2017-2018学年人教A版必修2 第三章直线与方程 单元测试(3)

本章知识结构

从几何直观到代数表示(建立直线的方程)

从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)

本章测试

一、选择题

1.设直线l过原点,其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( ) A.α+45° B.α-135° C.135°-α

D.当0°≤α≤135°时为α+45°，当135°≤α<180°时为α-135° 思路解析:倾斜角的取值范围是［0°,180°)，因此只有当α+45°∈［0°,180°)，即0°≤α≤135°时，倾斜角才为α+45°，而当135°≤α<180°，倾斜角为α-135°. 答案:D

2.斜率为2的直线经过A(3，5)、B(a，7)、C(-1，b)三点，则a、b的值为( ) A.a=4，b=0 B.a=-4，b=-3 C.a=4，b=-3 D.a=-4，b=3 思路解析:由斜率公式，因为三点共线，有kAB=kAC=

7?55?b??2， a?33?(?1)解之,可得a=4,b=-3. 答案:C

3.已知直线l的斜率为3，且经过点P(3,1)，则直线l的方程为( ) A.3x-y-8=0 B.y=3x C.y=

1x D.3x+y-8=0 3思路解析:由直线的点斜式方程，得y-1=3(x-3)，化简得3x-y-8=0. 答案:A

4.下列直线中倾斜角为锐角的直线为( ) A.3x+2y-6=0 B.3x=0

C.2y-3=0 D.2x-3y+7=0

思路解析:若直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率为正值.B、C为特殊直线，易判断不正确.将A、B的一般式方程化为斜截式方程，可以得答案D. 答案:D

5.过点P(4，-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

思路解析:若直线在两坐标轴上截距相等，则有直线过原点和直线的斜率等于-1两种情况，且验证二者不重合，故有2条. 答案:B

6.若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( ) A.1 B.-3 C.1或思路解析:由点到直线的距离公式，

517 D.-3或 334?|10?12k?6|52?12217或k=-3. 3?|16?12k|，

13解得k=

答案:D

7.不论m为何值，直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点( ) A.(1,?1) B.(-2,0) C.(2,3) D.(9，-4) 2思路解析:将所给直线方程分解后按是否含参数进行分类，得m(x+2y-1)-(x+y-5)=0. 所以直线过两直线的交点，即??x?2y-1?0,?x?9,解之,是?所以直线恒过定点(9，-4).

?x?y-5?0,?y?-4,答案:D

8.若过点P(1,4)和Q(a,2a+2)的直线与直线2x-y-3=0平行，则( )

A.a=1 B.a≠1 C.a=-1 D.a≠-1 思路解析:直线2x-y-3=0的斜率k=2,kPQ=

2a?2?42a?2?.

a?1a?1当a=1时，kPQ不存在，两直线不平行.

当a≠1时，kPQ=k，两直线平行.∴a≠1. 答案:B

9.和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为( ) A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 D.3x-4y-5=0

思路解析:根据直线的对称性，设所求直线上任一点P(x,y).由P点关于x轴对称点P′(x,-y)一定在直线3x-4y+5=0上，即3x-4(-y)+5=0. 所以3x+4y+5=0为所求直线方程. 答案:B 二、填空题

10.直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则直线l1、l2的斜率分别是_________、_________.

思路解析:直线l1的斜率k1=tanα1=tan30°=

3,且l1⊥l2， 3所以直线l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，可得斜率为?3.

答案:

3 ?3 3l1∥l2

时，

11.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0，则a=____________________;l1⊥l2时，a=__________________.

思路解析:当a=1时，经验证，两直线既不平行也不垂直.所以a≠1. 则两直线的斜率为k1=?当l1∥l2时，?a1,k2=.

1?a2a1?，解得a=2或-1. 21?aa12??1，解得a=. 当l1⊥l2时，??21?a32答案:2或-1

312.已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是__________________________. 思路解析:利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标为(2,

3)， 21，所以其中垂线的斜率为2. 23则垂直平分线的方程为y??2(x?2),即4x-2y-5=0.

2直线AB的斜率为kAB=?答案:4x-2y-5=0 三、解答题

13.一条光线从点M(5,3)射出后,被直线l:x+y-1=0反射,入射光线与直线l的交点为(求反射光线所在的直线方程.

思路解析:光的入射问题实质为轴对称的问题，需利用轴对称的性质来解. 解:设M(5,3)关于l的对称点为M′(x0,y0),则线段MM′的中点为(

139,?),44x0?5y0?3,), 22?y0?3?(?1)??1,??x0?5则有?

?x0?5?y0?3?1?0,?2?2可得??x0??2,

?y0??4.由两点式得所求反射光线所在的直线方程为x-3y-10=0.

14.直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若l的两截距之和为6,求直线l的方程.

思路解析:本题主要考查利用截距式求直线的方程，并学会利用分类讨论的思想解题. 解:设直线l的横截距为a,则纵截距为6-a, l的方程为

xy??1. a6?a∵点(1,2)在直线l上, ∴

12??1, a6?a即a2-5a+6=0. 解得a1=2,a2=3.

xy??1直线经过第一、二、四象限; 25xy当a=3时,直线的方程为??1，直线l经过第一、二、四象限.

33当a=2时,方程

综上,知直线l的方程为2x+y-4=0或x+y-3=0.

15.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0)，直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1和l2的距离是

75. 10(1)求a的值.

(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的

1；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是2:5?若能，2求出P点坐标；若不能，请说明理由.

思路解析:由题意，运用平行直线间的距离公式和点到直线的距离公式列式求解即可. 解:(1)l2的方程即为2x?y?1?0， 21|a?(?)|2?75，∴|a?1|?7.∵a>0,∴a=3. ∴l1和l2的距离d=

221022?(?1)2(2)设点P(x0,y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线

l′:2x-y+c=0上，且

|c?3|5?12|c?1|2,即c=13或c=11.

265∴2x0-y0+

1311?0或2x0-y0+?0. 26若点P满足条件③，由点到直线的距离公式∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.

由P在第一象限，∴3x0+2=0不合题意.

|2x2?y0?3|5?25?|x0?y0?11|2，

131?0和x0-2y0+4=0，解得x0=-3,y0=,应舍去. 2211137?0与x0-2y0+4=0联立，解得x0=,y0=由2x0-y0+. 6918137所以P(,)即为同时满足三个条件的点.

918联立方程2x0-y0+

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