无锡市东林中学八年级下期中数学试卷（有答案）-（苏科版）

2014-2015学年江苏省无锡市东林中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．给出下列各式：A．4个 3．若分式A．x≠1

，，，﹣，其中，分式有（ ）

C．2个

B．3个 D．1个

有意义，则x的取值范围是（ ）

B．x≠﹣1

C．x=1 C．

D．x=﹣1

4．下列分式中，是最简分式的是（ ） A．

B．

D．

5．若

A．m=﹣3，n=1

=+，则（ ）

C．m=3，n=1

B．m=3，n=﹣1 D．m=2，n=1

6．下列命题中，正确的是（ ）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．四条边都相等的四边形是正方形

D．顺次连接任意四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形

7．如图，矩形ABCD中，点P从点B出发沿BC向点C运动，E、F分别是AP、PC的中点，则EF的长度（ ）

A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．无法确定

8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且BE=DF，连接EF；作CH⊥EF，连接CE、BH，若BH=8，EF=4

，则正方形ABCD的边长是（ ）

A．5

B．6

C．5

D．6

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共26分）

9．已知平行四边形ABCD中，∠B=3∠A，则∠C= °． 10．当x= 时，分式11．给出两个分式：

，﹣

的值为0．

，它们的最简公分母为 ．

12．在括号内填入适当的整式，使等式成立： （1）

=

；

（2）=．

= ，

13．计算： （1）

（2）÷= ．

14．若关于x的方程﹣=无解，则m的值为 ．

15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，若点A坐标为（4，3），则菱形ABCD的面积是 ，周长是 ．

16．一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和4cm两部分，则矩形的周长为 cm．

=2有正数解，则m的取值范围是 ．

17．若关于x的分式方程

18．已知点P为等边△ABC内一点，∠APB=112°，∠APC=122°，若以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，那么所构成三角形的各内角的度数是 ．

三、解答题（本大题共7小题，共50分，解答时应写出文字说明或演算步骤） 19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、

B（0，4）、C（0，2），

（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；

（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．

20．计算： （1）

+

（2）1﹣21．解方程： （1）（2）

= +

÷

=1﹣

．

．

22．先化简，再求值：÷（x+3+

），且x2+2x﹣1=0．

23．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔201枝以上（包括201枝），可以按批发价付款； 购买铅笔200枝以下（包括200枝）只能按零售价付款．已知按批发价购买6枝铅笔与按零售价购买5枝的价钱相同； 由于某中学的初三学生要参加中考，需要一批铅笔，校长特派小明来该店购买铅笔，花了120元钱给学校初三年级学生每人买1枝； 后来小明回去算了一下，如果他多买20枝，反而可以少花10元钱．

（1）该文具店购买铅笔批发价是每枝多少元？零售价是每枝多少元？

（2）某人分两次在该文具店里购买铅笔分别花了96元和120元，如果他一次性购买同样数量的铅笔可以少花多少钱？

24．如图，在在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E是BC的中点，BC=12，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y=﹣x+9，点P是BC边上一个动点， （1）当PB= 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（2）在（1）的条件下，点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

25．如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，

（1）求证：△ADN≌△CBM；

（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；

（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．

2014-2015学年江苏省无锡市东林中学八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故正确； C、不是中心对称图形．故错误； D、不是中心对称图形．故错误．

故选B．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．给出下列各式：A．4个

，

，

，﹣，其中，分式有（ ）

C．2个

B．3个 D．1个

【考点】分式的定义．

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【解答】解：

，

，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；

﹣分母中含有字母，因此是分式； 故选：C．

【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 3．若分式A．x≠1

不是分式，是整式．

有意义，则x的取值范围是（ ）

B．x≠﹣1

C．x=1

D．x=﹣1

【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解． 【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1． 故选A．

【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．

C．

4．下列分式中，是最简分式的是（ ） A．

B．

D．

【考点】最简分式．

【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

，故不是最简分式；

【解答】解：A、原式可化简为

B、分子与分母没有公分母，是最简分式；

C、原式可化简为，不是最简分式；

D、原式可化简为，不是最简分式， 故选B．

【点评】考查了最简分式的知识，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 5．若

A．m=﹣3，n=1

=

+

，则（ ）

C．m=3，n=1

B．m=3，n=﹣1 D．m=2，n=1

，

【考点】分式的加减法．

【分析】由题意知，等式左右的分子相等，则a的对应系数相等． 【解答】解：由原等式，得

=

则3a+1=（m+n）a﹣（m﹣3n）， 所以解得

．

，

=

故选：D．

【点评】本题考查了分式的加减法．异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．

6．下列命题中，正确的是（ ）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．四条边都相等的四边形是正方形

