南京工业大学概率论与数理统计试题(2004-2011全套)

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南京工业大学 概率统计（江浦）课程考试试题

(2005025A)

(2004/2005学年第二学期)

1.(4分)设P (A )=0.35， P (A ∪B )=0.80，那么(1)若A 与B 互不相容，则P (B )= ；(2)若A 与B 相互独立，则P (B )= 。

2. (3分)已知5.0)0(=Φ(其中)(x Φ是标准正态分布函数)，ξ~N (1，4)，且

2

1

}{=

≥a P ξ，则a = 。 3．(4分)设随机变量ξ的概率密度为?????<<=其他

,04

0,81

)(x x x f

对ξ独立观察3次，记事件“ξ≤2”出现的次数为η，则=ηE ，=ηD 。

4.(3分)若随机变量ξ在(0，5)上服从均匀分布，则方程4t 2+4ξt +ξ+2=0有实根的概率是 。

5.(4分) 设总体),(~2

σμN X ，X 是样本容量为n 的样本均值，则随机变量

∑=???

?

?

?-=n i i X X 12

σξ服从 分布，=ξD 。 二.选择(每题3分，计9分)

1．设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 （A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容 （C ）P (AB )=P (A )P (B ) （D ）P (B A -)=P (A )

2．设随机变量ξ与η均服从正态分布ξ~N (μ，42)，η~N (μ，52)，而

}5{},4{21+≥=-≤=μημξP p P p ，则( )。

(A )对任何实数μ，都有p 1=p 2 (B )对任何实数μ，都有p 1

p 2 3．对于任意两个随机变量ξ和η，若ηξξηE E E ?=)(，则（ ）。

(A )ηξξηD D D ?=)( (B )ηξηξD D D +=+)( (C )ξ和η独立 (D )ξ和η不独立

第 2 页 共 36 页 三(12分)、在电源电压不超过200伏，在200～240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。假设电源电压ξ服从正态分布N (200,

252)，试求(已知()788.08.0=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数)：

（1）该电子元件损坏的概率α；

（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240伏的概率β。

四(15分)、设随机变量(ξ，η)的联合概率密度 ???<<=-其它,

00,),(y x xe y x f y (1)求ξ、η的边际概率密度并考察ξ与η独立性。

(2)求ηξζ+=的概率密度函数；(3)求ξηρ。

五(8分)、已知随机变量ξ只取－1，0，1，2四个值，相应的概率依次为c 21，c 43，c 85，c

167，确定常数c ，并计算}0|1{≠<ξξP 和ξE 。 六（8分）某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线相互独立的，设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话，问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？

(已知()90.0)282.1(,8413.0)0.1(,788.08.0=Φ=Φ=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布

函数)

七. (10分) 设总体X ～N (2,σμ)，其中μ已知，而2

σ未知，(x 1，x 2，…，x n )为来自总体的样本值。试求2σ的矩估计量和极大似然估计量。

八(8分)、某门课程考试成绩),(~2σμN X 。从其中任意抽出10份试卷的成绩为：

74，95，81，43，62，52，86，78，74，67

试求该课程平均成绩μ的置信区间。取置信度为95.01=-α。

(已知2281.2)10(,2622.2)9(,8125.1)10(,8331.1)9(025.0025.005.005.0====t t t t ) 九(12分)、设某厂生产的灯泡寿命(单位：h )X 服从正态分布),(2σμN ，μ0=1000为μ 的标准值，2σ为未知参数，随机抽取其中16只，测得样本均值x =946，样本方差s 2=1202。 试在显著性水平α=0.05下，考察下列问题：

(1)这批灯泡的寿命与1000是否有显著差异(即检验H 0：μ =1000，H 1：μ ≠1000)？

(2)这批灯泡是否合格(即检验0

H '：μ ≥1000，1H '：μ <1000)？

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南京工业大学 概率统计（江浦）课程考试试题解答

(2005025A)

一.填空（18分）

1、0.45； ……………………………2分

9/13。 ……………………………4分

2. 1。 ……………………………3分

3．189/64； ……………………………2分

189/4096。 ……………………………4分

4.0.6。 ……………………………3分

5.)1(2

-n χ； ……………………………2分 )1(2-n 。 ……………………………4分

二.选择（9分）

1．(C )。 ……………………………3分

2．(A )。 ……………………………3分

3．(D )。 ……………………………3分

三（12分）、

解：引进事件：A 1={电压不超过200V }，A 2={电压在200V ～240V }，A 3={电压超过240V }，B ={电子元件损坏}。 ……………………………1分

由于ξ~N (220, 252)，因此

?

