高中物理--万有引力与天体运动--最全讲义及习题及答案详解

状元堂精品学习资料

第四节 万有引力与天体运动

［本章要点综述］ 1、开普勒行星运动定律

第一定律： 。 第二定律： 。 第三定律： 。即： 2、万有引力定律

（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。 （2）万有引力定律公式： （3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。 3、万有引力定律在天文学上的应用 （1）基本方法：

①把天体的运动看成 运动，其所需向心力由万有引力提供： （写出方程）____________________________

②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度： 。（写出方程） （2）天体质量，密度的估算

测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r，周期为T，由 （写出方程）得出被环绕天体的质量为 （写出表达式），密度为 （写出表达式），R为被环绕天体的半径。

当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r＝R，则密度为 （写出表

轨道定律

开普勒行星运动定律 面积定律

周期定律

发现

万有引力定律 万有引力定律 表述

G的测定

天体质量的计算

应用

发现未知天体 人造卫星、宇宙速度

状元堂精品学习资料

达式）。

（3）环绕天体的绕行线速度，角速度、周期与半径的关系。

Mmv2①由G2?m得 ∴r越大，v

rr②由GMm?m?2r得 ∴r越大，? 2rMm4?2③由G2?m2r得 ∴r越大，T rT（4）三种宇宙速度

①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v1=7.9km/s，人造卫星在 附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。

②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v2=11.2km/s，使物体挣脱地球束缚，在 附近的最小发射速度。

③第三宇宙速度：v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在 附近的最小发射速度。

一．万有引力定律

1、内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比．

2、公式：

其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，称为引力常量．

3、适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r是两球心间的距离．

二．万有引力定律的应用

1、行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力． ⑴表面重力加速度：因 则

⑵轨道上的重力加速度：因 则

2、人造卫星

⑴万有引力提供向心力：人造卫星绕地球的运动可看成是匀速圆周运动，所需的向心力是地

状元堂精品学习资料

球对它的万有引力提供的，因此解决卫星问题最基本的关系是：

⑵同步卫星：地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有相同的周期 ①周期一定：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，T＝24 h.

②角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度． ③轨道一定：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内．

④高度一定：所有同步卫星必须位于赤道正上方，且距离地面的高度是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨道上运动），其确定的高度约为h=3.6×104 km.

⑤环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同． 3、三种宇宙速度 ⑴第一宇宙速度: 要想发射人造卫星，必须具有足够的速度，发射人造卫星最小的发射速度称为第一宇宙速度，v1=7.9 km/s。但却是绕地球做匀速圆周运动的各种卫星中的最大环绕速度。

当人造卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9 km/s时，它绕地球运行的轨迹就不再是圆形，而是椭圆形.

⑵第二宇宙速度:

当卫星的速度等于或大于11.2 km/s时，卫星就会脱离地球的引力不再绕地球运行，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去，我们把v2=11.2 km/s称为第二宇宙速度,也称脱离速度。

⑶第三宇宙速度:

当物体的速度等于或大于16.7 km/s时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把v3=16.7 km/s称为第三宇宙速度，也称逃逸速度。

说明：宇宙速度是指发射速度，不是卫星的运行速度。

三、万有引力定律的应用例析 基本方法：

⑴天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供

⑵在地面附近万有引力近似等于物体的重力

状元堂精品学习资料

1、人造卫星的v、ω、T、a与轨道半径r的关系

r 越大，v 越小。

r 越大，ω越小。

r 越大，T越大。

r 越大，a 向越小。

补充：V T W a 与r的正比关系 F∝

1r2；a∝

1113; v∝;∝；T∝。 r?23rrr规律：越高越慢

2、天体质量M、密度ρ的估算（以地球为例） ⑴若已知卫星绕地球运行的周期T 和半径 r

①地球的质量：

②地球的密度（设地 球半径R已知）：

⑵若已知卫星绕地 球运行的线速度v 和半径 r

①地球的质量：

②地球的密度（设地 球半径R已知）：

状元堂精品学习资料

⑶若已知卫星绕地球运行的线速度v 和周期T（或角速度ω）

①地球的质量：

②地球的密度（设地球半径R已知）：

⑷若已知地球半径R和地球表面的重力加速度g

①地球的质量：

②地球的密度（设地球半径R已知）：

3、卫星变轨和卫星的能量问题 ⑴人造卫星在圆轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道。 ⑵轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并不守恒，且总机械能也越大。也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大。 ⑶解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解 ①若 F供＝F 求，供求平衡——物体做匀速圆周运动． ②若 F 供＜F 求，供不应求——物体做离心运动． ③若 F 供＞F 求，供过于求——物体做向心运动．

卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目的，可以通过加速(离心)或减速(向心)实现．

⑷速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星(或行AB星)越近速率越大．

⑸加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加速度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速度。

4.近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题

近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同： 1．轨道半径：r同>r近＝r物 2．运行周期：T同＝T物>T近

状元堂精品学习资料

3．向心加速度：a近>a同>a物

5.双心问题

在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星． 它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变．已知两星质量分别为 M1 和M2，相距 L，求它们的角速度．

如图 ，设 M1的轨道半径为 r1，M2 的轨道半径为 r2，由于两星绕 O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为ω，根据万有引力定律有：

1．双星系统模型的特点：

(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等． (2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；

(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1＋r2＝L. 2．双星系统模型的三大规律： (1)双星系统的周期、角速度相同． (2)轨道半径之比与质量成反比．

(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．

6.三星模型

宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星等间距地位于同一直线上，外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．

状元堂精品学习资料

附录：万有引力相关公式

1思路和方法:①卫星或天体的运动看成匀速圆周运动, ② F心=F万 (类似原子模型) v22?MmGM2公式：G2=man，又an=，????2r?()2r， 则v=rTrrGMr3，T=2? 3GMr3求中心天体的质量M和密度ρ

2?Mm2由G2==m?r =m()2rTrr4?2r3?恒量) (?M=2GT2T??3?3?R?h3?()22GT远RGT近3M3?r3ρ=4(当r=R即近地卫星绕中心天体运行时)?ρ?323GRT?R3=?43??r3） s球面=4?r2 s=?r2 (光的垂直有效面接收，球体推进 （M=V?球=?2GT3辐射) s球冠=2?Rh

Mm4?2v22 ?m?R= m2R?m4?2n2 R 轨道上正常转： F引=G2= F心= ma心= mrRTMmv22地面附近： G2= mg ?GM=gR (黄金代换式) mg = m?v?gR=vRR第一宇宙=7.9km/s 题目中常隐含：(地球表面重力加速度为g)；这时可能要用到上式与其它方程联立来求解。

Mmv2轨道上正常转： G2= m ? v?rRGM r【讨论】(v或EK)与r关系，r最小时为地球半径时，v第一宇宙=7.9km/s (最大的运行速度、最小的发射速度)；

T最小=84.8min=1.4h

①沿圆轨道运动的卫星的几个结论: v=

GMr，??GMr3，T=2?r3GM

②理解近地卫星：来历、意义 万有引力≈重力=向心力、 r最小时为地球半径、 最大的运行速度=v第一宇宙=7.9km/s (最小的发射速度)；T最小=84.8min=1.4h ③同步卫星几个一定：三颗可实现全球通讯(南北极仍有盲区)

轨道为赤道平面 T=24h=86400s 离地高h=3.56ｘ104km(为地球半径的5.6倍) V同步=3.08km/s﹤V第一宇宙=7.9km/s ?=15o/h(地理上时区) a=0.23m/s2 ④运行速度与发射速度、变轨速度的区别

⑤卫星的能量:r增?v减小(EK减小

⑦卫星在轨道上正常运行时处于完全失重状态,与重力有关的实验不能进行

⑥应该熟记常识：地球公转周期1年, 自转周期1天=24小时=86400s, 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s2 月球公转周期30天

状元堂精品学习资料

例题精讲

1. 对万有引力定律的理解

（1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。 （2）公式表示：F=

Gm1m2。 2r（3）引力常量G：①适用于任何两物体。 ②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg的物体（可看成质点）相距1m时的相互作用力。 ③G的通常取值为G=6。67×10-11Nm2/kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。④一个重要物理常量的意义：根据万有引力定律和牛

