行列式的计算毕业论文

行列式的计算方法

数学与信息科学学院 数学与应用数学专业

摘要：行列式是高等代数的一个基本概念。求解行列式是在高等代数的学习中经常遇到的基本问题。本文主要介绍了求行列式值的常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如化三角形法、降阶法、升阶法、归纳发、范德蒙行列式等十多种方法。并对相应例题进行了分析和归纳，总结与每种方法相适应的行列式的特征。 关键词：行列式的定义 行列式的性质 计算方法

1

1 行列式的基本理论

（1）行列式的定义

a11a21行列式的定义:n阶行列式用符号Dn??an1a12?a1na22?a2n表示，它代表n！项的代数

??an2?ann和，这些项是一切可能的取自于Dn中不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2?anjn，项，a1j1a2j2?anjn的符号为(?1)?(j1j2?jn)，即当j1j2?jn为偶（奇）排列时该项的符号为正（负）也就是说

Dn?j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn这里j1j2?jn表示对所有n阶排列求和。

?（2） 行列式的性质

首先我们应该熟练掌握并会运用行列式的以下性质: 性质1:行与列互换，行列式的值不变。

性质2：某行或列的公因子可以提到行列式的符号外。

性质3：如果某行(列)所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行(列)的元素分别对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同。

性质4：两行(列)对应的元素相同，行列式的值为零。 性质5：两行(列)对应的元素成比例，行列式的值为零。 性质6：某行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式的值不变。 性质7：交换两行(列)的位置，行列式的值变号。

2 行列式的计算方法

2.1 直接展开法和拉普拉斯展开法

直接展开法即运用行列式的定义直接将行列式展开计算。

2

a11?a1k??ak1?akkc11?c1k??cn1?cnka11a21 （2）证明D5?a31a41a51a12a22a32a42a52a13a230000??0?a11?a1kb11?b1n例1：（1）证明D?0?0?????.

b11?b1nak1?akkbn1?bnn??bn1?bnna14a24000a15a250?0。 00a11?a1kb11?b1n?,D2???，D??(dij)，i,j?1,2,?, 证：（1）设D1??ak1?akkbn1?bnnk,k?1,?,k?n，其中dij?aij,i,j?1,2,?,k,d(k?i)(k?j)?bij,i,j?1,2,?,n。

由定义得D??(dij)? = = = =

r1r2?rk?n?(?1)?(r1r2?rk?n)d1r1d2r2?dkrkd(k?1)r(k?1)?d(k?n)r(k?n)

r1?rk(k?p1)?(k?pn)?[r1?rk(k?p1)?(k?pn)](?1)a1r1a2r2?akrkb1p1?bnpn ?(r1r2?rk)r1?rk(k?p1)?(k?pn)?(?1)?(?1)?[(k?p1)(k?p2)?(k?pn)]a1r1a2r2?akrkb1p1?bnpn

r1?rk?(?1)?(r1r2?rk)a1r1a2r2?akrka1r1a2r2?akrk0?(k?p1)?(k?pn)?(?1)?[(k?p1)(k?p2)?(k?pn)]b1p1?bnpn

r1?rk?(?1)??(r1r2?rk)p1?pn?(?1)?(p1p2?pn)b1p1?bnpn=D1D2。

a11?a1k?ak1?akk则

c11?c1k??cn1?cnk0??a11?a1kb11?b1n0?0?????。

b11?b1nak1?akkbn1?bnn??bn1?bnnp1?p5（2）由行列式的定义可知D5??(?1)?(p1?p5)a1p1a2p2a3p3a4p4a5p5。由于在p3,p4,p5中至少

