高中数学 1.2.2函数的表示法精讲精析 新人教A版必修1

课题：1.2.2函数的表示法

精讲部分

学习目标展示

1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 2. 用通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应； 3. 了解映射的概念及表示方法 衔接性知识

1. 函数的三要素是什么？ 2. 如何求函数的定义域？

3.正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象. （1）正比例函数与一次函数的图象

（2）反比例函数

（3）二次函数的图象与性质

例1. 动点P从边长为2位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程

为自变量x，写出 ABP的面积y与x的函数关系式，并画出函数的图象 解：当0 x 2时，点P在线段AB上，y 0； 当2 x 4时，点P在线段BC上， ABP的面积y

1

2 (x 2) x 2； 21

当4 x 6时，点P在线段CD上， ABP的面积y 2 2 2；

21

当6 x 8时，点P在线段DA上， ABP的面积y 2 (8 x) 8 x.

2

(0 x 2) 0

x 2(2 x 4)

所以， ABP的面积y与x的函数关系式为y

(4 x 6) 2

8 x(6 x 8)

例2. 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的值域 （1）y |x 2| （2

）y 解：（1）y |x 2|

y x2 2|x| （4）y |x2 2x|

x 2(x 2)

，

2 x(x 2)

3x 3(x 1)

( 2 x 1) （2

）y |x 1| |2x 4| x 5

3x 3(x 2)

函数的值域为[3, )

（3）y x2

2|x| x2 2x(x 0)

x2 2x(x 0)

函数的值域为[ 1, )

（4）y |x2

2x| x2 2x(x 2或x 0) x2 2x(0 x 2)

函数的值域为[0, )

例3.已知f(x) x2 1(x 1)

，

x 2(x 1)

（1）求f[f( 1)]的值（2）若f(x0) 9，求实数x0的值.

解：（1）f( 1) ( 1) 2 3， f[f( 1)] f(3) 32

1 8（2）当x0 1时

2

f(x0) x0 1

9， x0 x0

1，得x0 当x0 1时

f(x0) x0 2 9， x0 11 1， x0 11 从而实数x

0的值为 11 例４. 给出下列四个命题：

(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射； (2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射； (3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射； (4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射． 其中正确命题的个数是( ) A．0个 [答案] B

[解析] 对于(1)f：A→B对应法则f：x→2|x|＋1故(1)错；(2)f：R→{1}，对应法则f：x→1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.

精练部分

A类试题（普通班用）

B．1个 C．2个

D．3个

x＋3 (x＞0)，

1. 已知f(x)＝ 1 (x＝0)，

x＋4 (x＜0).

A．－4 [答案] B

2

则f(f(f(－4)))＝( )

B．4 C．3 D．－3

[解析] f(－4)＝(－4)＋4＝0，∴f(f(－4))＝f(0)＝1，f(f(f(－4)))＝f(1)＝1＋3＝4.

故选B.

3x＋2，x<1，

2. 已知函数f(x)＝ 2若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.

x＋ax，x≥1，

2

[答案] 2

[解析] 由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2

3. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，1

且φ()＝16，φ(1)＝8，求φ(x)的表达式．

35

[答案] 3x＋

x

[解析] 设f(x)＝kx (k≠0)，g(x)＝(m≠0)

mx

k ＋3m＝16m

则φ(x)＝kx

＋，由题设 3

x

k＋m＝8

解之得：

k＝3 m＝5

5

，∴φ(x)＝3x＋.

x

4. 在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．

0 (x＝0)[解析] y＝

80 (0＜x≤20)，

160 (20＜x≤40)

定义域为[0,40]，图象如下

5. 作出函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的图象，并由图象求函数f(x)的值域． [解析] f(x)＝

－3 (x≥2) 1－2x(－1＜x＜2)

3 (x≤－1)

如图：由图象知函数f(x)值域为{y|－3≤y≤3}．

6. (1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．

(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．

[解析] (1)设y＝kx＋b(k≠0)，由图知过(－1,0)和(0,2)点， ∴ －k＋b＝0 k＝2 b＝2 ，∴

，∴y＝2x＋2.

b＝2(2)设y＝ax2

＋bx＋c(a≠0)，由图知过A(－3,0)、B(1，0)、C(0，－2)三点，

9a－3b＋c＝0

∴ a＋b＋c＝0 c＝－2

22

，∴ 4

b3 c＝－2

a2

3

224

，∴y＝x＋－2.

