思考与回答：电介质中的静电场

第三章 电介质中的静电场

3-1 （1）将平行板电容器两极板接在电源上以维持其间电压不变，用介质常数为?r?0的均匀电介质将它充满，极板上的电量为原来的几倍？电场为原来的几倍？

（2）若充电后撤掉电源，然后再加入电介质，情况如何？

答：（1）极板间的电压U。保持不变，充以电介质后，电容器的电容为?r?0，Co为未充以电介质以前电容器的电容。电容器极板上的电荷

Q?CUo??rCoUo??rQ0

电荷增加为原来的电荷的?r倍，电容器内的电场强度

E?U0 d保持不变。

（2）极板上的电荷Qo保持不变，加入电介质后，电容器的电容为?rc0，极板间的电压

U?QoUo? C?r较原来的电压小，电场强度

E?EUU0??0 dd?r?r较原来的电场小。

3-2 如图3-2图所示，平行板电容器的极板面积为S，间距为d。试问：

（1）将电容器接在电源上，插入厚度为d/2的均匀电介质板（图a）介质内外电场之比为多少？它们和插入电介质之前电场之比为多少？

（2）在问题（1）中，若充电后撤去电源，再插入电介质板，情况如何？ （3）将电容器接在电源上，插入面积为S/2的均匀电介质板（图b），介质内外电场之比为多少？它们和未插入电介质之前电场之比为多少？

（4）在问题（3）中，若充电后撤去电源，再插入电介质板，情况如何？ （5）图（a）（b）中电容器的电容各为真空时的几倍？

以上各问题中都设电介质的介电常数为?r?0。

答：（1）电容器的电压Uo保持不变。设充入电介质后电介质内的电场强度为E1，介质外的电场强度为E2，则

Uo?U1?U2?

11E1d?E2d 221?DD?????d?2???o???D?1????o?2????o???Dd?

2??oUo2??0?E0

????0?d???0E1?E2?D?D??2?0E0???02?0Eo???0?0E1?o1 ??E2??r2?0E12??Eo???0??1E22?12???Eo???0??1（2）电容器极板上的电荷保持不变，D保持不变，设介质中的电场强度为E1，介质外的电场强度为E2，

E1?E2?D?D?E0?r(?D??0Eo)?0?Eo

E11?E2?rE11?Eo?rE2?1Eo（3）插入电介质后，电容器极板间的电压保持不变，与电介质相对的那一部分极板的自由电荷增加。设介质内外的电场强度为E1、E2，充入电介质以前的电场强度为E0，则

E1d?U0E2d?U0E0d?U0?E1?E2?E0

题3-2图

（4）电容器极板上的总电荷保持不变。充入介质以后，极板上的电荷分布发生变化，有介质的部份极板上的电荷密度增大。无介质部份电荷密度减小，结果电容器极板间的电压降低。设电容器极板右半部的电荷密度为?1，左半部的电荷密度?2。充电介质以前电荷密度为?0。因为极板上的总电荷不变，

1S??1??2??S?02 （1） ?1??2?2?0?E1?E2?而E1?U,d??1 E2?2

?0???1??r?2 （2）

由（1），（2）式解得

?2?2?02??,?1??r?2?r0 ?r?1?r?12E0EE2 1?2? ?r?1E0E0?r?1?E1?E2?（5）由（1），（2）的结果可以算出图3-2a中的电容等于两个电容器C1与C2串联的总电容

C1?2?rC0C2?2C0C?C1C22?r?C0C1?C2?r?1

C0为充入电介质以前电容器的电容。

?、C2?并联后的总电容。由（3），（4）的结果都可以算出图3-2（b）中的电容等于两个电容器C1

1Co2 1???rc0C22C1????C2??总电容C?C11??r?1?C0。 23-3 平行板电容器两板上自由电荷密度分别为??e0、??e0。今在其中放一半径为r、高度

为h的园柱形介质（介电常数为?），其轴与板面垂直。术在下列两种情况下园柱介质中点的场强E??和电位移矢量D。

（1）细长园柱，h＞＞r； （2）扁平园柱，h＜＜r。

?答：（1）电介质柱放入电容器中后，电场使电介质极化，由于E0的方向与介质柱的轴线方向平

行，只有介质柱的上下底面的出现束缚电荷。因为h＞＞r，介质柱的上下底面很小，而束缚电荷

??QP??eP?S很小，而且离介质柱的中点较远，所以QP所产生的电场E?与外加电场E0相比很小，

可以略而不计，所以，介质柱中点的场强

??E0?E?E0?E0D??E??r?0??r?e0?e0?0

?e0?0由电场强度的切向边值关系也可以得出以上的结果。在介质柱的表面

?E1t?E2t,E1t、为介质柱面外的电场沿轴线方向的分量，E2t为介质柱面以内电场强度沿轴线

方向的分量。

?E1?E1t?E0?E2?E2t?E0??e0

?0（2）在这种情况下，介质柱上下底的束缚电荷不能忽略。可以把这园柱的上下底面看作无穷大的两个平面，束缚电荷在这两个面之间所产生的电场

E??p?0?1?0?0??r?1?E，E为介质中的电场强度，而介质中点的电场强度又等于

E?E0?E??E0???r?1?E?E0??rEE?E0

?r??e0?介质中的电位移矢量

D??r?0E??e0。

?由D矢量的法向分量的边值关系亦可得出以上关系，

???D1n?D2n，D2n与D1n是柱底面内外的D矢量沿轴线方向上的分量。由于D与轴线平行，

D1n?D1D2n?D2

D2?D1??e0

E2?D2???e0。 ?3-4 在均匀极化的电介质中挖去一半径为r高度为h的园柱形空穴，其轴线平行于极化强度矢

?????ED量P。求下列两种情况下空穴中点A处的场强A和电位移矢量A与介质中E、D的关系。

（1）细长空穴，h＞＞r图(a)

