2012年上海模拟考数列汇编（一模） - 图文

上海市高考数学模拟汇编2012年 数列

一、

等差等比数列

1. 【2012年宝山区一模文理第1题】已知等差数列?an?，a2??2，a6?4，则

a4? ．

【答案：1】

2. 【2012年崇明区一模文理第10题】 已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?3，且当n≥2,n?N?时Sn?1是an与?3的等差中项，则数列?an?的通项an? ． 【答案：3】

3. 【2012年崇明区一模文理第13题】观察右图

1

234

34567

45678910

??????

从上而下，其中2012第一次出现在第 行，第 列． 【答案：672,1341】 4. 【2012年奉贤区一模理第13题】（理）对于数列?an?，如果存在最小的一个常数nTT?N*，使得对任意的正整数恒有an?T?an成立，则称数列?an?是周期为T的周

期数列。设m?qT?r,m,q,T,r?N???*? ，数列前m,T,r项的和分别记为Sm,ST,Sr，

则Sm,ST,Sr三者的关系式_____________________ 【答案：Sm?qST?Sr】

5. 【2012年奉贤区一模文第13题】（文）已知数列{an}的通项公式为an?n?13，那

么满足ak?ak?1???ak?19?102的正整数k=________ 【答案：2或5】

6. 【2012年虹口区一模文理第8题】数列?an?满足a1?0，且

11??2(n?N?)，则通项公式an? ．

1?an?11?an【答案：

7. 【2012年虹口区一模文理第12题】等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?18，

2n?2】 2n?1ak?4?30(k?9)，Sk?336，则k? ． 【答案：21】

8. 【2012年虹口区一模文理第14题】已知②b?ac；③【答案：③】

2bcacab，，成等差数列，则①ac?b2；

caba?c2?b中，正确的是 ．（填入序号） 9. 【2012年虹口区一模文理第16题】已知数列?an?的前n项和Sn，对于任意的m,n?N?，都满足Sn?Sm?Sm?n，且a1?2，则a2011等于（ ） A. 2 B. 201 1 C. 2012 D. 4022 【答案：A】

10. 【2012年嘉定区一模文理第2题】在等差数列{an}中，a5?3，a6??2，则{an}的

前10项和S10?___________． 【答案：5】

11. 【2012年嘉定区一模理第14题】将正奇数排成下图所示的三角形数表： 3，5 7，9，11 13，15，17，19

??

1

011，则i?j?____．其中第i行第j个数记为aij（i、j?N*），例如a42?15，若aij?2

【答案：61】

12. 【2012年嘉定区一模文第14题】将正整数排成三角形数表：

2，3 4，5，6 7，8，9，10

??

按上面三角形数表排成的规律，数表中第n行所有数的和为______________．

1

n3?n【答案：】

213. 【2012年静安区一模理第10题】已知等差数列?an?的前10项之和为30，前20项之和为100，则a3?a28= . 【答案：14】

214. 【2012年卢湾区一模文理第9题】已知数列{an}，若a1?14，an?1?an?（n?N*），

3则使an?an?2?0成立的n的值是 ． 【答案：21】

15. 【2012年卢湾区一模文理第12题】为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，那么最大频率为 ，视力在4.6到5.0之间的学生数为 ． 【答案：0.27，78】

16. 【2012年闵行区一模理第11题】 设等差数列?an?的首项及公差均是正整数，前n项

和为Sn，且a1?1，a4?6，S3?12，则a2012= ． 【答案：4024】

17. 【2012年闵行区一模文第14题】在一圆周上给定1000个点.（如图）取其中一点标记

上数1，从这点开始按顺时针方向数到第二个点标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点标记上数3，继续这个过程直到1，2，3，?，2012都被标记到点上，圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数，在标记上2012的那一点上的所有标记的数中

最小的是 . 【答案：12】

18. 【2012年闵行区一模理第14题】已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）.

现对这些点进行往返标数（从A→B→A→B→?进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）。如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n的点称为点n），??，这样一直继续下去，直到1，2，3，?，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标记的数中，最小的是 ． 【答案：3】

19. 【2012年浦东新区一模理第18题】已知共有k(k?N)项的数列{an}，a1?2，定义向量cn?(an,an?1)、dn?(n,n?1)(n?1,2,3,?,k?1)，若|cn|?|dn|，则满足条件的数列{an}的个数为 （ ） A. 2 【答案：C】

B. k C. 2k?1*A612534B D.2k(k?1)2 20. 【2012年普陀区一模文第11题】已知数列?an?是等差数列，其前n项和为Sn，若S10?20,S20?60,则【答案：6】

S30? ． S1021. 【2012年普陀区一模理第11题】已知数列?an?是等比数列，其前n项和为Sn，若S10?20,S20?60,则【答案：7】

S30? ． S1022. 【2012年普陀区一模文理第14题】设n?N,an表示关于x的不等式

*log4x?log4(5?4n?1?x)?2n?1的正整数解的个数，则数列?an?的通项公式an= ．

【答案：3?4

n?1?1,n?N*】

23. 【2012年青浦区一模文理第6题】已知等比数列?an?中，各项都是正数，且a1,成等差数列，则

1a3,2a22a6?a7等于 ．

a8?a9【答案：3?22】

24. 【2012年徐汇区一模文第13题、理第11题】已知各项为正数的等比数列

{an}满足:a7?a6?2a5,若存在两项am、an使得am?an?22a1，则1?4的最小值mn为 【答案：11】 6a12a22a32a13??a23?a33???a11??a21?a25. 【2012年徐汇区一模文第18题】由9个互不相等的正数组成的矩阵?31中，每行中的三个数成等差数列，且a11?a12?a13、a21?a22?a23、a31?a32?a33成等比数列，下列三个判断正确的有……………………（ ） ①第2列a12,a22,a32必成等比数列 ②第1列a11,a21,a31不一定成等比数列 ③a12?a32?a21?a23 （A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个 【答案：A】

?a11??a21?a?31a12a22a32a13??a23?a33??26. 【2012年徐汇区一模理第18题】由9个互不相等的正数组成的矩阵

中，

每行中的三个数成等差数列，且a11?a12?a13、a21?a22?a23、a31?a32?a33成等比数列，下列四个判断正确的有……………………（ ）

①第2列a12,a22,a32必成等比数列 ②第1列a11,a21,a31不一定成等比数列 ③a12?a32?a21?a23 ④若9个数之和等于9，则a22?1 （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

【答案：A】

27.

?a?S【2012年杨浦区一模文理第16题】若等比数列n前n项和为nz?数

??2n?a，则复

ia?i在复平面上对应的点位于 ( )．

?A? 第一象限 . ?B?第二象限 . ?C?第三象限 . ?D? 第四象限 .