有一个大于等于3，因此始终有a3p3a4p4a5p5?0，故

D5?p1?p5?(p1?p5)(?1)a1p1a2p2a3p3a4p4a5p5?0 ? 3

我们引入以下定理，拉普拉斯定理：任意取定n阶行列式D的某k行(列)(1?k?n)，由这k行(列)元素所组成的一切k阶子式(共有于行列式D。

拉普拉斯定理的四种特殊形式：

1）

kCn个)与它们的代数余子式的乘积的和等

AnnCmn0Bmm0BmmAnnCmn?Ann?Bmm 2）

Ann0Cnm?Ann?Bmm Bmm3）。

?(?1)mnAnn?Bmm 4）

CnmBmmAnn0?(?1)mnAnn?Bmm

例2：计算2n阶行列式

nn?1?D2n??n?1n?2解：

n?1?12D2n按1行展开n(?1)1?1?n?1034??nn?1n?1234?n?2n?3

01?2n（?1）+(n+1)

n?2n?30n?1?1234?n?1??n第一个行列式按第2n-1行展开第二个行列式按第1列展开

n?20n?2 4

(2n-1)?(2n-1)n(n?3)(-1)D2n?2?(n?1)(n?2)(?1)(2n?1)?1D2n?2n(n?3)D2(n?1)?(n?1)(n?2)D2(n?1)??2D2(n?1)

于是可得D2n??2D2(n?1)=(?2)2D2(n?2)???(?2)n?1D2?(?2)n。

2.2 利用行列式的基本性质计算

有些行列式直接展开比较复杂，我们可以运用行列式的基本性质将行列式简化然后再展开计算。

a1?b1a2?b1例3：计算n阶行列式Dn=

?an?b1a1?b2...a1?bna2?b2...a2?bn。

??an?b2...an?bn解：将第一行的-1倍加到第2,3,...,n行，得

r2?r1a1?b1a1?b2...a1?bnr3?r2a2?a1a2?a1...a2?a1Dn当n?3时，由于上式右端的行列式中至少有两

????r?ran?a1an?a1...an?a1n1行成比例，则Dn=0。当n=1时，D1=a1?b1；当n=2时，

D2=

a1?b1a1?b2a2?b1a2?b2=(a1?b1)(a2?b2)?(a1?b2)(a2?b1)?(a1?a2)(b2?b1)

例4：计算2n阶行列式

aa?aD2n?0c?cc0d?d0b0?bb。

d 5

a?a按第1行展开a0c?0d?0b0?b0解：D2n?b(?1)1?2n

cd00d?????????????2(n?1)0a?a0c?0d?0b0?b=adD2(n?1)?bcD2(n?1)?(ad?bc)D2(n?1)

0cdc0?????????????2(n?1)?(ad?bc)2D2(n?2)?(ad?bc)3D2(n?3)???(ad?bc)n?1D2= (ad?bc)n?1ab?(ad?bc)n。 cd2.3 计算行或列相等的行列式

对于一些行或列相等的行列式我们一般将其各行或列加到第一行或列然后再化简计算。

例5：计算下面行列式

xa1Dn?1?a1?a1a1xa2?a2a2?ana2?anx??an?x

na3?解：将其各列加到第1列，并提出公因子(x??ai)可得

i?1 6

D=(x??ai)1a2i?11?1a2nnn1a11xa2?anr?r31a2?an?nx?anr?r(x??ai)n?11i?1??a3?xr2?r110a1x?a100x?a2????000?0a2?a1??0a2?a1=

a3?a2?x?an(x??ai)??(x?ai)

i?1i?12.4 两条线型行列式的计算

计算两条线型行列式要根据行列式的特点和性质进行化简、计算。为了更好的研究两条线型行列式的计算首先我们要讨论一些特殊行列式的值。

(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上的元素的乘积，即

a11a12?a1na11a22??an2?ann?a11a22?ann

a22?a2na21????annan1（2）次三角形行列式的值等于添加适当正、负号的次对角线元素的乘积，即

a11?a1,n?1a21?a2,n?1??an1a1n?a2,n?1??an1?an,n?1a1nn(n?1)a2n?(?1)2a1na2,n?1?an1 ?ann分块三角形行列式可化为低级行列式的乘积，即

a11?a1m??am1?ammc11?c1m?cn1??cmm0??0?a11?a1m??c11??c1n?0?0am1?amm?b11?b1n0?0???0??0bn1?bnncm1?cmm?

b11?b1n??bn1?bnna11?a1mb11?b1n????am1?ammbn1?bnn 7

0??0?a11?a1m??c11?c1n??a11?a1m??am1?amn?