Mm2?2r3GM)∴2??k.这实际上是开普勒第三定律。它表顿第二定律可得：G2＝mr(2TrT4?r3明2?k是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。在实际做题时，它T具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。

（4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。 ②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。 ③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性：

①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。

②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。

③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。天体间的主要作用力就是万有引力了。

【例1】设地球的质量为M，地球的半径为R，物体的质量为m，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是：

A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。

B、物体距地面的高度为h时，物体与地球间的万有引力为F=C、物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。 D、物体离地面的高度为R时，则引力为F=

GMmh2。

GMm 4R2答案D 〖总结〗（1）物体与地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。

状元堂精品学习资料

（2）F= 的距离。 （3）F=

Gm1m2。中的r是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间r2Gm1m2适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能2r看为质点，故选项C的推理是错误的。 【例2】对于万有引力定律的数学表达式F=

Gm1m2，下列说法正确的是： r2A、公式中G为引力常数，是人为规定的。 B、r趋近于零时，万有引力趋于无穷大。

C、m1、m2之间的引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关。 D、m1、m2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。 答案C

2.关于万有引力和重力的关系

地面上物体所受万有引力F可以分解为物体所受的重 力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力F’。 其中F?GMm2 F??mr? 2RMm 2R① 当物体在赤道上时，F、mg、F’三力同向，此时满足F’＋mg＝F ② 当物体在两极点时，F’＝0 ,F=mg=G③ 当物体在地球的其他位置时，三力方向不同。

－

【例3】 地球赤道上的物体由于地球自转产生的向心加速度a＝3.37×102 m/s2,赤道上重力加速度g取10m/s2 试问：

（1）质量为m kg的物体在赤道上所受的引力为多少？ （2）（2）要使在赤道上的物体由于地球的自转而完全失重，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？ 解析：（1）物体所受地球的万有引力产生了两个效果：一是使物体竖直向下运动的重力，一是提供物体随地球自转所需的向心力，并且在赤道上这三个力的方向都相同，有F引＝mg+F

-2

向＝m(g+a)=m(9.77+3.37×10)=9.804m(N)

（2）设地球自转角速度为ω，半径为R，则有a＝ωR，欲使物体完全失重，即万有引力完全提供了物体随地球自转所需的向心力，即mω’R＝F引＝9.804m，解以上两式得ω’＝17.1ω.

3.计算重力加速度

1、 在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。

M5.98*10242?11sg=G2=6.67*10*=9.8(m/)=9.8N/kg 32R(6730*10)即在地球表面附近，物体的重力加速度g＝9.8m/s。这一结果表明，在重力作用下，物体

2状元堂精品学习资料

加速度大小与物体质量无关。

2、 即算地球上空距地面h处的重力加速度g’。有万有引力定律可得：

GMR2g'GMR2()g g’＝又g＝，∴＝，∴g’＝222R?hRg(R?h)(R?h)3 计算任意天体表面的重力加速度g’。有万有引力定律得： g’＝

GM'GM（M’为星球质量，R’卫星球的半径），又g＝， R'2R2∴

g'M'R2?()。 ＝MR'g4.估算中心天体的质量和密度

1 中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：G

Mm2?2()，∴M＝＝mrTr24?2r3 GT22 中心天体的密度

方法一：中心天体的密度表达式ρ＝

M33

，V＝?R（R为中心天体的半径），根据前面MV4

3?3?r3的表达式可得：ρ＝。当r＝R即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝。

GT2GT2R3此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期

T，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。

GMM3ggR2方法二：由g=2,M=进行估算，ρ＝，∴ρ＝

V4G?RGR地球的同步卫星（通讯卫星）

同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，同步卫星的运行方向与地球自转方向相同，周期T=24h，同步卫星又叫做通讯卫星。

同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h，运行速率v是唯一确定的。

设地球质量为m?，地球的半径为R=6.4×10m，卫星的质量为m，根据牛顿第二定律

6Gm?m?R+h?2?2π?=m?R+h???