【答案：A】

28. 【2012年长宁区一模文第8题】已知?an?是等差数列，a10?10,其前10项和S10?70,则其公差d=__________． 【答案：

29. 【2012年长宁区一模文第12题】右数表为一组等式，如果能够猜测

2】 3S2n?1??2n?1??an2?bn?c?，则3a?b?____． 【答案：4】、

30. 【2012年长宁区一模理第11题】等比数列?an?的前项和Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则?an?公比为__________． 【答案：

31. 【2012年长宁区一模理第14题】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列?an?，若an?2011，则n?__________． 1 1 2 3 4 2 4 5 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36

1】 3 图甲 图乙 【答案：1028】 二、

数列极限与数学归纳法

32. 【2012年宝山区一模文理第

2n?19题】用数学归纳法证明

“1?a?a???a1?an?2，在验证n?1成立时，等号左边的式子是?(a?1)”

1?a_________.

【答案：1?a?a】

2?2n?1??????????n?2012?33. 【2012年宝山区一模文理第16题】已知an??1n?1，Sn是数列?an?(?)???????n?2012??2的前n项和??????（ ） (A）liman 和limSn都存在 (B) liman和limSn都不存在 n??n??n??n??(C) liman存在，limSn不存在 (D) liman不存在，limSn存在 n??n??n??n??【答案：A】

34. 【2012年崇明区一模文理第4题】计算lim(n??253n?1??......?)? ． n2n2n2【答案：

3 】 235. 【2012年奉贤区一模理第7题】 (理)已知无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，则公比q=_______________ 【答案：

36. 【2012年奉贤区一模文第7题】(文)已知无穷等比数列中的首项1，各项的和2，则 公

比q=_______________ 【答案：

37. 【2012年静安区一模文第17题】 等比数列｛an｝的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若

1 】 21 】 2S67?，则limSn等于( )

n??S38

A．?12 B．1 C．- D．不存在

32【答案：C】

38. 【2012年静安区一模理第15题】下列命题正确的是 ???????????( )

（A） liman?A, limbn?B则limn??n??anA?(bn?0,n?N)

n??bBn（B） 若数列{an}、{bn}的极限都不存在，则{an?bn}的极限也不存在 （C） 若数列{an}、{an?bn}的极限都存在,则{bn}的极限也存在 （D） 设Sn?a1?a2???an，若数列{an}的极限存在,则数列{Sn}的极限也存在 【答案：C】

39. 【2012年卢湾区一模文理第8题】若常数t满足|t?|，则11?t?t2???tn?1lim? ． n??tn1【答案：】 t?1

40. 【2012年闵行区一模文理第8题】若f(n)?1?111????(n?N*)，则对于233n?1k?N*，f(k?1)?f(k)? ． 【答案：

41. 【2012年闵行区一模文第11题】已知数列{an}的前n项和Sn?2?1(n?N)，则n111】 ??3k3k?13k?2*liman?2? ． n??Sn【答案：

1】 2n42. 【2012年浦东新区一模理第4题】若lim(1?a)?0，则实数a的取值范围是 .

n??【答案：(0,2)】

43. 【2012年普陀区一模文理第5题】已知各项均为正数的等比数列?an?中，

a1?2?1,a3?2?1则此数列的各项和S? ．

【答案：2?

44. 【2012年青浦区一模文理第7题】设a,b?R，则lim【答案：0】

45. 【2012年徐汇区一模理第14题】如图所示：矩形AnBnPnQn的一边AnBn在x轴上，另两个顶点Pn,Qn在函数?32】 2an?bnn???a?b?n? ．

y1 Qn Pn f(x)?2x(x?0的)图像上（其中点Bn的坐标为1?x2O An 1 Bnx

，矩形AnBnPnQn的面积记为Sn，则?n,0?(n?2,n?N*)）limSn= n??【答案：2】

2n??lim?1???n???n?3? ． 46. 【2012年杨浦区一模文理第1题】计算：【答案：﹣1】

47. 【2012年闸北区一模文理第3题】设an?3(n?N)，则数列{an}的各项和为 ． 【答案：

48. 【2012年闸北区一模文理第14题】已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有2n?N*，有4Sn?(an?1)，其中Sn表示数列{an}的前n项和．则lim?n*1】 2n? 【 】

n??anA．0 B．1 C．【答案：C】

三、

数列（大题）

1 D．2 2

49. 【2012年宝山区一模文理第23题】已知函数f(x)?log2x,若2,f(a1),f(a2),

f(a3),?,f(an),2n?4,?(n?N*)成等差数列.

(1)求数列{an}(n?N)的通项公式；

(2)设g(k)是不等式log2x?log2(3ak?x)?2k?3(k?N)整数解的个数，求

**g(k)；

(3)记数列??12??的前n项和为Sn，是否存在正数?，对任意正整数n,k，使a?n?Sn??ak??2恒成立？若存在，求?的取值范围；若不存在，说明理由. 【23.解：（1）由题可知f?an??2n?2?log2an?2n?2??????（2分） 得an?22n?2．????????????????????????（4分） （2）原式化简： log2x?log2(3ak?x)?2k?3?log2x?log2(3?2k?1?x)?2k?3k?1?log2?x(3?2?x)????2k?3?x2?3?2k?1x?2?22k?2?0??x?2k?1??x?2k?2??0k?1k?2??x??2,2????????????????（8分） k?1其中整数个数g?k??2?1．????????????????（10分） 1?1?1?16?4n????1?1，a?2k?1???????（12分） （3）由题意，Sn?12?kn141?4又Sn??ak??恒成立，Sn?0，??0，

所以当Sn取最大值，ak取最小值时，Sn??ak取到最大值．??（14分）

2又Sn?1，ak?4，所以1?4?????????????????（16分）

2解得???2?5????????????????????????（18分）

】

50. 【2012年崇明区一模文理第22题】 已知数列?an?和?bn?的通项分别为an?2n?1，

，集合A??x|x?an,n?N??， bn?2n?1?1（n?N?）

B??x|x?bn,n?N??，设D?CAB. 将集合D中元素从小到大依次排列，构成数列d1,d2,d3,...,dn,....

（1）写出d1,d2,d3,d4；

（2）求数列?dn?的前2012项的和；

（3）是否存在这样的无穷等差数列?cn?：使得cn?D（n?N?）？若存在，请写出一个这样的数列，并加以证明；若不存在，请说明理由．

【[解]：（1）d1?1,d2?5,d3?9,d4?11 （错1个扣1分）

（2）b1?3,b2?7,b3?15,b4?31,...,b10?2?1?2047,b11?2?1?4095

1112a2012?2?2012?1?4023,a2022?4043，

所以d1?d2?d3?...?d2012?a1?a2?a3?...?a2022?(b1?b2?b3?...?b10)

?20222?(212?14)

44484?4096?14?40402

（3）存在。如cn?6n?1,n?N，cn?6n?5,cn?12n?5,n?N（不唯一） （结论1分，通项2分

?证明：cn?6n?1?2?3n?1,n?N，所以3n?N，所以cn?A

???