0?0?0??00?0b11?b1n??bn1?bnnam1?ammcm1?cmn?c11?c1mb11?b1n?c11??c1m??bn1?bnn(?1)mna11?a1mb11?b1n????am1?ammbn1?bnna0例6：计算n阶行列式Dn??0b 0?0??b?0?0b?00b0?。 0a解：按第一列展开得

0?b??Dn?ab?00?0 =a(?1)2(n?2)(n?3)200?0b0?b(n?1)(n?2)?0?b0n?12n?1?b(?1)?a???(?1)(?1)2bn 0???b?0ab?00bn?2?(?1)n?1(?1)(n?1)(n?2)2b?(?1)nn(n?1)2bn?2(b2?a2)

2.5 箭形行列式的计算

a11对于形如

a12?a1na22?anna1n,

a11a12an?1,2?a1n?a2n?ann,

a11a22an1an2?a1n??an?1,nann,

a21?an1an1a11a21?an1an?1,2an2?的箭形(爪形)行列式，可以利用对角元素或次对角元素将一边消

?ann为0然后直接利用行列式的性质化为三角形或次三角形行列式来计算。

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1100?例7：计算Dn??0n?1n0?11?21??。 ?01?011?1(1?12???n)?20 ???00?00cn?112cn?11?00cn?1cn1解：Dn??0n?1n0=(?1)n(n?1)21 n!(1?12???n)2.6 三对角行列式的计算

a11a21a12a22a32a23???an?1,n?1an,n?1an?1,nann形如的行列式我们称之为三对角行列式，可以直接展开

得到两项地推关系Dn??Dn?1??Dn?2然后用一下方法求解。

方法1：若n较小，可以直接递推计算。

方法2：用第二数学归纳法证明：验证n=1时结论成立，假设n?k时结论成立，如果能证明n=k+1时结论成立则对任意自然数结论都成立。

方法3：将Dn??Dn?1??Dn?2变形为Dn?pDn?1?q(Dn?1?pDn?2)，其中

p?q??,?pq??有韦达定理可知p和q是一元二次方程x2??x???0的两个根。令

则利用f(n)?qf(n?1)递推求出f(n)，再由Dn?pDn?1?f(n)递推求出f(x)?Dn?pDn?1，

Dn。

方法4：设Dn?xn。代入Dn??Dn?1??Dn?2?0可得xn??xn?1??xn?2?0。称

n求出其根x1和x2(假设x1?x2)，则Dn?k1x1n?k2x2。其中k1，k2x2??x???0为特征方程，

可以通过令n=1和n=2来求得。

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???1?????1例8：计算n阶行列式Dn???????????1???。

解：按第1列展开得

1Dn?(???)Dn?1???(?1)1?2?????1??????????1???=(???)Dn?1???Dn?2变形为

Dn??Dn?1??(Dn?1?Dn?2)由于D1????，

D2?(???)2?????2?????2，利用以上递推公式可得

Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2)??2(Dn?2??Dn?3)????n?2(D2??D1)??n故有

Dn??Dn?1??n??(?Dn?2??n?1)??n?a2Dn?2???n?1??n???

?n?1D1??n?2?2????n?1??n??n??n?1??????n?1??n

cosa112cosa112cosa?1?1?2cosa112cosa?cosna

例9：证明Dn?解：第二数学归纳法 当n=1时，左边=cosa?右边；当n=2时，左边=

cosa1?2cos2a?1?cos2a?右边。

12cosa假设对于任意阶数小于n的行列式等号都成立，然后证明n阶行列式成立。记左边的n阶行列式为Dn，按最后一行展开，可得Dn?2cosaDn?1?Dn?2

由归纳假设可得，有Dn?1?cos(n?1)a，

Dn?2?cos(n?2)a?cos[(n?1)?a]?cos(n?1)acosa?sin(n?1)asina， 所以Dn?2cosacos(n?1)a?cos(n?1)acosa?sin(n?1)asina=

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cos(n?1)acosa?sin(n?1)asina?cos[(n?1)a?a]?cosna