?T?222设地球表面的重力加速度g=9.8ms，则Gm?=Rg

RTg33R+h==2以上两式联立解得：4π=4.2×107m

22?6.4×106?×?24×3600?×9.8224×3.142m

状元堂精品学习资料

同步卫星距离地面的高度为

h=?4.2×107－6.4×106?m=3.56×107m

注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别

在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。

地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。

赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运

4π2R?0.034ms2；而动的周期应与地球自转的周期相同，即24小时，其向心加速度a=2T绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度，

Mm4π2它的周期可以由下式求出：G2=m2R

RTR3求得T=2π，代入地球的半径R与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期T

GM约为84min，此值远小于地球自转周期，而向心加速度a?=GM2=9.8ms远大于自转时向2R心加速度。

－

【例4】 已知引力常量G＝6.67×1011N·m2/kg2,重力加速度g＝9.8m/s2,地球半径R＝6.4×104m，可求得地球的质量为多少？（结果保留一位有效数字）

解析：在地球表面质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的引力，有

2R29.8?（6.4?106）Mm?kg?6?1024kg G2＝mg ,得M?g－11G6.67?10R【例5】一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要

确定该行星的密度，只需要测量

A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度 C．飞船的运行周期 D．行星的质量 解析：“飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等，飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律：GMm2?2＝m()R， 2TRM4??R33?4?24??GT23，即行星的密度??由上式可知：

3?； GT2

状元堂精品学习资料

上式表明：只要测得卫星公转的周期，即可得到行星的密度，选项C正确。

【例6】已知地球的半径为R=6400km，地球表面附近的重力加速度g=9.8ms2，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？

[思路分析]：设同步卫星的质量为m，离地面的高度的高度为h，速度为v，周期为T，地球的质量为M。同步卫星的周期等于地球自转的周期。

GMm=mg ① R2GMm?R+h?22?2π?=m?R+h??? ②

?T?2由①②两式得

RTg3h=3-R?4π2?3.56?107m又因为G2?6400?103???24?3600??9.8224?3.142m?6400?103m

Mm?R+h?2v2=m ③

?R+h?由①③两式得

v=Rg?ms?3.1?103ms 37R+h6400?10?3.56?102?6400?103??9.82[答案]：h?3.56?107mv?3.1?10ms

23MmMm?2π?=mR+h[总结]：此题利用在地面上G2=mg和在轨道上G两式联立????2R?T??R+h?解题。

【例7】下面关于同步卫星的说法正确的是（ ） A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定

B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小

C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低

D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小 [答案]：ACD

5.双星问题

【例8】两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动,现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量? 答案 4π2r3/GT2

状元堂精品学习资料

【例9】两颗靠得很近的恒星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗恒星的质量为m1、m2，相距L，求这两颗恒星的转动周期．

解析：由万有引力定律和向心力公式来求即可．m1、m2做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2，它们的向心力是由它们之间的万有引力提供，所以

4?22 G＝m1TR1

m1m2L2 ①

4?2m1m222GL＝m2TR2

③

②

R1+R2＝L 由①②③得：

R1m2m2?Rm1，得：R1＝m1?m2L 2 代入①式

4?2L2R14?2L2m2L??Gm2Gm2(m1?m2)

T2＝

L3G(m1?m2)L3G(m1?m2) 所以：T＝2π

答案：2π

状元堂精品学习资料

第四节 万有引力与天体运动

创新训练

1.同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R，则（ AD ） A. a1/a2=r/R B. a1/a2=R2/r2 C. v1/v2=R2/r2 D. v1/v2 ?R/r

2.若航天飞机在一段时间内保持绕地球地心做匀速圆周运动则（ C ） A.它的速度大小不变

B.它不断地克服地球对它的万有引力做功 C.它的动能不变，重力势能也不变 D.它的速度大小不变，加速度等于零 3．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是（ B ） A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比 B．两颗卫星的线速度一定相等 C．天体A、B的质量可能相等

P D．天体A、B的密度一定相等

4．将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将?3 卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，2 则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的1 是：( BD )

A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。

B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。 ?Q C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度。

D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。 m1m2

5．关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是

r2

( C )

A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的

6．一宇航员在某星球上以速度v0竖直上抛一物体，经t秒落回原处，已知该星球半径为R那么该星球的第一宇宙速度是( B ) v0tA. R

B.