1?1，所以n??2n(n?N?)，由于上式左边为

3整数，右边为分数，所以上式不成立，所以假设不成立，所以cn?B

假设cn?B，则存在实数k，6n?1?2k?1所以cn?D。即：cn?6n?1,n?N满足要求。 】

?

51. 【2012年奉贤区一模理第24题】（理）正数列?an?的前n项和Sn满足：

rSn?anan?1?1，a1?a?0,常数r?N

（1）求证：an?2?an是一个定值；

（2）若数列?an?是一个周期数列，求该数列的周期；

（3）若数列?an?是一个有理数等差数列，求Sn．

【24、（理）证明：（1） rSn?anan?1?1 （1） (2)?(1)： ran?1?an?1?an?2?an? （3） ?an?0 ?an?2?an?r （4） ?????4分 1?ar1（2）计算n?1,ra?aa2?1,?a2??r? ?????6分 aa11根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a,r?，a?r，2r?，a?2r，aa1。。。。 3r?，a当r?0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列 ???8分

1111所以r?0时，数列写出数列的前几项：a,，a,，a,，a,，，。。。。 aaaa所以当a?0且a?1时，该数列的周期是2， ?????9分 当a?1时，该数列的周期是1， ?????10分 1??（3）因为数列?an?是一个有理等差数列，所以a?a?r?2?r?? a??2 化简2a?ar?2?0， r?16?r2a?是有理数 ?????12分 422设r?16,是一个完全平方数，设为r?16?k，r,k均是非负整数 2 rSn?1?an?1an?2?1 （2） r?0时，a?1,an?1,Sn?n ?????14分 r?0时(k?r)(k?r)?16=2?8?4?4可以分解成8组，其中 ?r?3,符合要求， ?????16分 只有??k?13n?1n?3n?5?此时a?2,an? ?????18分 Sn?241??或者r?2?a??， ?????12分

a??123等差数列的前几项：a,2a?，3a?，4a?，。。。。

aaan?1 ?????14分 an?na?a

因为数列?an?是一个有理等差数列

1??r?2?a??是一个自然数，a?1,r?0,an?1,Sn?n ?????16分

a??3n?1n?3n?5?此时a?2,r?2,an? ?????18分 Sn?243n?1n?3n?5?如果没有理由，猜想：r?3，解答a?2,an? 得2分 Sn?24 r?0a?1,an?1,Sn?n 得2分

】

52. 【2012年奉贤区一模文第24题】（文）正数列?an?的前n项和Sn满足：

2Sn?anan?1?1，a1?a?0 （1）求证：an?2?an是一个定值； （2）若数列?an?是一个单调递增数列，求a的取值范围； （3）若S2013是一个整数，求符合条件的自然数a． 【24（文）证明：（1） 2Sn?anan?1?1 （1） (2)?(1)： 2an?1?an?1?an?2?an? （3） *任意n?N,an?0, ?an?2?an?2 ?????4分 2Sn?1?an?1an?2?1 （2） 1?2a1?2? ?????6分 aa11根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a,2?，a?2，4?，a?4，

aa（2）计算n?1,2a?aa2?1,?a2?6?1，。。。。 a所以奇数项是递增数列，偶数项是递增数列，整个数列成单调递增的充要条件是 1?a?2 ?????8分 a 解得1?a?1?2 ?????10分 a?2?

(3) a2012?2012?S20131,a2013?2012?a a??a1?a3???a2013???a2?a4???a2012?

11???2??2012???a?2012?a??1007??aa???1006221006 ?????14分 ?2026084?1007a?aS2013是一个整数，所以a?1,2,503,1006一共4个

对一个得1分，合计4分

另解：

2S2013?a2013a2004?1??2012?a??2014?S2013 】

1???1 a?1006 ?????14分 ?a2013a2004?1?1007?2012?1007a?a??53. 【2012年虹口区一模文理第22题】已知Sn是数列?an?的前n项和，

11，且a1?． 2Sn?Sn?1?()n?1?2（n?2，n?N?）22（1）求a2的值，并写出an和an?1的关系式； （2）求数列?an?的通项公式及Sn的表达式； ?（3）我们可以证明：若数列?bn?有上界（即存在常数A，使得bn?A对一切n?N 恒成?立）且单调递增；或数列?bn?有下界（即存在常数B，使得bn?B对一切n?N恒成立）且单调递减，则limbn存在．利用上述结论，证明：limSn存在． n??n??【解：（1）a2?111．当n?2时，2Sn?Sn?1?()n?1?2 ①；2Sn?1?Sn?()n?2 ② 22211②—①得2an?1?an?()n．又2a2?1?a1?()1，即n?1时也成立． 221?2an?1?an?()n(n?N?)??????????????5分 2（2）由（1）得2n?1an?1?2nan?1，2a1?1，?2nan是首项为1，公差为1的等差数列， ???2nan?1?(n?1)?1?n，?an?n， n211n?2n?2时，2Sn?Sn?1??()n?1?2，Sn?an??()n?1?2，Sn?2?n，

2221n?2?(n?N)????????10分 又S1?a1?，也满足上式，?Sn?2?n22n?3n?2n?1（3）?Sn?1?Sn?(2?n?1)?(2?n)?n?1?0，??Sn?单调递增，

222n?2又Sn?2?n?2，?limSn存在?????????????????15分 】

n??2

xn的54. 【2012年嘉定区一模文第22题】定义x1，?，“倒平均数”为x2，

（n?N*）．

（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为

nx1?x2???xn1，求{an}的通项公式；

2n?4（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn?1，当n为偶数时，bn?2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求limTn； n??（3）设函数f(x)??x?4x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数?，使得当x??时，2f(x)?an对任意n?N*恒成立？若存在，求出最大的实数?；若不存在，说明理由． n?1n1?， Sn2n?4【解：（1）设数列{an}的前n项和为Sn，由题意，Tn?所以Sn?2n?4n． ????（1分） 2所以a1?S1?6，当n?2时，an?Sn?Sn?1?4n?2，而a1也满足此式．??（2分） 所以{an}的通项公式为an?4n?2．????（1分） （2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则当n为偶数时，Sn?当n为奇数时，Sn?3n，??（1分） 23(n?1)3n?1． ????（1分） ?1?22?2,当n为偶数??3所以Tn??． ??（3分） ?2n,当n为奇数??3n?12所以limTn?． ??（2分） n??3（3）假设存在实数?，使得当x??时，f(x)?an对任意n?N*恒成立，则n?14n?2对任意n?N*恒成立，????（1分） n?124n?2?0，所以数列{cn}是递增数列，?（1分）令cn?，因为cn?1?cn?

