电磁场与电磁波基础理论的素描

南京邮电大学高等教育

自学考试

毕 业 设 计

设计题目： 电磁场与电磁波基础理论的素描

姓 名 准考证号 专 业 指导教师

完成日期 2009 年 10 月 10 日

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南京邮电大学高等教育自学考试 毕业设计任务书（本科）

设计（论文）内容、技术要求、主要设计方法（或步骤）： 本文是从初学者的角度去观察电磁场与电磁波的基础理论，没有真知灼见，力求内容经得住推敲。 全文以三大实验定律（库仑定律、安培定律、法拉第电磁感应定律）和两个基本假说（有旋电场假说、位移电流假说）为基础，归纳总结出宏观电磁现象的普遍规律 麦克斯韦方程组；然后再讨论静态场、静态场边值问题的解、动态场、导行电磁波、电磁辐射；动态场主要包含均匀平面波的传播、反射、透射，以及电磁波的极化。 主要参考文献、资料： 《电磁场与电磁波理论》/曹伟，徐立勤著/北京邮电大学出版社 《电磁场与电磁波》第4版/谢处方，饶克谨著/高等教育出版社 《矢量分析与场论》/谢树艺著/高等教育出版社 《费恩曼物理学讲义》第2卷/费恩曼编著/上海科学技术出版社 《电动力学》第2版/郭硕鸿著/高等教育出版社 要求完成报告书的时间：2009 年11 月 3 日 审核意见： 教师签名： 南邮自考办 （盖 章） 下达任务书 2009 年 6 月 20 日

注：本表一式三份，指导教师一份、南邮自考办一份、学员一份。

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南京邮电大学高等教育自学考试 毕业设计（论文）评语表（本科）

姓名 题目 毕业设计（论文）评语： 论文结构完整，各部分内容安排的顺序基本符合要求。作者试图从整体的角度去勾勒电磁学基础理论的大至轮廓并对个别细节加以分析。为了写好这篇论文作者显然查阅了大量的资料，论述比较丰富，条理也很清晰。遗憾的是，由于作者没有深厚的理论基础，也没有相关工作经历，因此本文的论述只能基于常见的书籍从而内容显得平淡浅显，关于深入的电磁学内容明显不足。总而言之，作者能认认真真地修改稿件，一经指出，都能认真对待反复修改。尽管语言仍显稚嫩，但论文条理清晰、说理严密，观点简洁，有一定的参考价值，不失为一篇好文章。 指导教师 （签名） 2009 年 10 月 10 日 电磁场与电磁波基础理论的素描 备注 3

目

录

一、矢量分析

二、电磁场的基本规律

三、静态电磁场及其边值问题的解

四、时变电磁场

五、均匀平面波的传播

六、导行电磁波

七、经典电磁理论的发展

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内 容 摘 要

全文以三大实验定律（库仑定律、安培定律、法拉弟电磁感应定律）和两个基本假说（有旋电场假说、位移电流假说）为基础，归纳总结出宏观电磁现象的普遍规律——麦克斯韦方程组；然后再讨论静态场、静态场边值问题的解、动态场、均匀平面波、导行电磁波等。

文章主要描摹了电磁场与电磁波的基础理论，其中精挑细选的内容散见于数学、物理

教材，经过质朴的逻辑以及作者的思考最终汇成本文。

本文共分七章，内容包括：矢量分析、电磁场的基本规律、静态电磁场及其边值问题

的解、时变电磁场、均匀平面波的传播、导行电磁波、经典电磁理论的发展。

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一、 矢量分析

如果在全部空间或部分空间里的每一点都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。如果此物理量是数量，该场称为数量场；如果是矢量，该场称为矢量场。

电磁场是分布在三维空间的矢量场，而矢量分析是研究电磁场在空间分布和变化规律的基本数学工具之一，因此本节主要讨论标量场的梯度，矢量场的散度、旋度，在此基础上介绍亥姆霍兹定理。 一、标量场的梯度

