函数的对称性与周期性

1、教材分析 2、课时规划 3、教学目标分析 4、教学思路 5、教学过程设计 一、复习引入 二、知识串讲： 课程名称：函数的对称性与周期性 教学内容和地位： 内容： 1.函数的对称性 2.函数的周期性 3.函数的对称性与周期性 4.复合函数的对称性与周期性 地位： 函数是整个高中数学的重点，而函数的性质则是函数主要的考点。 教学重点： 1.函数的对称性 2.函数的周期性 3.函数的对称性与周期性 4.复合函数的对称性与周期性 教学难点：复合函数的对称性与周期性 课时：3课时 掌握函数单调性和奇偶性的定义，会利用函数的对称性与周期性求解题目。 1．导入 2.集合部分知识点串讲 3.例题精讲 4.易错点，考点，综合应用，典型图形 5.小结 必讲知识点 （一）同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性：对于函数y?f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对称性： 我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 f(?x)?f(x) 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)?f(?x)?0 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数y?f(x)关于x?a对称?f(a?x)?f(a?x) f(a?x)?f(a?x)也可以写成f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x) 简证：设点(x1,y1)在y?f(x)上，通过即点f(x)?f(2a?x)可知，y1?f(x1)?f(2a?x1)，(2a?x1,y1)也在y?f(x)上，而点(x1,y1)与点(2a?x1,y1)关于x=a对称。得证。 若写成：f(a?x)?f(b?x)，函数y?f(x)关于直线x?(a?x)?(b?x)2?a?b2 对称 （2）函数y?f(x)关于点(a,b)对称?f(a?x)?f(a?x)?2b 上述关系也可以写成f(2a?x)?f(x)?2b f(2a?x)?f(?x)?2b 或 简证：设点(x1,y1)在y?f(x)上，即y1?f(x1)，通过f(2a?x)?f(x)?2b可知，f(2a?x1)?f(x1)?2b，所以f(2a?x1)?2b?f(x1)?2b?y1，所以点(2a?x1,2b?y1)也在y?f(x)上，而点(2a?x1,2b?y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得证。 若写成：f(a?x)?f(b?x)?c，函数y?f(x)关于点(a?bc,) 对称 22 （3）函数y?f(x)关于点y?b对称:假设函数关于y?b对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y?b对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于y?b对称，比如圆c(x,y)?x2?y2?4?0它会关于y=0对称。 4、周期性： （1）函数y?f(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T Af(x?T)?1f(x)、f(x?T)??f(x)1f(x) B、或f(x?T)?? 或f(x?T2)?1?f(x)1?f(x) C、f(x?右边加负号亦成立） T2)?1?f(x)1?f(x)（等式 D、其他情形 （2）函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)且f(b?x)?f(b?x)，则可推出f(x)?f(2a?x)?f[b?(2a?x?b)]?f[b?(2a?x?b)]?f[x?2(b?a即可以得到y?f(x)的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数” （3）如果奇函数满足f(x?T)??f(x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为x?T2?2kT(k?z)，根据f(x)?f(x?2T)可以找出其对称中心为(kT，0)(k?z)（以上T?0） 如果偶函数满足f(x?T)??f(x)则亦可以推出周期是(T22T，且可以推出对称中心为可以推出?2kT,0)(k?z)，根据f(x)?f(x?2T)对称轴为x?T?2kT(k?z) （以上T?0） （4）如果奇函数y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)（T?0），则函数y?f(x)是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)（T?0），则函数y?f(x)是以2T为周期的周期性函数。 定理3：若函数f?x?在R上满足f(a?x)?f?a?x?，且f(b?x)?f?b?x?（其中a?b），则函数y?f?x?以2?a?b?为周期. 定理4：若函数f?x?在R上满足f(a?x)??f?a?x?，且f(b?x)??f?b?x?（其中a?b），则函数y?f?x?以2?a?b?为周期. 定理5：若函数f?x?在R上满足f(a?x)?f?a?x?，且f(b?x)??f?b?x?（其中a?b），则函数y?f?x?以4?a?b?为周期. （二）两个函数的图象对称性 1、y?f(x)与y??f(x)关于X轴对称。 换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。 2、y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。 换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。 3、y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。 换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。 4、y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。 换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。 5、y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。 换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点(a,b)对称。 6、y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?7、函数的轴对称： 定理1：如果函数y?f?x?满足f?a?x??f?b?x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?a?b2a?b2对称。 对称. 推论1：如果函数y?f?x?满足f?a?x??f?a?x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?a对称. 推论2：如果函数y?f?x?满足f?x??f??x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?0（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化. 8、函数的点对称：

