大学高数公式终极整理

专业整理2013 高等数学公式

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高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

2

22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a

a a ctgx

x x tgx

x x x

ctgx x

tgx a x x ln 1

)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2

22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a

x x a dx C

x a x a a x a dx C

a x a x a a x dx C a

x arctg a x a dx C

ctgx x xdx C

tgx x xdx C

x ctgxdx C

x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222??

?

??++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222

222

020ππ

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一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式： ·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

2

sin

2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2sin

2cos 2sin sin 2cos

2sin

2sin sin β

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβ

αβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x

x

arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x

x x

x x

x -+=-+±=++=+-=

=+=

-=

----11ln

21)1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x

x

x x x x

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·倍角公式：

·半角公式： ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin

-=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg 　　　　　　　　　　　　　　 ·正弦定理：

R C

c B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin π

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

)

()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n n

k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v

u C uv +++--++''-+'+==---=-∑

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )

()()()()()()

)(()()(ξξξ 曲率： .1;0.)1(lim M s M M :.,13

202a

K a K y y ds d s K M M s

K tg y dx y ds s =='+''==??='?'???==''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα α

ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=α

ααα

ααα

ααααα

αα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==

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定积分的近似计算：

???----+++++++++-≈

++++-≈+++-≈

b a

n n n b a n n b

a

n y y y y y y y y n a b x f y y y y n a b x f y y y n a b x f )](4)(2)[(3)(])(2

1[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法： 定积分应用相关公式：

??--==?=?=b

a

b a dt t f a b dx x f a b y k r

m m k

F A

p F s

F W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功： 空间解析几何和向量代数：

。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,

,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(222222221212

1221221221c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x

z y

x z y

x z

y x z y x

z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=

++=?=?+=+?=-+-+-==

专业整理2013 高等数学公式 5 / 12 （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：

同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：

参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：

113,,22211};,,{,130

2)

,,(},,,{0)()()(122

222222

22222

222

22220000002

220000000000=+-=-+=+=++??

???+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-c

z b y a x c

z b y a x q p z q

y p x c

z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D

Cz By Ax d c

z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A

多元函数微分法及应用 z

y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx

y d F F dx dy y x F dy y

v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x

v v z x u u z x z y x v y x u f z t

v v z t u u z dt dz t v t u f z y

y x f x y x f dz z dz z

u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=??-=??=?-??-??=-==??+??=??+??===?????+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=，　　，　隐函数＋，　　，　　隐函数隐函数的求导公式：

　　时，

，当　　　　　　　　：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算：　　　全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

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)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v

G u

G v F

u

F

v u G F J v u y x G v u y x F v

u v u ???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??==　　　　　　　　　　　隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0),,(0

),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(0000

00000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y

x y x x z x z z y z y -=

-=-=-+-+-==??

??

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线

ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：

上的投影。在是单位向量。

方向上的

，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l

f

l j i e e y x f l

f j y

f i x f y x f y x p y x f z l x y f

x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(??∴

?+?=?=????+??=

=??+??=??=

????

?

多元函数的极值及其求法：

????

???

??=-<-???><>-=====　　　　　　　不确定时值

时，　　　　　　无极为极小值为极大值时，则：　　，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

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重积分及其应用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=

==

???

? ????+??? ????+==='

D

z D

y D

x z y x D

y D

x D

D

y D

x D

D D

a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M

M y d y x d y x x M

M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2

3

22

2

2

3

22

2

2

3

22

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ，　　，　　，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴　　对于轴对于平面薄片的转动惯量：　　平面薄片的重心：的面积曲面

柱面坐标和球面坐标：

????????????????????????????????????Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

ΩΩ+=+=+====

=

=

===???=??

???=====??

?

??===dv

y x I dv z x I dv z y I dv

x M dv z M

z dv y M

y dv x M

x dr

r

r F d d d drd r

r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z

z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ??

θθ??θ?θ

??θ???θ?θ?θθθθθθθπ

πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )

,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220

)

,(0

2

2

2

，　　，　　转动惯量：，　　其中　　　　重心：，　　球面坐标：其中：　　　柱面坐标：

曲线积分：

??

?==<'+'=≤≤??

?==?

?)()()()()](),([),(),(,)

()

(),(2

2t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L

?βαψ?ψ?βαψ?β

α

特殊情况：　　则：　　的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：

第一类曲线积分（对弧

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，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：

二元函数的全微分求积注意方向相反！

减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且

内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；

、无关的条件：

平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：

第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()(

)cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00)

,(),(00==+=

+????????-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=

+'+'=

+?

??==??????????????y x dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y

P x Q y P x Q G y x Q y x P G ydx xdy dxdy A D y

P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y

P x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L D L

D L L L

L

βαβαψψ??ψ?ψ?β

α 曲面积分：

??????????????????????∑∑

∑∑∑∑

∑++=++±=±=±=++++=

ds

R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy

y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx

yz

xy xy D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(22γβα系：两类曲面积分之间的关号。

，取曲面的右侧时取正号；

，取曲面的前侧时取正号；

，取曲面的上侧时取正，其中：

对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：

高斯公式：

??????????????????Ω∑∑∑

∑∑

Ω∑=++==?

A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n p )cos cos cos (...,0p ,p )cos cos cos ()(

成：因此，高斯公式又可写，

通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：

—高斯公式的物理意义γβαννγβα

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斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

?????????ΓΓ

∑∑∑Γ

?=++Γ??????=??=????=????=??????

??=??????++=??-??+??-??+??-??ds

t A Rdz Qdy Pdx A R Q P z

y x A y

P x Q x R z P z Q y R R

Q P z y

x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k j i rot cos cos cos )()()(

γβ

α 常数项级数：

是发散的调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q

q q q q n

n 1312112

)1(3211111

2+++++=++++--=++++- 级数审敛法：

散。存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：

时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：

—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=??

???=><=??

???=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ

。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：

—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞

→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：

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10 / 12 ∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ　　级数：　　收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；

，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n

n n n

幂级数：

0010)3(lim )3(1111111221032=+∞=+∞===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散

时，收敛于　　

ρρρρρ 函数展开成幂级数：

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !

)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!

1()()(!

)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 一些函数展开成幂级数：

)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 　　　　　　 欧拉公式：

???

????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix

ix ix e

e x e e x x i x e 　　　或 三角级数：

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11 / 12 。上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0]

,[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )sin cos (2)sin()(001010ππω???ω-====++=++=∑∑∞=∞

= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n

傅立叶级数：

是偶函数　　　，余弦级数：是奇函数　　　，正弦级数：（相减）（相加）　　　　　　　其中，周期∑?∑???∑+=======

==+-+-=++++=+++=+++???

????=====++=--∞=nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n n n n n n n n cos 2

)(2,1,0cos )(20sin )(3,2,1n sin )(2012413121164131211246

14121851311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(12)sin cos (2)(000222222222

2222

221

0 π

ππππππππππππππ 周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：

???????=====++=??∑--∞=l l n l l n n n n n dx l x n x f l b n dx l x n x f l a l l x n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(12)sin cos (2)(1

0 　　　　　　其中，周期ππππ

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：

为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x

y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x

y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0

),(),(),(???

一阶线性微分方程：

)1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(≠=+?+?

=≠?===+?--n y x Q y x P dx

dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx

dy n dx x P dx x P dx x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：

专业整理2013 高等数学公式 12 / 12

全微分方程：

通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：

中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y

u y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

2

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；

式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；

，其中?'''=++?=+'+''式的通解：

出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r

二阶常系数非齐次线性微分方程

型为常数；

型，为常数

，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7sbq.html