?????-≤-=≤=2522020025220}200{)(1ξξP P A P

第 4 页 共 36 页 212.0)8.0(1)8.0(=Φ-=-Φ= …………………………3分

)25

220200()25220240(}240200{)(2-Φ--Φ=≤≤=ξP A P 576.0)8.0()8.0(=-Φ-Φ= ………………………5分

.212.0576.0212.01}240{)(3=--=>=ξP A P …………………………6分

由题设知 P (B |A 1)=0.1, P (B |A 2)=0.001, P (B |A 3)=0.2。

（1）由全概率公式

)|()()(31

i i i A B P A P B P ∑===α

0642.02.0212.0001.0576.01.0212.0=?+?+?= …………………9分

（2）由贝叶斯公式

009.00642

.0001.0576.0)()|()()|(222≈?==

=B P A B P A P B A P β ………………………12分 四（15分）、解： （1）??

???≤>===-∞+-∞+∞-??.0,00,),()(x x xe dy xe dy y x f x f x x y ξ ??

???≤>===--∞+∞-??.0,00,21),()(20y y e y dx xe dx y x f y f y y y η 由于)()(),(y f x f y x f ηξ?≠，故ξ与η不独立。 ………4分

(2)dx x z x f z f ),()(-=?+∞

∞-ζ

显然仅当x z x -<<0，即z x <<20时，上述积分不等于零，故

??

???≤>-+==-=----∞+∞-??.0,00,)12(),()(2/0)(z z e z e dx xe dx x z x f z f z z z x z ζ ………8分

（3）2)(0=?==??+∞-+∞∞-dx xe x dx x xf E x ξξ；

第 5 页 共 36 页 6)(0222=?==??+∞-+∞∞-dx xe x dx x f x E x ξξ；

2)(22=-=ξξξE E D 。 …………………10分

同理，3=ηE ，=ηD 3；

8),()(0=?==???

?+∞+∞-+∞∞-+∞∞-x y dy xe xy dx dxdy y x xyf E ξη。 故 2328)(),(=?-=?-=ηξξηηξE E E Cov 。 …………………14分 于是，3

2322),(=?=?=

ηξηξρξηD D Cov …………………15分 五（8分）、由于

c 21+c 43+c 85+c

167=1，因此1637=c 。 ………………………2分 32.0}

0{}1{}0{}0,1{}0|1{=≠-==≠≠<=

≠<ξξξξξξξP P P P P ……………………5分 37113716167285143021)1(=???

? ???+?+?+?-=ξE ………………………8分

六（8分）、以ξ表示同时使用外线的分机数，则ξ~B (200，0.05)。 …………………1分

设总机需设x 根外线，则有{

}%90≥≤x P ξ， 即 90.095.005.020005.020095.005.020005.0200≥?

????

????-≤???-x P ξ ……………………3分

由中心极限定理，有 90.05.910≥???

? ??-Φx , 由题设所给数据得 282.15.910≥-x ………………………6分

解得 95.13≥x

故总机需要14根外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。 ………………………8分

第 6 页 共 36 页 七（10分）、解 矩估计

由于 222)(EX EX DX -==σ，令 ∑===n i i X n A EX 1

222

1 即22)(A EX DX =+， 又已知 μ=EX 。故 2σ的矩估计量为 ∑∑==∧-=-=-=n i i n i i X n X n A 12122222)(11μμμσ。 ………………………5分

极大似然估计

μ已知时，似然函数为：??????--?=∑=-n i i n

x L 122222)(21exp )