(n?1)(n?2)n?122所以只要?x?4x?c1，即x?4x?3?0， 解得x?1或x?3．????（2分）

a所以存在最大的实数??1，使得当x??时，f(x)?n对任意n?N*恒成立．（2分）

n?1?x2?4x? 】

xn的55. 【2012年嘉定区一模理第22题】定义x1，?，“倒平均数”为x2，

nx1?x2???xn（n?N*）．已知数列{an}前n项的“倒平均数”为（1）比较cn与cn?1的大小；

a1，记cn?n（n?N*）．

n?12n?4（2）设函数f(x)??x?4x，对（1）中的数列{cn}，是否存在实数?，使得当x??时，2f(x)?cn对任意n?N*恒成立？若存在，求出最大的实数?；若不存在，说明理由．

（3）设数列{bn}满足b1?1，b2?b（b?R且b?0），bn?bn?1?bn?2（n?N*且，且{bn}是周期为3的周期数列，设Tn为{bn}前n项的“倒平均数”，求limTn． n?3）n??【解：（1）设数列{an}的前n项和为Sn，由题意得所以Sn?2n?4n，??（1分） 2n1?， Sn2n?4当n?1时，a1?S1?6，当n?2时，an?Sn?Sn?1?4n?2，而a1也满足此式． 所以an?4n?2（n?N*）．??（1分） 所以cn?4n?22，??（1分） ?4?n?1n?1222???0，因此cn?cn?1．??（1分） n?1n?2(n?1)(n?2)cn?1?cn?（2）假设存在实数?，使得当x??时，f(x)?cn对任意n?N*恒成立， 即?x?4x?cn对任意n?N*恒成立，??（2分） 由（1）知数列{cn}是递增数列，所以只要?x?4x?c1，即x?4x?3?0，（2分） 解得x?1或x?3．??（1分）

所以存在最大的实数??1，使得当x??时，f(x)?cn对任意n?N*恒成立．?（1分） （3）由b1?1，b2?b，得b3?|b?1|，??（1分）

① 若b?1，则b3?b?1，b4?|b3?b2|?1，b5?|2?b|，因为{bn}周期为3，故

222

b5?b2?b，所以|2?b|?b，所以2?b?b，2?b??b（舍），故b?1．

此时，{bn}为1，1，0，1，1，0，?．符合题意．??（1分）

② 若b?1，则b3?1?b，b4?|b3?b2|?|1?2b|，因为{bn}周期为3，故b4?b1?1， 所以|1?2b|?1，即1?2b?1或1?2b??1，解得b?0或b?1，均不合题意．?（1分）

?2k,n?3k,?设数列{bn}的前n项和为Sn，则对n?N*，有Sn??2k,n?3k?1,??（1分）

?2k?1,n?3k?2.??2n?3,n?3k,?3?2,n?3k,??2n?23?3n?,n?3k?1, 因此limTn?．即Sn??（2分） ,n?3k?1, 所以Tn??n??2?2n?2?3?2n?1?3n,n?3k?2.?3?2n?1,n?3k?2.??】

56. 【2012年静安区一模文理第22题】某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元.全部投资都从银行贷款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元.这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足. 地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长.求： （1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？ （2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？（精确到元，1亿=1?10） 【解：（1）地铁营运第n年的收入an?0.0124?(1?0.2)根据题意有：0.0124?(1?0.2)解得n?9年.

（或者0.0124?(1?0.2)n?1n?1n?18，n?N*???2分 ?0.05，???????????4分

?0.05，解得n?10年）

答：地铁营运9年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金. ??6分 （2）市政府各年为1公里地铁支付费用

第1年：0.05?0.0124；

第2年：0.05?0.0124?1.2； 。。。。。。

第n年：0.05?0.0124?1.2n?1。????????????2分

n年累计为：

0.05n?[0.0124?0.0124?1.2?0.0124?1.22???0.0124?1.2n?1]，?4分

0.0124?(1?1.28)将n?8代入得，0.05?8??0.1954113485亿. ??8分 1?1.2答：截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府累计为1公里地铁共支付19541135元费用. 】

57. 【2012年静安区一模文第22题】已知a?0且a?1，数列?an?是首项与公比均为a的

等比数列，数列?bn?满足bn?an?lgan（n?N*）. （1） 若a?2，求数列?bn?的前n项和Sn； （2） 若对于n?N*，总有bn?bn?1，求a的取值范围. 【解：（1）由已知有an?2，bn?anlgan?n?2lg2.??????2分 nn????????????9分 Sn?[2?2?22?3?23???(n?1)2n?1?n?2n]lg2， 2Sn?[22?2?23???(n?1)2n?n?2n?1]lg2，??????5分 所以?Sn?(2?2?2???223n?1?2n?n?2n?1)lg2， Sn?2lg2?(n?1)?2n?1lg2. ?????????????8分 （2）bn?bn?1即nalga?(n?1)a所以?nn?1lga.由a?0且a?1得nlga?(n?1)alga.2分

?lga?0?lga?0或?????????????3分

(n?1)a?n?0(n?1)a?n?0???0?a?1?a?1??即?n或?n对任意n?N*成立，?????????5分

a?a???n?1?n?1?

而lim】

nn11?1，且1??，所以0?a?或a?1.????? 8分

n???n?1n?12258. 【2012年静安区一模理第22题】已知a?0且a?1，数列?an?是首项与公比均为a的

等比数列，数列?bn?满足bn?an?lgan（n?N*）. （1）求数列?bn?的前n项和Sn；

（2）如果对于n?N*，总有bn?bn?1，求a的取值范围. 【解：（1）由已知有an?a，bn?anlgan?nalga.2分 所以Sn?[a?2a?3a???(n?1)a23n?1nn?nan]lga， aSn?[a2?2a3???(n?1)an?nan?1]lga，5分 所以(1?a)Sn?(a?a?a???a23n?1?an?nan?1)lga， a(1?an)nan?1lga?lga.????????8分 因为a?1，所以Sn?21?a(1?a)（2）bn?bn?1即nalga?(n?1)ann?1lga.由a?0且a?1得nlga?(n?1)alga.2分

?lga?0?lga?0所以?或????????????3分 (n?1)a?n?0(n?1)a?n?0???0?a?1?a?1??即?或nn对任意n?N*成立，?????????5分 ?a?a??n?1?n?1??而lim】

