[2,2]处函数下降最快的方向。

解：梯度方向是函数变化率最大的方向。负梯度方向则是函数下降最快的方向。

例2-2 求二元函数f(x1, x2)＝(x1-2)2+(x2-1)2 在点X(1)=[3,2]T和X(2)=[2,2]T的梯度，并作图表示

作业：

1、求函数f (X)=x12+x22-6x1在点X(1)=[1,1]T, X(2)=[1,2]T, X(3)=[-2,1]T的梯度及其模，并作图表示。

2、求

例2-2 f(x1, x2)＝x12+x22-4x1-2x2+5 在X0＝[2,2]T处的海赛二阶泰勒展开式。 ?求二元函数

22f (X0)?2?2?4*2?2*2?5?1?

??f(X0)? ????2x1?4??0??x? ??1???f(X0)???????? ??f(X0)???2x2?2??2???x?

2?? ??22 ??f(X0)?f(X0)??? 2??x1?x2??20???x1 ??????H(X0)??22??02?f(X)?f(X) 00????2??x2?x1?

?x2?? ???T????T? f(X)?f(X0)??f(X0)(X?X0)?1(X?X0)H(X0)?2

T ?x1?2?1?x1?2??20??x1?2??1?02? ?x?2???2??x?2????02????x?2???2??2????2?

22 ?x1?x2?4x1?2x2?5

二次函数 1TTf(X)?XHX?BX?C

2B为常数向量；H为nxn阶常数矩阵。XTHX称为二次型，H称二次型矩阵。 1）若有XTHX>0，则称矩阵H是正定的；

（2）若有XTHX≥0，则称矩阵H是半正定的； （3）若有XTHX<0，则称矩阵H是负定的； （4）若有XTHX≤0，则称矩阵H是半负定的； （5）若有XTHX＝0，则称矩阵H是不定的； 正定二次函数的性质：

1）正定二次函数的等值线或等值面是一族同心的椭圆或同心椭球。椭圆族或椭球族的中心就是该二次函数的极小点。

2）非正定二次函数在极小点附近的等值线或等值面近似于椭圆或椭球。 例：求解等式约束问题的最优解。解：

?????(X?X??

1、多元函数F(X)在X*处存在极大值的必要条件是：在X*处的Hessian矩阵（ ） A．等于零 B．大于零 C．负定 D．正定

2、在约束优化问题中，库恩—塔克条件是目标函数存在极值点的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.不必要条件 3、多元函数F(X)在点X*附近偏导数连续

且H(X*)正定，则该点为F(X)的

（ ）

A. 极小值点 B. 极大值点 C 鞍点 D 不连续点 4、F(X)为定义在n维欧氏空间中凸集D上的具有连续二阶偏导数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D上的（ ）

A 凸函数 B 凹函数 C 严格凸函数 D 严格凹函数

5. 约束极值点的库恩—塔克条件为当约束条件gi(X)≤

0(i=1,2,…,m)和λi≥0时，则q应为( )。

A. 等式约束数目 B. 不等式约束数目 C. 起作用的等式约束数目 D. 起作用的不等式约束数目

6．对于求minF(X)受约束于gi (x)≤0 (i=1,2,…,m) 的约束优化设计问题，当取λi≥0时，则约束极值点的库恩—塔克（K-T）条件为 ( )。

第三章

例： 已知目标函数

f(X)=(X1-4)2+(X2-4)2。由X(0)=[1 1]T为起点，沿S(0)=[2 1]T作一维搜索，求下一个迭代点X(1)。

例题：确定函数f(x)=3x3-4x+2的初始区间。给定 x0=0,h=1. 解：x1=x0=0, f1=f(x1)=2 x2=x0+h=1, f2=f(x2)=1 f1>f2, 则h=2h=2 x3=x0+h=2

f3=f(x3)=18 f2

1、函数F（X）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F（13）

A．[10，16] B．[10，13] C．[13，16] D．[16，20]

2、在用0.618法求函数极小值的迭代运算中，a1,b1为搜索区间[a,b]中的两点，函数值分别记为F1,F2。已知F2>F1。在下次搜索区间中，应作如下符号置换（ ） ①a1→a b1→a1 F2→F1 ②a→a1 a1→b1 F1→F2 ③b→b1 b1→a1 F2→F1 ④b1→b a1→b1 F1→F2 3、例 ：用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点， 给定 x0=0, h=1, ε=0.2。

解：1）确定初始区间x1=x0=0, f1=f(x1)=2

x2=x0+h=0+1=1, f2=f(x2)=1 由于f1>f2, 应在原方向继续向前探测 x3= x2+h=1+1=2, f3=f(x3)=18

由于f2

x1=0+0.382X(2-0)=0.764, f1=0.282 x2=0+0.618 X(2-0)=1.236, f2=2.72

f10.2 第二次缩小区间：

令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282

x1=0+0.382X(1.236-0)=0.472, f1=0.317 由于f1>f2, 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.472, 1.236]

