第九节 直线与圆锥曲线的位置关系 学生版

1 第九节 直线与圆锥曲线的位置关系

考点一 直线与圆锥曲线的位置关系

[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0)，且点P (0,2)在C 1上．

(1)求椭圆C 1的方程；

(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程．

1．若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4始终有公共点，则k 的取值范围是________．

2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22

＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．

考点二 与弦有关的问题

[典例] (2018·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53

，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；

(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍，求k 的值．

2 1．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2

－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( ) A ．±7 B ．±3或±413 C ．± 3 D ．±413

2．抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________． 考点三 圆锥曲线中的证明问题

[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．

(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；

(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .

1.设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为

510

. (1)求E 的离心率e ；

(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .

1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截得的弦长为45，则抛物线C

3 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2y

D ．x 2＝y 2．直线x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22

＝1交于点A ，B ，线段AB 中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值为( ) A ．± 2 B ．±2 C ．±1 D ．±3

3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24

＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1

D ．0 4．过点P (2,2)作直线与双曲线x 24

－y 2＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( )

A ．存在一条，且方程为x －4y ＋6＝0

B ．存在无数条

C ．存在两条，方程为x －4y ＋6＝0或x ＋4y －10＝0

D ．不存在

5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23

－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )

A.32

B ．3

C ．2 3

D ．4 6．若直线y ＝52

x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个不同的交点，则b 范围是________． 7．经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为π6

的直线交C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为94

，则抛物线的方程为________． 8．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2＋y 24

＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为12

的点P 的个数为________． 9．已知点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.

(1)求动点M 的轨迹方程；

(2)若过点N ????12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求

直线l 的方程．

10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ????3，12，左焦点为 F (－3，0)． (1)求椭圆E 的方程；

4 (2)A 是椭圆E 的右顶点，过点F 斜率为12

的直线交椭圆E 于M ，N 两点，求△AMN 的面积．

1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32

，短轴长为2.(1)求椭圆方程； (2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54

，求证：点(m ，k )在定圆上．

2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0,1)，离心率为32

，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径

的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝20351

，求直线l 的方程．

5 第十节 圆锥曲线中的最值、范围问题

考点一 构造函数求最值

[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22

，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x sin θ＋y cos θ－1＝0相切(θ为常数)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆

C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求F 1M ―→·F 1N ―→的最大

值．

1.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点????1，32，离心率为12

.(1)求椭圆E 的方程； (2)设点A ，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆于C ，D 两点，求四边形OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点)．

考点二 寻找不等关系解范围

[典例] 已知点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，点P (0，－2)，直线BP 交E 于点Q ， P Q ―→＝32

Q B ―→，且△ABP 是等腰直角三角形．(1)求椭圆E 的方程； (2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．

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1.已知A ，B 分别为曲线C ：x 2a 2＋y 2＝1(y ≥0，a ＞0)与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B 且与x 轴垂直，M 为l 上位于x 轴上方的一点，连接AM 交曲线C 于点T .

(1)若曲线C 为半圆，点T 为AB 的三等分点，试求出点M 的坐标．

(2)若a ＞1，S △MAB ＝2，当△TAB 的最大面积为43

时，求椭圆的离心率的取值范围．

[课时跟踪检测]

1.(2018·浙江高考)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．

(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；

(2)若P 是半椭圆

x 2＋y 24

＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．

2．已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点E ????3，12，且离心率为32

. (1)求椭圆Γ的方程；

(2)直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切于点M ，且与椭圆Γ相交于不同的两点A ，B ，求|AB |的最大值．

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3．已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y 2

＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M . (1)求椭圆E 的方程；

(2)设直线x 4＋y 2

＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．

4．(2018·郑州二模)已知动圆E 经过点F (1,0)，且和直线l ：x ＝－1相切．

(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；

(2)已知点A (3,0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．

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第十一节 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 考点一 巧妙消元证定值

1.抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .（1）求直线l 的斜率的取值范围；

(2)设O 为原点，Q M ―→＝λQ O ―→，Q N ―→＝μQ O ―→，求证：1λ＋1μ

为定值．

[对点训练] 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 22－y 24＝1，椭圆C 2：x 2＋y 24

＝1，若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．

考点二 确定直线寻定点[典例] (2018·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

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[对点训练] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (2,1)，且离心率为32

. (1)求椭圆的标准方程；

(2)设O 为坐标原点，在椭圆的短轴上有两点M ，N 满足OM ―→＝NO ―→，直线PM ，PN 分

别交椭圆于A ，B 两点，试证明直线AB 过定点．

考点三 假设存在定结论(探索性问题)

[典例] 如图，在直角坐标系xOy 中有一直角梯形ABCD ，AB 的中点为O ，AD ⊥AB ，

AD ∥BC ，|AB |＝2，|BC |＝32，|AD |＝12

，以A ，B 为焦点的椭圆经过点C .(1)求椭圆方程； (2)若点E ???

?0，12，问是否存在直线l 与椭圆交于M ，N 两点且|ME |＝|NE |？若存在，求出直线l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

10 [对点训练](2019·贵阳检测)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且PF ⊥x 轴，

若AB ∥OP ，且|AB |＝2 3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若Q 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线Q A 与Q D 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．

1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1―→·MF 2―→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．

11 2．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.

(1)求直线l 的方程；

(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标．

3．直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1右焦点F ，抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线x ＝4上的射影依次为D ，K ，E .

(1)求椭圆C 的方程；

(2)直线l 交y 轴于点M ，且MA ―→＝λ1AF ―→，MB ―→＝λ2BF ―→，当m 变化时，证明：λ1＋λ2为定值；

(3)判断当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

12 4．(2018·石家庄质测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为223

，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．

(1)若以AF 1为直径的动圆内切于圆x 2＋y 2＝9，求椭圆的长轴长；

(2)当b ＝1时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA ―→·TB ―→为定值？并说明理由．

5.在直角坐标系xoy 中，曲线C ：2

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x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ，N 两点， （Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7ugl.html