2v0R

t

C.

v0R t

D.

v0 Rt

2v02v0

解析 设该星球表面重力加速度为g，由竖直上抛知识知，t＝，所以g＝；由牛顿1．

gt7.如图7所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若

飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于 在轨道1上，飞船在轨道2上的

( CD )

状元堂精品学习资料

A．动能大 B．向心加速度大 C．运行周期长 D．角速度小

GMm

解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，其万有引力提供向心力，即F引＝F向，所以2rmv24π2mrGM1GMm

＝ma向＝＝2＝mrω2，即a向＝2，Ek＝mv2＝，T＝

rTr22r

4π2r3，ω＝ GM

GMr3

图7

2π

(或用公式T＝求解)．因为r1Ek2，a向1>a向2，T1ω2，选项C、D

ω正确．

8．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是 ( B )

A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

a3

解析 根据开普勒第三定律，2＝恒量知，当圆轨道的半径R与椭圆轨道的半长轴a相

T等时，两卫星的周期相等，故选项A错误；卫星沿椭圆轨道运行且从近地点向远地点运行时，万有引力做负功，根据动能定理知，动能减小，速率减小；从远地点向近地点移动时动能增加，速率增大，且两者具有对称性，故选项B正确；所有同步卫星的运行周Mm2π

期相等，根据G2＝m()2r知，同步卫星轨道的半径r一定，故选项C错误；根据卫

rT星做圆周运动的向心力由万有引力提供，可知卫星运行的轨道平面过某一地点时，轨道平面必过地心，但轨道平面不一定重合，故北京上空的两颗卫星的轨道平面可以不重合，选项D错误．

9．2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分v1

别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则等于( B )

v2A.

3R 13 R 2

B. R2D. R1

R2 R1

2R 2C.2 R1

Mmmv解析 “天宫一号”运行时所需的向心力由万有引力提供，根据G2＝得线速度v

RR

2

状元堂精品学习资料

＝

v1GM

，所以＝ Rv2

R2，故选项B正确，选项A、C、D错误． R1

10．由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的 ( A )

A．质量可以不同

B．轨道半径可以不同 D．速率可以不同

C．轨道平面可以不同 答案 A

v2GMm4π2r3GM

解析 同步卫星运行时，万有引力提供向心力，2＝m2r＝m，故有2＝2，v＝

rTrT4πGM

，由于同步卫星运行周期与地球自转周期相同，故同步卫星的轨道半径大小是确r

定的，速度v也是确定的，同步卫星的质量可以不同．要想使卫星与地球自转同步，轨道平面一定是赤道平面．故只有选项A正确． v2

第二定律得：mg＝m，所以v＝gR＝

R

2v0R

. t

10．天宫一号是中国第一个目标飞行器，已于2011年9月29日21时16分3秒在酒泉卫星发射中心发射成功，它的发射标志着中国迈入中国航天“三步走”战略的第二步第二阶段.21时25分，天宫一号进入近地点约200公里，远地点约346.9公里，轨道倾角为42.75度，周期为5 382秒的运行轨道．由此可知( AD )

A．天宫一号在该轨道上的运行周期比同步卫星的运行周期短 B．天宫一号在该轨道上任意一点的运行速率比同步卫星的运行速率小 C．天宫一号在该轨道上任意一点的运行加速度比同步卫星的运行加速度小 D．天宫一号在该轨道上远地点距地面的高度比同步卫星轨道距地面的高度小 GMmmv

解析 由题意知天宫一号的轨道半径比同步卫星要小，由2＝知v＝

rrGMm4π2

v天>v同．由2＝mr2知T＝

rT

同．

2

GM，即r

4π2r3GMmGM

，知T天aGMrr

故选项A、D正确．

11．“天宫一号”被长征二号火箭发射后，

准确进入预定轨道，如图所示，“天宫一号”在轨道1上运行 4周后，在Q点开启发动机短时间加速，关闭发动机后，“天宫 一号”沿椭圆轨道2运行到达P点，开启发动机再次加速，进入 轨道3绕地球做圆周运动，“天宫一号”在图示轨道1、2、3上 正常运行时，下列说法正确的是 ( D )

