《复变函数与积分变换》习题册
更新时间:2024-01-18 22:41:01 阅读量: 教育文库 文档下载
第一章 复数与复变函数
本章知识点和基本要求
掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;
熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式; 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题
1、若等式i(5?7i)?(x?i)(y?i)成立,则x?______, y?_______. 2、设(1?2i)x?(3?5i)y?1?3i,则x? ,y?
12+3i3、若z=-,则z=
i1-i4、若z=(3+i)(2-5i),则Rez= 2i45、若z?i?2?i,则z? 1?i6、设z?(2?i)(?2?i),则argz?
7复数z?1?i的三角表示式为 ,指数表示式为 。 8、复数z??12?2i的三角表示式为 _________________,指数表示式为
_________________. 9、设z1?2i,z2i?4?1?i,则Arg(z1z2)= _ _____. 10、设z?2e,则Rez=____________. Im(z)? 。z= 11、.方程z3?27?0的根为_________________________________.
12、一曲线的复数方程是z?i?2,则此曲线的直角坐标方程为 。
13、方程Im(i?z)?3表示的曲线是__________________________. 14、复变函数w?z?2的实部u(x,y)?_________,虚部v(x,y)?_________. z?1- 1 -
15、不等式z?1?z?1?4所表示的区域是曲线 的内部。
316、1=
二、判断题(正确打√,错误打?)
1、复数7?6i?1?3i. ( ) 2、若z为纯虚数,则z?z. ( ) 3、若 a为实常数,则a?a ( ) 4、复数0的辐角为0.
5、f(z)?u?iv在z0?x0?iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在
(x0,y0)点连续。 ( 6、设z1,z2为复数,则z1z2?z1?z2。 ( 7、z1?z2?z1?z2 ( 8、参数方程z?t2?ti (t为实参数)所表示的曲线是抛物线y?x2. (
三、单项选择题
1、下列等式中,对任意复数z都成立的等式是 ( )
A.z·
z=Re(z·z) B. z·
z=Im(z·z) C. z·
z=arg (z·z)
D. z·
z=|z| 2、方程z3?8 的复根的个数为 ( )
A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当z?1?i1?i时,z100?z75?z50的值等于 ( )
A i B ?i C 1 D ?1 4、方程z?2?3i?2所代表的曲线是 ( )
A 中心为2?3i,半径为2的圆周 B中心为?2?3i,半径为2的圆周 C中心为?2?3i,半径为2的圆周 D中心为2?3i,半径为2的圆周
- 2 -
) )
)
) 四、计算题
1.求出复数z?(?1?i3)4的模和辐角。
22.设z?x?iy满足Re(z?3)?4,求x与y的关系式
3、将复数z?12?6i化为三角表示式和指数表示式。
4、求复数1-cosj+isinj,(0#j
- 3 -
p)的三角表示式、指数表示式及幅角主值。
5.将直线方程2x?3y?1化为复数形式。
6、求以下根式的值: (1) ?2?2i
(2)
3i (3) - 4 -
41 第二章 解析函数
本章知识点和基本要求
理解复变函数的导数及复变函数解析的概念; 掌握复变函数解析的C-R条件,并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性;
掌握解析函数的基本性质;
了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。
一、填空题
1、Ln(1?i)的主值为
2、Ln(-i)= ,主值为 3、设ez??3?4i , 则Re(iz)?_________________ 4、3i?_____________________________. 5、(1?i)i?________________________. 6、i1?i? 7、指数函数ez的周期是 8、设f(z)?(1?z)e?z,则f?(z)? 9、设f(z)?x3?y3?ix2y2,则f?(1?i)? 10、已知函数f(z)=(2x+1)y+v(x,y)i解析,则f¢(i)= 11、.函数f(z)?u?iv在z0?x0?iy0点连续是f(z)在该点解析的_________条件。 二、判断题(正确打√,错误打?)
