计量经济学辅导讲稿

《计量经济学》课程课外辅导讲稿

注：本辅导主要针对教学内容中的重点及难点部分进行辅导，不是以针对考试内容为主的考前辅导。（关键在对知识的理解→掌握→应用）

本课程的主要内容有：

第2章：线性回归的基本思想：双变量模型

古典线性回归模型及其假设检验 第3章：双变量模型：假设检验 第4章：多元回归：估计与假设检验 第5章：回归方程的函数形式

回归模型的其他形式及模型选择 第6章：虚拟变量回归模型

第7章：模型选择:标准与检验（民族班可略） 第8章：多重共线性

实践中的回归模型（基本假设不满足的情形） 第9章：异方差 第10章：自相关

第一次辅导课内容：

第2章：线性回归的基本思想：双变量模型

古典线性回归模型及其假设检验 第3章：双变量模型：假设检验 第4章：多元回归：估计与假设检验

一、古典线性回归模型的基本形式（注意随机误差项的构成）

Yi?B1?B2Xi?uiE(Y|Xi)?B1?B2Xi?i ?b1?b2XiYYi?b1?b2Xi?ei1

?i?eiYi?YYi?E(Y|Xi)?ui二、古典线性回归模型的基本假定

假定1 回归模型是参数线性的，并且是正确设定的。

假定2 解释变量与随机扰动项u不相关（解释变量是确定性变量时自然成立）；

假定3 零均值假定： E(u)=0 假定4 同方差假定： Var(ui)=常数 假定5 无自相关假定：Cov(u,u)=0 i≠j

假定6 假定随机项误差u服从均值为零,(同)方差为常数的正态分布：ui~N(0,?2) 假定7 解释变量之间不存在线性相关关系；

注意：线性回归模型中线性的含义：一般的线性指的是解释变量线性和参数线性。我们这里的线性强调的是参数线性。 三、古典线性回归模型的参数估计 1.参数估计的方法：普通最小二乘法(OLS)

2.最小二乘原理：就是选择合适参数使得全部观察值的残差平方和(RSS)最小，数学形式为：

2?min{?e}?min{?(Yi?Yi)}2i ?min{??Yi?b1?b2Xi?}2

利用极值原理可得到正规方程组，求解可得：

b1?Y?b2Xxy??X?X??Y?Y??b?? ?x??X?X?XY?nXY? ??X?nXii2iii2i2ii2i23.OLS估计量的性质：

高斯－马尔柯夫定理：若满足古典线性回归模型的基本假定，则在所有线性无

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偏估计量中，OLS估计量具有最小方差性，即：OLS估计量是最优线性无偏估计量（BLUE）。 4.OLS估计量的分布：

因为随机扰动项的正态分布假定，所以Y服从正态分布，而OLS估计量b1和b2又是正态变量Y的线性函数，所以b1和b2也服从正态分布。即有：

22b1~N(B1,?b);b~N(B,?22b2) 15.回归标准差的估计

??2?回归方差：?e2tn?k??Yt?Y?tn?k??2

其中k为解释变量（包括截距）的个数（或者说是待估参数的个数）。 四、古典线性回归模型的检验 1. 模型检验主要可以分为四类检验：

⑴ 经济意义检验：根据经济理论对模型参数的符号、大小、关系进行检验；

⑵ 统计检验：由数理统计理论决定，主要包括拟合优度检验（R2检验）、变量显著性检验（t检验）、总体显著性检验（F检验）等；

⑶ 计量经济学检验：由计量经济学理论决定，主要包括异方差性检验、序列相关性检验、共线性检验等；

⑷ 模型预测检验：由模型的应用要求决定，包括稳定性检验：扩大样本重新估计、预测性能检验：对样本外一点进行实际预测。

2. 参数的假设检验（变量显著性检验、t检验） （1）零假设和备择假设： 常用的零假设和备择假设：

双边检验： H0:B2?0H1:B2?0 单边检验：或更一般的情形：

**双边检验： H0:B2?B2H1:B2?B2 单边检验：

**H0:B2＝B2,H1:B2?B2*2*2H0:B2＝0,H1:B2?0H0:B2＝0,H1:B2?0

H0:B2＝B,H1:B2?B

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（2）检验统计量及其分布

*b2?B2t?～tn?k

se?b2?其中k为包括截矩项在内的解释变量的个数。 （3）检验方法

a.置信区间法：主要适用于双边检验，B2的置信区间为：

b2?t?/2,dfse?b2??B2?b2?t?/2,dfse?b2?