图1

状元堂精品学习资料

A．“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度

C．“天宫一号”在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度 D．“天宫一号”在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度 解析 根据v＝

GM，可知v3

GM可知ω3<ω1，选项Br3错误；加速度与万有引力大小有关，r相同，则a相同，与轨道无关，选项C错误，选项D正确．

12. 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( B ) mv2

A. GNNv2

C. Gm

mv4B. GNNv4D. Gm

解析 设卫星的质量为m′

Mm′v2

由万有引力提供向心力，得G2＝m′

RRv2

m′＝m′g

R

① ②

由已知条件：m的重力为N得 N＝mg

2

③

mvN

由③得g＝，代入②得：R＝

mNmv4

代入①得M＝，故B项正确．

GN

13. 一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则( ACD ) v3T

A．恒星的质量为 2πG4π2v3

B．行星的质量为 GT2vT

C．行星运动的轨道半径为 2π2πv

D．行星运动的加速度为

T

2

v2rv3TvGMmmv4π2

解析 由2＝＝m2r得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝

rrTG2πGω

状元堂精品学习资料

vvT2π

＝＝，C对；a＝ω2r＝ωv＝v，D对． 2π2πTT

14. 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( AC ) A．线速度v＝

GM

R

B．角速度ω＝gR Gm

D．向心加速度a＝2

R

GM，A对；ω＝g/R，B错；R

C．运行周期T＝2π

2

R g

vGMm4π22

解析 由2＝m＝mωR＝m2R＝mg＝ma得v＝

RRTT＝2π

RGM

，C对；a＝2，D错． gR

15. 已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是( BD ) 3GMT2A．卫星距地面的高度为

4π2B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 Mm

C．卫星运行时受到的向心力大小为G2

R

D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

解析 天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆v24π2mrGMm

周运动，即F引＝F向＝m＝2.当卫星在地表运行时，F引＝2＝mg(此时R为地

rTRGMm

球半径)，设同步卫星离地面高度为h，则F引＝＝F向＝ma向

?R＋h?2mv2GMm

D正确．由＝得，v＝

?R＋h?2R＋h

GM

< R＋h

2

GMGMm4πm?R＋h?

，B正确．由＝，RT2?R＋h?23GMT23GMT2得R＋h＝ ，即h＝ －R，A错误．

4π24π2

16. 北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有 导航、定位等功能．“北斗” 系统中两颗工作卫星1和2 均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径均为r，某时刻两颗 工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，如图3所示．若卫 星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，

图3

地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．以下判断正确的是( AC )

状元堂精品学习资料

R2g

A．两颗卫星的向心加速度大小相等，均为2 rB．两颗卫星所受的向心力大小一定相等

C．卫星1由位置A运动到位置B所需的时间可能为

7πr 3R

r g

D．如果要使卫星1追上卫星2，一定要使卫星1加速 答案 AC

17. 北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨 控制并获得成功．首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的， 紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施．“嫦娥二号”卫 星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近

图4

地点的轨道高度．同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨．图4为“嫦娥二号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是( A ) A．“嫦娥二号”在轨道1的A点处应点火加速

B．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大 C．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大 D．“嫦娥二号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大 解析 卫星要由轨道1变轨为轨道2需在A处做离心运动，应加速使其做圆周运动所需v2MmMm

向心力m大于地球所能提供的万有引力G2，故A项正确，B项错误；由G2＝ma

rrr可知，卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等，C项错误；卫星由轨道1变轨到轨道2，反冲发动机的推力对卫星做正功，卫星的机械能增加，所以卫星在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能小，D项错误．

18. 2011年9月29日，中国首个空间实验室“天宫一号” 在酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近 地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面高度为h， 地球的中心位于椭圆的一个焦点上．“天宫一号”飞行几周后 进行变轨，进入预定圆轨道，如图5所示．已知“天宫一号”

图5

在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，万有引力常量为G，地球半径为R.则下列说法正确的是 ( BD )