梯度是由方向导数引出的概念，方向导数反映了函数u(M)在给定点处沿某个方向的变化率。在直角坐标系中，可证明如下定理

定理

若函数u(x,y,z)在点M（x,y,z）处可微，对照图（1.1），cosα、cosβ、cosγ为L

的方向余弦，则函数u(x,y,z)在点M处沿L方向的方向导数必存在，且由如下公式给出：

?u?l??u?xcosα??u?ycosβ??u?zcosγ

（1.1）

其中

图（1.1）

?u?u(N)?u(M)??u?u?u是在点M处的偏导数 ,,?x?y?z

?u?x

?x?证：因u=u(x,y,z)在点M可微，故有

?u?y?y??u?z?z?w.?，其中w在??0时趋于零，将上式两端除

以?，得

?u???u?x?x???u?y?y???u?z?z??w,即

?u???u?xcosα??u?ycosβ??u?zcosγ?w

令??0取极限，注意到此时有w?0，从而得到公式（1.1）

方向导数公式（1.1）可以改写成：

?u?l?G?l?，其中G??u?xi??u?yj??uk，?zl??cosαi?cosβj?cosγk。显然，G在给定点处为固定矢量，当直线L方向与矢量G方向

一致时，即cos(G,l?)?cos0?1时，方向导数取得最大值：

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?u?l?G?l??Gcos(G,l?)?G （1.2）

可见，矢量G的方向就是函数u(x,y,z)变化率最大的方向，G正好是最大变化率的值。

我们把G叫做函数u(x,y,z)在给定点处的梯度。

梯度有2个重要的性质：

1．由（1.2）式可知，方向导数等于梯度在该方向上的投影，写作：

?u?l?gradlu??u

2． 数量场u(x,y,z)中每一点M处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数u(x,y,z)增大的一方向。

因为u(x,y,z)在等值面上过任意点的任意方向导数为零，则梯度G??u在等值面上投影总为零，投影为零？所以梯度G??u垂直于过该点的等值面。

又由于函数沿梯度方向的方向导数

?u?l?G?l??G?0，说明函数沿梯度方向是增大的。

即梯度指向函数u(x,y,z)增大的方向。例如，如果E????，则说明E指向函数?减小的方向且?值的变化率最大。 二、矢量场的散度

散度定义为矢量场A(M)在点M处的通量体密度的极限，记作

???VdivA???A?lim?V?M?lim???sA?dS?V?M?V，?V是?S包围的空间区域。下面的定理给出了它

在直角坐标系中的表达式：

定理

在直角坐标系中，矢量场A=P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k在任一点M

?P?x??Q?y??R?z（x,y,z）处的散度为divA?

?P?x?Q?y?R?z证：由高斯公式??????sA?dS????sPdydz?Qdxdz?Rdxdy????(?V??)dV，

?V，其中M*为?V内某一点，由此??再根据中值定理有??????y?z?M*??x??P?Q?R?divA?lim???V?M??P?Q?R??lim???当?V缩向点M时，M*就趋于点M，所以??V?M?V?x?y?z??M* 7

divA??P?x??Q?y??R?z

由此定理，高斯公式可以写成如下矢量形式：??A?dS??s????VdivAdV????V??AdV

三、矢量场的旋度

环量面密度定义为矢量场A(M)在点M处的环量对面积的变化率，记作

?n?lim??lA?dl?S，在直角坐标系中，设A=P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k，借助斯托