2()(μσπσσ， 因此 ∑=---=n i i x n L 12222)(21)2ln(2)(ln μσπσσ，

令 0)(2112)(ln 12422

2=-+-=∑=n i i x n d L d μσσσσ。 解得2σ的极大似然估计为：∑=∧-=n

i i X n 1

22)(1μσ。 ………………………10分

八（8分）、解：由题设得到

x =2.71)679574(101=+++ ，51.245)(912101

2=-=∑=i i x x s 。 ………………3分

又由置信度为1-α=1-0.05=0.95得临界值2622.2)9(025.0=t 。 ………………5分

故置信区间为

]41.82,99.59[]10

51.2452622.22.71,1051.2452622.22.71[=+-。 ……………8分

九（12分）、解：(1)待验假设H 0：μ =1000，H 1：μ ≠1000 由于题设方差2σ未知，故检验用统计量为 )1(~/20--=

n t n S X T μ ……………2分

由α =0.0513.2)15(025.02/==?t t α 又由946=x 、s 2=1202，可算得统计量观测值t 为

8.116/1201000946/220-=-=-=

n s x t μ ……………4分

第 7 页 共 36 页 因13.2)15(8.1||025.0=<=t t ，故考虑接受H 0，从而认为这批灯泡的平均寿命与标准值的差异不显著。 ……………6分

(2)待验假设为0

H '：μ ≥1000，1H '：μ <1000。 ……………8分

因为2σ未知，故仍选用统计量 )1(~/20

--=n t n S X T μ。 (10)

分

由α =0.0575.1)15()1(05.0==-?t n t α，而统计量观测值亦同(1)，即8.1-=t ， 因75.1)15(8.105.0-=-<-=t t ，故拒绝H 0，即可以认为这批灯泡不合格。 ……………12分

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南京工业大学概率统计课程考试试题（A ）（江浦）

（2005/2006学年第二学期）

所在院（系） 班 级 学号 姓名

1. 设B A ,为两个随机事件，已知31)(,21)(==B P A P ，32)(=?B A P ,则: _______;)(＝AB P _______)(＝B A P -。

2. 设随机变量ξ的概率密度为??

?<<=.,0,10,2)(其它x x x f ， 以η表示对ξ的三次独立重复观察中事件{ξ≤2

1}出现的次数，则_______)2(=＝ηP 。 3. 设连续型随机变量ξ与η相互独立,均服从同一分布，则_______)(=≤ηξP 。

4. 设随机变量ξ服从)2

1,8(B （二项分布）, η服从区间[1,7]上的均匀分布，且ξ与η独立，则)432(--ηξE ＝________；)432(--ηξD =_______。

5. 设总体X 服从),(2σμN ，其中μ未知，2

σ已知，(X 1，X 2，X 3)是样本。作样本函数如下：①321313234X X X +-；②∑=-n i i X n 1

2)(1μ；③321323231X X X -+； ④

3213

13232X X X -+。这些函数中是统计量的有 ；是μ的无偏估计量的有 ；最有效的是 。 二、选择题（每题3分，计9分）：

1. 设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P , ）

（A ）A 和B 两事件互不相容(互斥) （B ）AB 是不可能事件 （C ）AB 未必是不可能事件 （D ）0)(=A P 或0)(=B P

第 9 页 共 36 页

2. 设相互独立的随机变量ξ与η分别服从正态分布)1,1()1,0(N N

和 ）

（A ）{}210=≤+ηξP （B ）{}2

11=≤+ηξP （C ）{}210=≤-ηξP （D ）{}2

11=≤-ηξP 3. 在假设检验中，H 0为原假设，备择假设H 1，则称( )为犯第一类错误。

(A ) H 0为真，接受H 0 (B ) H 0为假，拒绝H 0

(C ) H 0为真，拒绝H 0 (D ) H 0为假，接受H 0

三.（10分）一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占总产量的25%、35%、40%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%、4%、2%。

（1）从全厂产品中任意抽出一个螺钉，试问它是次品的概率是多少？

（2）从全厂产品中如果抽出的一个恰好是次品，试问这个次品是由甲车间生产的概率是多少？

四.（10分）设连续型随机变量ξ的分布函数为：1

100,1,0)(2≥<≤

x F 试求：(1)系数A ；(2)ξ落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3)ξ的分布密度。

五. (9分)某车间有400台同型号的机器，每台的电功率为Q （瓦），设每台机器开动时间为总工作时间的

4

3，且每台机器的开与停是独立的，为了以99.0的概率保证有足够的电力，问本车间至少要供应多大的电功率？（已知9901.033.2）＝（Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数）