如果零假设值落入该区域（接受域），则接受零假设，否则拒绝零假设。 b.显著性检验法：

方法一：计算t值，根据给定显著性水平查t分布表得临界值（注意双边检验和单边检验的临界值不同），确定接受域和拒绝域，若计算得到的t值落入接受域，则接受零假设。

方法二：计算t值，查t分布表得t值对应的P值（注意双边检验和单边检验的P值不同），若P值较小，比如小于0.05，则在5％的显著性水平下接受零假设，否则拒绝零假设。

例：对下面模型输出结果进行参数的显著性检验（仅对斜率系数，α＝5％）

?i?7.6182?0.08145XiY （n＝10）

se??3.0532?(0.0112)解：如果是双边假设检验，置信区间法的检验过程如下：

H0:B2?0H1:B2?0

t?b2?0～tn?2 se?b2?置信区间为：b2?t?/2,dfse?b2??B2?b2?t?/2,dfse?b2?

0.0814?2.306?0.0112??B2?0.0814?2.306?0.0112?即为：，

0.0556?B2?0.1072

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因为该接受域不包括0，所以拒绝零假设。 若是用显著性检验法，过程如下：

H0:B2?0H1:B2?0

b2?0t?～tn?2

se?b2?计算得到的t值为：t?0.0814?0＝7.2624

0.0112自由度为10-2＝8，在5%的显著性水平下，双边检验的临界值为±2.306。 因为计算得到的t值大于2.306，落入拒绝域，所以拒绝零假设。 3. 拟合优度检验

考察估计得到的样本回归直线对真实Y值拟合的优劣程度，也即多个解释变量一起对应变量Y变动的解释程度。

2?i2??ei2 （1）.平方和分解式：?yi??y??Y?Y????Y??Y????Y?Y??i22iii2

即：总离差平方和＝回归平方和+残差平方和

TSS?ESS?RSS

对应自由度分别为： n-1 ＝(k-1) + (n-k)

ESS（2）. 判定系数及其性质：R?

TSS2（3）. 校正的判定系数：

R2?1?1?R2?n?1?n ?ka.若k>1，则R2?R2。

b.虽然非校正的判定系数R2总为正，但校正的判定系数R2可能为负。 4. 联合假设的检验（方程的显著性检验、F检验）

（1）联合假设： H0：B2＝B3＝0 等同于零假设H0：R2=0

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这个假设表明两个解释变量一起对应变量Y无影响，这是对估计的总体回归直线的显著性检验。 （2）检验统计量及其分布

ESSd.f.ESSk－1F?＝~F(k?1,n?k)

RSSd.f.RSSn?k如果分子比分母大，也即Y被回归解释的部分比未被回归解释的部分大，F值越大，说明解释变量对应变量Y的变动的解释的比例逐渐增大，就越有理由拒绝零假设。 （3）检验过程

a.联合假设： H0：B2＝B3＝0 b.计算F统计量的值

c.根据给定显著性水平查表得临界值

d.进行判断。如果计算得到的F值大于临界值，拒绝零假设。或者：如果计算得到的F值对应的P值较小，则拒绝零假设。 （4）方差分析表

方差来源平方和自由度?d.f.?MSS?来自回归来自残差总离差ESSRSSTSSk?1n?kn?1SSd?fF值ESS/k?1RSS/n?kP值pESS/k?1RSS/n?k

（5）F与R2之间的重要关系：

R2(k?1) F?2(1?R)(n?k)当R2＝0，F＝0，当R2＝1，F值为无穷大。

5.正态性检验（正态直方图、正态概率图、雅克—贝拉检验JB检验）

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五、古典线性回归模型的结果分析 1. 回归结果的表现形式 （1）常见表现形式：

???0.014?0.354X?0.0018X?0.657X?0.0059XYt2t3t4t5tse?(0.012)(0.2688)(0.0005)t?(?1.16)(?1.32)(3.39)p?(0.105)(0.1347)(0.000)(0.266)(0.0034)(2.47)(1.73)(0.001)(0.087)R2?0.689

se 对应参数的标准差，t 对应参数在零假设(真实值为0)下计算得到的 t 值，p 对应计算得到的 t值的P值(双尾)。 （2）软件回归结果：

Dependent Variable: YI Method: Least Squares Sample: 1 10 Included observations: 10 Variable C XI R-squared Adjusted R-squared S.E.of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 7.618182 0.081455 0.868297 0.851834 2.546834 51.89091 -22.4222 3.039473 t-Statistic 2.49585 7.262425 Prob. 0.0372 0.0001 29 6.616478 4.884436 4.944953 52.74282 0.000087 Std. Error 3.05234 0.011216 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) R2、调整的R2、回归标准差、残差平方和、对数似然函数值、DW统计量、应变量的均值、应变量的标准差、AIC值、SIC值、F统计量及对应P值。 2. 对回归模型的解释