注：第二数学归纳法是先验证n=1时命题成立，假设命题对于n?k的一切自然数成立，若推出n=k+1时命题也成立，则命题对于所有自然数n成立。

2.7 Hessenberg型行列式的计算

a11a21a12a22a32a13a33??an,n?1a1,n?1an?2,2an?1,1an1an?1,2an2an3?ann1223?2??n?2?(n?2)n?1?(n?1)n?1n?a1na11，annan1a1na12a22a23a33??an?1,nan2an3?anna11，a12a13an?2,3?a1n?a2n， ?形如

an?1,2an1an2an?1,3?an?2,3?的行列式称为Hessenberg型行列式，对于这种行列式

可以直接展开得到递推公式，也可以利用行列式的性质化简计算

?1?1例10：计算n阶行列式Dn?。

解：将第1,2,?，n-1列加到第n列，可得

121?1Dn?23?2??n?2?(n?2)n?11)! (?1)n?1(n?2?n?1n(n?1)21?1?n(n?1)2?(?1)1?n2?=

??(n?2)n?102.8 可采用升阶法计算的行列式

行列式的计算的一般方法是降阶法，但对于某些特殊行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为(1,0,?,0)T并适当选择第1行的元素，就可以使化简更加方便，且化简后常变

11

成箭形行列式，这一方法称为升阶法或加边法。

例11：设x是n?1矩阵，y是1?n矩阵，其中a是实数，证明：E?axy?1?ayx 证明：设x=(x1,x2,?,xn)T，y?(y1,y2,?yn)，则

1?ax1y1?ax1y2??ax1ynE?ay??ax2y11?ax2y2??ax2yn???升阶 ?axny1?axny2?1?axnyn1y1y2?ynr01?ax2?ax1r11y1y2?1y1?ax1y2??ax1yn?ax110?ax2y11?ax2y2??ax2ynrn?1?axnr1ax21??????0?axny1?axny2?1?axnynaxnc1?(ax1y1?ax2y2???axnyn)y1y2?yn1?ax1c21?=

c11?axncn?1?1n1?a?xiyi?1?ayx

i?12.9 将行列式拆成两个行列式的和计算

a11a12a13?a1n行列式的拆分：a21a22a23?a2n????=

an?1,1an?1.2an?1,3?an?1,nan1?b1an2?b2an3?b3?ann?bna11a12a13?a1na11a12a13?a1na21a22a23?a2na21a22a23?a2n????????? an?1,1an?1,2an?1,3?an?1,nan?1,1an?1,2an?1,3?an?1,nan1an2an3?annb1b2b3?bn例12：计算n阶行列式

12

yn

1

xaaax???aaaa?axDn??a?aaa。

??????a?a?a??ax解：将第n行写成两项的和再分成两个行列式，然后把第2个行列式的第n列分别加到前面各列，可得

x?aDn??0ax?00(x?a)Dn?1?0?00aax?0x?a?a?a?a??02ax?a0?00aaa?ax?a2a2a?00????x?a?ax?aax????aaa?xaaa?a?a?a?a?a=

?a?a?a?x?a?a?a?2a2a2a?0aaa?a?a?a?a??aax?a?=(x?a)Dn?1?a(x?a)n?1 ?

?x?aa同理，将第n行写成另外两项之和再分成两个行列式，又可得

x?aDn??0ax?0x?a?2a(x?a)Dn?1??2a??2a?aaax?00x?a?2a??2a?a?a?a?a??000??a?aaa?ax?a???x?a?ax?aax????aaa?xaaa?a?a?a?a?a=

?a?a?a?x?a?a?a?000??a000?0?a?a?a?a??a?ax?a?=(x?a)Dn?1?a(x?a)n?1 ?

?2a?x?ann联立?，?解方程组，解得Dn?1。 2[(x?a)?(x?a)]2.10 相邻行（列）元素差1的行列式的计算

以数字1,2,3，?，n为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的n阶行列式

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可以用以下方法计算：从第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或从第n行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即得出现大量零元素。

对于相邻两行（列）元素相差倍数k的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的-k倍，或后行（列）减去前行（列）-k倍的方法，即可使行列式中出现大量的零元素

123?n?1234?nn112 例13：计算n阶行列式Dn?345??????n12?n?2n?1解：从第n-1行开始，每行乘（-1）加到下一行直到第1行得

11Dn?1?111n(n?1)2nc1?c2n(n2?1)211?11?n?01c1?cn11?1?n101??????1?n1?1101?n23?n?11?ncn?1?c1?1?1?n1cn?1?cn?2???1?n?111?11?101?1?00??n1?10?00n?13?n?11??1?111?1?1?111?1?nn1?n1? ?1?1? ?1?111n(n?1)2?1?n?1?11?n?11?n?1?n?1?r2?r11?0rn?1?r1n(n?1)?20?n(?1)n(n?1)n?1n(n?1)2??n?0??n(n?1)2(?1)(n?1)(n?2)2(?1)(?n)n?2?