A．“天宫一号”在椭圆轨道的B点的向心加速度大于在预定圆轨道的B点的向心加速

度

B．“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，机械能守恒 C．“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，动能先减小后增大

状元堂精品学习资料

?R＋h?34π2n2

D．由题中给出的信息可以计算出地球的质量M＝

Gt2GMm

解析 在B点，由2＝ma知，无论在哪个轨道上的B点，其向心加速度相同，A项

r错；“天宫一号”在椭圆轨道上运行时，其机械能守恒，B项对；“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B运行中，动能一直减小，C项错；对“天宫一号”在预定圆轨道上?R＋h?34π2n2Mm4π2t

运行，有G＝m(R＋h)2，而T＝，故M＝，D项对．

TnGt2?R＋h?219. 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 2Rh

A.

t

B.( B ) 2Rh

t

C.

Rh t

D.Rh 2t

解析 设在月球表面处的重力加速度为g 12h则h＝gt2，所以g＝2

2t

飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有 v2

mg＝m

R所以v＝gR＝

2hR2Rh

，选项B正确. 2＝tt

20. 冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的( A ) 1

A．轨道半径约为卡戎的

71

B．角速度大小约为卡戎的

7C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍

解析 本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做匀速圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；m1m2r1m21v1ωr1m21

由G2＝m1ω2r1＝m2ω2r2(L为两星间的距离)，因此＝＝，＝＝＝，故A

Lr2m17v2ωr2m17对，C错.

21. 宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，静止一质量为m的小球(可视为质点)，如图所示．当给小球一水平初速度v0时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R，万有引力常量为

状元堂精品学习资料

G.若在月球表面发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为( A )

22 一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现( B ) A．速度变小 B．动能增大 C．角速度变小 D．半径变大

23. 如图所示，a、b、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的 3 颗卫星，下列说法正确的是( D )

A．b、c 的线速度大小相等，且大于 a 的线速度 B．b、c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加 速度

C．c 加速可追上同一轨道上的 b，b 减速可等候同一 轨道上的 c

D．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速 度将增大

24. 飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点 343 千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为 343 千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为 90 分钟．如图所示，下列判断正确的是（ BC ）

A. 飞船变轨前后的机械能相等

B. 飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 C. 飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度 D. 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点 时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动 的加速度

25. 中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大，现有一中子星，观测到它的自转周期为T=1/30 s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常量 G=6.67×10-11 N·m2/kg2)

状元堂精品学习资料

26. 英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45km，质量MMc2?和半径R的关系满足（其中c为光速，G为引力常量），则该黑洞表面重力加速R2G度的数量级为( C )

A．10m/s B．10m/s C．10m/s D．10m/s 【解析】处理本题要从所给的材料中，提炼出有用信息，构建好物理模型，选择合适的物理方法求解。黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万

82102122142MmMc2?有引力，对黑洞表面的某一质量为m物体有：G2?mg，又有，联立解得

RR2Gc2122g?，带入数据得重力加速度的数量级为10m/s，C项正确。

2R

27、天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50?102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。

(1) 若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50?102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；

(2) 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为

Mm(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。R已知引力常量G=6.7?10-11N·m2/kg2，光速c=3.0?108m/s，太阳质量Ms=2.0?1030kg，太阳半径Rs=7.0?108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的

Ep=-G

半径RA与太阳半径Rg之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。 答案：（1）4?10，（2）?17

【解析】（1）S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则

6MAmS22?m?r ① S22r2? ?? ②

T G设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则GMSmE2?m?rE ③ E2rE

状元堂精品学习资料

?r??T?M综合上述三式得A????E?

MS?rE??T? 式中 TE=1年 ④ rE=1天文单位 ⑤

代入数据可得

32MA ?4?106 ⑥

MS （2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有 ⑦

依题意可知 R?RA，M?MA 可得 RA?12Mmmc?G?0 2R2GMA ⑧ 2c代入数据得 RA?1.2?1010m ⑨

能力提升

1.牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿 （ ）

A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想

B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F?m的结论

C．根据F?m和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F?m1m2 D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小

2.某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图1所示，E和F 是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速度比在B点的速度大，则太阳位于（ ） A.F B.A C.B D.E