（2）扁平空穴，h＜＜r图(b)

答：（1）与上题材分析相同，束缚电荷的场可以忽略。E?A?0

题3-4图

?p??0??r?1?EEA?E?P?????EA?E?E?E?0??r?1?P?r?1，

DA??0EA?D??r?0E??rp??rDA?r?1（2）空腔上下底的束缚电荷在中点A产生的场可视为无限大均匀带电平面的场，由高斯定理及D??E可得

DA?D??r?0E,而E?P?0??r?1?DA

?EA??0?p?0??r?1???rE3-5 正电荷受两种不同的介质包围着，图3-5中的力线是E线还是D线？通过两个球面的电位移矢量的通量是否相同？

答：电场的高斯定律为

??

???D?ds?q0s??q ?E?ds??0q0为高斯面所包围的自由电荷，q为高斯面包围的总电荷，q=q0+q?，q?为束缚电荷。 由高斯定律可以看出，D线的源为自由电荷，E线的源为总电荷。由于介质极化，介质的表面

???有束缚电荷，而图3-5所示的力线连续地通过介质表面，其源为自由电荷q0，所以为D线。

如果把高斯定律应用在介质分界面上，则可以得出介质分界面上的边值关系

D1n?D2n（介面上无自由电荷）

及E2n?E1n??，?为界面上的面电荷密度。 ?c??由以上关系进一步看出D线在介质分界面连续，E线在介质分界面不连续，故图中所示的力线?是D线。

由于通过分界面D线连续，通过两个球面的电位移线的通量相同。

3-6 把带电的金属球浸入煤油中，此球的电荷是否改变？

答：煤油是电介质，带电导体浸入煤油中，导体上的自由电荷保持不变，导体与煤油的接触面出现束缚电荷，其符号与导体上自由电荷的符号相反。

3-7 在电场中的电介质极化后，先把它分截开为两半，然后撤去电场，问这两个半截的电介质是否带电？

答：两半截电介质都不带电。因为在极化过程中出现的束缚电荷是由于分子电偶极子转向或分子正负电荷中心作微小位移的结果。分截为两半时截面上又会出现束缚电荷，但每一块电介质净电荷为零，当电场撤消后，有极分子重新处于无规则分布，无极分子的正负电荷中心重合，束缚电荷消失。

3-8 有两块一样的平板，上下水平放置，相距很近，带上等量的异号电荷，下面的平板浮在液态电介质的表面上。问两板所受到的静电力是否相同？如何解释？

答：如果不考虑边缘效应，极板A和极板B所受的静电力FA??11qAEA,FB?qBEB，qA为22上面极板所带的电荷，qB为下面极板所带的电荷，电容器内，电场的分布均匀，如图3-8（a）所示，因为qA=-qB，EA?EB，所以两板所受的力大小相等。

如果考虑边缘效应，电场的分布如3-8（b）图所示。B板的内表面上的电荷所受的静电力与A

板的内表面上的电荷所受的静电力的大小相等。A、B两板的外表面所带的自由电荷的大小相等，但由于介质的极化，B板外表面的场强较小，所以A板外表面电荷所受的力较B板外表面电荷受的力大，极板A和B受的静电力为内外表面电荷所受的力的矢量和，由于电荷分布的对称性，二极板所受的静电力垂直于板面，而且内外表面所受的静电力方向相反，所以，B板所受的静电力较大。

???3-9 以E0表示真空中的电场强度，E表示介质中的电场强度，D表示电位移矢量，采用MKSA

单位制。

??（1）在什么情况下D??0E??0E0 ????（2）在什么情况下D??E?且D??0E0 ????（3）在什么情况下D??E?且D??0E0 ???答：（1）由D??0E?P，在真空中

?P?0 ???

D??0E??0E0 （2）各向同性介质均匀充满电场或介质表面是等位面时，

??E0 E?

?r???E0 D??E??r?0??0E0

?r?? （3）各向异性电介质，P与E的方向一般说来不相同，极化率为张量，所以

??D??E,且 ??

D??0E0铁电物质，?随E而变化，?不再是常量，E和P之间无单值关系，所以，

?????D??E,且 ??

D??0E03-10 能否让电介质带上自由电荷？能否让导体带上束缚电荷？

答：物体带自由电荷，即是物体或物体的一部分得到或失去电子，对于电介质来说，在一定的条件下可以带上自由电荷，如摩擦起电便是大家所熟知的例子。

物体带束缚电荷是被束缚着的、不能作宏观移动的电偶极子在电场的作用下有序化分布或正负电荷中心发生微小位移，使电介质内部或表面有正负电荷的堆积。所以出现束缚电荷的条件是物质内部存在电偶极子和电场，对于静电场中的导体来说，其内部的电场处处零，所以不能出束缚电荷。

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