2

2.11 范德蒙型行列式的计算

11a1a22形如a12a2??n?1a1n?1a21an2的行列式我们称之为范德蒙型行列式， an?n?1?an??? 14

11a1a22a12a2??n?1a1n?1a2n?i?j?11an2=an?n?1?an???2?(a?a)?(aij?a1)(a3?a1)?(an?a1)?(a3?a2)?(an?a2)????(an?an?1)

即等于a1,a2,?,an这n个数所有可能的差ai?aj(1?j?i?n)的乘积

1a例14.：计算4阶行列式D?2aa41bb2b41cc2c41d。 d2d4分析：可以看到D不是范德蒙型行列式，但它具有范德蒙型行列式的一些特点。可以构造5阶的范德蒙型行列式，再利用范德蒙型行列式的结果，间接地求出D的值。

解：构造5阶范德蒙型行列式

1a1bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2，~按5列展开 234A?xA?xA?xA?xAD1525354555x3x4~D?a2a3a4其中x3的系数为A45?(?1)4?5D??D，再利用范德蒙型行列式的结果得

~D?(b?a)(c?a)(d?a)(x?a)(c?b)(d?b)(x?b)(d?c)(x?c)(x?d)= (b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)[x4?(a?b?c?d)x3??] 其中x3的系数为?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)(a?b?c?d) 故可得D?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)(a?b?c?d)。

1?x11?x12?1?x1nn1?x21?x2?1?x2???2n1?xn1?xn?1?xn例15： 证明?1?j?k?n?(xk?xj)[2?xi??(xi?1)]

i?1i?1nn证：记左端行列式为Dn，则

15

10011?x11?x122Dn升阶11?x21?x2???c2?c11?1?1??12n?1?x1n?1x1x1?x1n2ncn?1?c11x2x2 ?1?x2?x2??????1xn2nxn?xn02n11?xn1?xn?1?xn把第一行拆成两项之和，再利用范德蒙型行列式的结果，得

2?(?1)0?(?1)0?(?1)?0?(?1)Dn?11?121 1?0x1x2?0x1x2?xn?0x122x2?2xn???11x1nnx2?nxn?

1?1x12?x1n1x12n?1x2x2?x2????2nxn?xnx12?x1n2n? x2?x2??2nxn?xn1xn1xnn 2x1?xn1?j?k?n?(xk?xj)??(xi?1)i?1nn1?j?k?n?(xk?xj)?

1?j?k?n?(xk?xj)[2?xi??(xi?1)]?右端

i?1i?11cosa11cosa2例16：计算行列式D4?1cosa31cosa42cos2a1?14cos3a1?3cosa12cos2a2?14cos3a2?3cosa2。 232cosa3?14cosa3?3cosa32cos2a4?14cos3a4?3cosa4解：根据倍角公式，有cos2ai?2cos2ai?1，

cos3ai?4cos3ai?3cosai代入行列式得

1cosa1D4?1cosa21cosa31cosa41cosa11cosa281cosa31cosa4

4cos3a1?3cosa1c?c31232cosa2?14cosa2?3cosa2c4?3c2 232cosa3?14cosa3?3cosa32cos2a4?14cos3a4?3cosa4cos3a1cos3a2?8?(cosai?cosaj) 3cosa34?i?j?1cos3a416

2cos2a1?1cos2a1cos2a2cos2a3cos2a4

2.12 利用行列式乘法公式计算行列式

设A?(aij)n?n,B?(bij)n?n,则其行列式具有性质AB?AB。这一结果也给出了如何把两个n阶行列式相乘得到一个n阶行列式的方法，即

a11a21?an1a12?a1nb11b12?b1nc11c12?c1na22?a2nb21???b22?b2nc21????c22?c2n其中

??an2?annbn1bn2?bnncn1cn2?cnncij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj (i,j?1,2,?,n)