3.发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可

能靠近赤道的地方，如图2所示，这样选址的优点是在赤道附近 （ ）

A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大 C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大

4. 已知地球质量大约是月球质量的8l倍，地球半径大约是月球半径的4倍．不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出 （ ） A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9:8

B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9:4

C.靠近地球表面运行的航天器的周期与靠近月球表面运行的航天器的周期之比约为8:9

状元堂精品学习资料

D.靠近地球表面运行的航天器的速度与靠近月球表面运行的航天器的速度之比约为81:4 5．如图所示，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则（ ）

A．v1＞v2＞v3 B．v1＜v2＜v3 C．a1＞a2＞a3 D．a1＜a3＜a2

6.设土星绕太阳的运动是匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离是r，土星绕太阳运动的周期是T，万有引力常量G已知，根据这些数据无法求出的量是( )

A．土星的线速度大小 B．土星的加速度大小 C．土星的质量 D．太阳的质量

7.太空被称为是21世纪技术革命的摇篮。摆脱地球引力，在更“纯净”的环境中探求物质的本质，拨开大气层的遮盖，更直接地探索宇宙的奥秘，一直是科学家们梦寐以求的机会。“神州号” 两次载人飞船的成功发射与回收给我国航天界带来足够的信心，我国提出了载人飞船——太空实验室——空间站的三步曲构想。某宇航员要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（ ）

A. 只能从较低轨道上加速 B. 只能从较高轨道上加速

C. 只能从空间站同一高度的轨道上加速 D. 无论在什么轨道上，只要加速都行 8.假设在质量与地球质量相同、半径为地球半径两倍的某天体上进行运动比赛或实验，那么与在地球上进行的活动相比，下列说法不正确的是（ ） A.跳高运动员的成绩会更好

B.做用弹簧秤称体重的实验时，体重数值会变得更小 C.投掷铁饼的距离会更远

D.用手投出的篮球，水平方向的分速度会更大 9.最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍, 假定该行星绕恒星

运行轨道和地球绕太阳运行轨道都是圆周, 仅利用以上两个数据可以求出的量有 （ ）

A.恒星质量与太阳质量之比 B.恒星密度与太阳密度之比

C.行星质量与地球质量之比 D.行星运行速度与地球公转速度之比

10．3个人造地球卫星A、B、C，在地球的大气层外沿如图所示的方向做匀速圆周运动，已知mA=mB

C 向心力大小的关系是Fa=Fb

D 轨道半径和周期的关系是RA?RB?RC

222TATBTC33311.我国于1986年2月1日成功发射了一颗地球同步卫星，于1999年12月20日又成功发

射了“神舟号”试验飞船，飞船在太空中飞行了21h，环绕地球运动了14圈，又顺利返回地面，假设卫星和飞船都做匀速圆周运动，那么卫星与飞船在各自轨道上运行时 （ ） ①卫星运行周期比飞船大 ②卫星运动速度比飞船大 ③卫星运动的加速度比飞船大 ④卫星离地面高度比飞船大

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

12.地球绕太阳的运动可视为匀速圆周运动，太阳对地球的万有引力提供地球运动所需要的向心力.由于太阳内部的核反应而使太阳发光，在整个过程中，太阳的质量在不断减小。根据这一事实可以推知，在若干年后，地球绕太阳的运动情况与现在相比（）

状元堂精品学习资料

A．运动半径变大 B．运动周期变大 C．运动速率变大 D．运动角速度变大

8.D 提示：由mg?GMm知天体质量M不变，半径R加倍，其表面的重力加速度减为原R2来的1/4，跳高运动员会跳的更高，物体体重减小，投掷铁饼的距离会更远，而投出的篮球的水平分速度不受影响，故只有D选项的说法不对，本题答案为D.

4?2r39.AD 提示：根据天体质量M?可得恒星质量与太阳质量之比1：1.44； 2GT根据v=2πr/T可得行星运行速度与地球公转速度之比1：12. 10.C 11.B

12.AB 提示：太阳质量减小，地球所受到的太阳引力减小，太阳引力不足以提供地球做匀速圆周运动的向心力，地球将做离心运动，即运动半径变大，运动周期变大.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7unp.html