2-2点线面之间的位置关系单元测试题(水高)同学

《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题

1. 若面

是平面

外一点，则下列命题正确的是（ ） （A）过只能作一条直线与平面

中，交于一点或

、

、

平行 （D）过、

上分别取一定在直线

、

只能作一条直线与平面、

、

四点，

一定在直线

上

上

相交 （B）过

可作无数条直线与平

垂直（C）过如果

、在直线

可作无数条直线与平面

上 B．

平行

2

．在空间四边形 C．

，则（ ） A

．

上 D．既不在直线上，也不在

3．如图S为正三角形所在平面ABC外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分别为SC、AB中点，则异面直线EF与SA所成角为（ ） A．90 B．60 C．45 D．30 4．下列说法正确的是（ ） A

．若直线 B．若直线 D．若直线 A． B．

、

在平面

，都垂直于平面是

外，则

，则直线与平面

的距离相等 ，，

，

，

平行于平面 C．若直线

内的无数条直线，则，

，则

就平行于平面内的无数条直线 平行的是（ ）

5．在下列条件中，可判断平面

内存在不共线的三点到平面

内两条直线，且是两条异面直线，且

C．、 D．、

6 若

为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

；③

，其中正确的命题有（ ）

①

②A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 A． 90 B． 60 C． A．

B．

和共面的直线

7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当点D到平面ABC的距离最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为 （ ）

45 D． 30

D．

8．PA、PB、PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60?，则直线PC与平面APB所成角的余弦值是（ ）

C．、

9．对于平面下列命题中真命题是（A）若则 （B）若则

（C

）若则 （D）若、与所成的角相等，则

10．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是

A.4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．设12．

、

、

是直二面角，

，

，

、

，、

，则

。

。

是两两垂直且交于O点的三个平面，P到平面

中，AB=1。若二面角

的距离 分别是2、3、6，则的大小 为

，则点

到

13． 如图，在正三棱柱直线AB的距离为 。

14．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为那么二面角A—BC—D的正切值为 三、解答题（本大题共6小题，共75分）

，则侧面与底面所成的二 面角等于_______________

15．将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角 边

AB 43,AC 4

6

，

16.如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱。（I）求证：BD⊥平面ACC1A；

（II）若二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。

17．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，

，，

⑴求证：平面AB1C⊥平面BB1C；⑵求点B到平面AB1C的距离。

18. 如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.

（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

的等腰梯形，

19．如图，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120，求：⑴A、D连线和平面DBC所成的角；⑵二面角A—BD—C的正切值。

。

20． 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱（1）证明FO//平面CDE；（2）设

，证明EO⊥平面CDF。

21.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：

。

平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。

参考答案

一、选择题

DBCDD CCCCB

二、填空题

11．60 12．7 13．

14．60 15．

42 3

三、解答题

16． 解法一：

（1）∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱 ∴CC1⊥平面ABCD ∴BD⊥CC1 ∴ABCD是正方形， ∴BD⊥AC 又∵AC，CC1

平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1A1

（II）设BD与AC相交于O，连接C1O。

∵CC1⊥平面ABCD、BD⊥AC。∴BD⊥C1O∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角 ∴∠C1OC=60°

连接A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B是BC1与AC所成角.

设BC=a,则CO

=

在△A1BC1

中，由余弦定理得

∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos解法二:（I）建立空间直角坐标系D-xyz,如图。

设AD=a，DD1=b，则有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0）， C（0，a，0），C1（0，a，b），

∴BD⊥AC，BD⊥CC1 又∵AC，CC1

平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1A1。

（II）设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为

)

∴BD⊥C1O，又BD⊥CO， ∴∠C1OC=60°

∴

∴异面直线BC1与AC所成角的大小为

17．⑴由已知条件立即可证得，

⑵在平面BB1C内作BD⊥B1C于D，由⑴得BD⊥面AB1C，

∴BD为B到面AB1C的距离，∴

18．．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

（本题也可用体积转换）

即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1

所在直线分别为

轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，

）

.

从而

所以AC⊥BO1.

（II）解：因为

所以BO1⊥OC，

是平面OAC的一个法向量.

由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC

，设

是0平面O1AC的一个法向量，

由 得.

设二面角O—AC—O1

的大小为

，由、

的方向可知，>，

所以

cos，>=

即二面角O—AC—O1的大小是

解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.

因为

，

所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1 由三垂线定理得AC⊥BO1

.

（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.

设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC. 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.

由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，

所以，

从而， 又O1E=OO1·sin30°=

平面ABC＝，∴MN∥

，

⑴显然可得MN∥平面ABC，∵平面MNC

⑵∵PC⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，作MQ⊥AC，则MQ⊥平面ABC，

作QD⊥于D，则MD⊥，MD的长即为M到的距离

在Rt△ACB中，可求得∴

，

，于是

，又，∠QCD＝30?，

19．⑴作AO⊥BC交BC的延长线于O，∵面ABC⊥面BCD，∴OA⊥面BCD，连OD，则∠ADO就是AD与平面BCD所成的角，可求得

∠ADO＝45?

⑵作OE⊥BD于E，连AE，则BD⊥AE，

∴∠AEO就是二面角A－BD－C的平面角的补角，

∵∠ABO＝60?，∴，，∵∠EBO＝60?，∴

在Rt△AOE中，，∴二面角A－BD－C的正切值为－2

20. （1）证明：取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中

，又

于是四边形EFOM为平行四边形 ∴ FO//EM 又 ∵ FO

平面CDE，且EM

，则。连结EM，

平面CDE，∴ FO//平面CDE

（2）证明：连结FM，由（1）和已知条件，在等边行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM

中，CM=DM，EM⊥CD且。因此平

∵ CD⊥OM，CD⊥EM ∴ CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO 而FM

CD=M，所以

平面CDF

21（I）证明：连结OC

在 而

平面

中，由已知可得

即

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 在

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

中，

是直角斜边AC上的中线，

异面直线AB与CD所成角的大小为

（III）解：设点E到平面ACD的距离为

在

中，

而

点E到平面ACD的距离为

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