对回归系数（或偏回归系数）的解释：B2度量了在其他解释变量保持不变的情况下，X2每变动一单位，Y的均值的改变量。 3. 对回归模型的分析

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（1）回归模型中参数的符号（大小、关系）与经济理论是否相符 （2）拟合优度检验结果及其分析 （3）参数显著性检验的结果及其分析 （4）模型总体显著性检验的结果及其分析 （5）模型的经济意义

（6）模型的其他检验结果及其分析（正态性检验、多重共线性检验、异方差检验、自相关检验等） 六、古典线性回归模型的预测

1. 预测对象：给定自变量X的值，可以利用已经得到的样本回归方程对相应应变量Y的均值（E(Y|X)）进行点预测和区间预测。 2. 点预测：

??2.1?0.56X 样本回归方程：Yi2i已知X2=100，对相应应变量的均值进行点预测：

??2.1?0.56X＝2.1?0.56*100Y＝58.1 i2i3. 区间预测：

??t???Yi?/2,(n?2)?se(Yi)?E?Y|Xi??Yi?t?/2,(n?2)?se(Yi)

2????X?X12i?? 其中：Var(Yi)????2??xi??n?4. 在整个回归直线的置信区间中，当Xi?X时，置信区间的宽度最小。

第二次辅导课内容：

（关键在对知识的理解→掌握→应用）

第5章：回归方程的函数形式

回归模型的其他第6章：虚拟变量回归模型

形式及模型选择 第7章：模型选择:标准与检验

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一、回归方程的函数形式

1.双对数模型（不变弹性模型）

掌握（1）模型的形式； 2.半对数模型（对数－线性模型和线性－对数模型） （2）对模型的经济解释；3.倒数模型

（3）斜率及弹性的计算 4.多项式回归模型 5.零截矩模型

模型 名称 线性 模型 双对数模型 对数—线性 线性—对数 倒数 多项式回归 形式 经济解释(回归系数B2度量了?) 在其他解释变量保持不变的情况下，X每变动一单位，Y的均值的改变量。 Y对X的弹性，即X变动1％所引起Y变动的百分比。(B2%) 给定解释变量的绝对变化所引起的Y的比例变动或相对变动。(100*B2%) 解释变量每变动1%，相应应变量的绝对变化量(0.01* B2) dYXdY斜率 弹性. dXdXYB2 B2 XB2Y B2 X-B2B2 YB2 B2X B2 Y-B2 XY 备注 Yt?B1?B2Xt?ut lnYi?B1?B2lnXi?ui lnYt?B1?B2t?ut X 不变弹性模型 增长模型 YYt?B1?B2lnXt?ut 11?1Yi?B1?B2??X?i? ???ui?1 2X 1 Yi?B1?B2Xi?B3Xi2?B4Xi3 注意：要比较两个模型的r2，应变量的形式必须是相同的。

二、虚拟变量回归模型 1.虚拟变量的性质

（1）虚拟变量的引入规则是：模型中有截矩项时，如果一个定性的变量有m类，则要引入(m-1)个虚拟变量。否则就会陷入虚拟变量陷阱，就会出现完全多重共线性。 （2）虚拟变量的赋值是任意的。

（3）赋值为0的一类常称为基准类。基准类的选择也是根据研究的目的而定的。虚拟变量的系数的解释与基准类有关。

2.常见虚拟变量模型（模型中有一个虚拟变量的情形）：

E(Yi|Di?0)?B1 为两条不同截矩的平行于X轴的直线；B2：差别截矩 Yi?B1?B2Di?uiE(Yi|Di?1)?B1?B2 E(Yi|Xi,Di?0)?B1?B3Xi 为两条同斜率不同截矩的平行直线；B2：差别Yi?B1?B2Di?B3Xi?ui E(Yi|Xi,Di?1)?B1?B2?B3Xi 截矩

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Yi?B1?B2Di?B3Xi?B4DiXi?ui

E(Yi|Xi,Di?0)?B1?B3Xi E(Yi|Xi,Di?1)?B1?B2?（B3?B4)Xi 为两条不同截矩、不同斜率的直线，B2：差别截矩；B4：差别斜率；根据参数的显著性，有四种可能情