59. 【2012年卢湾区一模文理第22题】已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切n?N*都

有bn?T?bn，则称数列{bn}为周期数列，T是它的一个周期．例如： 数列a，a，a，a，? ① 可看作周期为1的数列； 数列a，b，a，b，? ② 可看作周期为2的数列； 数列a，b，c，a，b，c，? ③ 可看作周期为3的数列?

nn11?1，且1??，所以0?a?或a?1.?????8分 n???n?1n?122

?an为正奇数，（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是an??试再写出该数列的一

bn为正偶数.?个通项公式；

（2）求数列③的前n项和Sn；

1（3）在数列③中，若a?2,b?,c??1，且它有一个形如bn?Asin(?n??)?B的通

2?项公式，其中A、B、?、?均为实数，A?0，??0，|?|?，求该数列的一个通项公

2式bn．

abn?n?【解：（1）an?[1?(?1)n?1]?[1?(?1)n]或an?a|sin（3分） |?b|cos|等．2222n?1（2）当n?3k?1时，Sn?（5分） (a?b?c)?a；3n?2当n?3k?2时，Sn?（7分） (a?b?c)?a?b；3n当n?3k?3时，Sn?(a?b?c)（k?N）．（9分） 32?2?（3）由题意，??0，应有，（10分） ?3，得???32?于是bn?Asin(n??)?B， 32??Asin(??)?B?2,(1)?3?14?1?把b1?2，b2?，b3??1代入上式得?Asin(??)?B?,(2)（12分） 322??Asin(2???)?B??1,(3)??由(1)(2)可得Acos??（13分） A513，再代入(1)的展开式，可得?sin??B?，与(3)联立得B?，22423??（14分） Asin???，于是tan???3，因为|?|?，所以???，223于是可求得A?3．（15分） 2n??1故bn?3sin(?)?（n?N*） 3322n??1或写成bn?3sin[．（16分）】 (3k?1)?]?（k?Z,n?N*）332

60. 【2012年闵行区一模文第22题】将边长分别为1、2、3、?、n、n+1、?（n?N）

的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、??、第n个阴影部分图形.容易知道第1个阴影部分图形的周长为8.设前n个阴影部分图形的周长的平均值为f(n)，记数列?an?满足

*

??f(n),当n为奇数. an????f?an?1?,当n为偶数（1）求f(n)的表达式；

（2）写出a1,a2,a3的值，并求数列?an?的通项公式； （3）记bn?an?s?s?R?，若不等式bn?1bn?2bn?1bn?0有解，求s的取值范围. 解：（文）（1）第n个阴影部分图形的周长为8n, （2分） 【解：8?8n?n 故f(n)?2?4n?4． （4分） n（2）a1?f(1)?8，a2?f(a1)?f(8)?36，a3?f(3)?16 当n为奇数时，an?f(n)?4n?4 （3分） 当n为偶数时，an?f(an?1)?4an?1?4?4?4(n?1)?4??4?16n?4 故an???4n?4,当n为奇数?16n?4,当n为偶数． （5分） ?4n?4?s,当n为奇数（3）bn?an?s?? 16n?4?s,当n为偶数?bn?1bn?2bn?1bn?0有解?bn?1bn?bn?1bn?2?bn?1(bn?bn?2)?0有解， 当n为奇数时，bn?1(bn?bn?2)?0即 ?16(n?1)?4?s????4n?4?s??4(n?2)?4?s????0， 亦即16n?20?s?0有解，故s???16n?20?max??36 （3分） 当n为偶数时，bn?1(bn?bn?2)?0

即?4(n?1)?4?s????16n?4?s??16(n?2)?4?s????0，

于是4n?8?s?0，故s???4n?8?max??16． （5分） 综上所述：s??16． （7分）

】

61. 【2012年闵行区一模理第22题】将边长分别为1、2、3、?、n、n+1、?（n?N）

的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、??、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均值为f(n)．记数列?an?满足a1?1,an+1??（1）求f(n)的表达式；

（2）写出a2,a3的值，并求数列?an?的通项公式； *??f(n),当n为奇数

??f?an?,当n为偶数1（3）记bn?an?s?s?R?，若不等式00bn0bn?2?0有解，求s的取值范围. bn?122bn?1bn?1【解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为2?1，第2个阴影部分图形的面积为42?32，??，第n个阴影部分图形的面积为?2n??(2n?1)2.（2分） 故f(n)?2?22?12???42?32????2n??(2n?1)2??? n2?1?2?3?4???(2n?1)?2n?2n?1 （4分） n（2）a1?1，a2?f(1)?3，a3?f(a2)?2?3?1?7， 当n为偶数时，an?f(n?1)?2n?1， （3分） 当n为大于1的奇数时，an?f(an?1)?2an?1?1?2?2(n?1)?1??1?4n?5， ?1,当n?1? 故an??2n?1,当n为偶数． （5分） ?4n?5,当n为大于1的奇数??1?s,当n?1?（3）由（2）知bn??2n?1?s,当n为偶数．

?4n?5?s,当n为大于1的奇数?1 又00bn0bn?2?0?bn?1bn?bn?1bn?2?bn?1(bn?bn?2)?0． bn?1bn?1bn?1 （ⅰ）当n=1时，即b2(b1?b3)?(3?s)(?6)?0，于是3?s?0?s??3

（ⅱ）当n为偶数时，

即?4(n?1)?5?s????(2n?1?s)??2(n?2)?1?s?????4n?1?s?(?4)?0

于是4n?1?s?0，s???4n?2?max??6． （3分） （ⅲ）当n为大于1的奇数时，

即?2(n?1)?1?s?????4n?5?s???4(n?2)?5?s?????2n?1?s????8??0

于是2n?1?s?0，s?(?2n?1)max??7． （5分） 综上所述：s??3． （7分） 】

62. 【2012年浦东新区一模理第22题】设满足条件P:an?an?2?2an?1(n?N)的数列组

成的集合为A，而满足条件Q:an?an?2?2an?1(n?N)的数列组成的集合为B. （1）判断数列{an}:an?1?2n和数列{bn}:bn?1?2是否为集合A或B中的元素？ （2）已知数列an?(n?k)，研究{an}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数3n**k的取值范围；若不是，请说明理由. （3）已知an?31(?1)?log2n(i?Z,n?N)，若{an}为集合B中的元素，求满足不等式

i*|2n?an|?60的n的值组成的集合.