这一公式也成为行列式乘法公式，灵活运用该公式可以简化行列式的计算

abc?ba?d例17：计算4阶行列式D4??cda?d?cbdc。 ?ba2T分析：所给的行列式利用行列式乘法公式求得D4，再确定出D4的符号即可?D4D4求出D4。

解：根据行列式乘法公式得

abc?ba?d2TD4?D4D4??cda?d?cba2?b2?c2?d20000dc?baa?b?c?dbadc?

c?da?bdc?ba00a2?b2?c2?d20000a2?b2?c2?d2a2?b2?c2?d200=

(a2?b2?c2?d2)4所以D4??(a2?b2?c2?d2)2

根据行列式定义可知D4的展开式中有一项为(?1)?(1234)a11a22a33a44?a4，故可得

D4?(a2?b2?c2?d2)2 例18：计算4阶行列式

17

(a1?b1)3D4?(a2?b1)3(a3?b1)(a4?b1)33(a1?b2)3(a2?b2)3(a3?b2)(a4?b2)33(a1?b3)3(a2?b3)3(a3?b3)(a4?b3)33(a1?b4)3(a2?b4)3(a3?b4)(a4?b4)33

分析：直接展开计算量较大，注意到每一项都能展开成4项之和，即

(a?b)3?a3?3a2b?3b2a?b3，可考虑用行列式乘法公式，将原行列式分解成两个容易计算的行列式的乘积，然后化简计算。

解：将行列式中每一项展开，并利用行列式乘法公式和范德蒙型行列式的结果，得

a133a2D4?3a33a43a1223a223a323a43a1113a21b123a31b13a41b1ij31b22b23b21b3b323b3111a22a23a21a32a33a311a4b12a4b123a4b131b22b23b21b3b323b31b4 2b43b4b4a1?92b4a123b4a13=94?i?j?1?(a?a)?(b?b)

ij4?i?j?12.13 按行列展开计算行列式 我们先引进代数余子式的概念。

定义：在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列元素划去后，所留下的n-1阶行列式，称为元素a的代数余子式，记为M，即a的代数余子式

a11?Mij??a1,(j?1)?a1,(j?1)??a1n?a(i?1),1?a(i?1),(j?1)a(i?1),1?a(i?1),(j?1)?an1??an,(j?1)a(i?1),(j?1)?a(i?1),na(i?1),(j?1)?a(i?1),n?an,(j?1)??ann，而称(?1)i?jMij为aij的代数余子式，记

为Aij，即Aij?(?1)i?jMij。

引理：如果n阶行列式Dn中，第i(i?1,2,?,n)行元素除aij(j?1,2,?,n)外均为零，则该行列式等于元素aij与其代数余子式Aij的积，即

Dn?aijAij?(?1)i?jaijMij

定理：行列式等于它的任意一行或列个元素与其代数余子式乘积的和，即

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Dn?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin??aikAik(i?1,2,?,n) （1）或

i?1nDn?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj??akjAkj(j?1,2,?,n) （2）

k?1n（1）式称为行列式Dn按第i行的展开式，（2）式称为行列式Dn按第j列的展开式，其中Aik与Akj均为n-1阶行列式。

用按行（列）展开法计算行列式时，反复使用此定理，把高阶行列式降成低阶行列式，直到求出结果。为了计算简便，每次展开前应首先利用行列式的性质，使行列式某行或某列出现尽量多的零（最好出现n-1个零），这样才能达到简化计算的目的。

ab00?000ab0?0000ab?00??????0000?abb000?0a例19：计算n(n?4)阶行列式Dn?。

解：此行列式中各行各列有n-2个零元素，现在直接按第一行展开：

ab0?000ab?00Dn?(?1)1?1a?????(上三角形Dn?1)+

000?ab000?0a0b0?000ab?00Dn?(?1)1?2b???) ??(Dn?1,再按第一列展开000?abb00?0aba=a?an?1?b?(?1)n?1?1b?0=an?(?1)nyn

0?00b?00(下三角形Dn?2)