六. (12分)设二维随机变量(ξ，η)有联合概率密度： ???>≤≤=-other

y x e y x f y ,00

,10 ,),(

(1) 求ξ、η的边际概率密度并考察ξ与η的独立性；

(2) 求ηξζ＋＝的概率密度。 七.（10分）设总体X 的概率密度为=)(x f ?????≥-.,

0,0,1其它x e x θθ

其中0>θ是未知参数，21,X X ，…，n X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本。试分别求θ的矩估计量和极大似然估计量。

八.（10分）已知总体),

(~2σμN X 。试分别在下列条件下求指定参数的置信区间：

(1)2σ未知，n =21，2.13=x ，s 2=5，α=0.05。求μ的置信区间。

(2)μ未知，n =12，s 2=1.356，α=0.02。求2σ的置信区间。

(已知086.2)20(025.0=t ，0796.2)21(025.0=t ，725.24)11(201.0=χ，

第 10 页 共 36 页 053.3)11(299.0=χ，217.26)12(201.0=χ，571.3)12(299.0=χ)

九.（12分）为了了解某种添加剂对预制板的承载力有无提高作用。现用原方法（无

添加剂）及新方法（有添加剂）各浇制10块预制板， 记 X ：无添加剂时预制板的承

载力Y ：有添加剂时预制板的承载力；测得数据如下（单位：kg/cm 3

）

225.2,325.3,43.79,23.762221===s s y x ＝

假定两种方法所得的预制板的承载力X 、Y 依次服从),(211σμN 及),(222σμN ，取显著

性水平α=0.05。

(1)检验假设22210:σσ=H ,22211:σσ≠H ； (2)若(1)0H 成立，再检验210

:μμ≥'H ，211:μμ<'H 。 (,03.4)9,9(025.0=F ,248.0)9,9(975.0=F 101.2)18(,734.1)18(025.005.0==t t )

南京工业大学概率统计课程考试试题（A ）（江浦）

试题标准答案

2005 --2006 学年第 2 学期 使用班级 江浦04级

一、填空题（每空2分，计18分）

1、1/6 1/3

2、9/64

3、1/2

4、-8 35

5、(1)(3)(4) (1)(4) (4)

二、选择题（每题3分，计9分）

1、C

2、B

3、C

三、

解：B : 从全厂产品中任意抽出一个螺钉是次品

321,,A A A 分别表示抽出的一个螺钉是由甲、乙、丙车间生产的 ………2分

则0345.0%2%40%4%35%5%25B)P(A P(B)3

1i i

=?+?+?==∑= ………6分 =

)(1B A P 362.00345

.0%5%25)()(1=?=B P B A P ………10分 四、 解：(1)由F (x )的连续性，有)1()01(F A F ==-，A =1； ………3分

第 11 页 共 36 页 (2)P {0.3<ξ<0.7}= F (0.7)－F (0.3) =0.72－0.32=0.4； ………7分

(3)?

??<<='=. ,010 ,2)()(其它x x x F x f ………10分

五、

解：以ξ表示同时使用的机器数，则ξ~B (400，3/4)， ………2分 设本车间至少要供应x Q （瓦）的电功率，则有{}%99≥≤x P ξ，或99.04/14/34004/34004

/14/34004/3400≥?????????-≤???-x P ξ。 ………6分 由中心极限定理知，99.075300≥???

? ??-Φx ， 查表得，33.275300≥-x ，解得18.320≥x 。

………9分 即本车间至少要供应321 Q （瓦）的电功率才能以不低于99%的概率保证有足够的电力。

六、

解：（1）关于ξ的边际概率密度为

???≤≤==?∞+∞-其他,

010,1),()(x dy y x f x f ξ ………2分 关于η的边际概率密度为

???≤>==-∞

+∞-?0

,00,),()(y y e dx y x f y f y η ………4分 显然有 )()(),(y f x f y x f ηξ＝ ，故ξ与η相互独立。 ………6分 （2）???????>≤<≤==≤+=??????----≤+100

001,10,0,0),(}{)(x z y z x z y z y x z dy e dx z dy e dx z dxdy y x f z P z F ηξζ 易得

??