D．顺次连接任意四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形 【考点】命题与定理．

【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据三角形中位线的性质和平行四边形的判定方法对D进行判断． 【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形，所以A选项错误； B、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误； C、四条边都相等的平行四边形是正方形，所以C选错误；

D、顺次连接任意四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形，所以D选项正确． 故选D．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

7．如图，矩形ABCD中，点P从点B出发沿BC向点C运动，E、F分别是AP、PC的中点，则EF的长度（ ）

A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变

D．无法确定

【考点】三角形中位线定理；矩形的性质．

【分析】连接AC，根据勾股定理可求出AC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF=AC是一定值，问题得解． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∴AC=

，

∵E、F分别是AP、PC的中点， ∴EF是△APC中位线， ∴EF=AC为定值， 即EF的长度不变， 故选C

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记定理和矩形的性质是解题的关键．

8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且BE=DF，连接EF；作CH⊥EF，连接CE、BH，若BH=8，EF=4

，则正方形ABCD的边长是（ ）

A．5 B．6 C．5 D．6

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

【分析】连接AH，AC，CF，BH与AC交于M，推出△BCE≌△CDF，由全等三角形的性质得到CE=CF，∠BCE=∠DCF，求得∠ECF=90°，根据直角三角形的性质得到CH=EH=HF=EF=2分AC，得到AM=BM=CM=AC=方程即可得到结论．

x，设BC=x，根据勾股定理得到HM=

，证得BH垂直平=

，列

【解答】解：连接AH，AC，CF，BH与AC交于M，

∵在正方形ABCD中，BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°∴∠CDF=90°， 在△BCE与△CDF中，∴△BCE≌△CDF， ∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，

∵∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠ECF=90°， ∴CH=EH=HF=EF=2∴AH=EF， ∴AH=CH， ∵AB=BC，

，

x，

x， =

，

，

∴BH垂直平分AC， ∴AM=BM=CM=AC=设BC=x， ∴BM=CM=HM=∵BH=8，

∴x+

或x=2，

=8，

（不合题意舍去），

．

∴x=6∴BC=6

∴正方形ABCD的边长是6故选B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共26分） 9．已知平行四边形ABCD中，∠B=3∠A，则∠C= 45 °． 【考点】平行四边形的性质．

【分析】平行四边形中，利用邻角互补可求得∠A的度数，利用对角相等，即可得∠C的值． 【解答】解：如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C， ∵∠B=3∠A，

∴∠A+3∠A=180°， ∴∠A=∠C=45°， 故答案为：45．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是解题关键．

的值为0．

10．当x= ﹣2 时，分式

【考点】分式的值为零的条件． 【专题】计算题．

【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0，并且分母的值不为0． 【解答】解：由分子x+2=0，解得x=﹣2，

而x=﹣2时，分母x﹣2=﹣2﹣2=﹣4≠0． 所以x=﹣2．

【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．

11．给出两个分式：【考点】最简公分母．

【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数；

，﹣

，它们的最简公分母为 a2bc ．

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：故答案是：a2bc．

，﹣

的分母分别是a2b，bc，故最简公分母是a2bc．

【点评】本题考查了最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．

12．在括号内填入适当的整式，使等式成立： （1）

=

；

（2）=．

【考点】分式的基本性质．

【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案；

（2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【解答】解：（1）分式的分子分母都乘以3x，得 =

；

（2）分式的分子分母都乘以（x+y），得

=

，

故答案为：3x2，x2+xy．

【点评】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变． 13．计算：

（1）= ，

（2）÷= ．

【考点】分式的基本性质．

【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案；

（2）根据分式的除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得答案． 【解答】解：（1）

=

，

（2）故答案为：

，

÷．

=

=，

【点评】本题考查了分式的性质，利用了分式的性质，分式的除法．

14．若关于x的方程【考点】分式方程的解．

﹣

=

无解，则m的值为 1或2 ．

【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．

【解答】解：方程去分母得：x（x+2）﹣m（x﹣2）=x2， 整理得：（2﹣m）x=﹣2m，

当2﹣m=0时，即m=2时，整式方程无解；

当（x﹣2）（x+2）=0时，即x=2或x=﹣2时，方程方程无解， 把x=2或x=﹣2代入（2﹣m）x=﹣2m得：m=1， ∴m=1或2， 故答案为：1或2．

【点评】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件，最简公分母为0，是需要识记的内容．

15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，若点A坐标为（4，3），则菱形ABCD的面积是 24 ，周长是 20 ．