1、.若f?(z)在区域D内处处为零,则f(z)在D内必恒为常数。 ( )
2、.若f(z)在z0点不解析,则f(z)在z0点必不可导。 ( ) 3、函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点
(x0,y0)可微。 ( )
- 5 -
4、sinz?1.. ( ) 5、函数ez是周期函数。 ( ) 6、设函数f(z)在点z0处可导,则f(z)在点z0处解析。 ( ) 7、对于任意的复数z1,z2,等式Ln(z1.z2)?Lnz1?Lnz2恒成立。 ( ) 8、不等式Re(z)?2 表示的是有界闭区域。 ( ) 9、对于任意的复数z,整数n,等式Lnzn?nLnz恒成立 ( )
三、单项选择题
1、下列点集是单连域的是 ( )
A.Re(z)>2 B.1 C.z£1 D.2#argZ2+p 2、下列所示区域中是多连域的为 ( ) A.Imz?0 B.Rez?0 C.0?z?1 D. ?4?argz??3 3、函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4、下列说法正确的是 ( ) A、f(z)在z0可导的充要条件是f(z) 在z0处解析。 B、f(z)在z0可导的充要条件是 u,v在z0处偏导数连续且满足C?R条件。 C、f(z)在z0可导的充要条件是f(z)在z0处连续。 D、f(z)在z0可导的充要条件是u,v在z0处可微且满足C?R条件 5、在复平面上,下列关于正弦函数sinz的命题中,错误的是( ) A.sinz是周期函数 B.sinz是解析函数 C.|sinz|?1 D.(sinz)??cosz 6、以下说法中,错误的是 ( ) A.复指数函数ez具有周期 B.幂函数za(a为非零的复常数)是多值函数 C.对数函数Lnz为多值函数 D.在复数域内sinz和cosz都是有界函数 7、设f(z)?sinz,则下列命题中错误的是( - 6 - )。 A.f(z)在复平面内处处解析 B.f(z)以2?为周期 eiz?e?izC.f(z)? D.f(z)是无界的 2四、计算题 判断下列函数在何处可导,在何处解析? (1)f(z)?2x3?3y3i (2)f(z)?(x?y)2?2(x?y)i (3) f(z)?xy2?ix2y - 7 - 第三章 复变函数的积分 本章知识点和基本要求 了解复变函数积分的定义及性质; 会求复变函数的积分; 理解柯西积分定理,掌握柯西积分公式;0 掌握解析函数的高阶导数公式; 了解解析函数无限次可导的性质;会综合利用各定理计算闭路积分。 一、填空题 1、设曲线C是正向圆周z?2,则??C11dz? ,dz? ,?2?(z?1)z?1C??(z?1)Cez2dz? 。 2、设C为从点z1??i到点z2?0的直线段,则?zdz?_______. C3、若C为正向圆周z?2,则??1dz?________. Cz2z2?z?1dz,??2,3?5)i?__ ___,f(1)? . 4、若f(?)??则f(?z??z?2f?(1)? ez________ 5、??cz?3dz(c:z?4)的值是 二、单项选择题 1、若f(z)在D内解析,?(z)为f(z)的一个原函数,则( ) A.f?(z)??(z) C.??(z)?f(z) B. f??(z)??(z) D. ???(z)?f(z) 2、下列积分中,积分值不为0的是 ( ) 3zA.??(z?2z)dz ,z?1?2 B.??edz ,z?2 Cc - 8 - C.??csinzcoszdz,z?1 D.?dz,z?2 ?zz?1c三、计算题 1、沿下列路径计算积分?zdz C(1) 从原点到3?i的直线段 (2) 从原点沿实轴到3,再从3垂直向上到3?i。 2、沿下列路径计算积分?z2dz C(1)从原点到1?i的直线段 (2)从原点沿实轴到1,再从1垂直向上到1?i。 3、计算?coszdz。 4、计算积分?0i3?i0(2z?3)dz. 5、?(x?y?ix2)dz,其中C是从点0到1?i的直线段。 C - 9 - 6、设C为从-2到2的上半圆周,计算积分? 7、?? 8、计算积分?? 9、计算?? - 10 - C2z?3dz的值。 Cz1dz,C为正向圆周z?2 z2?1dz,其中C为圆周Z?3,且取正向。 C(z?i)(z?4)2z?1?2idz,其中C为正向圆周z?3. C(z?1)(z?2i) 10、求下列积分之值(积分沿闭曲线的正向) z?1 (1) ??cz(z?2)dz,z?3 (2) ??dzi(z?)(z?2)c,z?1 (3) ??coszcz3dz, z?1 - 11 - 2(4) ??eizc(z?i)3dz,z?i?1 第七章 傅里叶变换 本章知识点和基本要求 掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式; 理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念; 了解?