形：一致回归、平行回归、并发回归、相异回归。

注意（1）对模型的解释（2）参数显著性的判断和分析。

3.虚拟变量模型的推广

（1）定量变量不止一个的情形

（2）一个定性变量有多个分类的情形：若有m个分类，引入m－1个虚拟变量（有截矩项时）

（3）多个定性变量（k个）、每个定性变量有两个分类：引入k个虚拟变量 （4）更复杂的情形（多个定性变量、每个定性变量有多个分类）

（5）被解释变量是虚拟变量的情形：线性概率模型(LPM)——斜率系数B2可以解释为X单位变动引起的Y＝1的概率的变化。

注意：（1）在建立虚拟变量模型时应避免产生模型设定偏差；（2）对模型的解释；（3）参数显著性的判断和分析。

例： Yi=B1+B2Di+B3Xi+ui 其中，Y—食品支出 X—税后收入 D＝1（女性） 需要注意：（1）是否应将性别变量同时以乘法方式引入，即是否应考虑差别斜率问题。 （2）对模型的解释：男性平均食品支出为： E(Yi|Xi, Di＝0)=B1+B3Xi 女性平均食品支出为： E(Yi|Xi, Di＝1)=(B1+B2)+B3Xi

（3）该模型可以反映性别这一定性变量对食品支出的影响。如果差别截矩B2是统计显著的（需进行参数的显著性检验），则说明在同一收入水平下，男性的平均食品支出与女性的平均食品支出有显著差异。如果B2<0，同时是统计显著的，说明在同一收入水平下，男性的平均食品支出显著高于女性的平均食品支出。

三、模型选择：标准与检验

1. “好的”模型具有的性质：

（1）简约性（节省性） ---- 模型应尽可能的简单 （2）可识别性 ---- 每个参数只有一个估计值 （3）拟合优度高 ---- 拟合优度越大越好 （4）理论一致性 ---- 与理论相符合而非相背离 （5）预测能力好 ---- 理论预测能被实际经验所验证 2. 设定误差的类型：

（1）遗漏相关变量：“过低拟合”模型 （2）包括不相关变量：“过度拟合”模型

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（3）不正确的函数形式 （4）度量误差 3. 模型设定误差的后果：

（1）如果模型遗漏重要变量，则此模型所估系数通常有偏且不一致，t检验和F检验失效 （2）使用错误的函数形式，会有类似结果

（3）如何模型中包含非相关变量，估计的标准差会相对变大，也即参数估计值不很精确，从而导致置信区间变宽

（4）应变量中的度量误差将导致估计量的估计方差变大；解释变量中存在度量误差将导致OLS估计量有偏和不一致。 4. 模型设定误差的检验：

残差图形检验、MWD检验、RESET检验、借助于t检验、F检验和DW检验进行判断。 5. 模型的选择：

（1）依据经济理论进行选择；

（2）依据“好的”模型应具有的性质进行选择；

（3）依据模型的评价指标进行选择：R2和校正后的R2、估计的t值及其显著性、杜宾－瓦尔森d统计量、F统计量及其显著性、AIC或SC值等 （4）其他模型检验结果

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第三次辅导课内容： （关键在对知识的理解→掌握→应用）

实践中的回归分析 违背基本假定的情形

第8章 解释变量间无共线性假定的违背 多重共线性 1.性质：完全多重共线性、高度多重共线性 参数估计量不存在，无法估计出模型中的参数； 2.后果： OLS估计量仍然是最优线性无偏估计量，但方差变大（注意实际后果） （1）R2较高但t值显著的不多。 （2）解释变量两两高度相关。 3.检验方法： （3）检查偏相关系数。 （4）利用从属或辅助回归 （5）考察方差膨胀因子VIF （1）从模型中删掉不重要的解释变量；（2）获取额外的数据或新的样本； 4.补救措施： （3）重新考虑模型；（4）利用先验信息； （5）进行变量变换；（6）利用其他补救措施：如主成分分析等 5.其他：无需对多重共线性进行补救的情形 1.性质： （1）OLS估计量是线性无偏的但非有效；（2）误差方差有偏； 2.后果： （3）OLS估计量方差有偏；（4）t检验和F检验失效 （1）根据问题的性质；（2）残差的图形检验； 3.检验方法： （3）帕克检验 (Park test)；（4）Glejser 检验 (Glejser test) （5）White 检验；（6）异方差的其它检验方法 （1）加权最小二乘； 4.补救措施： （2）重新设定模型； （3）White 异方差校正 1.性质及产生原因：惯性、模型设定误差、蛛网现象、数据加工 （1）OLS估计量是线性无偏的但非有效；（2）误差方差可能低估了真实方差； （4）t检验、F检验和拟合优度检验失效 2.后果： （ 3）OLS估计量方差有偏；（5）预测的方差和标准差无效 （1）残差图检验； 3.检验方法：（ 2）杜宾－瓦尔森d检验（或称DW检验） （3）游程检验 广义差分法，注意ρ的估计：（1）一阶差分法； （2）从杜宾－瓦尔森d统计量中估计 4.补救措施： （3）从OLS残差中估计 12 （4）其他估计方法：如杜宾两步法等 第9章 同方差假定的违背：异方差性 Var(ui)??i第10章 无自相关假定的违背：自相关 E(uiuj)?0,i?j

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7uhg.html