?S?M克斯（G.G.Stokes）公式，用证明散度divA的方法可得到环量面密度

?n?(Ry?Qz)cosα?(Pz?Rx)cosβ?(Qx?Py)cosγ，其中cosα,cosβ,cosγ为?S在点M处的法向

矢量的方向余弦。

类比方向导数与梯度的关系，得到矢量场A(M)在某点的旋度，记作

,rotA的方向为环量面密度最大的方向，

rotA???A?(Ry?Qz)i?(Pz?Rx)j?(Qx?Py)krotA为环量面密度的最大值。

四、散度、旋度的物理意义

1．由散度定义可知，divA表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量A的通量。若

，则该点无通量源。

divA?0，则该点有产生矢量线的通量源；若divA?0 vA?0，如果矢量场A的散度处处为0，即di则称该矢量场为无散场，即该点无通量源。

例如，在静磁场中??H?0处处成立说明恒定磁场不是由通量源产生的，且磁场线不是向四周发散的而是闭合曲线。

3． 对旋度而言，rotA?0则说明环域内有产生该矢量场的漩涡源。这种源与通量源不同，在这种场中矢量线不汇聚也不发散，而是闭合曲线。例如在静磁场中，??H?J处处成立说明恒定磁场是由漩涡源产生的且磁场线是闭合曲线。

如果矢量场A的旋度处处为0，即??A?0，则称该矢量场为无旋场，即该点无漩涡源。例如，在静电场中??E?0处处成立表明静电场不是由漩涡源产生的，且电场线不是闭合曲线而是向四周发散。 五、亥姆霍兹定理

可以证明：在有限区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一确定，且

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可表示为： F(r)???u(r)???A(r)

u(r)?14?14?????F(r?)r?-rr?-rVdV??dV??14?14???e??F(r?)nS其中

A(r)?r?-rr?-rdS?????F(r?)V??e??F(r?)nS

dS? （1.3）

这就是亥姆霍兹定理，它表明：

1．矢量场F(r)具有的性质可由F(r)的散度与旋度说明。

2．考虑到??(?u)?0、??(??A)?0，因而矢量场可表示为无旋场与无散场之和。 3． 对于无界空间，只要矢量场满足F(r)?1r?-r1?? (??0)，则式（1.3）中的面

积分为0，此时矢量场F(r)由其散度与旋度唯一确定，这说明在无界空间中??F(r)、

??F(r)处处为0是不可能的，因为任何物理场必须由场源产生。

4． 在有限区域内如果??F(r)、??F(r)处处为0，则F(r)由其在边界面S上的场分布完全确定。

必须指出，只有在F(r)连续的区域内，??F(r)与??F(r)才有意义。因为??F(r)、

??F(r)着对空间坐标的导数。在区域内如果存在F(r)不连续的表面，则在这些表面上

F(r)的偏导数就不能全部存在，因而无法计算??F(r)、??F(r)，也就不能用散度、旋

度来分析表面附近的场的性质。

亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理定理总结了矢量场的基本性质，其意义是重要的。分析矢

量场时总是从研究它的散度和旋度着手，得到的散度与旋度方程组成了矢量场的基本方程的微分形式；或者从矢量场沿闭合曲面的通量和沿闭合路径的环量着手，得到矢量场的基本方程的积分形式。 六、坐标系

场论中梯度、散度、旋度的概念有其明确的物理意义，都是与坐标系无关的。前面介

绍了它们在直角坐标系中的表达式，但是在许多实际应用中采用直角坐标系将会自找麻烦。引入一般的正交曲线坐标系可以简化与坐标系有关的问题。由于电磁场线的特点，柱面坐标系、球面坐标系是电磁学中常用的正交曲线坐标线。如果想避开坐标系的概念进行一般性讨论，则需借助张量分析这个数学工具。

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二、电磁场的基本规律

电磁学的三大实验定律（库仑定律、安培定律、法拉第电磁感应定律）的提出，标志着人类对宏观电磁的认识从定性阶段到定量阶段的。以三大实验定律为基础，麦克斯韦作了四个假设，进而归纳总结出描述宏观电磁现象的总规律——麦克斯韦方程。

本节先从基本实验定律引入电磁场的场量，并讨论其散度与旋度，然后讨论媒质的电

磁特性和麦克斯韦方程，最后讨论电磁场的能量、动量。 一、静态电磁场量的旋度、散度

1．电荷守恒定律与电流连续性方程

根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合曲面S内流出的电荷量应等于闭合曲面S所限

定的体积V内的电荷减少量，即

??SJ?dS??dQdt?????dtdV?dV?????d?dtVdV （2.1）

如果在式（2.1）中的V是全空间，S为无穷远界面，由于在S上没有电流流出，因而

式（2.1）左边的面积分为零，由此得

???dtdV?dV?0，这表示全空间的总电荷守恒。

??dV?0，因为闭合面S是任意取?