函数的概念、性质及其傅氏变换, 了解傅氏变换的物理意义; 掌握傅氏变换的性质,熟悉常用傅氏变换对。 一、填空题 ì0 ,t<0??1、设f(t)=í-5t,则F[f(t)]= ?e,t30???0, t?02、设f(t)????t,则F[f(t)]?________ e, t?0?3、F[1]?_______ 4、设F[f(t)]?1,则f(t)? ; ??i?5、设f(t)=sin2t,则F[f(t)]= ; 6、设F[f(t)]=F(w),则F[(t+5)f(t)]= ; 7、设F[f(t)]?F(?),t0 为实常数,则F[f(t?t0)]? ; 8、F[?(t?t0)]? ; 9、设F[f(t)]=F(w),则f(1?t)的傅氏变换F[f(1?t)]? ; 10、F[f(t)]?F(?),则F[?t??f(?)d?]?_______ 211、已知f(t)?t,且F[f(t)]???2,则F?1[?2]? 2(??2)二、单项选择题 1、下列变换中,正确的是 ( ) A.F[?(t)]?1 B. F[1]??(?) C. F?1[?(?)]?1 D. F?1[1]?u(t) 2、设F[f(t)]?F(?),则F[(t?1)f(t)]为 ( ) - 12 - A. iF?(?)?F(?) B. iF?(?)?F(?) C. ?iF?(?)?F(?) D. ?iF?(?)?F(?) 3、??t?t0?的傅里叶变换F??(t?t0)?为 ( ) A.1 B。t0 C。e?i?t0 D。ei?t0 4、设F[f(t)]?F(?),则F[(2t?3)f(t)]? ( ) A.2iF?(?)?3F(?) B. 2iF?(?)?3F(?) C. ?2iF?(?)?3F(?) D. ?2iF?(?)?3F(?) 5、设F[f(t)]?F(?),则F[(t?2)f(t)]? ( ) A.F?(?)?2F(?) B. ?F?(?)?2F(?) C. iF?(?)?2F(?) D. ?iF?(?)?2F(?) 6、设f(t)?cos?0t,则F[f(t)]? ( ) A.?[?(???0)??(???0)] B. ?[?(???0)??(???0)] C.i?[?(???0)??(???0)] D. i?[?(???0)??(???0)] 7、设f(t)??(2?t)?ei?0t,则F[f(t)]? ( ) A e?2?i?2??(???0) B e2?i?2??(???0) C e?2?i?2??(???0) D e2?i?2??(???0) 8、设f(t)?sin?0t,则其傅氏变换F[f(t)]? ( ) A.[?(???0)??(???0)] B. i?[?(???0)??(???0)] C.?[?(???0)??(???0)] D. i?[?(???0)??(???0)] 三、计算题 - 13 - ?0,???t??1?2,?1?t?0?1、已知函数f(t)??,求它的傅里叶变换。 ?1,0?t?2??0,2?t??? ì-2,-1 ?0,??t?03、求函数f(t)????t(其中??0)的傅氏变换及其积分表达式。 ?e?????t?0 ?t??t???sin4、求函数 f(t)?? 的傅氏变换, 0???t????并证明? ??0??sin??sin?t?sint,t??; d???221???0,t???- 14 - 5、利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换 piww(1)F(w)=[d(+w0)-d(-w0)] 555pww(2)F(w)=[d(+w0)+d(-w0)] 555 6、用傅里叶变换求解下面的微分方程 x?(t)?x(t)??(t),???t??? 7、设F[f(t)]?F(?),列表给出下列函数的付里叶变换: f'(t),f\t),tf(t),tf(t),f(t?t0),f(t?t0),?2t??f(?)d?,?f(at) ,t?0?0?? 1,?(t),?(t?t0),?(t?t0),? f(t)????t?e?,?t?0并证明付里叶变换的微分性质和位移性质。 - 15 - 第八章 拉普拉斯变换 本章知识点和基本要求 理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念; 了解拉普拉斯变换存在定理; 掌握拉普拉斯变换的性质; 掌握用留数求拉氏逆变换的方法; 了解拉氏变换卷积概念及卷积定理; 应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。 