2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练27_利用空间向量求解立体几何中的角与距离(理)

1.已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 A.9，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的45

B. C. D. 12346

2.已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）

A．21 B

C

． D． 333

设AA1 2AB

2，则OC AC

,C1O

22

3.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1，CA CC1 2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）

（A）

3 （B

） （C）

（D） 5355

4. 三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

____________.

【答案】6

3

5.如图，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，AB AC，AB AC 2，AA1 4，点D是BC的中点.

（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

（2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值

.

（Ⅰ）证明：BC1 //平面

ACD； 1

（Ⅱ）求二面角D-AC1-E的正弦值

.

所以二面角D-AC1-E的正弦值为

. 3

9.如图，在四面体A BCD中，AD 平面BCD,

BC CD,AD 2,BD 22

.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ 3QC.

（Ⅰ）证明：PQ//平面BCD;

（Ⅱ）若二面角C BM D的大小为600，求 BDC的大小

.

tan CHG tan60

CG HG3

tan (0,90 ) 60 BDC 60 .

10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】

如图5，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD//BC，

BAD 90 ,AC BD,BC 1,AD AA1 3.

（I）证明：AC B1D；

（II）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值

.

平面

ACD1的一个法向量；因为B

1，C1，所以B1C1 (0,1,0)所以直线B1C1与平面ACD1所成

角的正弦值sin 712.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC 平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.

（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；

1 （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足DQ CP. 记直线PQ与平面ABC所成的角为2

，异面直线PQ与EF所成的角为 ，二面角E l C的大小为 ，求证：sin sin sin .

|FE QP|

所以cos sin . |FE| |QP|

13.如图，在四棱锥P—ABCD

中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA

＝M，N分别为PB，PD的中点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

对于平面AMN：设其法向量为n (a，b，c)．

14. 如图，直三棱柱ABC A/B/C/， BAC 90 ，

AB AC AA/,点M，N分别为A/B和B/C/的中点.

(Ⅰ)证明：MN∥平面A/ACC/;

(Ⅱ)若二面角A/ MN C为直二面角，求 的值.

15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1

BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O

.

（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；

（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.

AO2

得AE AA1

16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .

Q

E1

17.已知正四棱柱ABCD

A1B1C1D1中，AB 2,CC1 E为CC1的中点，则直线AC1 与平面BED的距离为（ ）

A．2

B．

C

D．1

18.已知正三棱锥P ABC，点P，A，B，C

求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为

_______.

三棱锥P ABC在面ABC

上的高为，所以球心到截面ABC

. 333

19.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直

行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离

. DA

线BC1平C1

1A20.如图，四棱锥P ABCD中， ABC BAD 90 ，BC 2AD, PAB与 PAD都是边长为2的等边三角形.

（I）证明：PB CD;

（II）求点A到平面PCD的距离.

21.如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB//CD，AD AB，AB

2，AD

一点，DE 1，EC

3 AA1 3，E为CD上

（1） 证明：BE⊥平面BB1C1C；

（2） 求点B1到平面EAC11的距离

.

11A1E EC1 AC S S 2 11 A1EC1 A1B1C122 VB1 A1EC1 VE A1B1C1, 3, h 即所求距离为55

23.(2012年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD中，PA丄平面ABCD， AC丄AD，AB丄BC， BAC 45 ，PA=AD=2，AC=1.

(Ⅰ)证明：PC丄AD；

（Ⅱ）求二面角A PC D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为300，

求AE的长.

25. 如图1,在等腰直角三角形ABC中, A 90 ,BC 6,D,E分别是AC,AB上的点

,CD BE O为BC的中点.将 ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE,

其中A O .

图1 图2 E O B

(Ⅰ) 证明:A O 平面BCDE；

(Ⅱ)

求二面角A CD B的平面角的余弦值.

H

E 所以

1. 如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，

EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）

A. 90°

【答案】

B B. 60° C. 45° D. 30°

【解析】,取AC的中点M,连结EM,MF，因为E,F是中点，所以

MF//AB,MF 16110AB 3,ME//PC,ME PC 5,所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角。2222

52 32 72 151在三角形MEF中，cosEMF ，所以 EMF 120 ,所以直线AB与PC所成的角为为2 5 3302

60 ，选

B.

13.【河北省保定市2013年高三第一次模拟考试】正方体ABCD-A1B1C1 D1中，M为CC1的中点，P在底面ABCD内运动，且满足∠DPD1＝∠CPM，则点P的轨迹为( )

A.圆的一部分 B.椭圆的一部分

c双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

【答案】A

【解析】由 DPD1 CPM得MCDD12MCPD,∴ 2，在平面ABCD内以D为原点建立平面直角坐PCDPDPPC

，

标系ADC，设DC=1，P（x,y），PD PC2

44 整理得x2 (y )2 ，所以，轨迹为圆的一部分，故选A. 39

14.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】（本小题满分12分）

如图，在长方体A1B1C1D1 ABCD中，AD CD 4，AD1 5，M是线段B1D1的中点．

（Ⅰ）求证：BM//平面D1AC；

（Ⅱ）求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．

D1

A1 1 C1

AD1 ( 4,0,3)，

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