因为 b-a=1.236-0.472=0.764>0.2, 应继续缩小区间。 第三次缩小区间：

令 x1=x2=0.764, f1=f2=0.282

x2=0.472+0.618X(1.236-0.472)=0.944, f2=0.747 由于f10.2, 应继续缩小区间 第四次缩小区间：

令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0.472+0.382X(0.944-0.472)=0.652, f1=0.223

由于f1

因为 b-a=0.764-0.472=0.292>0.2, 应继续缩小区间。 第五次缩小区间：

令 x2=x1=0.652, f2=f1=0.223 x1=0.472+0.382X(0.764-0.472)=0.584, f1=0.262 由于f1>f2, 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.584, 0.764] 因为 b-a=0.764-0.584=0.18<0.2, 停止迭代。 极小点与极小值：

x*=0.5X(0.584+0.764)=0.674, f(x*)=0.222

4、F(X)在区间[X1,X3]上为单峰函数，X2为区间中一点，X4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如X4-X2>0，且F(X4)>F(X2)，那么为求F(X)的极小值，X4点在下一次搜索区间内将作为（ ）。

A．X1 B. X2 C. X3 D. X4

例 ： 用二次插值法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点，给定 x0=0, ε=0.2。

解 1）确定初始区间

初始区间[a,b]=[0,2], 中间点x2=1。 2）用二次插值法逼近极小点

相邻三点的函数值: x1=0, x2=1, x3=2; f1=2, f2=1, f3=18. 代入公式：xp*＝0.555, fp=0.292

由于fp0.2, 应继续迭代。在新区间，相邻三点的函数值: x1=0, x2=0.555, x3=1; f1=2, f2=0.292, f3=1. xp*＝0.607, fp=0.243

由于fpx2, 新区间[a,b]=[x2, b]=[0.555,1]

|x2-xp * |=|0.555-0.607|=0.052<0.2, 迭代终止。 xp*＝0.607, f*=0.243 作业： 1 、用进退法确定f(x)=x2-6x+9的一维搜索初始单峰区间［a b]，初始点x0=0，初始步长h0=1。 2、用0.618法计算三次迭代，minf(x)=（100-x)2初始区间为［60 150]。 3、用二次插值法minf(x)=x2-10x+36，初始区间为［0 10］，ε=0.001 思考题：

1、为什么一维搜索要以单峰区间为基础？

2、黄金分割法和二次插值法缩减区间的原则是什么？ 第四章

练习：用牛顿法求目标函数：

f (X)=(x1-x2+x3)2+(-x1+x2+x3)2+(x1+x2-x3)2的极小点。给定初始点X(0)=(1/2 1 1/2)T

作业：

作业 复习：

1、什么是库恩一塔克（K-T）条件?其几何意义是什么? 2、迭代过程是否结束通常的判断方法有（ ） A.设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小

B.相邻两点目标函数值之差充分小 C.目标函数的导数等于零 D.目标函数梯度充分小 E.目标函数值等于零

3、对于所有非零向量X，若XTMX>O,则二次刑矩阵M是( )

a三角矩阵 B.负定矩阵 C.正定矩阵 D. 非对称矩阵 E. 对称矩阵

4、求minf(X)=x12+x22-x1x2 s.t. h(X)=x1+x2-1=0 的极小值。 第五章

1、在复合形法中，若反射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数ε，仍不能使反射点可行或优于坏点，则可用（ ）

A 好点代替坏点 B 反射点代替坏点 C 次坏点代替坏点 D 形心点代替坏点

2、对于目标函数F(X)受约束于gu(X)≤0(u=1,2,…,m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式为（ ）

计算题：

2222min f(X)?x1?2x2?2x1x21、在用复合形法求解约束优化问题：

22时，选定的初始复合形的顶点为： s.t. x1x2?x1?x2?0 X1=[0.25, 0.5]T， X2=[0, 1]T

x1?0 X3=[1, 0]T， X4=[0.48, 0.55]T

x2?0问优化迭代计算后得到的新复合形的顶点？

第六章

作业：教材P97——3.4，3.6

第九章

1、平面应力问题中（Z轴垂直于该平面），诸应力分量中为零的是（ ）。 A σx,σy，σz B τxy,τxz,τyz C σx,σy,τxy D σz,τyz,τxz

