必修2第三章教案 直线的方程(1)

直线的方程（1）

一 、新知学习

1．直线的点斜式方程

若直线l经过点P(x0,y0)，且斜率为k，则其方程为y y0 k(x x0)．

证明：设点P(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点，因为直线的斜率为k，由斜率公式得k 0(x0,y0)

y y0

，即y y0 k(x x0)． x x0

推论 直线的斜截式方程

若直线l的斜率为k，且纵截距为b，则其方程为y kx b．

证明：由条件可知，直线l经过点(0,b)，且斜率为k，代入直线的点斜式方程，得y b k(x 0)，即y kx b．

2．垂直于坐标轴的直线方程

若直线l的倾斜角为0 ，则其方程为y y0；若直线l的倾斜角为90 ，则其方程为x x0．

证明：当直线l的倾斜角为0 时，tan0 0，即k 0，这时直线l与y轴垂直，l的方程就是y y0． 当直线l的倾斜角为90 时，直线没有斜率，这时直线l与x轴垂直，l的方程就是x x0．

二 、知识迁移

A．概念理解 1．判断题：

（1）当直线的倾斜角为0 时，过点P(x0,y0)的直线l的方程为y y0． （2）直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念． （3）直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．

（1）正确．（2）错误．（3）正确．

2．口答：

（1）过点P( 1,2)，倾斜角为60

的直线的点斜式方程为y 2x 1)

．

（2

）已知直线l:y 2，直线l

y轴上的截距为 2 ． （3）斜率为2，过点A(0,3)的直线的斜截式方程为y 2x 3．

3．思考：

（1）当k取什么值时，方程y 1 k(x 1)表示的直线具有什么共同特征？ （2）过点P(x0,y0)的直线可以分哪两类？它们的方程分别是什么？

答：（1）方程y 1 k(x 1)表示恒过定点的无数条直线．

（2）（ⅰ）斜率存在时方程为y y0 k(x x0)．（ⅱ）斜率不存在时，方程为x x0．

4．写出满足下列条件的直线的点斜式方程：

（1）经过点A(

3,1)，斜率是（2

）经过点B 1)，倾斜角是30 ．（3）经过点C(0,5)且与y轴垂直．

结果：（1

）方程为y 1 3)．（2

x．y 1（3）直线斜率为0，直线方程为y 5．

5．思考：

（1）斜截式y kx b，可以改写为点斜式方程吗？ （2）能否用斜截式方程表示直角坐标平面内的所有直线？

答：（1）可以．y kx b可以改写为y b k(x 0)．（2）不能．斜截式方程只能表示斜率存在的直线．

6．写出满足下列条件的直线的斜截式方程： （1

，在y轴上的截距是 2．（2）倾斜角是135 ，在y轴上的截距是3． 2．（2）因为斜率k tan135 1，所以斜截式方程为y x 3． 结果：（1

）斜截式方程为y

B．直线点斜式方程的应用

例 （1）无论m为何实数，直线y 1 m(x 2)总过一个点，该定点坐标为 D A．(1, 2) B．( 1,2) C．( 2, 1) D．(2, 1) （2）已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)， A 60 ， B 45 ，求： （ⅰ）AB边所在直线的方程；（ⅱ）AC和BC所在直线的方程．

解：（1）略．

（2）（ⅰ）直线AB的斜率k 程为y 1 0(x 1)，即y 1．

（ⅱ）如图所示．由题意知直线AC

的斜率k1 tan60 ，直线BC的斜 率k2 tan(180 45 ) 1，所以直线AC

的点斜式方程为y 1x 1)，直线

BC的点斜式方程为y 1 (x 5)．

1 1

0，且过点A(1,1)，所以直线AB的点斜式方 5 1

变式 已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，AC BC，且直线AC的斜率为，求AC和BC所在直线的方程．

解：由题意知直线BC的倾斜角与直线AC的倾斜角互补，所以直线BC

的斜率为x 1)，，所以边AC

所在直线方程为y 1边BC

所在直线方程为y 1 x 5)．

C．直线的斜截式方程的应用

例 （1）在同一直角坐标系中，表示直线y ax与y x a正确的是 C

A

B C D

（2）已知直线l1的方程为y 2x 3，l2的方程为y 4x 2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．

解：（2）由斜截式方程知直线l1的斜率k1 2，又因为l∥l1，所以l的斜率k k1 2．

由题意知l2在y轴上的截距为 2，所以l在y轴上的截距b 2，由斜截式可得直线l的方程为y 2x 2．

D．两条直线平行于垂直的判断

例 （1）已知直线l1:y x，若直线l2 l1，则直线l2的倾斜角为 D A．45 B．90 C．120 D．135 （2）在y轴上的截距为2，且与直线y 3x 4平行的直线的斜截式方程为y 3x 2． （3）（ⅰ）当a为何值时，直线l1:y x 2a与直线l2:y (a2 2)x 2平行？ （ⅱ）当a为何值时，直线l1:y (2a 1)x 3与直线l2:y 4x 3垂直？

解：（3）（ⅰ）直线l1的斜率k1 1，直线l2的斜率k2 a2 2，因为l1∥l2，所以a2 2 1且2a 2，解得a 1．所以当a 1时，直线l1:y x 2a与直线l2:y (a2 2)x 2平行．

（ⅱ）直线l1的斜率k1 2a 1，直线l2的斜率k2 4，因为l1 l2，所以k1k2 1，即4(2a 1) 1，解得a 直线l1:y (2a 1)x 3与直线ⅱl2:y 4x 3垂直．

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．所以当a 时，88

自主体验 已知在△ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3)．

（1）求AB边上的高所在直线方程；（2）求BC边上的高所在直线方程；（3）求过点A与BC平行的直线方程．

结果：（1）y 3 3(x 1)．（2）y x．（3）y x．

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