???≤>-≤<-=--0,01),1(10,1)(z z e e z e z f z z ζ ………12分

第 12 页 共 36 页

七、解：

总体X 的数学期望EX =?∞∞-dx x xf )(=dx e x x ?∞-01θθ

=θ。 令X ＝EX ，得未知参数θ的矩估计量为 X =^

θ。 ………5分 设x 1，x 2，…，x n 是X 1，X 2，…，X n 相应于的样本值，则似然函数为

??

???>∑==-.,0;0,)1(11其他i x n x e L n

i i θθ ………8分 ,1ln ln 1∑=--=n i i x n L θθ,1ln 1

2∑=+-=n

i i x n d L d θθθ 令 0ln =θd L d ，解得θ的极大似然估计值为x x n n

i i ==∑=1^1θ， 从而得θ的极大似然估计量为X =^θ。 ………10分

即θ的矩估计量和极大似然估计量均为X

八、解：

(1)在2σ未知时，μ的置信区间为))1((2/-±n t n

s

x α。由于2.13=x ，s =5，n =21，0860.2)20(025.0=t 。因此，μ的以95%为置信度的置信区间为 02.12.130860.2215

2.13±=?±。

即μ的置信度为95%的置信区间为(12.18，14.22)。 ………5分

(2)在μ未知时，2

σ的置信度为1–α的置信区间为))

1()1(,)1()1((22/12

22/2-----n s n n s n ααχχ。 又，356.12=s ，725.24)11(201.0=χ，053.3)11

(299.0=χ，。所以，2σ的置信区间为)053.3356.111,725.24356.111(??，即(0.603,4.86) ………10分

九、解： 因为)1,1(~212221--=n n F S S F 由样本观察值计算得49.1225

.2325.32221===s s f 因为03.449.1248.0<<。故应接受0H ，即认为两种方法的方差无显著差异，可认

第 13 页 共 36 页 为相等。即

22

21σσ= ………5分 其次，在2221σσ=的前提下，检验假设210

:μμ≥'H ，211:μμ<'H 。 因为)2(~112121-++-=n n t n n S Y

X T ω 由样本观察值计算得775.2=ωs ， 295.41121-=+-=n n s y

x t ω

因为－4.295<-1.734,所以应拒绝0

H '，即认为加进添加剂生产的预制板承载力有明显提高

………12分

南京工业大学概率统计课程考试试题（A 、闭）（江浦）

（2007/2008学年第二学期）

1.假设P (A )=0.4， P (A ∪B )=0.7，那么(1)若A 与B 互不相容，则P (B )= ______ ；

(2)若A 与B 相互独立，则P (B )= ____ 。

2.将英文字母C,C,E,E,I,N,S 随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为____________。

3.设随机变量X 的概率密度为442e 1

)(-+-=x x x f π，则=2EX 。

4.设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从参数为0.6的0-1分布，则{}Y X p =＝______。

5.某人有外观几乎相同的n 把钥匙，只有一把能打开门，随机地取出一把开门，记X 为直到把门打开时的开门次数，则平均开门次数为__________。

6.设随机变量X 服从)2

1,8(B （二项分布）, Y 服从参数为3的泊松分布，且X 与Y 相互独立，则)32(--Y X E ＝__________；)32(--Y X D =__________。

第 14 页 共 36 页 7.设总体X ~),(2σμN ， (X 1，X 2，…X n )是来自总体X 的样本，已知2111)

(∑-=+-?

n i i i X X c 是2σ的无偏估计量，则=c 。 二、选择题（每题3分，计9分）

1.当事件A 和B 同时发生时，必然导致事件C 发生，则下列结论正确的是( )。

（A ）P (C )≥ P (A )+ P (B )1－ （B ）P (C )≤P (A )+ P (B )1－

（C ）P (C )=P (A ?B ) （D ）P (C )= P (AB )

2.设X 是一随机变量，C 为任意实数，E X 是X 的数学期望，则( )。

(A )E (X －C )2=E (X －E X )2 (B ) E (X －C )2≥E (X －E X )2

(C ) E (X －C )2

3.设总体X ~),(2σμN ， (X 1，X 2, X 3)是来自总体X 的样本,则下列估计总体X 的均值μ的估计量中最好的是( )。

（A ）

3219

59131X X X ++ （B ）

321414141X X X ++ （C ）321613121X X X ++ （D ）3211276141X X X ++ 三.（10分）已知一批产品中有90%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05, 一个次品被误判为合格品的概率为0.04,求：