一、填空题 1、设F(S)=1,则L-1[e?SF(S)]= 2S2、L[(sin3t)¢]= 3、L[etsint]? 4、设f(t)?u(3t?5),L[e?3tf(t)]? 5、L[etcost]? 6、设L[f(t)]?2, 则 L[e?3tf(t)]? 2s?47、设f(t)?(t?1)2et,L[f(t)]? 8、设 F(s)?1,则L?1[F(s)]? 22(s?1)9、设L[f1(t)]?F1(S), F[f2(t)]?F2(S),则L[f1(t)*f2(t)]? 10、设 F(s)?s?2,则L?1[F(s)]? 2s?16二、单项选择题 1、下列变换中,不正确的是 ( ) A.F[?(t)]?1 B.L[?(t)]?1 C. L[1]??(t) D. F[1]?2??(?) 2、设L[f(t)]?F(s),其中正确的是( ) - 16 - A.L[f?(t)]?sF(s) B。L[eatf(t)]?F(s?a) C.L[f(at)]?1F(s) D。L[eatf(t)]?F(s?a) a3、f(t)?teat(a?0) 的拉氏变换为 ( ) A. 1?11?1 B. C. D. 22S?as?a(s?a)(s?a)4、若F(S)?1?S?1e,则L[F(S)]? ( ) 2S?1A.sin(t?1) B.u(t?1)sint C. u(t)sin(t?1) D.u(t?1)sin(t?1) 5、设f(t)?e?2tcos3t 则L[f(t)]? ( ) A. 3S?2 B. (S?2)2?9(S?2)2?93S3(S?2) D. 22(S?2)?9(S?2)?9 C. s26、函数F(s)?2 的拉氏逆变换为 ( ) s?1 A.?(t)cost B.?(t)?cost C.?(t)(1?sint) D.?(t)?sint e?S7、设F(s)?,则L?1[F(S)]? ( ) S(S?2)A e?2(t?1)u(t?1) B u(t?1)?e?2(t?1)u(t?1) C 11[1?e?2(t?1)]u(t?1) D [u(t)?e?2(t?1)u(t?1)] 22三、计算题 1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换。 t(1) f(t)=eatsin2t (2)f(t)=cos2 5 - 17 - (3)f(t)=2sinat-tsinat (4) f(t)=e2t+3e5t (5)f(t)?e2t?5?(t) (6)f(t)?e2t?tet (7)f(t)?eatsint (9) f(t)?tcosat (11)f(t)?sint?u(t?2) (8)f(t)?sin22t (10)f(t)?(t?2)2et (12)f(t)?sin(t?2)?? - 18 - (13)f(t)?te?tsin2t (14)f(t)?sin(t?2)?u(t?2) ì0 t < ,0?2、已知f1(t)=?,f2(t)=í???sint ,t30f1(t)*f2(t). ì0 ,t<0??,求f1(t)与f2(t)的卷积í???cost ,t30 3、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换。 1e-5S (1) F(S)= (2) F(S)=2 S(S+1)S+1 (3) F(S)= b1 (4)F(S)? (S-a)(S-b)S(S?1) - 19 - S2S?3(5)F(S)? (6)F(S)?2 (S?2)(S?3) (7)F(s)?2s?3s2?9 (9)F(s)?s2?2s?1s(s?1)2 4、用拉普拉斯变换求解下列微分方程。 (1)yⅱ-3yⅱ+2y=6e-t,y(0)=0,y(0)=0 (2)y??y?e2t?1,y(0)?0 - 20 - S?1(8)F(s)?4(s?4)(s?2) 2、 1tsint 2?t3、⑴ 1?e ⑵ sin(t?1)u(t?1) ⑶ ⑹ b1eat?ebt? ⑷ et?1 ⑸??e?2t?6e3t? ?a?b5??t??sint ⑺ 2cos3t?sin3t ⑻ 2?e?2t?e?4t? ⑼ 4tet?et?2 ?tt2tt2t4、⑴ e?3e?2e ⑵ 1?2e?e ⑶ ⑷ Y?S??1t?t?e?e? 21?t72tttyt?e?4e?e ⑸ , y(t)?tesint??2233?S?2S?2?2?S?1?5、⑴ x?t??2et?e3t,y?t??3et?4e3t ⑵ x?t??1?cost,y?t??sint ⑶ x?t??y?t??e ⑷ x?t??3?2e?et?t?2t,y?t??2?4e?t?2e?2t - 26 -
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