相似三角形最全讲义(教师版)
更新时间:2024-06-18 12:15:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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相似三角形基本知识
知识点一:放缩与相似形
1.图形的放大或缩小,称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。
注意:⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.
⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.
3.相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例。
注意:当两个相似的多边形是全等形时,他们的对应边的长度的比值是1.
知识点二:比例线段有关概念及性质 (1)有关概念
1、比:选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段
的比是
am?bn) a:b=m:n(或
2、比的前项,比的后项:两条线段的比a:b中。a叫做比的前项,b叫做比的后项。 说明:求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度。
ac?3、比例:两个比相等的式子叫做比例,如bd
ac?4、比例外项:在比例bd(或a:b=c:d)中a、d叫做比例外项。 (或a:b=c:d)中b、c叫做比例内项。
ac?5、比例内项:在比例bdac?6、第四比例项:在比例bd(或a:b=c:d)中,d叫a、b、c的第四比例项。
ab?ba(或7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等,即比例为
a:b=b:c时,我们把b
叫做a和d的比例中项。
8.比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即
ac?(或a:b=c:d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线bd段。(注意:在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位)
(2)比例性质
ac??ad?bcbd1.基本性质: (两外项的积等于两内项积) acbd???ac (把比的前项、后项交换) 2.反比性质: bd3.更比性质(交换比例的内项或外项):
?ab(交换内项)?c?d,?ac?dc????,(交换外项)bdba??db(同时交换内外项)?c?a.?
4.合比性质:
aca?bc?d???bdbd(分子加(减)分母,分母不变) .
注意:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间
?b?ad?c??ac?ac??发生同样和差变化比例仍成立.如:?.
bd?a?b?c?d??a?bc?d 5.等比性质:(分子分母分别相加,比值不变.) 如果
a?c?e???maacem?. ?????(b?d?f???n?0),那么
b?d?f???nbbdfn注意:(1)此性质的证明运用了“设k法” ,这种方法是有关比例计算,变形中一种常用方法.
(2)应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.
知识点三:黄金分割
1)定义:在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果
ACBC,?ABAC即AC2=AB×BC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比。其中AC?5?1AB≈0.618AB。 22)黄金分割的几何作图:已知:线段AB.求作:点C使C是线段AB的黄金分割点.
作法:①过点B作BD⊥AB,使②连结AD,在DA上截取DE=DB;
;
③在AB上截取AC=AE,则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为:
.(只要求记住)
3)矩形中,如果宽与长的比是黄金比,这个矩形叫做黄金矩形。
知识点四:平行线分线段成比例定理
(一)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.
例. 已知l1∥l2∥l3,
A D l1 B E l2
C F l3
ABDEABDE或?等.可得 ?BCEFACDF
2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
(1)是“A”字型 (2)是“8”字型 经常考,关键在于找
由DE∥BC可得:泛,条件是平行.
ADAEBDECADAE?或?或?.此推论较原定理应用更加广DBECADEAABAC
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