2、在平面应力问题中，沿板厚方向（ ）。

A 应变为零，但应力不为零 B 应力为零，但应变不为零 C 应力、应变都为零 D 应变、应力都不为零

3、从作图的结构体中取出单元体进行应力状态分析，正确的是( ) A. σx=σy=0,τxy≠0

B. τxy=τyz=0,σx=σy≠0 C. τyz=τxz=0,σz=0 D. σx=σy≠0,τxy=0

例2 、证明：对平面三角形单元形函数存在下列关系 iijjmmNx?Nx?Nx?x

4、如图所示二杆平面桁架，杆长为L，弹性模量为E，杆截面积为A，试求（1）整体刚度矩阵；（2）在1、2节点处引入支承条件，写出总体平衡方程。 。

5、三角形单元的面积为1，厚度为1，已知三角形单元的形态矩阵为

利用单元的形态矩阵求三角形单元

的刚度矩阵。

1、在一平面桁架中，已知节点3处铅直方向位移为零。若用划行划列法引入支承条件，则应划去总体刚度矩阵中的（ ）

①第3行和第3列 ②第6行和第6列 ③第3行和第6列 ④第6行和第3列

2、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元，两节点局部码为1，2，总码为4和1。其单元刚度矩阵中的元素k32应放入总体刚度矩阵[K]的（ ）

①第3行第2列上 ②第4行第1列上 ③第9行第6列上 ④第12行第11列上

3、在一平面刚架中共有9个杆单元，12个节点，则其总体刚度矩阵[K]是（ ） ①9阶方阵 ②12阶方阵 ③36阶方阵 ④9×12阶矩阵

4、若把平面应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将（）

① E换成E/(1-μ2) , μ换成μ/(1-μ2) ② E换成E/(1-μ2) , μ换成μ/(1-μ) ③ E换成E/(1-μ) , μ换成μ/(1-μ2) ④ E换成E/(1-μ) , μ换成μ/(1-μ) 5、刚架杆单元与平面三角形单元（ ）

①单元刚度矩阵阶数不同 ② 局部坐标系的维数不同

③ 无任何不同 ④ 节点载荷和位移分量数不同

6、图示平面结构的总体刚度矩阵［Ｋ］和竖带矩阵［K*］的元素总数分别是（ ）。 ①400和200 ②400和160 ③484和200 ④484和160

7、材料性质均匀的三节点三角形单元，其内部各点（ ） ①应力和应变均不随位置变化 ②应力和应变均随位置变化

③应力不随位置变化，应变随位置变化 ④应力随位置变化，应变不随位置变化 8、描述位移与应变关系的方程称（ ）

①弹性方程 ②几何方程 ③平衡方程 ④虚功方程

9、在以平面刚架中，支承节点4的水平方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（ ）

① 第4行和第4列上的元素换为大数A ② 第4行和第4列上的所有元素换为大数A ③ 第10行、第10列上的元素换为大数A ④第10行、第10列上的所有元素换为大数A

10、图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（ ）

① 8x8阶矩②10x10阶矩阵 ③ 12x12阶矩阵 ④ 16x16阶矩阵

11、 在弹性力学平面刚架问题中，已知相邻节点总码的最大差值为5，则半宽值为( ) ① 10 ② 18 ③ 15 ④ 12 12、图示平面应力问题的结构中,单元刚度矩阵（） ① [K]I=[K]III, [K]II=[K]IV, 但[K]I≠[K]II ② [K]I=[K]II, [K]III=[K]IV, 但[K]I≠[K]III ③ [K]I≠[K]II≠[K]III≠[K]IV ④ [K]I=[K]II=[K]III=[K]IV

阶段测试题

一、选择题

1. 在优化设计压缩螺旋弹簧时，如果安装空间很紧，则此时可选弹簧的（ ）作为优化目标。

A、外径或长度最大 B、外径或长度最小 C、压力最大 D、压力最小

2.下列无约束优化方法中不属于梯度算法的是（ ）

A.最速下降法 B.牛顿法 C.变尺度法 D.坐标轮换法 3．在下列无约束优化方法中，（ ）需要计算Hessian（海色）矩阵。 A、powell法 B、梯度法 C、牛顿法 D、共轭梯度法 4. 利用0.618法在搜索区间[a,b]内确定两点a1=0.382,b1=0.618,由此可以知道区间[a,b]的值是( ) 二．计算题

1、 使用K-T条件判断X=[-1 1]T点是否为目标函数 f(X)=x12+x22+4x1-4x2+10，受约束于 g1(X)=x1-x2+2≥0

g2(X)=-x12-x22-2x1+2x2≥0 时的最优点。

2．用阻尼牛顿法求目标函数F(x)=x21+4x22的极小点,已知初始点

X(0)=[2，2]T,给定ε=0.01。(10分)

3. 设某无约束优化问题的目标函数为 f(x)= x 1 2 +9x 2 2 ，已知初始迭代点 X 0 =[2，2] T ，第 1 次迭代所取的方向 S 0 =[-4，-36] T ，步长 α 0 =0.05616 ，第 2 次迭代所取的方向 S 1 =[-3.55069，-0.39451]