(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；

(2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率。

四.（12分）设某顾客在银行窗口等待服务的时间X （单位：分钟）的密度函数为：

?????≤>=-.0,

0,0,31)(3x x e x f x 若若

某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开。(1)求该顾客未等到服务而离开窗口的概率；(2)若该顾客一个月内要去银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的

次数，试求{}0=Y P ；(3)设，＝2X Y 求Y 的密度函数。

五. (11分)设X 和Y 是两个独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为：?????≤>=-,

0,0,0,e 21)(2y y y f y Y (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)求关于x 的二次方程为x 2+2X x +Y =0有实根的概率。

（已知()5.0)0(;8413

.01=Φ=Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数） 六（8分）计算机在进行加法运算时每个加数取整数（最为接近于它的整数），设所有的取整误差是独立的，且它们都在)5.0,5.0(-上服从均匀分布。若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率为多少？

第 15 页 共 36 页 (已知()95.0)645.1(,90.034.1=Φ=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数)

七.（10分）设总体X 的分布律为{} ,2,1,)1(1=?-==-x p p x X P x 其中0>p 是未知参数，21,X X ，…，n X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本。试分别求p 的矩估计量和极大似然估计量。

八.（10分）已知总体),(~2σμN X 。试分别在下列条件下求指定参数的置信区间：

(1)2σ未知，n =21，2.13=x ，s 2=5，α=0.05。求μ的置信区间。

(2)μ未知，n =12，s 2

=1.356，α=0.02。求2σ的置信区间。 (已知086.2)20(025.0=t ，0796.2)21(025.0=t ，725.24)11

(201.0=χ，053.3)11(299.0=χ，217.26)12(201.0=χ，571

.3)12(299.0=χ) 九.（12分）在针织品漂白工艺中，为了了解温度对针织品的断裂强度的影响。现在70℃及80℃两种温度下分别做10次试验， 记 ：

X ：70℃时针织品的断裂强度Y ：80℃时针织品的断裂强度；测得试验数据如下

225.2,325.3,43.79,23.762221===s s y x ＝

假定两种温度下针织品的断裂强度X 、Y 依次服从),(211σμN 及),(222σμN ，取显著性

水平α=0.05。

(1)检验假设22

210:σσ=H ,22211:σσ≠H ； (2)若(1)0H 成立，再检验210

:μμ≥'H ，211:μμ<'H 。 (,03.4)9,9(025.0=F ,248.0)9,9(975.0=F 101.2)18(,734.1)18(025.005.0==t t )

南京工业大学概率统计课程考试试题（A ）（江浦）

试题标准答案

2007 --2008 学年第 2 学期 使用班级 江浦校区06级

一、填空题（每空2分，计18分）

1、0.3 0.5

2、！74

或0.000794 3、29 4、0.52 5、21＋n 6、-5 14 7、)

1(21-n 二、选择题（每题3分，计9分）

1、A

2、B

3、C

第 16 页 共 36 页 三、

解：

记:A 任意抽查一个产品，它被判为合格品；:B 任意抽查一个产品确实是合格品；则 (1)859.004.01.095.09.0)|()()|()()

()()(=?+?=+=+=B A P B P B A P B P B A P AB P A P

即任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为0.859. ………6分

(2)9953.0859

.095.09.0)()()|(=?==A P AB P A B P 即一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率为0.9953. ………10分

四、

解：(1) {}?∞+--==>9333

19e dx e P x

ξ. 即该顾客未等到服务而离开窗口的概率为3-e ………3分

(2)由题意知),5(~3

-e B η，

则{}53530305)1()1()(0----=-?==e e e C P η。 ………7分

(3){

}{}

?????≤>=≤=≤=?-0,0

0,31)(032y y dx e y P y P y F y x ξζζ 故ζ的密度函数为 ??