33

[点评] 设y＝ax＋bx＋c，由图知y＝0时，x＝－3或1，即一元二次方程ax＋bx＋c＝02

有两根－3和1，故可用根与系数关系求解，也可设ax＋bx＋c＝a(x＋3)(x－1)．由过(0，－2)求出a，进而求出b、c.

B类试题（3+3+4）（尖子班用）

2

x＋3 (x＞0)，

1．已知f(x)＝ 1 (x＝0)，

x＋4 (x＜0).

A．－4 [答案] B

则f(f(f(－4)))＝( )

B．4 C．3 D．－3

[解析] f(－4)＝(－4)＋4＝0，∴f(f(－4))＝f(0)＝1，f(f(f(－4)))＝f(1)＝1＋3＝4.故选B.

2．下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是( ) A．P＝N，Q＝N，f：x→|x－8|

B．P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4) C．P＝N，Q＝{－1,1}，f：x→(－1) D．P＝Z，Q＝{有理数}，f：x→x [答案] A

[解析] 对于选项A，当x＝8时，|x－8|＝0 N，∴不是映射，故选A.

*

2

*

*

2

x

2x [ 1,1]

3．已知函数f(x) ，若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是( )

xx [ 1,1]

A．R B．[－1,1] C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{2}∪[－1,1] [答案] D

[解析] 首先当x＝2时，f(2)＝2，∴f[f(2)]＝2， 其次当x∈[－1,1]时，f(x)＝2，∴f[f(x)]＝2.

4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )

[答案] D

[解析] t＝0时，该学生到学校的距离为d0，排除A、C，随着跑步开始，此学生到学校距离迅速缩短，而转入步行后，此学生到学校距离继续缩短，但较跑步时缩的慢了，∴选D

3x＋2，x<1，

5．已知函数f(x)＝ 2

x＋ax，x≥1，

若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.

[答案] 2

[解析] 由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2.

6．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，1

且φ()＝16，φ(1)＝8，则φ(x)的表达式为________．

35

[答案] 3x＋

x

[解析] 设f(x)＝kx (k≠0)，g(x)＝(m≠0)

mx

k ＋3m＝16m

则φ(x)＝kx＋，由题设 3

x

k＋m＝8

解之得：

k＝3 m＝5

5

，∴φ(x)＝3x＋.

x

7．设A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)．是从集合A到集合B的映射，若B中元素(6,2)在映射f下对应A中元素(3,1)，则k，b的值分别为 ． [解析] (3,1)对应元素为(3k,1＋b)， 3k＝6， k＝2 ∴解得 . b＋1＝2， b＝1

8．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．

0 (x＝0)

[解析] y＝ 80 (0＜x≤20)，

160 (20＜x≤40)

定义域为[0,40]，图象如下

9．作出函数的图象，并由图象求函数f(x)的值域． （1） f(x)＝2x，x∈Z，且|x|≤2；（2）f(x)

1

1

x 0

x 0

（3）f(x)＝|x－2|－|x＋1|

[解析] (1)这个函数的定义域是集合{－2，－1,0,1,2}，对应法则是“乘以2”，故它的图象由5个孤立的点(－2，－4)，(－1，－2)，(0,0)，(1,2)，(2,4)组成，函数图象如图(1)所示．函数f(x)值域为{ 4,

2,0,2,4}

(2)这个函数分为两部分，

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝1；当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－1， 函数图象如图(2)所示．函数f(x)值域为{ 1,1}

－3 (x≥2)

（3）f(x)＝ 1－2x(－1＜x＜2)

3 (x≤－1)

如图：由图象知函数f(x)值域为{y|－3≤y≤3}．

10．(1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．

(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．

[解析] (1)设y＝kx＋b(k≠0)，由图知过(－1,0)和(0,2)点，

－k＋b＝0∴ b＝2

k＝2

，∴

b＝2

，

∴y＝2x＋2.

2

(2)设y＝ax＋bx＋c(a≠0)，由图知过A(－3,0)、B(1，0)、C(0，－2)三点， 9a－3b＋c＝0

∴ a＋b＋c＝0 c＝－2

，∴ 4

b3 c＝－2

a2

3

，

224

∴y＝x＋－2.

33

22

[点评] 设y＝ax＋bx＋c，由图知y＝0时，x＝－3或1，即一元二次方程ax＋bx＋c＝0

2

有两根－3和1，故可用根与系数关系求解，也可设ax＋bx＋c＝a(x＋3)(x－1)．由过(0，－2)求出a，进而求出b、c.

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