???应用高斯公式，式（2.1）可改写为??????J?V?t?的，因此S限定的区域V也是任意的，故从此式得：

??J????t?0

（2.2）

此式称为电流连续性方程的微分形式。

当研究恒定电流场时，要维持电流不随时间改为改变，就要求电荷分布也不随时间改

S变，因此对于恒定电流场必然有：??J?dS????V(??J)?dV?0，因为闭合面S是任

意取的，因此S限定的区域V也是任意的，故从此式得：??J?0

这表明恒定电流场是一个无散场，根据亥姆霍兹定理可知??J?0，即电流J是漩涡

源。本小节的概念在后面谈到位移电流时还会提及。

2．静电场强度E的旋度、散度、高斯定理

静止电荷产生的电场是静电场，根据基本实验定律——库仑定律，得到点电荷在位矢

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为r处产生的电场强度：E(r)?

qr?r?34??0r?r? （2.3）

E(r)等于单位正电荷所受的电场力大小，E(r)的方向与正电荷在该点所受电场力方

向一致。

可由式（2.3）计算得到：

??E(r)??(r)?0 (2.4.1) 式（2.4.2）说明静电场是保守

??E(r)?0 (2.4.2)场，静电力是保守力。

由上述概念来看看很有名的高斯定理,如图，得到通过闭合曲面S的电场E(r)的通量：

??SE?dS???SEcos?dS?Q4??0??cos?Sr2dS

cos?r2dS为面元dS对电荷Q张开的立体角元d?,因此

Q4??0Q上式为:

??SE?dS???Sd?=

?0 （2.5.1）

或借助高斯定理将式（2.5）改写为：

??E(r)??(r)?0 （2.5.2）

?(r)为曲面S内电荷的体密度分布。高斯定理表明穿过闭合曲面S的通量与区域内的电荷成 正比。须注意，式（2.5.1）中场强E是边界面上的合成场强而非仅由曲面内的电荷Q产生。

电场强度E与距离的平方（r）成反比是巧合吗？万有引力F也是与r成反比！如果

222库仑力不是依赖于r，高斯定理就不会这么简洁了。由于不清楚点电荷在微观到什么级别上就不能抽象成点了（电子电荷也可能是涂抹物），所以平方反比定律在极小距离上失效也有可能，但平方反比定律在像1m~10

?10m的距离上都有效。

3．静磁场感应强度B的旋度、散度

恒定电流产生的磁场称为静磁场，依据安培定律或毕奥—萨伐尔定律得到

B(r)??04??Idl(r?r?)lr?r?3r，通过计算得：

2 11

??B(r)?0 (2.6.1)??B(r)??0J (2.6.2)

式（2.6.1）是磁通连续性原理的微分形式，它表明自然界中无孤立磁荷存在。

二、媒质的电磁特性

1．电介质

电介在讨论媒质电效应时，将物质称为电介质。电介质主要特征是电子和原子核结合得相当紧密，电子被原子核紧紧束缚住质中的电荷称为束缚电荷，根据束缚电荷的分布特征，把电介质的分子分为无极分子、有极分子两类，示意如图。

在外电场作用下，无极分子的正、

负电荷中心分离，形成排列方向与外电场大体一致的电偶极子，无极分子对外产生的电场不再为0；有极分子在外电场作用下，每个电偶极子发生转动，排列方向最终与外电场方向大体一致，它

对外产生的电场也不再为了0。

既然无极分子、有极分子在极化后都对外产生了电场，那我们就要弄明白这些电介质

的一些电磁特性。

在均匀极化状态下，电介质内不会出现极化电荷的体密度分布；对非均匀极化，电介

质内则会出现极化电荷的体密度分布。但无论是否均匀极化，表面上总会出现面密度分布的极化电荷。下面的文字侧重于讨论电介质内极化电荷的体密度分布。

将极化强度记作P?lim?p?Vi?V?0，由电介质极化模型可得闭合曲面S内的极化净电荷

（负电荷）为：Qp????Nqd?dS????Npi?dS????P?dS???????PdV，其

SSSV中N为电介质单位体积中的分子数。因电介质内闭合曲面S是任意取的，帮S限定的区域V内的极化电荷（负电荷）体密度为：

?p????P

（2.7）

将真空中的高斯定律（2.5.2）式推广到电介质中得：??E(r)?