???≤>==-0,00,61)()(3y y e y y F dy d y f y

ζζ ………12分

五、解：(1)因ξ在(0，1)上服从均匀分布，故

???<<=其它0101)(x x f ξ，且 ?????≤>=-0

0021)(2y y e

y f y η。又ξ和η相互独立，所

第 17 页 共 36 页 以

?????><<==-其它

00,1021)()(),(2y x e

y f x f y x f y ηξ ………4分

(2)二次方程x 2+2ξx +η=0有实根，必须0442≥-ηξ，即所求概率积分区域为}),{(2x y y x G ≤=，设}0,10),{(><<=y x y x D ，为f (x ,y )的非零区域，因而所求概率为dxdy e dxdy y x f P D G y

G ?????-==

≥-2221),(}044{ηξ 1445.0)]0()1([2121211)1(211022

10

10220102222=Φ-Φ-=???

?????--=-+=+-==?????----πππdx e e dx e dy e dx x x x y x ………11分

六、解：设每个加数的误差为i X (1500,2,1 =i ),由题设知i X 独立且都服从)

5.0,5.0(-上的均匀分布，所以121,0=

=i i DX EX 。 ………3分 记X ＝∑=1500

0i i

X ，由独立同分布的中心极限定理知

{}{}{}1515115115≤≤--=≤-=>X P X P X P ()1802

.034.12212515125125

151=Φ-=??????≤≤--=X P 误差总和的绝对值超过15的概率为0.1802。 ………8分

七、解：总体X 的数学期望EX ={}p

p p x x X P x x x x 1)

1(111=?-?==?-∞=∞=∑∑ 由矩估计法知，X p =1，从而得未知参数p 的矩估计量为 X

p 1^=。 ………5分

设x 1，x 2，…，x n 是X 1，X 2，…，X n 相应于的样本值，则似然函数为

第 18 页 共 36 页 {}∑-?====-=∏n i i n x n n i i i p p x X

P p L 1)1()(1

),1ln()(ln )(ln 1

p n x p n p L n

i i --+=∑=令,0)(11)(ln 1∑==---+=n

i i n x p p n dp p L d 解得p 的极大似然估计值为x

p 1^=，从而p 的极大似然估计量也为X p 1^=。 ………10分

八、解：

(1)在2σ未知时，μ的置信区间为))1((2/-±n t n s

x α。由于2.13=x ，s =5，

n =21，0860.2)20(025.0=t 。因此，μ的以95%为置信度的置信区间为 02.12.130860.2215

2.13±=?±。

即μ的置信度为95%的置信区间为(12.18，14.22)。 ………5分

(2)在μ未知时，2

σ的置信度为1–α的置信区间为))

1()1(,)1()1((22/12

22/2-----n s n n s n ααχχ。 又，356.12=s ，725.24)11(201.0=χ，053.3)11

(299.0=χ，。所以，2σ的置信区间为)053.3356.111,725.24356.111(??，即(0.603,4.86) ………10分

九、解： 因为)1,1(~212221--=n n F S S F 由样本观察值计算得49.1225

.2325.32221===s s f 因为03.449.1248.0<<。故应接受0H ，即认为两种温度下的方差无显著差异，可认为相等。即

22

21σσ= ………5分 其次，在2221σσ=的前提下，检验假设210

:μμ≥'H ，211:μμ<'H 。 因为)2(~112121-++-=n n t n n S Y

X T ω

第 19 页 共 36 页 由样本观察值计算得775.2=ωs ， 295.41121-=+-=n n s y

x t ω

因为－4.295<-1.734,拒绝0H '，即认为80℃时针织品的断裂强度较70℃有明显提高。

………12分

南京工业大学概率论与数理统计

课程考试试题（A 、闭）

（2008/2009学年第二学期）

院（系） ____班 级 ___ 学号 __ 姓名 ___ 得分

一、填空题（每空2分，计20分）

1.设4.0)(=A P ,7.0)|(=A B P ,则(1)=)(AB P ______ (2)=-)(B A P ______。

2. 设随机变量)1,0(~N X ，)1,0(~N Y 且Y X ,独立，则~Y X + ，~22Y X + 。

3. 设随机变量)1,0(~N X ，则=||X E ，=2EX 。

4. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从概率6.0=p 的0-1分布，则{}Y X P =＝

______。

5. 设随机变量)1.0,10(~B X （二项分布）, )3(~πY （泊松分布3=λ），且X 与Y 相互独立，则)32(+-Y X E ＝__________；)32(+-Y X D =__________。