an?an?2??1?2n???1?2(n?2)???4n?2，2an?1?2?1?2(n?1)???4n?2 【解：（1）∴an?an?2?2an?1

∴{an}为集合A中的元素，即{an}?A.???????????????2分

bn?bn?2??1?2n???1?2n?2??2?5?2n，2bn?1?2?1?2n?1??2?4?2n

∴bn?bn?2?2bn?1 ∴{bn}为集合B中的元素，即{bn}?B.???????????????4分

（2）an?an?2?2an?1?(n?k)?(n?2?k)?2(n?1?k)?6(n?1?k)，

* 当k?2时，an?an?2?2an?1对n?N恒成立，此时，{an}?A；????7分

333 当k?2时，令n?1，n?1?k?0，an?an?2?2an?1；

设?k?为不超过k的最大整数，令n??k??1，n?1?k?0，

an?an?2?2an?1，此时，{an}?A，{an}?B.??????????10分

（3）|2n?an|?|2n?31log2n|?60，令cn?2n?31log2n，

n?1?0，即n?21.8； n当n?22时，cn?1?cn，于是c22?c23?c24??， cn?1?cn?2?31log2当n?21时，cn?1?cn，于是c1?c2?c3??c21?c22；??????13分

∵|c4|?|?54|?60，|c5|?|?61.9|?60，

|c62|?|?60.6|?60，|c63|?|?59.3|?60，|c140|?58.99?60，|c141|?60.7?60，

c2,c3,c4和c63,c64,?,c140项，共82项.????????16分】 ∴有c1，

63. 【2012年普陀区一模文理第22题】已知数列?an?是首项为2的等比数列，且满足

an?1?pan?2n(n?N?)

（1） 求常数p的值和数列?an?的通项公式； （2） 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、．．．．．．．第3n?2项，．．．．．．，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列?bn?，试写出数列?bn?的通项公式； （3） （文）在（2）的条件下，试求数列?bn?的前n项和Tn的表达式． （理）在（2）的条件下，设数列?bn?的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由。 【Tn?111?？Tn3】

】

64. 【2012年青浦区一模文理第2题】设m?3，对于项数为m的有穷数列?an?，令bk为

a1,a2,?,ak(k?m)中最大值，称数列?bn?为?an?的“创新数列”．例如数列3，5，

4，7的创新数列为3，5，5，7．

考查自然数1,2,?,m(m?3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列?cn?． （1）若m?4，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列?cn?；

（2）是否存在数列?cn?的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．

（3）是否存在数列?cn?，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列

?cn?的个数；若不存在，请说明理由．

【解：（1）由题意，创新数列为3，4，4，4的所有数列?cn?有两个，即3，4，1，2和 3，4，2，1． ?????（每写出一个给2分，多写不得分）4分 （2）存在数列?cn?的创新数列为等比数列．??????????????5分 设数列?cn?的创新数列为{en}，

因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em?m． ????????6分 若{en}为等比数列，设公比为q，因为ek?1?ek(k?1,2,?,m?1)，所以q?1．?7分 当q?1时，{en}为常数列满足条件，即为数列m,m,?,m （或写通项公式en?m(n?1,2,?,m)）； ??????????????9分 当q?1时，{en}为增数列，符合条件的数列只能是1,2,?,m，又1,2,?,m不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个． ????????10分 （3）存在数列?cn?，使它的创新数列为等差数列， ????????11分 设数列?cn?的创新数列为{en}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em?m．若

{en}为等差数列，设公差为d，

因为ek?1?ek(k?1,2,?,m?1)，所以d?0．且d?N ????????12分 当d?0时，{en}为常数列满足条件，即为数列m,m,?,m（或写通项公式

*en?m(n?1,2,?,m)），

此时数列?cn?是首项为m的任意一个排列，共有Pm?1个数列； ?????14分

m?1当d?1时，符合条件的数列{en}只能是1,2,?,m，此时数列?cn?是1,2,?,m，有1个； ????????15分 当d?2时，?em?e1?(m?1)d?e1?2(m?1)?e1?m?m?2 又m?3

?m?2?0?em?m这与en?m矛盾，所以此时{en}不存在。 ??????17分

综上满足条件的数列?cn?的个数为Pm?1?1个（或回答(m?1)!?1个）． ?????18分

m?1】

265. 【2012年徐汇区一模理第22题】设a?R,把三阶行列式

350中第一行x1x?a4421第二列元素的余子式记为f(x)，且关于x的不等式f(x)?0的解集为(?2,0)。各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，点列(an,Sn)（n?N*)在函数y?f(x)的图象上。 （1）求函数y?f(x)的解析式； （2）若bn?k2(k?0)，求liman2bn?1的值； n??b?2n??an,n为奇数（3）令cn??，求数列?cn?的前2012项中满足cm?6的所有项数之和. c,n为偶数??n21【解：（1）由条件可知，f(x)?x2?ax?????2分 41因为关于x的不等式f(x)?0的解集为(?2,0)，所以a??????3分 211即函数y?f(x)的解析式为f(x)?x2?x?????4分 4211（2）因为点列(an,Sn)（n?N*)在函数y?f(x)的图象上，所以Sn?an2?an 421111即a12?a1?0,因为a1?0，所以a1?2；?????n?1代入，a1?S1?a12?a1，42426分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?12111an?an?an?12?an?1， 4242化简得：(an?an?1)(an?an?1?2)?0?????7分 因为an?0,所以an?an?1?2，即数列?an?为等差数列，且an?2n(n?N*)。?????9分 则bn?kan2?1??2,0?k?1?n2b?12k?1?1?kn，所以limn?limn??,k?1。?????12分

n??b?2n??k?23n??2,k?1??（3）在数列?cn?的前2012项中

n为奇数时，cm?am?2m?6，所以m?3?????14分

n为偶数时，要满足cm?6，则m?3?2t(t?9,t?N*)?????16分

所以，满足cm?6的所有项数之和为3?3?2?3?22???3?29?3069?????18分】

266. 【2012年徐汇区一模文第22题】设a?R,把三阶行列式350中第一行x1x?a4421第二列元素的余子式记为f(x)，且关于x的不等式f(x)?0的解集为(?2,0)。各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，点列(an,Sn)（n?N*)在函数y?f(x)的图象上。 （1）求函数y?f(x)的解析式； （2）若bn?2an，求lim2bn?1的值； n??b?2n??an,n为奇数（3）令cn??，求数列?cn?的前20项之和. c,n为偶数??n21【解：（1）由条件可知，f(x)?x2?ax?????2分 41因为关于x的不等式f(x)?0的解集为(?2,0)，所以a??????3分 211即函数y?f(x)的解析式为f(x)?x2?x?????4分 4211（2）因为点列(an,Sn)（n?N*)在函数y?f(x)的图象上，所以Sn?an2?an 421111即a12?a1?0,因为a1?0，所以a1?2；?????n?1代入，a1?S1?a12?a1，42426分