??[?0E(r)?P(r)]??

???p?0结合式（2.7）

将之整理得到 （2.8）

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可见式（2.8）中的矢量?E(r)?P(r)仅与自由电荷体密度?有关，将这一矢量称为电

D(r)??0E(r)?P(r) ??D(r)??

（2.9.1） （2.9.2）

位移矢量，表示为：

这样式（2.8）就变为：

式（2.9.2）对于各向异性、各向同性电介质均成立。对各向同性电介质而言，由于极化强度P与电介质内合成场强成正比，因此式（2.9.1）可简化为：

D(r)??0E(r)??e?0E(r)?(1??e)?0E(r)??r?0E(r)??E(r)（?为电介质介电系数）

此外，有极分子材料的介电系数?有一各特性——随外加电场的频率变化。由于有极分

子具有转动惯量（M=J?），要使那些笨重有极分子转向外加电场的方向就需要一定时间，因此，若所加外部电场的频率在微波区域或者更高，则极化效果开始下降，因为有极分子不可能干净地跟随频率变化。与此相反，即使高至光频，电子的极化效果也不受影响，这是由于电子惯性小的缘故。

2．磁介质

忽略原子的自旋，每个磁介质分子（或原子）等效于一个环形电流——分子电流。分

子电流的磁矩表示为: pm?i?S。不存在外加磁场时?pm?0，磁介质对外不显磁性。

当存在外加磁场时，磁介质中的分子磁矩将沿外磁场取向，从而产生附加磁场使原来

的磁场分布产生变化。引入磁化强度M?lim可以计算穿过曲面S的磁化电流Im：

Im??p?Vmi?V?0，取一个由边界回路C限定的曲面S，

?CdIm??CiN?S?dl??CNpm?dl??CM?dl???S(??M)?dS，其中N为磁介

质单位体积中的分子数。将磁化电流Im表示为磁化电流密度Jm的积分，即

Im???SJm?dS，对比前面两式，得:

Jm???M

(2.10)

??B(r)??0(J?Jm)，将真空中的安培环路定律推广到磁介质中得到：结合式（2.10）

得到：??[B(r)?0?M(r)]?J，定义磁场强度矢量H(r)???H(r)?J

B(r)?0?M(r)，则有：

（2.11）

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式（2.11）说明矢量H(r)仅与传导电流J有关，式（2.11）对各向异性、各向同性磁介

质都成立。对各向同性磁介质而言，由于磁化强度M与磁介质内合成磁场强度成正比

M??mH(r)，因此磁场强度矢量H(r)可简化为：

H(r)?B(r)(1??m)?0?B(r)?r?0?B(r)? （2.12.1）

或写作

B(r)?(1??m)?0H(r)??r?0H(r)??H(r) (2.12.2)

?m?0的磁介质称为顺磁体，?m?0的磁介质称为抗磁体，但?m通常较小,对于铁磁

性材料?m是H(r)的函数，其值可达几千，甚至更大。

3．导电媒质

导电媒质与电介质不同，它内部有许许多多能自由移动的带电粒子（自由电子或正、

负粒子），它们在外电场作用下可以做宏观定向运动而形成电流。对于线性和各向同性的导电媒质，媒质内电流密谋矢量J和电场强度E成正比，表示为：

J??E

这就是欧姆定律的微分形式，满足此式的材料称为欧姆材料。

毫无疑问，导电媒质是要消耗电场能量的，体积元dV的速度为V的运动电荷在时间dt内消耗的能量为: dW?dF?dl??dVE?Vdt?E??VdVdt?J?EdVdt,其功率为:

dP?dWdt?J?EdV，整个体积V中导电媒质消耗的功率为：

P????VdP????J?EdV?V???V?EdV

2 至此，讨论了媒质的极化、磁化、导电特性，它们分别用介电常数?、磁导率?、和

电导率?来描述。

这儿再插几行介绍媒质电磁特性带来的奇特效果：隐形飞机采用非金属材料或者雷达吸波材料，吸收掉而不是反射掉来自雷达的能量。雷达吸波材料分两大类，一类是谐振型，一类是宽频带型。其中谐振型雷达吸波材料是为了某一频率而设计的、以磁性材料为基础、能把相消干涉和衰减结合起来的吸波材料。宽频带型雷达吸波材料通常通过把碳-耗能塑料材料加到聚氨酯泡沫之类的基体中制成，它在一个相当宽的频率范围内保持有效性。把雷达吸波材料与雷达能量可以透过的刚性物质相结合，形成雷达吸波结构材料。运用最新的

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材料，隐形飞机在雷达上反射的能量几乎能够做到和一只麻雀的反射能量相同，仅仅通过雷达就想分辨出隐形飞机是非常困难的。 三、麦克斯韦方程组

将前面的式（2.4.2）、（2.9.2）、（2.11）、（2.6.1）罗列如下：

??E(r)?0 (2.13.1)??D(r)?? (2.13.2)

??H(r)?J (??B(r)?0 (2.14.2)

本小节先讨论式（2.13.1）、（2.14.1），然后得到麦克斯韦方程组。 1．对式（2.13.1）的修正

如左图所示，根据法拉第电磁感应定律，闭合回路中存

在感应电动势?in，

?in??

??dtdSB?dS （2.15.1）

闭合导体内存在感应电流表明导体内必然存在感应电

场Ein，而感应电动势?in可表示为感应电场Ein的环路积

分，即：

?in?

对比式（2.15.1）、（2.15.2）有：

?CEin?dl

?BS （2.15.2）

?dS

?CEin?dl?????t（2.15.3），由于闭合

(2.15.4)，此式应用

回路是任意形状的，因此应用斯托克斯定理得到：??E???B?t

到静态场时就变成了式（2.13.1），因此式（2.15.4）可作为对式（2.13.1）的修正。这就是说动态电场是有旋的，麦克斯韦认为这种有旋电场脱离导体在自由空间中也可独立存在。

须注意，针对闭合导体而言如果闭合导体是在时变磁场中运动的，则应考虑洛仑兹力

?B?t???(v?B)，对于真空中的电磁波则不

效果。这时式（2.15.4）应修正为??E??需要考虑洛仑兹力对电场的影响

上面提及的法拉第电磁感应定律有广泛的应用，她是发电机的工作原理，她可用来论

由于感应的电动势在闭合电

证由理想集总参数元件组成的电路中的基尔霍夫定律??

路中产生感应电流，在导线中心的感应电流最大。因为感应电流总是在减小原来电流

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的方向，它迫使电流只限于靠近导线外表面处。这样，导线内部实际上没有任何电流，电流集中在临近导线外表的一薄层，结果使它的电阻增加。导线电阻的增加，使它的损耗功率也增加。这一现象称为趋肤效应。对金属零件进行高频表面淬火，是趋肤效应在工业中应用的实例。

2．对式（2.14.1）的修正 对式（2.14.1）两边取散度，即：

??(??H)???J

（2.16.1）

左边??(??H)必定为0，但右边??J不一定。

0针对恒定电流成立

??J ?针对恒定电流

?? ?针对时变电流成立 ?t可见安培环路定律??H(r)?J对时变电磁场是不成立的，怎么办呢？麦克斯韦由电容器电路出现的矛盾现象提出假设：在电容器两极板间存在一种由时变电场引起的特殊电流，称为位移电流。麦克斯韦假设静电场中的高斯定律??D(r)??对时变场依然成立，于是