定理2：如果函数y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??2b，则函数y?f?x?的图象关于点?a,b?对称. 推论3：如果函数y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??0，则函数y?f?x?的图象关于点?a,0?对称. 推论4：如果函数y?f?x?满足f?x??f??x??0，则函数y?f?x?的图象关于原点?0,0?对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化. （三）．总规律：定义在Ｒ上的函数y?f?x?，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。 （四）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性。 性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x)。 （2）f(2a－x)＝f(x)。 （3）f(2a＋x)＝f(－x)。 性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)。 （2）f(2a－x)＝－f(x)。 （3）f(2a＋x)＝－f(－x)。 注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。 y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。 2、复合函数的奇偶性。 性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。 复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。 性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)； 复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。 性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。 复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。 3、函数的周期性。 性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下 列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a)， ②f(x＋a)＝－f(x)， ③f(x＋a)＝1/f(x)， ④f(x＋a)＝－1/f(x)。 4、函数的对称性与周期性。 性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为 周期函数，且T＝2|a－b|。 性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。 性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称， 则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。 5、复合函数的对称性。 性质1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b-x)关于直线 x＝(b-a)/2轴对称。 性质2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝-f(b-x)关于点 ((b-a)/2,0)中心对称。 推论1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴 轴对称。 推论2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点 中心对称。 三．例题精讲 1．已知定义为R的函数f?x?满足f??x???f?x?4?，且函数f?x?在区间?2,???上单调递增.如果x1?2?x2，且x1?x2?4，则f?x1??f?x2?的值（A ）. A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负. 分析：f??x???f?x?4?形似周期函数f?x??f?x?4?，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x?2代替x，使f??x???f?x?4?变形为 f?2?x???f?x?2?.它的特征就是推论3.因此图象关于点?2,0?对称.f?x?在区间?2,???上单调递增，在区间???,2?上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位. ?2?x2?4?x1，且函数在?2,???上单调递增，所以 f?x2??f?4?x1?，又由f??x???f?x?4?， 有f(4?x1)?f???x1?4???f?x1?4?4???f?x1?， ?f?x1??f?x2??f?x1??f?4?x1??f?x1??f?x1??0.选A. 当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A. 2：在R上定义的函数区间[1,2]上是减函数，则 且f(x)?f(2?x).若f(x)f(x)是偶函数，f(x)( B ) 在A.在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[?2,?1]D.在区间[?2,?1]分析：由f(x)?上是减函数，在区间[3,4]上是减函数，在区间[3,4]f(2?x)可知上是增函数 上是增函数 即推论f(x)图象关于x?1对称，的应用.又因为f(x)为偶函数图1象关于x?0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]上是减函数，可得如右f(x)草图.故选B 3.定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)?0在闭区间??T,T?上的根的个数记为n，则n可能为（ D ） A.0 B.1 C.3 D.5 分析：f(T)?f(?T)?0，f(?∴f(?T2)?f(T2T2)??f(T2)?f(?T2?T)?f(T2)， )?0，则n可能为5，选D. 4．已知函数f?x?的图象关于直线x?2和x?4都对称，且当0?x?1时，f?x??x.求f?19.5?的值. 分析：由推论1可知，f?x?的图象关于直线x?2对称，即f?2?x??f?2?x?， 同样，f?x?满足f?4?x??f?4?x?，现由上述的定理3知f?x?是以4为周期的函数. ?f?19.5??f?4?4?3.5??f?3.5??f?4???0.5???f??0.5?，同时还知f?x?是偶函数，所以f??0.5??f?0.5??0.5. 5．f?x??f?398?x??f?2158?x??f?3214?x?，则f?0?，f?1?，f?2?，?，f?999?中最多有（ B ）个不同的值. A.165 分f B.177 析： C.183 由 D.199 已知?x??f?398?x??f?2158?x??f?3214?x??f?x?1056? ?f?x?1760??f?x?704??f?x?352?. 又f有f?398?x??f?2158?x??f?3214?x??f?x???x?1056? ?f?1102?x??f?1102?x?1056??f?46?x??f??2158??1056?x???， 于是f(x)有周期352，于是?f?0?,f?1?,?,f?999??能在

?f?0?,f?1?,?,f?351??中找到. 又f(x)的图像关于直线x?23对称，故这些值可以在?f?23?,f?24?,?,f?351??中找到.又f(x)的图像关于直线x?199对称，故这些值可以在?f?23?,f?24?,?,f?199??中找到.共有177个.选B. 6：已知f?x??，f1?x??f?，f2?x??f?，?，f?x??f1?x??????1?3x（ A ）. C. ? 5x?131?xfn?1?x??f??fn?x???，则f2004??2??A.?17 B. 1?x17 D.3 分析：由f?x??1?3x，知f1?x??，f2?x??f?3x?1?x?1???x，?3x?1?f3?x??f?x?. f(x)为迭代周期函数，故f3n?x??f?x?，f2004?x??f?x?，f2004??2??f??2???17. 选A. 7：函数f(x)在R上有定义，且满足f(x)是偶函数，且f?0??2005，g?x??f?x?1?是奇函数，则f?2005?的值为 . 解：g??x??f??x?1???g?x???f?x?1?，f??x?1???f?x?1?，令y?x?1，则f??y???f?y?2?，即有f?x??f?x?2??0，令an?f?x?，则an?an?2?0，其中a0?2005，a1?0，an?20052?in???i?n???，f?2005??a2005?20052?i2005???i?2005??? ?0. 或有f?x???f?x?2?，得f?2005???f?2003??f?2001???f?1999??? ?f?1??0. 8．设函数f(x)(x?R)为奇函数，f(1)?f(5)?（ 12,f(x?2)?f(x)?f(2),则 c ） B．1 C．52 A．0 D．5 分析：答案为B。先令f（1）= f（--1+2）=f（--1）+f（2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f（--1）=--1/2，所以， f（2）=1，f（5）=f（3）+f（2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，所以，答案为c。 9． 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ B ） (A)f?1.5??f?3.5??f?6.5?； (B)f?3.5??f?1.5??f?6.5?； (C)f?6.5??f?3.5??f?1.5?； (D)f?3.5??f?6.5??f?1.5? 分析：答案为B。做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将f（x）设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将f（x）设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在（0,3）内单调递减，根据图像，即可求出，答案为B。 10．设函数f(x)与g(x)的定义域是?x?Rx??1?,函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)?g(x)?A.1x21x?1，则f(x)等于（C） 2xx2?1 B.2xx22?1 C.2x2?1 D.?1 分析：答案为C. 本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C 11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(12)=－1,当且仅当00,1－x1x2>0，∴1?xx1>0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<1?xx2?x11x2<1,由题意知f(1?xx2?x11x2)<0， 即 f(x2)

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