【考点】菱形的性质；坐标与图形性质． 【专题】计算题．

【分析】连结AC，如图，根据菱形的性质得OA=AB=BC=OC，AC与OB互相垂直平分，则AD=CD=3，OD=BD=4，再利用勾股定理计算出OA，然后计算菱形的面积与周长． 【解答】解：连结AC，如图， ∵四边形OABC是菱形，

∴OA=AB=BC=OC，AC与OB互相垂直平分， ∵A（4，3），

∴AD=CD=3，OD=BD=4， ∴OA=

=5，

∴菱形ABCD的面积=×6×8=24，周长=4OA=20． 故答案为24、20．

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．也考查了坐标与图形性质．

16．一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和4cm两部分，则矩形的周长为 20或22 cm．

【考点】矩形的性质．

①当AE=3，【分析】由矩形的性质和已知条件得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=AE，分两种情况：DE=4时；②当AE=4，DE=3时；即可求出矩形的周长． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABC=90°，BC=AD，AB=DC，

∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB=AE； 分两种情况：

①当AE=3，DE=4时，AD=7，AB=AE=3，

∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2（3+7）=20（cm）； ②当AE=4，DE=3时，AD=7，AB=AE=4，

∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（4+7）=22（cm）； 综上所述：矩形的周长为20cm或22cm； 故答案为：20或22．

【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

17．若关于x的分式方程【考点】分式方程的解．

=2有正数解，则m的取值范围是 m＜10且m≠5 ．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为正数，求出m的范围即可．

【解答】解：分式方程去分母得：x﹣m=2（x﹣5）， 解得：x=10﹣m， ∵关于x的分式方程

=2有正数解，

∴10﹣m＞0，且x﹣5≠0， 解得：m＜10，且m≠5． 故答案为：m＜10且m≠5．

【点评】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分数方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．

18．已知点P为等边△ABC内一点，∠APB=112°，∠APC=122°，若以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，那么所构成三角形的各内角的度数是 52°、62°、66° ． 【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．

【分析】如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接PE，只要证明PA、PB、PC为边组成的三角形就是△PEB，再求出其内角即可．

【解答】解：如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接PE． ∵AE=AP，∠EAP=∠BAC=60°，

∴△EAP是等边三角形，∠EAB=∠PAC， ∴∠AEP=∠APE=60°，PA=PE， 在△EAP和△PAC中，

，

∴△EAP≌△PAC， ∴EB=PC，

∴PA、PB、PC组成的三角形就是△PEB， ∵∠APB=112°，∠APE=60°， ∴∠EPB=52，

∵∠AEB=∠APC=122°，∠AEP=62°， ∴∠PEB=66°，

∴∠EBP=180°﹣∠BEP﹣∠EPB=66°． 故答案为52°、62°、66°．

【点评】本题考查等边三角形的性质、旋转的性质，利用旋转添加辅助线是解决问题的关键，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共7小题，共50分，解答时应写出文字说明或演算步骤） 19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、 B（0，4）、C（0，2），

（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；

（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 （2，﹣1） ．

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【专题】作图题．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心． 【解答】解：（1）△A1B1C如图所示， △A2B2C2如图所示；

（2）如图，对称中心为（2，﹣1）．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 20．计算： （1）

+

（2）1﹣÷．

【考点】分式的混合运算． 【专题】计算题．

【分析】（1）原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；

（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．

﹣

=

=

；

【解答】解：（1）原式=

（2）原式=1﹣

=1﹣

==﹣．

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．解方程： （1）（2）

= +

=1﹣

．

【考点】解分式方程． 【专题】计算题．

【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）去分母得：5x=3x+6， 解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解；

（2）去分母得：x﹣3﹣x（x+1）=x2﹣1﹣2x（x﹣1）， 解得：x=﹣1，

经检验x=﹣1是增根，分式方程无解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

22．先化简，再求值：【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题．

÷（x+3+

），且x2+2x﹣1=0．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=

÷

=

=

，

由x2+2x﹣1=0，得到x2+2x=1，即x（x+2）=1，

则原式=．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔201枝以上（包括201枝），可以按批发价付款； 购买铅笔200枝以下（包括200枝）只能按零售价付款．已知按批发价购买6枝铅笔与按零售价购买5枝的价钱相同； 由于某中学的初三学生要参加中考，需要一批铅笔，校长特派小明来该店购买铅笔，花了120元钱给学校初三年级学生每人买1枝； 后来小明回去算了一下，如果他多买20枝，反而可以少花10元钱．