???0?ab推论：行列式任意一行或列的元素与其他行或列对应元素的代数余子式乘积的和为零，即

19

ai1Ar1?ai2Ar2???ainArn?0(i?r)，

a1jA1k?a2jA2k???anjAnk?0(j?k)

2.14 归纳与递推法

在行列式的计算与证明中，归纳与递推法也是一种行之有效的方法，举例说明如下

abab??例20：计算2n阶行列式Dab2n?cd。??cdcdab??ab解：首先按第一行展开，得D2n?(?1)1?1acd??cd000ab??ab(?1)1?2nbcd

??0cdc00(2n?1)?(2n?1)再将右边两个（2n-1）阶行列式按最后一列展开，便得

ab??D?1)?(2n?1)2n?a(?1)(2ndabcd?

??cd(2n?2)?(2n?2)20

0?

0d(2n?1)?(2n?1)

a?(?1)(2n?1)?1c?cabcd??b

d(2n?2)?(2n?2)=adD2n?2?bcD2n?2?(ad?bc)D2n?2

按此规律递推下去，共经过2n?2?2(n?1)次展开，终得

D2n?(ad?bc)n?1D2?(ad?bc)n?1ab?(ad?bc)n。 cd2.15 利用方阵特征值与行列式的关系

a1?ba2a3?ananan??an?ba1a1?a1a1?ba2a3?ananan??an?ba1a1?a1a1a1 ?bEn?a1?a1a2?ba3?a2a3?b??a2a2a2a2?a2?a3a3?ana3?ana3?an?bEn?An ??a3?ann例21：计算如下行列式的值Mn?a2?ba3?a2a3?b??a2?a3

解：Mn?

显然bEn的n个特征值为b,b,b,?,b。An的n个特征值为?ai,0,0,?,0。故Mn的特

i?1征值为 b??ai,b,b?,?,b。由矩阵特征值与对行列式的关系知Dn?Mn?b????i?1n?1nn?1(?ai?b)。

i?1n例21中，主对角线上的元素为ai?b(i?1,2,?,n) ，我们使得主对角线上的元素为

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?1a2a1?2a3?ana3?an?3?an??a3?ana3??n?1,?2,?,?n ，可 Dn?a1?a1a1a2?a2a2。

分析：根据这题行列式的特点，每行都有相同的因子a1,a2,?,an ，所以本题适用加边法。(本题有多种解法，据上分析，仅以加边法推出。)

1a10?10a1??0a10a11(i?2,?,n)?1 r?r?i1?1?11???ia?iaii?1na2a2a3?ana3?ana3?an

??a3?ana3??na10?00a1解：

Dn??2?a2a2a20a3?00?00a20?2?a2?00nan00?0n?1?1?1?a1????2?a2?00

??n?ana3?00?00??an00?

1c1??i?aici?1(i?2,?,n)00?00n?1?a10?00

?0??n?an(n?1)?(1??i?1nai?i?ai)??(?i?ai)??(?i?ai)?[ai??(?j?aj)]

i?1i?1j?1j?inn?1nn?1nn特别地，当?i?ai?b时 (i?1,2,?,n)Dn??aib?b?b(b??ai) 与例21的答案一致。

i?1i?1

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2.16 行列式计算的杂例

ab?bbca?bb例22：计算n阶行列式Dn?????。

ccc?abc?ca解：（1）当b=c时，Dn是行的和相等的行列式，从而

c1?c2a?(n?1)bb?br2?r1a?(n?1)bb?b?a?(n?1)ba?b?0a?b?0rn?r1 c1?cnDn??????a?(n?1)bb?a00?a?b=(a?b)n?1[a?(n?1)b]

（2）当b?c时，将Dn的第n列元素写成两个数的和0?b,?,0?b,(a?b)?b，所以可将Dn拆成两个行列式之和

ab?bcDn??cca?b??00?ab?bbc??cca?bb(1)第n列展开???