当n?2时，an?Sn?Sn?1?12111an?an?an?12?an?1， 4242化简得：(an?an?1)(an?an?1?2)?0?????8分

因为an?0,所以an?an?1?2，即数列?an?为等差数列，且an?2n(n?N*)?????10分

则bn?22n2bn?12?4n?1?limn?2?????12分 ?4，所以limn??b?2n??4?2nn（3）n为奇数时，c1?c3???c19?a1?a3???a19?分

(a1?a19)10?200?????14

2n为偶数时，c2?c4?c6?c8???c20?c1?c2?c3?c4???c10

?4c1?2c3?2c5?c7?c9?72?????16分

所以，数列?cn?的前20项之和为200+72=272?????18分 】

67. 【2012年杨浦区一模理第22题】已知函数f?x??3x，数列?an?满足a1?1，2x?3an?1?f?an?,n?N?, 1. 求a2，a3，a4的值； 2. 求证：数列??1??是等差数列； ?an?3. 设数列?bn?满足bn?an?1?an?n?2?，b1?3,Sn?b1?b2?????bn， 若Sn?m?2012对一切n?N?成立，求最小正整数m的值. 23an331,a3?,a4? ??3分 得a2?2an?3573【解：（1）由a1?1，an?1?f?an??（2）由an?1?3an112?? ??8分 得 2an?3an?1an3?1?2所以，??是首项为1，公差为的等差数列 ??9分

3?an?（3）由（2）得

122n?13?1??n?1??,an? ??11分 an332n?19?11????，当n?1时，上式同样成立， ??13分

2?2n?12n?1?当n?2时 ，bn?an?1an?

所以Sn?b1?b2?????bn?9?11111?9?1???1???????????1??

2?3352n?12n?1?2?2n?1?因为Sn?9?1?m?2012m?2012，所以?1?对一切n?N?成立， ??16分 ??2?2n?1?22又

9?1?1?99m?2011?1??，所以?， ?1??随n递增，且lim??n??2?2n?1?22?2n?1?2 ?mmin?2020 ??18分 所以m?2020，】

68. 【2012年杨浦区一模文第23题】已知函数f?x??3x，数列?an?满足a1?1，2x?3an?1?f?an?,n?N?, 1. 求a2，a3，a4的值； ?1? 2. 求证：数列??是等差数列； ?an? 3. 设数列?bn?满足bn?an?1?an?n?2?，b1?3,Sn?b1?b2?????bn， 若Sn?m?2011对一切n?N?成立，求最小正整数m的值. 23an331,a3?,a4? ??3分 得a2?2an?3573【解：（1）由a1?1，an?1?f?an??（2）由an?1?3an112?? ??8分 得 2an?3an?1an3?1?2所以，??是首项为1，公差为的等差数列 ??9分

3?an?（3）由（2）得11分

当n?2时 ，bn?an?1an?122n?13?1??n?1??,an? ??an332n?19?11????，当n?1时，上式同样成立， ??13分

2?2n?12n?1?

所以Sn?b1?b2?????bn?9?11111?9?1???1???????????1??

2?3352n?12n?1?2?2n?1?因为Sn?9?1?m?2012m?2012，所以?1?对一切n?N?成立， ??16分 ??2?2n?1?22又

9?1?1?99m?2011?1??，所以?， ?1??随n递增，且lim??n??2?2n?1?22?2n?1?2 ?mmin?2020 ??18分 所以m?2020，】

69. 【2012年长宁区一模文第23题】已知数列?an?中，a1?1,anan?1?2（1）求证数列?an?不是等比数列，并求该数列的通项公式； （2）求数列?an?的前n项和Sn； （3）设数列?an?的前2n项和S2n，若3?1?ka2n??S2n?a2n对任意n?N恒成立，求

*n?n?N? *k的最小值. 【解：（1）a1?1,a2?2,a3?2,?a2a3?a1a2，??an?不是等比数列；???2分 ?an?2?2，?a1,a3,a5,?a2n?1,?及a2,a4,a6,?,a2n,?成等比数列， an?1?n2?2,n为奇数，公比为2，?an??n ?????6分 ?22,n为偶数。?（2）Sn?a1?a2???an， 当n为偶数时，Snn2n2?(a1?a3???an?1)?(a2?a4???an) n1?22(1?2)???3(22?1)；?????8分 1?21?2当n为奇数时，Snn?12?(a1?a3???an)?(a2?a4???an?1)

n?12n?121?22(1?2)???2?21?21?2?3.?????10分

n??3(22?1),n为偶数，因此，Sn???????12分 n?1?2?22?3,n为奇数。?（3） S2n?a1?a2???a2n?(a1?a3???a2n?1)?(a2?a4???a2n)

1?2n2(1?2n)???3(2n?1)。 ?????13分 1?21?2a2n?2n， ?????14分 因此不等式为 3(1-k2n)?3(2n-1)2n， 1?(2n?1)2n11nn，即k-(2-1)，?k?(?2?1)max ??k?nnn222?????16分 1n-(2-1)单调递减；?F(1)= ?0.5最大， n21?k??0.5，即k的最小值为?。?????18分 2?F(n)=】

70. 【2012年长宁区一模理第23题】对数列?an?和?bn?，若对任意正整数n，恒有bn?an，

则称数列?bn?是数列?an?的“下界数列”. （1）设数列an?2n?1，请写出一个公比不为1的等比数列?bn?，使数列?bn?是数列?an?的“下界数列”； （2）设数列an?2n?3n?10,bn?2n?2，求证数列?bn?是数列?an?的“下界数列”；

2n?77,n?1?1?,n?N*，构造 （3）设数列an?2，bn??77n?,n?2??nn?1Tn??1?a2??1?a3???1?an?,Pn??1?b1???1?b2?????1?bn?，

求使Tn?kPn对n?2,n?N恒成立k的最小值.