?有：??J ????t????t(??D)?????D?t?D?t，则有下式成立：

??(J ?)?0 （2.16.2）

对比式（2.16.1）、（2.16.2）发现，只要将式（2.16.1）中J 换成J ?不会出现矛盾，为什么不换呢？于是式（2.14.1）修正为：

??H(r)?J??D?t?D?t?D?t式（2.16.1）两边就

（2.14.1的修正式）

式中

是电位移矢量的时间变化率，与电流密度同量纲，称为位移电流密度。

3．麦克斯韦方程组

综合前面的讨论，并假设磁通连续性原理在时变场中也成立则得到麦克斯韦方程组:

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??E????D???B?t?D?tD(r)??0Er(?)Pr()H(r)? D??EB(r)适合于各种媒质

?M(r)

?0 ??H?J???B?0B??HJ??E适用于线性和各向同性媒质

4．电磁场的边界条件

电磁场矢量H、E、B、D的边界条件必须由电磁场基本方程导出，由于在媒质分界面

上，媒质的基本特征参数?、?、?发生突变，使得麦克斯韦方程组的微分形式失去意义，因此只有根据积分形式的麦克斯韦方程组来导出边界条件。另外，为了使得到的边界条件不受坐标系的局限，可将场矢量在分界面分解为与分界面垂直的法向分量en和平行于分界面的切向分量et。经过计算可得到：

en?(H1?H2)?JS en?(E1?E2)?0en?(B1?B2)?0 en?(D1?D2)??S

四、电磁场的能量、动量

电磁场是客观存在的一种物质，它运动时能与运动物质相互转化能量，显然运动的电

磁场物质也具有动量。下面我们通过电磁场与带电物质的相互作用来说明电磁场的能量、动量表达式。

1．能量

需要引入两个物理量来描述电磁场的能量

（1）场的能量密度w，它是场内单位体积的能量， w?w(r,t)是标量。 （2）场的能流密度矢量S——单位时间内通过单位横截面的能流。

考虑闭合曲面限定的空间区域V，区域V内、外的场能量以及场对区域V内电荷所做

的功之间是什么关系呢？

以f表示场作用于单位体积电荷的力、v表示单位体积电荷的平均移动速度，由能量

?w?t守恒定律得到：???S?f?v? 即

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???S??w?t?f?v （2.17）

由麦克斯韦方程组与洛仑兹力公式得到：

f?v?(?E??v?B)?v??E?v??v?E?J?E?(??H??D?t)?E????(E?H)?E??D?t?H??B?t

对比上式与式（2.17）与上式可得：

S?E?H?w?t?E??D?tddt?H??B ?tdBdt?dAdt如果针对线性和各向同性介质，并考虑到

S?E?H(A?B)?A?则由上式可?B，

得到：

w?12?E?212?H2 （2.18）

2．电磁能量的传输

电磁波情形中，能量在场中传播的实质一般是容易理解的，但是在恒定电流或低频交

流电情况下，由于通常只需解电路方程，不必研究电磁场量，人们往往忽视能量在场中传播的实质。事实上，在这情形下电磁能量也是在场中传输的。在电路中物理系统的能量包括导体内部运动电子的动能、导体周围空间中的电磁场能量。

根据电流电流密度J?nev（n是电荷体密度）估算出电子漂移速率v是很小的，漂移

电子的也就很小。又考虑到，在恒定情况下，整个回路（包括负载电阻上）电流值都相同，因此，运动电荷的动能并不是供给负载上消耗的能量。 负载上消耗的能量来自哪儿呢？来自导线周围的电磁场中，一部分电磁能量进入导线内部或负载内部，另一部分电磁能量继续沿导线方向前进。

3.动量

仍然从电磁场与带电物质相互作用规律出发，可得到自由空间中电磁场的动量体密度g和能流密度S之间有一般关系：

g??0E?B??0?0E?H?1cSc2 （2.19）

对于均匀平面波有：B?n?E （n为传播方向单位矢量)

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综合前两个式子得到一定频率的电磁波在一个周期T内的平均动量密度为：

g??02Re(E?B)?*?02cEn （n为传播方向单位矢量)

