最新人教版高中数学选修4-4《曲线的参数方程》课后导练

课后导练

基础达标

11?x?(a?),??2a1.已知某条曲线的参数方程为?(其中a是参数)，则该曲线是( )

11?y?(a?)?2a?A.线段 B.圆 C.双曲线 D.圆的一部分 解析:把a表示出来,两式相减,得x2-y2=1且由|x|=答案:C

2??x?3t?2,2.已知某条曲线的参数方程为?(0≤t≤5)，则该曲线是( ) 2??y?t?111|a+|≥1知x≤-1或x≥1,易知结果. 2aA.线段 B.圆弧 C.双曲线的一支 D.射线

解析:消去t得:x-3y=5,又0≤t≤5. 故-1≤y≤24,故曲线是线段. 答案:A

?x?1?cos2?,3.若曲线x=?(θ为参数),则点(x,y)的轨迹是( ) 2y?sin??A.直线x+2y-2=0 B.以(2,0)为端点的射线

C.圆(x-1)2+y2=1 D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段 解析:∵x=1+cos2θ=1+1-2sin2θ=2-2y,且0≤x≤2,0≤y≤1, ∴轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段. 答案:D

2??x?t?2t?3,4.曲线C的方程为?(t∈R)，则曲线C的图象在( ) 2??y?t?4t?5A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解析:只需就其方程来判断横、纵坐标的符号即可. 答案:A

?x?2cos?,5.直线系方程为xcosφ+ysinφ=2,圆的参数方程为?(φ为参数),则直线与圆的位置

y?2sin??关系为( )

A.相交不过圆心 B.相交且经过圆心 C.相切 D.相离 解析:圆的普通方程为x2+y2=4,圆心(0,0)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离等于d=径,所以直线与圆相切. 答案:C

2=2,等于半1??x?t2?1,6.点P(3,b)在曲线?上,则b=____________.

??y??2t?1

解析:3=t2+1, ∴t=±2. ∴y1=-5=b, y2=3=b. 答案:3或-5

?x?r?rcos?,?7.圆?(θ为参数,r>0)的直径是4,则圆心坐标是__________. ry??rsin??2?解析:∵2r=4, ∴r=2. ∴圆心是(r,

r),即(2,1). 2答案:(2,1)

8.动点(2-cosθ,cos2θ)的轨迹的普通方程是____________. 解析:设动点坐标为(x,y),得??x?2?cos?,1,消去θ,得y=2(2-x)2-1,即(2-x)2=(y+1),由于

2?y?cos2?1(y+1)(1≤x≤3). 2|y|=|cos2θ|≤1,动点轨迹只是抛物线的一部分,即(x-2)2=

答案:y=2(x-2)2-1(1≤x≤3)

9.已知实数x、y满足条件x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的取值范围是___________.

解析:由题意可知:(x、y)在圆x2+y2-2x+4y=0上移动,由数形结合思想,圆的参数方程

??x?1?5cos?,为:? ??y??2?5sin?.∴x-2y=5+5(cosθ-2sinθ)=5+5sin(α-θ) 答案:［0,10］ 10.求u=

2?sin?的最小值.

1?cos?解:令P(cosθ,sinθ)、Q(1,2),则知P为圆x2+y2=1上任意一点. 则:u=

2?sin?即是直线的斜率,切线PQ的斜率即是所求的最小值.

1?cos?

设过Q与圆x2+y2=1相切的直线方程为 y-2=k(x-1), 即kx-y+2-k=0.

∵圆心O到切线PQ的距离等于半径1, ∴

|2?k|1?k2=1,解之,得k=

3. 4∴u的最小值为

3. 4综合运用

11.已知实数x、y满足(x+1)2+(y-2)2=16，求3x+4y的最值. 解:由数形结合,利用参数方程来解. 由题意知,设??x??1?4cos?,代入3x+4y=3(-1+4cosθ)+4(2+4sinθ)=20cos(θ+α)+5,于是

?y?2?4sin?,3x+4y的最大值为25,最小值为-15. 12.参数方程??x?3cos??4sin?,(φ为参数)的图形是____________.

?y?4cos??3sin?解析:由方程知,x2=9cos2φ+24sinφcosφ+16sin2φ, y2=16cos2φ-24sinφcosφ+9sin2φ. ∴x2+y2=25. 答案:圆

13.已知点Q是圆x2+y2=4上的动点，定点P(4,0)，若点M分PQ所成的比为1∶2，求点M的轨迹.

2cos??2?x?,?1?3x?2?2cos?,1????2?2解:设点Q(2cosθ,2sinθ),M(x,y),则由题意得?即?消去θ3y2sin???2sin?,?y?,?1??21??2?得:(

3341644x-2)2+(y)2=4,即(x-)2+y2=,故其轨迹为以点(,0)为圆心、为半径的圆. 22393314.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=10，cosA∶cosB=b∶a=4∶3，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值与最小值. 解:与三角函数中的正、余弦定理相联系. 由cosA∶cosB=b∶a,得A+B=

cosAsinB?,∴sin2A=sin2B,因为a≠b,A≠B,所以2A=π-2B,即cosBsinA?.由此可知△ABC为直角三角形. 2a?b?c=2.以顶点C为原点、2又c=10,b∶a=4∶3,a2+b2=c2,得a=6,b=8.故其内切圆半径为r=

CA所在直线为x轴,则△ABC的相应内切圆的参数方程为??x?2?2cos?,,则该圆上的动

?y?2?2sin?

点P的坐标为(2+2cosθ,2+2sinθ),故PA2+PB2+PC2=80-8cosθ,故所求的最大值与最小值分别为88、72. 拓展探究 15.曲线C:??x?cos?,(θ为参数)的普通方程是__________,如果C与直线x+y+a=0有公

?y??1?sin?共点,那么实数a的取值范围是____________. 解析:参数方程消去θ得x2+(y+1)2=1.

曲线C与直线x+y+a=0有公共点,则圆心到直线的距离不超过半径长, 即|

0?1?a2|≤1.

∴1-2≤a≤1+2.

答案:x2+(y+1)2=1 1-2≤a≤1+2

16.圆M的方程为x2+y2-4Rxcosα-4Rysinα+3R2=0(R>0). 求该圆圆心M的坐标以及圆M的半径；

分析:本题中所给的圆方程中的变数有多个，此时要结合题意分清究竟是哪个真正在变，而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误. 解:由题意得圆M的方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R2， 故圆心为M(2Rcosα,2Rsinα)，半径为R.

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