2011长沙市雅礼中学省理科实验班数学考试试卷（含答案）

2011年雅礼中学省理科实验班考试

科学素养（数学）测试题

命题人：李明利

◆注意事项：

1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；

2. 所有题目必须在答题卷上作答，否则不予计分。

一、选择题（每小题5分，共30分。每小题均给出了A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得０分）

1、有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的 结果如图所示。如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a?b的值为

A．3 B．7 C．8 D．11

2、右图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像（收支差额=车票收入-支出费用） 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车 票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。下面 给出四个图像（如图所示）则 y y

1 O 1 x 1 O A 1 x 1 O 1 1 x O 1 x y y y 1 O 1 x A A A ② ①③④

A．①反映了建议（2），③反映了建议（1） B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）

C．②反映了建议（1），④反映了建议（2） D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）

3、已知函数y?3?(x?m)(x?n)，并且a,b是方程3?(x?m)(x?n)?0的两个根，则 实数m,n,a,b的大小关系可能是

A．m?a?b?n B．m?a?n?b C．a?m?b?n D．a?m?n?b

1

S1?S2???Sn4、记Sn=a1?a2???an，令Tn?，称Tn为a1，a2，??，an这列数的“理想数”。

n已知a1，a2，??，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，??，a500的“理想数”为 A．200４ B．2006 C．2008 D．2010

5、以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后 与直径AB交于点D，若长为

CAD2?，且AB?10，则CB的 DB3ADOBA． 45 B．43 C． 42 D．4

6、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件。在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行。那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为 A．15

B．16

C．17

D．18

二、填空题(每小题6分,共48分)

7、若?x?表示不超过x的最大整数（如????3,??2???3等），则

3 ??2?????111???????????_________________。 ????2?1?2??3?2?3??2001?2000?2001?

A8、在?ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AE?2CE,BD?2CD， AD、BE交于点F，若S?ABC?3，则四边形DCEF的面积为________。

9、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有

号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是___________。

10、已知抛物线y?BFECD12，请在抛物线的对称轴上确定一点x?bx经过点A(4,0)。设点C（1，-3）

2D,使得AD?CD的值最大，则D点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。

2

11、三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________。

k(x?0)的图像上。正方形ABCD的边xkBC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数y?(x?0)的图像又

x经过A、E两点，则点E的横坐标为__________。

12、已知点（1，3）在函数y?

13、按下列程序进行运算（如图）

输入 X 乘以3

yADEOBCx减去2 否 大于244 是 停止 规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算。若x?5，则运算进行_______次才停止；若运算进行了5次才停止,则x的取值范围是________________。

三、解答题（本大题共5小题，12??12??14??18??16??72?）

15、已知：如图在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC＝b厘米，a＞b，且a、b是方程x?(m?1)x?m?4?0的两根。

⑴ 求a和b的值；

⑵ ?A?B?C?与?ABC开始时完全重合，然后让?ABC固定不动，将?A?B?C?以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动。

① 设x秒后?A?B?C?与?ABC的重叠部分的面积为y平方厘米， 求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围；

2A'AMB'BC'C② 几秒后重叠部分的面积等于

3平方厘米？ 816、已知⊙O过点D（3，4）,点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A。

⑴ 求sin?HAO的值；

⑵ 如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若?DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin?CGO的大小怎样变化，请说明理由。

3

y D A O H x y D G O F E P B C x 17、青海玉树发生7.1级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米的A镇，二分队因疲劳可在营地休息a(0?a?3)小时再往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路。已知一分队的行进速度为b千米/时，二分队的行进速度为(4?a)千米/时。

⑴ 若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？

⑵ 若b=4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？

4

18、如图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。

⑴ 在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E,F，如图4。 求证：AE2?BF2?EF2；

⑵ 若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2?BF2?EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

C C 图1 D A 图2 B A C D 图3 B C F E A D 图4 B A E 图5 D F B ⑶ 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足?CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。

A N F M B E C D 19、定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。

如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同 的向量:AB、BA、AC、CA、AD 、DA、BD、DB（由于AB和DC是相等向量，因此只算一个）。

5

⑴ 作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为f(2)，试求f(2)的值；

图一

⑵ 作n个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f(n)，试求f(n)的值；

? 共n个正方形 图二

⑶ 作2?3个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为f(2?3)，试求f(2?3)的值；

图三

⑷ 作m?n个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为f(m?n)，试求f(m?n)的值。

共

m

个

正

方

形 相连

6

2011年雅礼中学省理科实验班考试

科学素养（数学）测试题答案与解析

一·选择题

1.B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 二、填空题

7. 分析：根据[x]表示不超过x的最大整数，[]=[]=[1+]=1，[]=[]=1，? []=[]=1，从而得出答案．解答：解：∵[x]表示不超过x的最大整数， ∴

=[]+[]+?+[]，

=[1+]+[1+]+?+[1+]， =1+1+?+1， =2000．

故答案为：2000． 8.

9. 分析：抽取3面旗，总共的情况计算思路为：第一面旗有9种，第二面有（9-1）即8种，第三面有（9-1-1）即7种，则总的情况有9乘以8乘以7等于504种； 要求颜色和号码都不同的情况计算思路为：第一面旗还是有9种情况；

第二面旗的情况为：除去第一面已选的颜色外，还剩另外2种颜色本来是6种情况，但是第一面旗肯定能确定一个号码，所以剩下的2种颜色中与第一面旗选的号码必须不一样，则选了第一面旗后，第二面旗的选择就只有4种情况了； 而第一面旗和第二面旗选定后，第三面旗就已经确定唯一了，即轮到第三面旗的时候就没的选了，前面2面旗已经把颜色和号码都定死了．解答：解：根据乘法公式可知：

任意抽取3面旗，一共有9×8×7=504种情况，

三面旗颜色与号码都不一样的情况一共有9×4×1=36种情况∴它们的颜色与号码均不相同的概率是=． 故答案为：

10. （2，-6） 11. 201 12.

。

13. 按下列程序进行运算（如图）

规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x=5，则运算进行4 4

次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是2＜x≤4 14.

三、解答题 15. 16. 17.

18. 分析：（1）根据图形，即可求得f（2）的值；

7

（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到规律为：f（n）=6n+2； （3）根据图形，即可求得f（2×3）的值；

（4）先分析特殊情况，再求得规律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．解答：解：（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14； （2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，

∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26， ∴f（n）=6n+2；

（3）f（2×3）=34；

（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62 ∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．

8

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