2

g?对于真空中的电磁波有S?E?H?cwn（w为能量密度），因此由式（2.19）得

Sc2?wcn，这个关系在量子后的电磁场也是成立的，例如每个光子的动量gl?dpdthfc n。

由于电磁波具有动量p，它入射于物体上时会对物体施加一定的压力f?，称为辐

射压力。在一般光波、无线电波中辐射压力很小，但在天文领域光压在星体内部可以和万有引力相抗衡，从而对星体构造和发展起着重要作用。在微观领域高频电磁场的动量也表现得很明显，带有动量gl?hfcn（h为普朗克常量）的光子与电子碰撞时，正如粒子相互碰

撞情形一样，也服从能量与动量守恒定律。

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三、静态电磁场及其边值问题的解

一、静电场

电场强度E(r)、电位移通量D(r)、电位?(r)都是电场中基本的物理量，这儿只考察

电位?(r)。电位又称电势，定义为单位正电荷处于电场中某点所具有的电势能。则是两点间的电势差（电压）。 ?a(r)??b(r)

在线性和各向同性电介质中，?是一个常数。因此将E(r)????(r)代入

2??D(r)??(r中得到：)??D(r)????E(r)???????(r)?????(r)??(r)即：

??(r)??2?(r)?

然后结合边界条件，可以确定电位?(r)的解。

来点有趣的——在均匀静电场中沿电场方向取一平面G，由于静电场的电势满足二维

拉普拉斯方程，因此平面G上某一解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的实部u(x,y)可用来表示该平面区域上的电势（因为u(x,y)、v(x,y)均是调和函数），则曲线簇“u(x,y)=常数”是等势线簇，由解析函数的性质可知，曲线簇“v(x,y)=常数”垂直于等势线簇。垂直于等势线簇？因此曲线簇“v(x,y)=常数”可看作是电场线簇——函数图形位置关系如此，但电场强度Ｅ值一般不等于v(x,y)。 二、恒定磁场

恒定磁场是由恒定电流激发的，由于??B?0，因此可引入矢量磁位A来计算磁感应

强度，即可令B???A，现在改造安培环路定理??B??J得到：

????A??(??A)??A??J

2 （2.20.1）

根据亥姆霍兹定理，要唯一确定矢量A，必须同时给出??A与??A,令??A?0(库仑规范)，则由式（2.20.1）得到：

?A???J

2 （2.20.2）

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七、经典电磁理论的发展

相对论主要是关于时空的理论，通过将麦克斯韦方程和洛仑兹力公式表为协变形式，

从而使电动力学成为明显相对论性的理论，可用来解决任意速度带电粒子与电磁场的相互作用问题。当看到经由四维协变量轻松地呈现出相对论的多普勒效应和光行差公式时，谁能不无动于衷呢？

此外经典电动力学解决宏观问题是干脆利索的，但应用到微观领域总有点不大对劲。

主要原因在于，经典电动力学对带电物质的描述只反映其粒子性的一面、对电磁场的描述只反映其波动性的一面，面事实上带电粒子具有波动性、电磁场也具有粒子性。只有在带电物质主要显示粒子性、电磁场主要显示波动性的情况下，经典电动力学才近似地反映客观实际。

在原子内部电子波动性明显，在此范围内经典电动力学是不适用的；在高频电磁辐射

和光电效应等问题中，电磁场的粒子性非常显著，经典电动力学不再适用。这种情况下需引入量子理论。

从简单的摩擦起电到庄严的电磁学大厦，可以预测，在不断的实践中电磁学理论将不

断深入发展！

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主要参考文献、资料：

《电磁场与电磁波理论》/曹伟，徐立勤著/北京邮电大学出版社 《电磁场与电磁波》第4版/谢处方，饶克谨著/高等教育出版社 《矢量分析与场论》/谢树艺著/高等教育出版社

《费恩曼物理学讲义》第2卷/费恩曼编著/上海科学技术出版社 《电动力学》第2版/郭硕鸿著/高等教育出版社 《数学物理方法》第3版/ 梁昆淼编/高等教育出版社

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