(2)cn?bc?abc?cbc?a0c?ca?bab?b1c1?ccna?cb?c?b?c1?ca?b10a?c?b?c1(a?b)Dn?1?b????cn?1?ccn(a?b)Dn?1?b????

cc?a100?a?c1cc?c100?01TTTn?1=(a?b)Dn?1?b(a?c)n?1对Dn按上面方法推导可得Dn。 ?(a?c)Dn?1?c(a?b)T由于Dn?Dn，则有Dn?(a?c)Dn?1?c(a?b)n?1

?Dn?(a?b)Dn?1?b(a?c)n?1联立求解二元一次方程组?得 n?1D?(a?c)D?c(a?b)n?1?nb(a?c)n?1?(a?b)c(a?b)n?1?(a?c)c(a?b)n?b(a?c)nDn??1?(a?b)c?b

1?(a?c)

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f(x)1例23：求极限lim3g(x)h?0hs(x)f(x?h)g(x?h)s(x?h)f(x?2h)g(x?2h)，其中f(x),g(x),s(x)存在2阶导数。 s(x?2h)分析：把行列式展开再取极限比较复杂，观察行列式中各项的特点，利用行列式的性质做适当变形，然后再运用洛必达法则计算。

解：由于f(x),g(x),s(x)存在2阶导数，把所求极限进行适当变形，可得

c3?2c2?c1c2?c1f(x)g(x)s(x)f(x?h)?f(x)g(x?h)?g(x)s(x?h)?s(x)lim原式

limh13h?0f(x?2h)?2f(x?h)?f(x)g(x?2h)?2g(x?h)?g(x)= s(x?2h)?2s(x?h)?s(x)f(x)limg(x)s(x)f(x?h)?f(x)h?0hg(x?h)?g(x)limh?0hs(x?h)?s(x)limh?0hf(x?2h)?2f(x?h)?f(x)h?0h2g(x?2h)?2g(x?h)?g(x)limh?0h2s(x?2h)?2s(x?h)?s(x)limh?0h2f?(x)limg?(x)s?(x)2f?(x?2h)?2f?(x?h)h?02h2g?(x?2h)?2g?(x?h)limh?02h?2s(x?2h)?2s?(x?h) limh?02hf(x)g(x)利用导数定义及洛必达法则f(x)=g(x)s(x)f?(x)g?(x)s?(x)s(x)f??(x)g??(x)。 s??(x)x1bax2b?baa??aaa。 ?例24： 计算Dn?b?bx3??b?xn解：（1）当a=b时，用第一行的（-1）倍分别加到其他各行得

x1a?x1Dn?a?x1?a?x1

ax2?a0?0a?a00?0?x3?a??0按第一行展开可得

?xn?a24

Dn?x1(x2?a)(x3?a)?(xn?a)?a(x1?a)(x3?a)?(xn?a)?? ?a(x1?a)(x2?a)?(xn?1?a)。

（2）当a?b时，将第n列拆成两项的和，则有

x1bDn??bba?aa?b0?0b00?0xn?ax1b??bba?bb0?aa?aa?= aa00?00n?1?=(xn?a)Dn?1?a?(xi?b)

i?1x2??bb?x2??xn?1?xn?1??bx1?ba?x2 (xn?a)Dn?1?x2?ba?x3???0b0b?xn?b0?ban?1i?1由对称性可得 Dn?(xn?b)Dn?1?b?(xi?a)

n?1?Dn?(xn?a)Dn?1?a?(xi?b)??i?1联立?求解可得 n?1?Dn?(xn?b)Dn?1?b?(xi?a)?i?1?

Dn?1a?b[a?(xi?b)?b?(xi?a)]i?1i?1n?1n?1

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参考文献

[1]王萼芳等．高等代数．上海：高等教育出版社，2003.

[2]许仲等.高等代数考研教案．西安：西北工业大学出版社，2009. [3]刘振宇.高等代数的思想与方法.青岛：山东大学出版社，2009

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Calculation method of the determinant

Abstract：The determinant is a basic concept of higher algebra. Solving the determinant is the basic problem often encountered in the study of higher algebra. This paper mainly introduces the common method of determinant value and some special determinant evaluation method. More than ten kinds of methods such as triangle method, method of reduction of order, ascending order, inductive, Vandermonde determinant. And the corresponding examples are analyzed and summarized, summarizes the characteristic determinant and adapt to each method.

Key Words:The definition of determinant The properties of determinant Calculation method

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7ubg.html