*1nb?()等，答案不唯一；?????4分 【解：（1）n23271a?2(n?)?，当n?1时an最小值为9,；?????6分 （2）n48

bn?1?2n?71111?1a?a???122?1(1?2)，则a3?a2?a1?,4, 577222n?n?22因此，n?4时，bn最大值为6，?????9分 所以，bn（

?an，数列?bn?是数列?an?的“下界数列”；?????10分

3

）

Tn?(1?分 1111?32?4(n?1)(n?1)n?1)(1?)?(1?)??2??，?11222222n23n23nPn?n?7， ?????12分 nn?1n?1n2?7?k?n?1?k?[]max，?13分 ?k?不等式为，，222(n?7)2(n?7)2nnn?1t??设n?1?t,t?3，则222(n?7)2(t?2t?8)1，????15分 82(t??2)t当t?3时，8t?t单调递增，?t?3时，t?8t取得最小值，因此

n?13[]max?， ?????17分 2222(n?7)3. ?????18分 ?k的最小值为22】

71. 【2012年闸北区一模理第20题】设{an}和{bn}均为无穷数列． （1）若{an}和{bn}均为等比数列，试研究：{an?bn}和{anbn}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式． （2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）． 【解：（1）①设cn?an?bn， 则设cn2n?12nn?2?cn?1cn?1?(a1q1n?1?b1q2)?(a1q1n?b1q2)(a1q1n?2?b1q2)

n?2?a1b1q1n?2q2(q1?q2)2

ncn?1an?1?bn?1a1q1n?b1q2??（或） n?1n?1cnan?bna1q1?b1q2当q1?q2时，对任意的n?N,n?2，

2cn?cn?1cn?1（或

cn?1?q1）恒成立， cn故{an?bn}为等比数列； ????????????????????3分

?n(a1?b1),q1?q2?1,?Sn??(a1?b1)(1?q1n)???????????????????1分

,q?q?1.12?1?q1?当q1?q2时， 证法一：对任意的n?N,n?2，cn证法二：c222?cn?1cn?1，{an?bn}不是等比数列．??2分 2?c1c3?a1b1[2q1q2?(q12?q2)]?0，{an?bn}不是等比数列． ?2分 注：此处用反证法，或证明②设dn?anbn， 对于任意n?N，*cn?1不是常数同样给分． cndn?1an?1bn?1??q1q2，{anbn}是等比数列． ??????3分 dnanbn?n(a1b1),q1q2?1,?nSn??a1b1(1?q1nq2 ???????????????????1分 ),q1q2?1.?1?qq12?（2）设{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为d1，d2，则： ①{an?bn}为等差数列；Sn?(a1?b1)n?n(n?1)(d1?d2)????????2分 2②当d1与d2至少有一个为0时，{anbn}是等差数列，????????????1分 n(n?1)a1d2；??????????????????1分 2n(n?1)若d2?0，Sn?a1b1n?b1d1．??????????????????1分 2③当d1与d2都不为0时，{anbn}一定不是等差数列．????????????1分 若d1?0，Sn?a1b1n? 】

72. 【2012年闸北区一模文第20题】设{an}和{bn}均为无穷数列． （1）若{an}和{bn}均为等比数列，它们的公比分别为q1和q2，试研究：当q1、 q2满足什么条件时，{an?bn}和{anbn}仍是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式． （2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）． 【解：解：（1）①设cn?an?bn， 则设cn2n?12nn?2?cn?1cn?1?(a1q1n?1?b1q2)?(a1q1n?b1q2)(a1q1n?2?b1q2)

n?2?a1b1q1n?2q2(q1?q2)2

ncn?1an?1?bn?1a1q1n?b1q2??（或） n?1n?1cnan?bna1q1?b1q2当q1?q2时，对任意的n?N,n?2，

2cn?cn?1cn?1（或

cn?1?q1）恒成立， cn故{an?bn}为等比数列； ????????????????????3分

?n(a1?b1),q1?q2?1,?Sn??(a1?b1)(1?q1n)???????????????????1分

,q?q?1.12?1?q1?当q1?q2时， 证法一：对任意的n?N,n?2，cn22?cn?1cn?1，{an?bn}不是等比数列．??2分 22证法二：c2?c1c3?a1b1[2q1q2?(q1?q2)]?0，{an?bn}不是等比数列． ?2分 注：此处用反证法，或证明②设dn?anbn， 对于任意n?N，*cn?1不是常数同样给分． cndn?1an?1bn?1??q1q2，{anbn}是等比数列． ??????3分 dnanbn?n(a1b1),q1q2?1,?nSn??a1b1(1?q1nq2 ???????????????????1分 ),qq?1.12?1?qq12?（2）设{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为d1，d2，则： ①{an?bn}为等差数列；Sn?(a1?b1)n?n(n?1)(d1?d2)????????2分 2②当d1与d2至少有一个为0时，{anbn}是等差数列，????????????1分 n(n?1)a1d2；??????????????????1分 2n(n?1)若d2?0，Sn?a1b1n?b1d1．??????????????????1分 2③当d1与d2都不为0时，{anbn}一定不是等差数列．????????????1分 若d1?0，Sn?a1b1n?】

73. 【2012年卢湾区一模文理第23题】23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小

题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

x?1?t已知函数f(x)?（t为常数）．

t?x（1）当t?1时，在图中的直角坐标系内作出函数并指出该函数所具备的基本性质y?f(x)的大致图像，的两个（只需写两个）．

1?1O?1y中

1x

（2）设an?f(n)（n?N*），当t?10，且t?N*时，试判断数列{an}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．

（文3）利用函数y?f(x)构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2?f(x1)，x3?f(x2)，?，xn?f(xn?1)（n≥2，n?N*），?

在上述构造过程中，若xi（i?N*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．

若可用上述方法构造出一个常数列{xn}，求t的取值范围．

（理3）利用函数y?f(x)构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2?f(x1)，x3?f(x2)，?，xn?f(xn?1)（n≥2，n?N*），? 在上述构造过程中，若xi（i?N*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若xi不在定义域中，则构造数列的过程停止． 若可用上述方法构造出一个常数列{xn}，求t的取值范围． 【答案： 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． x?1（1）当t?1时，f(x)?． ??1?1?xx?1图像如图（2分） 基本性质：（每个2分） 奇偶性：既非奇函数又非偶函数； 单调性：在(??,1)和(1,??)上分别递增； 零点：x?0； 最值：无最大、小值．（6分） n?1?t?1（2）an?， ??1?t?nn?ty1?1O?11x当1≤n≤[t]，n?N*时，数列单调递增，且此时an均大于?1， 当n≥[t]?1，n?N*时，数列单调递增，且此时an均小于?1，（8分） [t]?1?t因此，数列中的最大项为a[t]?，（10分） t?[t][t]?2?t最小项为a[t]?1?．（12分）

t?1?[t]（3）（文）根据题意，只需当x?t时，方程f(x)?x有解， 亦即方程x2?(1?t)x?1?t?0有不等于t的解，（14分）

将x?t代入方程左边，得左边为1?0，故方程不可能有x?t的解．（16分） 由??(1?t)2?4(1?t)≥0，解得t≤-3或t≥1， 即实数t的取值范围是(??,?3]?[1,??)．（18分）

x?1?t（3）（理）由题意，f(x)??t在R中无实数解，

t?x

亦即当x?t时，方程(1?t)x?t2?t?1无实数解．（14分） 由于x?t不是方程(1?t)x?t2?t?1的解，（16分）

因此对任意x?R，使方程(1?t)x?t2?t?1无实数解，则t??1为所求．（18分） 】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7tc3.html