T

，步长 α 1 =0.45556 ，试计算：

(1) 第1次和第2次迭代计算所获得的迭代点X 1和X 2； (2) 在点X 0、X 1、X 2处的目标函数值 f 0、f 1、f 2；

(3) 用梯度准则判别完成了第2次迭代后能否终止迭代，精度要求 ε =0.01。

5.求函数F(X)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+f(x3－x1)2的Hessian矩阵，并判别其性质。

6、从直径D=100mm的圆木中锯出矩形梁，选择矩形梁的矩形截面的长为x1，高为x2，以使其抗弯强度为最大，试建立其优化数学模型。

2x1x2（截面系数W?】

61、对于约束优化问题

2min f(X)?x12?2x2s.t. g(X)??x1?x2?1?0

（1）试用外点罚函数法求其最优解；

（2）写出内点罚函数法求解约束优化问题的惩罚函数。 2、用内点罚函数法求解：

minf(X)?10x

s.t g(X)?5?x?0问随着rk的改变惩罚函数的最小值X*( rk )是沿着怎样一条轨迹趋向于f(X)的约束最优点，写出该轨迹的表达式。

3、对于约束优化问题

22min f(X)?x12?2x2?2x12x22?g1(X)?x12?x2?x1x2?2?0 ?s.t. ?g2(X)??x1?0?g(X)??x?02?3用复合形法求解，已知初始复合形的顶点X1??3?0.25??0?2，，X?????0.5??1??1??0.48?4X???，X???，求迭代一次后的复合形顶点。 00.55????4、一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸P， 。板长12cm,宽4cm，厚1cm。 。使用有限元法求解板的内应力，并和精确解比较。 已知：

1、在一平面桁架中，已知节点3处铅直方向位移为零。若用划行划列法引入支承条件，则应划去总体刚度矩阵中的（ ）

①第3行和第3列 ②第6行和第6列 ③第3行和第6列 ④第6行和第3列

2、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元，两节点局部码为1，2，总码为4和1。其单元刚度矩阵中的元素k32应放入总体刚度矩阵[K]的（ ）

①第3行第2列上 ②第4行第1列上 ③第9行第6列上 ④第12行第11列上

3、在一平面刚架中共有9个杆单元，12个节点，则其总体刚度矩阵[K]是（ ） ①9阶方阵 ②12阶方阵 ③36阶方阵 ④9×12阶矩阵

4、若把平面应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将（）

① E换成E/(1-μ2) , μ换成μ/(1-μ2) ② E换成E/(1-μ2) , μ换成μ/(1-μ) ③ E换成E/(1-μ) , μ换成μ/(1-μ2) ④ E换成E/(1-μ) , μ换成μ/(1-μ) 5、描述位移与应变关系的方程称（ ）

①弹性方程 ②几何方程 ③平衡方程 ④虚功方程

6、在以平面刚架中，支承节点4的水平方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（ ）

① 第4行和第4列上的元素换为大数A ② 第4行和第4列上的所有元素换为大数A ③ 第10行、第10列上的元素换为大数A ④第10行、第10列上的所有元素换为大数A

7、图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（ ） ① 8x8阶矩阵 ②10x10阶矩阵 ③ 12x12阶矩阵 ④ 16x16阶矩阵 8、 在弹性力学平面刚架问题中，已知相邻节点总码的最大差值为5，则半宽值为( ) ① 10 ② 18 ③ 15 ④ 12 9、刚架杆单元与平面三角形单元（ ）

①单元刚度矩阵阶数不同 ② 局部坐标系的维数不同

③ 无任何不同 ④ 节点载荷和位移分量数不同 0、对一根只受轴向载荷 的杆单元，K12为负号的物理意义可理解为（ ） ①当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相反 ②当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相同 ③当节点2沿轴向产生位移时，节点1向反向产生位移 ④当节点2沿轴向产生位移时，节点1向同向产生位移 11．刚架杆单元与平面三角形单元［ ］

A 单元刚度矩阵阶数不同 B 局部坐标系的维数不同

C 无任何不同 D 节点载荷和位移分量数不同 12. 单元的位移模式指的是( )。

A.近似地描述单元内任一点的位移 B.精确地描述单元内任一点的位移 C.近似地描述弹性体内任一点的位移 D.精确地描述弹性体内任一点的位移

13、如图所示由两个等截面杆件（1）与（2）所组成的结构。试求（1）、写出三个节点1，2，3的节点轴向力F1、F2、F3与节点轴向位移u1、u2、u3之间的整体刚度矩阵[K]。（可直接利用局部坐标系下杆单元刚度矩阵）。（2）、在节点3处施加固定约束，在节点1处施加沿轴向向右的载荷P，求各节点轴向位移。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7usr.html