（1）该文具店购买铅笔批发价是每枝多少元？零售价是每枝多少元？

（2）某人分两次在该文具店里购买铅笔分别花了96元和120元，如果他一次性购买同样数量的铅笔可以少花多少钱？

【考点】分式方程的应用．

【分析】（1）设该文具店购买铅笔批发价是每枝x元，则零售价是每枝x=1.2x元，根据小明回去算了一下，如果他多买20枝，反而可以少花10元钱，可列方程求解．

（2）96元买的笔只能按照零售价，而120元可能那次则可能是按照零售价或批发价所买，所以买的有两种情况，因此他一次性购买同样数量的铅笔可以少花多少钱也有两种情况．

【解答】解：（1）设该文具店购买铅笔批发价是每枝x元，则零售价是每枝1.2x元． 根据题意得解得x=0.5．

+20=

经检验，x=0.5是方程的根且符合题意． ∴1.2x=0.6．

答：该文具店购买铅笔批发价是每枝0.5元，零售价是每枝0.6元；

（2）由题意可知96元那次必是按照零售价所买， ∴96÷0.6=160（支）

而120元那次则可能是按照零售价或批发价所买， 若按零售价，则数量为：120÷0.6=200（支）， 若按批发价，则数量为：120÷0.5=240（支） ∴合买时共需：（200+160）×0.5=180（元） 或（240+160）×0.5=200（元）（9分） 少花的钱为：96+120﹣180=36（元） 或：96+120﹣200=16（元）

答：一次性购买同样数量的铅笔可以少花36元或16元．

【点评】此题考查分式方程的实际运用，理解题意的能力，根据多买20枝，反而可以少花10元钱做为等量关系列出方程求解，在第（2）问里关键知道120元购买可按照零售价或批发价两种情况．

24．如图，在在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E是BC的中点，BC=12，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y=﹣x+9，点P是BC边上一个动点， （1）当PB= 1或11 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（2）在（1）的条件下，点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；

（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边，证明它们相等即可证明是菱形．

【解答】解：（1）∵AD∥BC，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y=﹣x+9，

∴OC=9，D点的纵坐标为4，D点的横坐标为5， 作DN⊥BC交于N，如图1所示： 则四边形OADN为矩形，

∴CN=OC﹣ON=OC﹣AD=9﹣5=4，DF=4， ∴△DFC为等腰直角三角形， ∴CD=

=4

，

若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD=PE=5， 有两种情况：①当P在E的左边， ∵E是BC的中点， ∴BE=6，

∴BP=BE﹣PE=6﹣5=1； ②当P在E的右边， BP=BE+PE=6+5=11；

故当BP=1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形； （2）①当BP=1时，此时CN=DN=4，NE=6﹣4=2，

∴DE===2≠AD，故不能构成菱形．

②当BP′=11时，以点P′、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形 ∴EP′=AD=5，

过D作DN⊥BC于N，如图2所示： 由（1）得：DN=CN=4，

∴NP′=BP′﹣BN=BP′﹣（BC﹣CN）=11﹣（12﹣4）=3． ∴DP′=∴EP′=DP′，

=

=5，

故此时平行四边形P′DAE是菱形，

即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知识；本题综合性强，难度较大，需要进行分类讨论．

25．如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，

（1）求证：△ADN≌△CBM；

（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；

（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．

【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定．

【专题】压轴题．

【分析】（1）根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，从而根据AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，从而即可判断出△ADN≌△CBM．

（2）连接NE、MF，根据（1）的结论可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE为斜边，NF为直角边，可判断四边形MFNE不是菱形．

（3）设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，首先求出AC=5，根据翻折变换知：AF=CE=3，=5，NF=tan∠NCFCF，NO2=NF2+OF2，于是可得AF+（CE﹣EF）可得EF=1，在Rt△CFN中，在Rt△NFE中，求出NO的长，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2

．

【解答】（1）证明：由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA，

∴∠DAN=∠BCM， 在Rt△ADN和Rt△CBM中， ∵

，

∴△ADN≌△CBM，

（2）解：连接NE、MF， ∵△ADN≌△CBM， ∴NF=ME， ∵∠NFE=∠MEF， ∴NF∥ME，

∴四边形MFNE是平行四边形， ∵MN与EF不垂直， ∴四边形MFNE不是菱形；

（3）解：设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点， ∵AB=4，BC=3， ∴AC=5， ∵AF=CE=BC=3，

∴2AF﹣EF=AC，即6﹣x=5， 解得x=1， ∴EF=1，

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