6.设总体),(~2σμN X ,),,,(21n X X X 是来自总体X 的样本，已知

∑=-?n

i i X X c 12)(是2σ的无偏估计量，则=c

二、选择题（每题2分，计10分）

1. 当事件A 和B 同时发生时，必然导致事件C 发生，则下列结论正确的是（ ）

（A ）1)()()(-+≥B P A P C P （B ）1)()()(-+≤B P A P C P

（C ）)()(B A P C P ?= （D ）)()(AB P C P =

2. 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为)10(<

(A ) 2)1(3p p - (B ) 2)1(6p p -

(C ) 22)1(3p p - (D ) 22)1(6p p -

3． 设Y X ,独立, Y X ,的概率密度分别为)(),(y f x f Y X , 则在y Y =的条件下,X 的条件概率密度)|(|y x f Y X 为（ ）

（A ）)()(y f x f Y X （B ）)(/)(y f x f Y X （C ） )(x f X （D ）)(y f Y

第 20 页 共 36 页 4. 下列结论正确的是（ ）。

（A ）若0)(=A P ，则Φ=A (不可能事件)（B ）若0=DX ，则C X =(常数)

（C ）若Y X ,不相关，则Y X ,独立 （D ）若Y X ,不相关，则DY DX Y X D +=+)(

5. 设)(~n t X ，则~2X （ ）。

（A ）)1,(n F

（B ）),1(n F （C ）)(2n χ （D ）)1(2χ

三.(10分)有两个口袋，甲袋中有2个白球，1个黑球；乙袋中有1个白球，2

个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，（1）求取到白球的概率；（2）若发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋的球，黑、白哪种颜色可能性大？

四.(8分)已知随机变量X 的概率密度为?????≤>+=0,

00,1)(2x x x C x f ，（1）求常数C 的值；

（2）设X Y ln =，求Y 的密度函数。

五.(10分)设独立的随机变量X 、Y 的概率密度分别?

??<<=otherwise x x f X ,010,1)(，???>=-otherwise

y e y f y Y ,00,)(，求Y X Z +=的概率密度。 六.(12分)随机变量),(Y X 的概率密度?

??≤≤≤≤=otherwise x y x y x f ,00,10,2),(，求XY Y X Cov DY DX EY EX ρ),,(,,,,。

七.(10分)某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95％的概率保证不致因供电不足而影响生产。(950.0)65.1(=Φ)

八.(10分)设总体),(~2σμN X ，其中μ已知，而2σ未知，（1）求2σ的极大似然

估计；（2）证明此估计是2σ的无偏估计。

第 21 页 共 36 页 九.(10分)为了了解某种添加剂对预制板的承载力有无提高作用。现用原方法（无添加剂）及新方法（有添加剂）各浇制了10块预制板，其承载数据如下：

原方法：78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3； 新方法：79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1

设两种方法所得的预制板的承载力均服从正态分布。试问新方法能否提高预制板的承

载力（取05.0=α）。(23.76=x ,43.79=y ,325.321=s ,225.222=s ,

03.4)9,9(025.0=F ,734.1)18(05.0=t )

概率统计课程考试试题（A 、闭）

2008-2009学年第2学期《概率论与数理统计》试卷A 答案）

一、填空题（每空2分，共20分）

1. 0.28, 0.12

2.)2,0(N ，)2(2χ

3.π2

，1

4.0.52

5.-2，12.9

6.1

1-n 二、单项选择题（每题2分，共10分）

1.A

2. C 3．C 4．D 5. B

三、解. 设=A “从甲袋中取出的是白球”，=B “从甲袋中取出的是黑球”，=C “从乙袋中取到白球”。

则B A ,构成一个完备事件组，则由全概率公式

12

743314232)|()()|()()(=?+?=+=B C P B P A C P A P C P ，……5’ 7

412/712/4)()|()()()()|(====C P A C P A P C P AC P C A P ， 7

312/712/3)()|()()()()|(====C P B C P B P C P BC P C B P ……10’ 所以白球可能性大。 四、解.（1）由规范性 12d 11d )(02

==+=??+∞+∞∞-πC x x C x x f ，则π2=C 。………2’

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